Prüfer群

1：$\mathbb{Z}\subset\mathbb{Z}[1/p]\subset\mathbb{Q}$ であり、$\mathbb{Z}[1/p]/\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ の中で $\mathbb{Z}(p^\infty)$ そのものである。
2：$a/p^k+\mathbb{Z}$ は $p^k(a/p^k)\in\mathbb{Z}$ なので位数が $p^k$ を割る。逆に $x=a/b+\mathbb{Z}$（$b\ge1$、$a,b$ は互いに素）の位数が $p^n$ を割るとすると、$p^na/b\in\mathbb{Z}$ なので $b\mid p^na$、よって $b\mid p^n$ であり、$b$ は $p$ の冪なので $x\in\mathbb{Z}(p^\infty)$ である。
3：$e(t):=e^{2\pi it}$ とおくと、$t+\mathbb{Z}\mapsto e(t)$ は $\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$ から $\mathbb{C}^\times$ への単射な群準同型である（$e(t)=1$ となるのは $t\in\mathbb{Z}$ のときに限る）。$e(a/p^k)^{p^k}=1$ なので $\mathbb{Z}(p^\infty)$ の像は $\mu_{p^\infty}$ に含まれる。逆に $z^{p^n}=1$ とすると、$e(a/p^n)$（$0\le a< p^n$）は $x^{p^n}-1$ の相異なる $p^n$ 個の根であり、この多項式の根は高々 $p^n$ 個なので、$z$ はそのどれかに等しい。よって像は $\mu_{p^\infty}$ である。
4：$G_n:=\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$、$\varphi_n\colon G_n\to G_{n+1}$ を与えられた写像とする（$a\equiv a'\pmod{p^n}$ なら $pa\equiv pa'\pmod{p^{n+1}}$ なので矛盾なく定まる）。$\iota_n\colon G_n\to\mathbb{Z}(p^\infty)$、$a+p^n\mathbb{Z}\mapsto a/p^n+\mathbb{Z}$ は矛盾なく定まる単射準同型で、像は $C_n$、$\iota_{n+1}\circ\varphi_n=\iota_n$（$pa/p^{n+1}=a/p^n$）を満たす。$\mathbb{Z}(p^\infty)$ と $(\iota_n)_n$ が帰納極限の普遍性をもつことを示す。アーベル群 $H$ と準同型 $f_n\colon G_n\to H$ で $f_{n+1}\circ\varphi_n=f_n$ を満たすものが与えられたとする。$x\in\mathbb{Z}(p^\infty)$ について $x\in C_n$ となる $n$ をとり、$f(x):=f_n(\iota_n^{-1}(x))$ と定める。$x\in C_n\subset C_{n+1}$ なら $\iota_{n+1}^{-1}(x)=\varphi_n(\iota_n^{-1}(x))$ なので $f_{n+1}(\iota_{n+1}^{-1}(x))=f_n(\iota_n^{-1}(x))$ であり、$f(x)$ は $n$ のとり方によらない。$x,y$ を同じ $C_n$ に入れて計算すれば $f$ は準同型であり、$f\circ\iota_n=f_n$ である。$\mathbb{Z}(p^\infty)=\bigcup_nC_n=\bigcup_n\iota_n(G_n)$ なので、この条件を満たす $f$ はただ 1 つである。
5：$e_n\mapsto c_n$ で定まる準同型 $\psi\colon F\to\mathbb{Z}(p^\infty)$ は、$pc_1=0$、$pc_{n+1}=c_n$ なので $K$ を $0$ に写し、準同型 $\bar\psi\colon F/K\to\mathbb{Z}(p^\infty)$ を誘導する。$\bar e_n$ を $e_n$ の像とすると、$F/K$ で $\bar e_n=p\bar e_{n+1}$ なので $\bar e_n$ の生成する部分群は増加列をなし、$F/K$ はその合併である。また $p^n\bar e_n=p^{n-1}\bar e_{n-1}=\cdots=p\bar e_1=0$ なので $\langle\bar e_n\rangle$ の位数は $p^n$ 以下である。$\bar\psi$ は $\langle\bar e_n\rangle$ を位数 $p^n$ の $C_n$ の上に写すので、$\langle\bar e_n\rangle$ の上で全単射である。$F/K$ の元はある $\langle\bar e_n\rangle$ に入るので、$\bar\psi$ は単射であり、$\mathbb{Z}(p^\infty)=\bigcup_nC_n$ なので全射である。$\square$

$0$ でない $x\in\mathbb{Z}(p^\infty)$ は、$k\ge1$ と $p$ で割り切れない整数 $a$ によって $x=a/p^k+\mathbb{Z}$ とただ一通りに書ける（$0< a< p^k$ とすれば一意）。このとき $\langle x\rangle=C_k$ である。実際 $x\in C_k$ であり、$a$ と $p^k$ は互いに素なので $ua\equiv1\pmod{p^k}$ となる整数 $u$ があり（Bézoutの等式）、$ux=c_k$ となるので $C_k=\langle c_k\rangle\subset\langle x\rangle$ である。この $k$ を $x$ の段と呼び、$0$ の段を $0$ とする。$x$ の段が $k$ なら $x\in C_k$ であり、$C_k$ の元の段は $k$ 以下である。
$H$ の元の段に上限がないとする。任意の $n$ について段が $n$ 以上の $h\in H$ があり、その段を $k\ge n$ とすると $C_n\subset C_k=\langle h\rangle\subset H$ である。よって $H\supset\bigcup_nC_n=\mathbb{Z}(p^\infty)$ である。段に上限があるとし、その最大値を $n$、段が $n$ の $H$ の元を $h$ とすると、$C_n=\langle h\rangle\subset H$ であり、$H$ の元はすべて段が $n$ 以下なので $H\subset C_n$ である。よって $H=C_n$ である。$C_n$ の位数は $p^n$ なので、列の包含はすべて真である。$\square$

1：$C_n$ は位数 $p^n$ なので $\mathbb{Z}(p^\infty)$ は無限である。有限個の元はそれぞれある $C_{n_i}$ に入り、$n:=\max_in_i$ として $C_n$ に入るので、それらが生成する部分群は有限群 $C_n$ に含まれ、全体にならない。
2：$0$ でない部分群は prop-prufer-group-subgroups により $C_n$（$n\ge1$）か全体なので、どれも $C_1\neq0$ を含む。$0$ でない 2 つの部分群の共通部分は $C_1$ を含み $0$ でないので、直和にならない。
3：部分群の真の減少列は、全体から始まっても次は有限群 $C_n$ であり、その先は $C_{n-1},\dots,C_0$ のいくつかなので有限回で止まる。$C_0\subsetneq C_1\subsetneq\cdots$ は止まらない真の増加列である。
4：$x=a/p^k$ について $x=p^n\cdot a/p^{k+n}$ なので $p^n$ 倍写像は全射であり、その核は $p^nx=0$ となる $x$ 全体、すなわち $C_n$ である（def-prufer-group の後の段落）。群準同型 の記事の定理「群の第1同型定理」により $\mathbb{Z}(p^\infty)/C_n\cong\mathbb{Z}(p^\infty)$ である。$\square$

2 ⇒ 1 は prop-prufer-group-subgroups と cor-prufer-group-consequences の 1 である。$p$ の一意性は、$\mathbb{Z}(p^\infty)$ の $0$ でない元の位数が $p$ の冪であることによる。
1 ⇒ 2 を示す。$G$ は 1 を満たすとする。
段階 1（捩れ群であること）。無限の位数の元 $x$ があるとすると、$\langle 2x\rangle$ は無限群なので $G$ に等しく、$x=m\cdot2x$ となる整数 $m$ がある。$(2m-1)x=0$ で $2m-1\neq0$ となり、$x$ の位数が無限であることに反する。よって $G$ のすべての元は有限の位数をもつ。
段階 2（$p$ 群であること）。素数 $p$ について、位数が $p$ の冪である元全体を $G_p$、位数が $p$ と互いに素である元全体を $G_{p'}$ とする。どちらも部分群である（$G$ は可換なので、$p^kx=p^ly=0$ なら $p^{\max(k,l)}(x-y)=0$、$mx=ny=0$ なら $mn(x-y)=0$）。位数 $m=p^km'$（$p\nmid m'$）の元 $x$ について、Bézoutの等式により $up^k+vm'=1$ となる整数 $u,v$ をとると、$x=vm'x+up^kx$ で、$p^k(vm'x)=0$、$m'(up^kx)=0$ なので $vm'x\in G_p$、$up^kx\in G_{p'}$ である。$G_p\cap G_{p'}$ の元の位数は $p$ の冪で $p$ と互いに素なので $1$ であり、$G=G_p\oplus G_{p'}$ である。$G_p$ と $G_{p'}$ がどちらも $0$ でなければ、どちらも $G$ と異なるので有限であり、$G$ も有限になって矛盾する。よって各素数 $p$ について $G_p=0$ か $G=G_p$ である。$G\neq0$ なので位数 $m>1$ の元 $x$ があり、$m$ の素因数 $p$ について $(m/p)x$ は位数 $p$ の元なので $G_p\neq0$、すなわち $G=G_p$ は $p$ 群である。
段階 3（可除であること）。$G[p]:=\{x\in G\mid px=0\}$ とおく。$G[p]=G$ なら、$G$ は $\mathbb{F}_p=\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ 上のベクトル空間であり、無限集合なので無限次元である。基底 $(v_i)_{i\in I}$ から 1 つの $v_{i_0}$ を除いたものが張る部分空間は、無限で $G$ と異なる部分群になり、矛盾する。よって $G[p]\neq G$ であり、$G[p]$ は有限である。$p$ 倍写像 $G\to G$ の核は $G[p]$、像は $pG$ である。$pG\neq G$ なら $pG$ は有限であり、$G/G[p]\cong pG$（群の第1同型定理）から $G$ は有限になって矛盾する。よって $pG=G$ である。$p$ と異なる素数 $q$ と $x\in G$ について、$x$ の位数 $p^k$ は $q$ と互いに素なので、$uq+vp^k=1$ となる整数 $u,v$ をとれば $x=q(ux)+v(p^kx)=q(ux)$ であり、$x\in qG$ である。可除群 の記事の命題「素数による判定」により、$G$ は可除群である。
段階 4（構造定理の適用）。可除群 の記事の定理「可除群の構造定理」により、$G\cong\mathbb{Q}^{(I)}\oplus\bigoplus_r\mathbb{Z}(r^\infty)^{(I_r)}$（$r$ は素数を動く）と書ける。$G$ は $p$ 群なので、無限の位数の元をもつ $\mathbb{Q}$ と、位数 $r\neq p$ の元をもつ $\mathbb{Z}(r^\infty)$（$r\neq p$）は現れず、$I=\emptyset$、$I_r=\emptyset$（$r\neq p$）である。よって $G\cong\mathbb{Z}(p^\infty)^{(J)}$ であり、$G\neq0$ なので $J\neq\emptyset$ である。$J$ が 2 個以上の元をもてば、1 つの成分 $\mathbb{Z}(p^\infty)$ は $G$ と異なる無限部分群になり、矛盾する。よって $J$ は 1 点で、$G\cong\mathbb{Z}(p^\infty)$ である。$\square$

$\varphi\in\operatorname{End}(\mathbb{Z}(p^\infty))$ とする。$C_n$ は $p^nx=0$ を満たす元全体なので、$\varphi(C_n)\subset C_n$ である。$C_n$ は位数 $p^n$ の巡回群で $c_n$ が生成するので、$\varphi(c_n)=a_nc_n$ となる $a_n\in\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$ がただ 1 つある（整数の代表元をとって $a_nc_n$ と書く）。$pc_{n+1}=c_n$ から
$$ a_nc_n=\varphi(c_n)=p\,\varphi(c_{n+1})=pa_{n+1}c_{n+1}=a_{n+1}c_n $$
なので $a_{n+1}\equiv a_n\pmod{p^n}$ であり、$\Phi(\varphi):=(a_n)_n\in\mathbb{Z}_p$ が定まる。
逆に $(a_n)_n\in\mathbb{Z}_p$ が与えられたとき、各 $a_n$ の整数の代表元 $\tilde a_n$ をとり、$x\in C_n$ について $\varphi(x):=\tilde a_nx$ と定める。$p^nx=0$ なので代表元のとり方によらず、$x\in C_n\subset C_{n+1}$ なら $\tilde a_{n+1}-\tilde a_n$ が $p^n$ で割り切れるので $\tilde a_{n+1}x=\tilde a_nx$ であり、$n$ のとり方にもよらない。$x,y$ を同じ $C_n$ に入れれば $\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)$ であり、$\varphi$ は準同型で $\Phi(\varphi)=(a_n)_n$ である。準同型は各 $c_n$ の像で決まる（$\mathbb{Z}(p^\infty)=\bigcup_nC_n$、$C_n=\langle c_n\rangle$）ので、$\Phi$ は全単射である。
$\Phi(\varphi)=(a_n)$、$\Phi(\psi)=(b_n)$ なら $(\varphi+\psi)(c_n)=(a_n+b_n)c_n$、$(\varphi\circ\psi)(c_n)=\varphi(b_nc_n)=b_na_nc_n$ であり、恒等写像は $(1)_n$ に対応するので、$\Phi$ は環の同型である。自己同型群は $\operatorname{End}$ の単元群なので $\mathbb{Z}_p^\times$ と同型である。$\square$