Pappusの六角形定理

方針：直線 $AB'$、$CA'$、$BC'$ が作る三角形 $UVW$ に、直線 $A'B$、$B'C$、$C'A$ で Menelaus の定理を使った 3 つの式を掛け、直線 $\ell$、$m$ で使った 2 つの式で割る。6 つの頂点についての比がすべて消え、$X,Y,Z$ についての比だけが残る。ここでは、3 本の直線 $AB'$、$CA'$、$BC'$ がどの 2 本も交わり、1 点で交わらない場合（一般の場合）を示す。残りの場合も含む証明は prf-pap-cubic で与える。
段 1（三角形 $UVW$）。$U=AB'\cap CA'$、$V=CA'\cap BC'$、$W=BC'\cap AB'$ とする。直線 $UV$ は $CA'$、直線 $VW$ は $BC'$、直線 $WU$ は $AB'$ である。
段 2（頂点でないこと）。段 3・段 4 で使う 9 個の点 $A,B,C,A',B',C',X,Y,Z$ が三角形の頂点でないことを確かめる。例として $A'$ を見る。$A'$ は直線 $CA'$（$UV$）の上にある。$A'=U$ なら $A'$ は直線 $AB'$ の上にあり、直線 $AB'$ と $m$ の共有点は $B'$ だけ（$A$ は $m$ の上にない）なので $A'=B'$ となって矛盾する。$A'=V$ なら $A'$ は直線 $BC'$ の上にあり、同じ理由で $A'=C'$ となって矛盾する。$X$ を見る。$X$ は直線 $AB'$（$WU$）の上にある。$X=U$ なら $X$ は直線 $CA'$ と $A'B$ の両方の上にあり、この 2 直線は $A'$ で交わる異なる直線（$B\ne C$）なので $X=A'$ となり、$A'$ が直線 $AB'$ の上にあることになって上と同じ矛盾が起きる。$X=W$ なら $X$ は直線 $BC'$ と $A'B$ の両方の上にあり $X=B$ となって、$B$ が直線 $AB'$ の上、つまり $B=A$ となり矛盾する。残りの点も、同じく「$\ell$ と $m$ の上の点は 3 点ずつ相異なる」「$\ell$ の点は $m$ の上にない（逆も）」ことから確かめられる。
段 3（掛ける 3 つの式）。thm-pap-menelaus を 3 本の直線に使う。直線 $A'B$ は $UV$ の上の $A'$、$VW$ の上の $B$、$WU$ の上の $X$ を通り、直線 $B'C$ は $UV$ の上の $C$、$VW$ の上の $Z$、$WU$ の上の $B'$ を通り、直線 $C'A$ は $UV$ の上の $Y$、$VW$ の上の $C'$、$WU$ の上の $A$ を通る。よって
$$ \frac{UA'}{A'V}\cdot\frac{VB}{BW}\cdot\frac{WX}{XU}=-1,\qquad \frac{UC}{CV}\cdot\frac{VZ}{ZW}\cdot\frac{WB'}{B'U}=-1,\qquad \frac{UY}{YV}\cdot\frac{VC'}{C'W}\cdot\frac{WA}{AU}=-1 $$
である。
段 4（割る 2 つの式）。直線 $\ell$ は $UV$ の上の $C$、$VW$ の上の $B$、$WU$ の上の $A$ を通り、直線 $m$ は $UV$ の上の $A'$、$VW$ の上の $C'$、$WU$ の上の $B'$ を通る。よって
$$ \frac{UC}{CV}\cdot\frac{VB}{BW}\cdot\frac{WA}{AU}=-1,\qquad \frac{UA'}{A'V}\cdot\frac{VC'}{C'W}\cdot\frac{WB'}{B'U}=-1 $$
である。
段 5（まとめる）。段 3 の 3 つの式の積を、段 4 の 2 つの式の積で割る。段 4 に現れる 6 つの比 $\dfrac{UC}{CV}$、$\dfrac{VB}{BW}$、$\dfrac{WA}{AU}$、$\dfrac{UA'}{A'V}$、$\dfrac{VC'}{C'W}$、$\dfrac{WB'}{B'U}$ は、段 3 にもちょうど 1 回ずつ現れるので約分される。残るのは
$$ \frac{UY}{YV}\cdot\frac{VZ}{ZW}\cdot\frac{WX}{XU}=\frac{(-1)^3}{(-1)^2}=-1 $$
である。$Y,Z,X$ はそれぞれ直線 $UV$、$VW$、$WU$ の上にあって頂点ではない（段 2）ので、thm-pap-menelaus の逆向きにより $X,Y,Z$ は一直線上にある。$\square$

方針：$O$ を原点にとり、$\ell$ と $m$ の向きのベクトルで 6 点を表す。「2 本の直線が平行」を符号付き面積 $D$ が $0$ になることで表すと、「$OA$ と $OA'$ の積が $OB$ と $OB'$ の積に等しい」という形になる。
段 1（表し方）。$\ell$、$m$ の向きのベクトルを $\boldsymbol u$、$\boldsymbol v$ とする。2 直線は平行でないので、$\boldsymbol u=(u_1,u_2)$、$\boldsymbol v=(v_1,v_2)$ について $D(\boldsymbol u,\boldsymbol v):=u_1v_2-u_2v_1\ne0$ である。位置ベクトルで $A=a\boldsymbol u$、$B=b\boldsymbol u$、$C=c\boldsymbol u$、$A'=a'\boldsymbol v$、$B'=b'\boldsymbol v$、$C'=c'\boldsymbol v$ と書ける（位置ベクトルと内分点）。どの点も $O$ でないので、6 つの数はどれも $0$ でない。
段 2（平行の条件）。2 つのベクトルが平行であることは、$D$ が $0$ であることと同じである（1次変換と行列式：面積の拡大率）。$D$ は成分の式なので、$D(\boldsymbol u,\boldsymbol u)=0$、$D(\boldsymbol v,\boldsymbol u)=-D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)$、$D(s\boldsymbol p+t\boldsymbol q,\boldsymbol r)=sD(\boldsymbol p,\boldsymbol r)+tD(\boldsymbol q,\boldsymbol r)$（右側の変数でも同じ）が成り立つ。これを使うと
$$ D(\overrightarrow{AB'},\overrightarrow{A'B})=D(b'\boldsymbol v-a\boldsymbol u,\ b\boldsymbol u-a'\boldsymbol v)=b'b\,D(\boldsymbol v,\boldsymbol u)+aa'\,D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)=(aa'-bb')\,D(\boldsymbol u,\boldsymbol v) $$
である（$D(\boldsymbol v,\boldsymbol v)=D(\boldsymbol u,\boldsymbol u)=0$ の項は消えた）。$D(\boldsymbol u,\boldsymbol v)\ne0$ なので、$AB'\parallel A'B$ は $aa'=bb'$ と同値である。
段 3（残りの 2 組）。段 2 の $b,b'$ を $c,c'$ に替えると、$AC'\parallel A'C$ は $aa'=cc'$ と同値である。$a,a'$ を $b,b'$ に、$b,b'$ を $c,c'$ に替えると、$BC'\parallel B'C$ は $bb'=cc'$ と同値である。
段 4（結論）。仮定から $aa'=bb'$ かつ $aa'=cc'$ なので $bb'=cc'$ であり、段 3 により $BC'\parallel B'C$ である。$\square$

方針：$\ell$ の上で $0$ になるように $\lambda$ を選んで $G:=L_1+\lambda L_2$ を作る。$G$ は $\ell$ の式で割り切れ、商は $m$ の上でも $0$ になるので $m$ の式でも割り切れる。最後に残る 1 次式が Pappus の直線である。この証明は、$\ell$ と $m$ が平行な場合も含め、交点 $X,Y,Z$ があるときにいつも使える。
段 1（直線の上で $0$ になる多項式は割り切れる）。直線 $h(x,y):=\alpha x+\beta y+\gamma=0$（$\beta\ne0$ とする。$\beta=0$ なら $x$ と $y$ の役割を入れ替える）の上のすべての点で $0$ になる多項式 $G(x,y)$ は、$G=h\,G_1$（$G_1$ は次数が $G$ より 1 以上低い多項式）と書ける。実際、$y=\dfrac{h-\alpha x-\gamma}\beta$ を $G$ に代入して $x$ と $h$ の多項式として整理すると $G=g_0(x)+h\,G_1$ の形になる（$h$ の 1 次以上の項をまとめて $h\,G_1$ とした）。直線の上では $h=0$ で、そこでは $x$ は任意の実数をとるので、$g_0(x)=0$ がすべての $x$ で成り立ち、多項式 $g_0$ は $0$ である。
段 2（$\lambda$ を選ぶ）。$\ell$ の上の点を $P_0+t\boldsymbol w$ と表す。$L_1(P_0+t\boldsymbol w)$ と $L_2(P_0+t\boldsymbol w)$ は $t$ の 3 次以下の多項式 $g_1(t)$、$g_2(t)$ で、どちらも $A,B,C$ にあたる相異なる 3 つの値 $t_A,t_B,t_C$ で $0$ になる。因数定理により $g_k(t)=c_k(t-t_A)(t-t_B)(t-t_C)$（$c_k$ は定数）である（剰余の定理と因数定理）。$L_2$ の 3 本の直線 $B'C$、$A'B$、$C'A$ はどれも $m$ の点を通るので $\ell$ と異なり、$\ell$ と 1 点以下でしか交わらない。よって $g_2$ が $0$ になる $t$ は 3 個以下で、$c_2\ne0$ である。$\lambda:=-\dfrac{c_1}{c_2}$ とおくと、$G:=L_1+\lambda L_2$ は $\ell$ の上のすべての点で $0$ になる。
段 3（$\ell$ と $m$ で割る）。段 1 により $G=h_\ell\,G_1$ と書ける（$h_\ell=0$ は $\ell$ の式、$G_1$ は 2 次以下）。$A'$ は $L_1$ の直線 $CA'$ と $L_2$ の直線 $A'B$ の上にあるので $G(A')=0$ で、$A'$ は $\ell$ の上にないので $h_\ell(A')\ne0$、したがって $G_1(A')=0$ である。同じく $G_1(B')=G_1(C')=0$ である。$m$ の上で $G_1$ は 2 次以下の多項式になり、相異なる 3 つの値で $0$ になるので、恒等的に $0$ である（$0$ でない 2 次以下の多項式の根は 2 個以下）。段 1 により $G_1=h_m H$ と書ける（$h_m=0$ は $m$ の式、$H$ は 1 次以下）。よって $G=h_\ell\,h_m\,H$ である。
段 4（$H$ は $0$ でない）。$H=0$ とすると $G=0$、つまり $L_1=-\lambda L_2$ である。$\lambda=0$ なら $L_1=0$ となるが、$0$ でない 1 次式の積は $0$ でないので、$\lambda\ne0$ であり、$L_1=0$ の図形と $L_2=0$ の図形は一致する。すると直線 $AB'$ は 3 本の直線 $B'C$、$A'B$、$C'A$ の和に含まれる。直線 $AB'$ はこの 3 本のどれとも異なる（$AB'=B'C$ なら $A,C$ を通るので $\ell$ に一致し $B'$ が $\ell$ の上に、$AB'=A'B$ なら $A,B$ を通るので $\ell$ に一致し、$AB'=C'A$ なら $B',C'$ を通るので $m$ に一致し $A$ が $m$ の上にあることになる）。異なる直線とは 1 点以下でしか交わらないので、$AB'$ の点のうち 3 個以下しか含まれず、矛盾する。よって $H\ne0$ である。
段 5（$X,Y,Z$ は直線 $H=0$ の上）。$G(X)=0$ である。$X$ は $\ell$ の上にない（$\ell$ の上にあれば、直線 $AB'$ と $\ell$ の共有点なので $X=A$、直線 $A'B$ と $\ell$ の共有点なので $X=B$ となり、$A\ne B$ に反する）。同じく $m$ の上にもない（$X=B'$ かつ $X=A'$ になる）。よって $h_\ell(X)h_m(X)\ne0$ で、$H(X)=0$ である。$Y,Z$ も同じである。$H$ が $0$ でない定数なら $H(X)=0$ にならないので、$H$ はちょうど 1 次の式で、$H=0$ は直線である。$X,Y,Z$ はこの直線の上にある。$\square$