Chowの移動補題
概要
Chowの移動補題（Chow's moving lemma）とは、代数閉体上の非特異な既約準射影多様体 $X$ のサイクル $\alpha,\beta$ について、$\alpha$ を有理同値なサイクル $\alpha'$ に取り替えれば $\alpha'$ と $\beta$ が固有に交わり、交叉サイクル $\alpha'\cdot\beta$ の有理同値類は $\alpha'$ の取り方によらないという定理である。これにより Chow 群の上の交叉積が定まり、Chow 環が得られる。余次元 $1$ のサイクルと射影空間の場合は短く証明でき、動かした $\alpha'$ は一般には有効にとれない。
2 つの部分多様体の交わりから交点数や交叉サイクルを読むには、交わりが「期待される次元」をもつ必要がある。ところが部分多様体どうしはしばしば悪い位置にある。射影平面の直線とそれ自身の交わりは直線全体であり、点にならない。Chow の移動補題は、一方のサイクルを有理同値の範囲で動かせば、もう一方と固有に交わる位置（期待される次元で交わる位置）にもってこられること、そしてその交わりの有理同値類が動かし方によらないことを述べる。これにより、固有に交わる場合にだけ定まる交叉サイクルが、非特異な準射影多様体の Chow 群全体の上の積に延び、Chow 環が定まる。
| 問い | この記事の答え |
|---|---|
| 何を主張するか | 非特異な既約準射影多様体の上で、サイクルを有理同値で動かして固有な交わりにでき、交わりの類は動かし方によらない（thm-cml-main） |
| 何に使うか | Chow 群の上の交叉積と Chow 環の構成（cor-cml-product） |
| この記事で証明する場合 | 余次元 $1$ のサイクル（prop-cml-divisor）と射影空間（prop-cml-projective） |
| 動かした後のサイクルは有効にとれるか | 一般にはとれない。負の係数が要る（ex-cml-blowup） |
| 非特異性は外せるか | 外せない。特異点のある曲面の例で、整数値の交点数が定まらない（ex-cml-counterexamples） |
設定
この記事を通して $k$ を代数閉体とする。多様体とは $k$ 上分離的で有限型の整スキームをいい、多様体 $X$ の部分多様体とは整な閉部分スキームをいう。$X$ が非特異とは、すべての局所環が正則局所環であることをいう。
$X$ を $n$ 次元の多様体とする。余次元 $i$ の部分多様体を基底とする自由アーベル群を $Z^i(X)$ と書き、その元を余次元 $i$ のサイクルという。サイクル $\alpha=\sum_ln_l[V_l]$（$V_l$ は相異なり $n_l\ne0$）について、$V_l$ を $\alpha$ の成分という。余次元 $i-1$ の部分多様体 $V$ と $V$ の有理関数 $r\ne0$ の因子 $\operatorname{div}(r)\in Z^i(X)$ が生成する部分群を $\operatorname{Rat}^i(X)$ とし、差が $\operatorname{Rat}^i(X)$ に属する 2 つのサイクルを有理同値といって $\alpha\sim\alpha'$ と書く。$CH^i(X):=Z^i(X)/\operatorname{Rat}^i(X)$ が余次元 $i$ の Chow 群である（詳しくは 有理同値 の定義「有理同値とChow群」）。$X$ が非特異なら $CH^1(X)$ は Picard 群 $\operatorname{Pic}(X)$ と同型であり、余次元 $1$ の有理同値は Weil 因子の線型同値と一致する（有理同値 の命題「余次元1の有理同値は線型同値」）。
非特異多様体の上では、$V\cap W$ の既約成分の余次元はつねに $i+j$ 以下である（Serre の次元不等式。交叉理論 の節「高次元の交叉重複度と Serre の Tor 公式」）。したがって固有に交わるとき、空でない交わりの既約成分の余次元はちょうど $i+j$ である。射影空間の中では、この下界は 射影次元定理 の定理「射影次元定理」の 1 そのものである。
固有に交わる $V,W$ と $V\cap W$ の既約成分 $Z$ には、Serre の Tor 公式による交叉重複度
$$
i(Z;V,W):=\sum_{m\ge0}(-1)^m\operatorname{length}_A\operatorname{Tor}^A_m(A/I_V,A/I_W)\qquad(A:=\mathcal{O}_{X,Z})
$$
が定まる（Serreの交叉重複度公式 の定義「Serre の交叉重複度」。$I_V,I_W$ は $V,W$ のイデアル）。これは正の整数であり、$V$ と $W$ が $Z$ の生成点で非特異かつ横断的に交わるなら $1$ である（同記事の定理「正値性（Serre）」、交叉理論 の同じ節）。固有に交わるサイクル $\alpha=\sum_ln_l[V_l]$ と $\beta=\sum_mm_m[W_m]$ には、双線型に
$$
\alpha\cdot\beta:=\sum_{l,m}n_lm_m\sum_{Z}i(Z;V_l,W_m)[Z]\in Z^{i+j}(X)
$$
で交叉サイクルを定める（内側の和は $V_l\cap W_m$ の既約成分 $Z$ にわたる）。これはサイクルの段階で定まる対象であり、有理同値類を見るのは次の定理である。
主定理
$X$ を $n$ 次元の非特異な既約準射影多様体とし、$\alpha\in Z^i(X)$、$\beta\in Z^j(X)$ とする。
- $\alpha$ に有理同値なサイクル $\alpha'$ で、$\alpha'$ と $\beta$ が固有に交わるものが存在する。
- $\alpha',\alpha''$ がともに $\alpha$ に有理同値で、どちらも $\beta$ と固有に交わるなら、$\alpha'\cdot\beta\sim\alpha''\cdot\beta$ である。
この記事では一般の場合の証明はしない。言明は Har77 Appendix A, §1（p. 427）にあり、そこでは Chevalley と Roberts による証明があると述べられている。下の節「一般の場合の証明の筋」に証明の方針を述べる。2 は次のように言い換えられる：$\gamma\in Z^i(X)$ が $0$ に有理同値で $\beta$ と固有に交わるなら $\gamma\cdot\beta\sim0$ である。実際 $\gamma:=\alpha'-\alpha''$ に当てればよく、逆も同じである。
移動補題が保証するのは類の一致であって、サイクルとしての一致ではない。射影平面 $\mathbb{P}^2$ の直線 $L$ とそれ自身は固有に交わらないが、別の直線 $L'$（$L'\sim L$）とは 1 点 $L\cap L'$ で横断的に交わる。$L'$ の取り方で交点は変わるが、どの 2 点 $P,P'$ も有理同値である（$P,P'$ を通る直線 $M\cong\mathbb{P}^1$ の上で、$P,P'$ で消える 1 次式の比 $r$ について $\operatorname{div}(r)=[P]-[P']$）。
thm-cml-main の $X$ について、$\alpha\in Z^i(X)$ と $\beta\in Z^j(X)$ に、1 の $\alpha'$ をとって $[\alpha]\cdot[\beta]:=[\alpha'\cdot\beta]$ と定めると、双線型な積
$$
CH^i(X)\times CH^j(X)\to CH^{i+j}(X)
$$
が well-defined に定まる。
$\alpha'$ の取り方によらないことは thm-cml-main の 2 である。$\beta$ の有理同値類にしかよらないことを示す。$\beta\sim\beta_1$ とする。$\beta$ と $\beta_1$ の成分をすべて集めたサイクル $\delta$（係数をすべて $1$ にしたもの）に 1 を当てて、$\delta$ と固有に交わる $\alpha'\sim\alpha$ をとる。$\alpha'$ は $\beta$ とも $\beta_1$ とも固有に交わる。$\alpha'\cdot\beta$ と $\alpha'\cdot\beta_1$ が有理同値であることは、交叉サイクルの対称性 $\alpha'\cdot\beta=\beta\cdot\alpha'$（Tor の対称性）と、2 を $\beta$ の側（$\beta,\beta_1$ がともに $\beta$ に有理同値で $\alpha'$ と固有に交わる）に当てることから従う。$\alpha$ を有理同値なサイクルに替えても、同じ $\alpha'$ が使えるので類は変わらない。双線型性は、$\alpha_1,\alpha_2$ に対しては両方の $\alpha'$ を同じ $\beta$ について選び、$\beta_1,\beta_2$ に対しては上の $\delta$ と同じく両方の成分を集めたサイクルと固有に交わる $\alpha'$ を選べば、交叉サイクルの双線型性から従う。$\square$
こうして得られる積で $CH^*(X):=\bigoplus_iCH^i(X)$ は $[X]$ を単位元とする可換な次数付き環になる。これが Chow環 であり、結合律・引き戻し・射影公式を含む性質は Chow環 の定理「交叉積」と Har77 Appendix A, Theorem 1.1（p. 427）による。Har77 は、移動補題で固有な交わりに帰着し、対角線への帰着・局所性・正規化の公理で積が一意に決まることを示す（pp. 427–428）。
上の証明で使ったように、1 は同じ余次元の有限個のサイクルに同時に当てられる。
thm-cml-main の $X$ と $\alpha\in Z^i(X)$、同じ余次元 $j$ の有限個のサイクル $\beta_1,\dots,\beta_m\in Z^j(X)$ に対し、$\alpha$ に有理同値で $\beta_1,\dots,\beta_m$ のすべてと固有に交わる $\alpha'$ が存在する。
$\beta_1,\dots,\beta_m$ の成分の全体を $T_1,\dots,T_r$（相異なる）とし、$\delta:=\sum_l[T_l]\in Z^j(X)$ とおく。$\delta$ の成分はちょうど $T_1,\dots,T_r$ である（係数がすべて $1$ なので打ち消し合わない）。thm-cml-main の 1 を $\alpha$ と $\delta$ に当てた $\alpha'$ は、各 $T_l$ と固有に交わるので、各 $\beta_s$ と固有に交わる。$\square$
証明できる場合
一般の場合の 1 の証明は長いが、次の 2 つの場合は短く完全に示せる。どちらも「動かす相手の成分の生成点を避ける」という同じ考え方による。
余次元 1 のサイクル
$X$ を $n$ 次元の非特異な既約準射影多様体、$\alpha\in Z^1(X)$、$\beta\in Z^j(X)$ とする。このとき $\alpha$ に有理同値なサイクル $\alpha'$ で、$\beta$ と固有に交わるものが存在する。さらに $\alpha'$ は 2 つの有効なサイクルの差 $\alpha'=\alpha_1-\alpha_2$ にとれ、$\alpha_1,\alpha_2$ の成分はどれも $\beta$ のどの成分も含まない。
$\beta$ の成分を $T_1,\dots,T_r$、その生成点を $\eta_1,\dots,\eta_r$ とし、$E:=\{\eta_1,\dots,\eta_r\}$ とおく。
豊富な可逆層があること：$X$ は射影空間 $\mathbb{P}^N_k$ の局所閉部分多様体であり、Noether 的なのでこの埋め込みは準コンパクトな埋め込みである。よって $X\to\operatorname{Spec}k$ は Stacks の意味で準射影的で（Stacks Tag 01VY）、相対的に豊富な可逆層をもつ。底がアフィンなので、それは $X$ の上の豊富な可逆層である（Stacks Tag 01VK）。
因子の取り替え：$X$ は非特異なので、Weil 因子 $\alpha$ には可逆層 $\mathcal{O}_X(\alpha)$ が対応する（Chow環 の定理「Picard群と余次元1のChow群」）。$X$ は豊富な可逆層をもつ Noether スキームなので、Stacks Tag 0AYM により、有効 Cartier 因子 $D_1,D_2$ で
$$
\mathcal{O}_X(\alpha)\cong\mathcal{O}_X(D_1)\otimes\mathcal{O}_X(D_2)^{-1},\qquad E\cap D_1=E\cap D_2=\emptyset
$$
となるものがとれる。$D_s$ に対応する Weil 因子（有効なサイクル）を $\alpha_s$ とし、$\alpha':=\alpha_1-\alpha_2$ とおく。$\mathcal{O}_X(\alpha)\cong\mathcal{O}_X(\alpha')$ であり、同じ定理の同型 $\operatorname{Pic}(X)\cong CH^1(X)$ により $\alpha\sim\alpha'$ である。
固有に交わること：$\alpha_s$ の成分 $W$ は、閉部分スキーム $D_s$ の台に含まれる。$T_l$ が $D_s$ の台に含まれるなら、その生成点 $\eta_l$ も $D_s$ に属し、$E\cap D_s=\emptyset$ に反する。よって $T_l\not\subset D_s$ であり、とくに $W\not\supset T_l$ である。$W\cap T_l$ は既約な $T_l$ の真の閉部分集合なので、その既約成分の次元はすべて $\dim T_l-1=n-j-1$ 以下である。これは余次元が $j+1$ 以上ということであり、$W$ と $T_l$ は固有に交わる。$\alpha'$ の成分は $\alpha_1$ と $\alpha_2$ の成分の中にあるので、$\alpha'$ と $\beta$ は固有に交わる。$\square$
ここで使った Stacks Tag 0AYM は、豊富な可逆層 $\mathcal{L}$ の十分高い冪の切断で有限個の点を避けるという議論であり、余次元 $1$ では「切断の零点で動かす」ことが移動のすべてである。余次元 $2$ 以上のサイクルは一般に切断の零点として表せないので、この議論はそのままは延びない。
射影空間
射影空間では、余次元 $i$ のサイクルはどれも線型部分空間の整数倍に有理同値であり、線型部分空間は一般の位置に選べる。
$p_1,\dots,p_s$ を $\mathbb{P}^n$ の閉点とする。どの $p_t$ も通らない超平面が存在する。
$p_t=(p_{t,0}:\dots:p_{t,n})$ と書く。超平面 $H_a:=V(a_0x_0+\cdots+a_nx_n)$（$a\in k^{n+1}\setminus\{0\}$）が $p_t$ を通らないことは $\ell_t(a):=\sum_ea_ep_{t,e}\ne0$ と同値である。各 $\ell_t$ は $a$ の $0$ でない 1 次式なので、積 $F:=\ell_1\cdots\ell_s$ は $0$ でない多項式である。$k$ は代数閉体なので無限体であり、無限体の上の $0$ でない多項式は値が $0$ でない点 $a\in k^{n+1}$ をもつ（変数の個数についての帰納法）。その $a$ について $H_a$ がどの $p_t$ も通らない。$\square$
$T_1,\dots,T_r$ を $\mathbb{P}^n$ の既約な閉集合、$0\le c\le n$ とする。余次元 $c$ の線型部分空間 $L$ で、各 $l$ について $L\cap T_l$ の既約成分の次元がすべて $\dim T_l-c$ 以下（とくに $\dim T_l< c$ なら $L\cap T_l=\emptyset$）となるものが存在する。
$c$ についての帰納法で示す。$c=0$ なら $L=\mathbb{P}^n$ でよい。$c\ge1$ とし、余次元 $c-1$ の $L_{c-1}$ が主張を満たすとする。$L_{c-1}\cap T_l$（$l=1,\dots,r$）の既約成分の全体を $Z_1,\dots,Z_s$ とし（Noether 空間なので有限個）、各 $Z_t$ の閉点を 1 つずつと、$L_{c-1}$ の閉点を 1 つ選ぶ。lem-cml-hyperplane により、それらのどれも通らない超平面 $H$ がある。$H\not\supset L_{c-1}$ なので $L_c:=L_{c-1}\cap H$ は余次元 $c$ の線型部分空間である。$L_c\cap T_l=\bigcup_t(H\cap Z_t)$（$t$ は $L_{c-1}\cap T_l$ の成分をわたる）なので、$L_c\cap T_l$ の既約成分 $Y$ はある $H\cap Z_t$ に含まれる。$H\not\supset Z_t$ より $H\cap Z_t$ は既約な $Z_t$ の真の閉集合で、$\dim Y\le\dim Z_t-1\le(\dim T_l-c+1)-1$ である。$\square$
$\alpha\in Z^i(\mathbb{P}^n)$、$\beta\in Z^j(\mathbb{P}^n)$ とする。このとき余次元 $i$ の線型部分空間 $L$ と整数 $d$ で、$\alpha\sim d[L]$ かつ $d[L]$ と $\beta$ が固有に交わるものが存在する。
Chow環 の定理「射影空間のChow環」の証明の第 1 段落（局所化完全列とアフィン空間の Chow 群による。交叉積を使わない）により、$CH^i(\mathbb{P}^n)$ は余次元 $i$ の線型部分空間の類で生成され、どの 2 つの余次元 $i$ の線型部分空間も有理同値である。よって、どの余次元 $i$ の線型部分空間 $L$ についても、ある整数 $d$ で $\alpha\sim d[L]$ となる。$\beta$ の成分 $T_1,\dots,T_r$ に lem-cml-linear を $c=i$ で当てて $L$ を選ぶと、$L\cap T_l$ の既約成分の次元は $\dim T_l-i=n-j-i$ 以下であり、$L$ と $T_l$ は固有に交わる。$d=0$ なら $\alpha':=0$ が $\beta$ と固有に交わる。$\square$
この 2 つの命題は thm-cml-main の 1 だけを示している。2（類の一意性）は、射影空間の場合でも thm-cml-main の引用によっている。
標数 $0$ では、群が推移的に作用する多様体（等質空間）の上で、サイクルを群の一般の元で平行移動すれば固有な交わりが得られる。
詳しく見る
$X$ を群多様体 $G$ の等質空間とすると、Kleimanの横断性定理 の定理「Kleimanの横断性定理」により、非特異な部分多様体 $Y,Z$ と一般の $\sigma\in G(k)$ について $\sigma Y\cap Z$ は空かまたは期待される次元をもつ。特異な部分多様体は非特異な局所閉部分多様体の有限個の和に分けて同じ定理を当てればよい。Grassmann 多様体 $\operatorname{Gr}(m,k^n)$ と $G=\mathrm{GL}_n$ の場合は、$[\sigma V]=[V]$ が $CH_*$ で成り立つので（Schubertカルキュラス の補題「類は旗によらない」）、$\alpha=\sum_ln_l[V_l]$ に対し $\alpha':=\sum_ln_l[\sigma V_l]$ が移動補題の 1 を満たす。射影空間は $m=1$ の場合である。prop-cml-projective は、射影空間ではこれが標数によらず成り立つことを示している。
一般の場合の証明の筋
thm-cml-main の 1 の証明の筋を述べる（細部は省く）。$\alpha=[Z]$（$Z$ は部分多様体）としてよく、$\beta$ の成分を $T_1,\dots,T_r$ として、超過 $e:=\max_l\bigl(\dim(Z\cap T_l)-(\dim Z+\dim T_l-n)\bigr)$ についての帰納法で示す。$e\le0$ なら固有に交わっている。
- 錐をとる：$X\subset\mathbb{P}^N$ と埋め込み、$\overline{X}$ と交わらない一般の $(N-n-1)$ 次元線型部分空間を頂点とする $Z$ の上の錐 $C\subset\mathbb{P}^N$ を作る。$C$ は $X$ と固有に交わり、交叉サイクルは $C\cdot X=[Z]+\sum_jm_j[Z_j]$ の形になる。頂点を一般に選ぶことで、残りの成分 $Z_j$ は $Z$ より一般の位置にあり、$T_l$ との超過が $Z$ のそれより小さくなるようにできる。
- 錐を動かす：$\mathbb{P}^N$ の射影変換の群の中で恒等変換を通る一般の直線 $g_t$（$t\in\mathbb{P}^1$、$g_0=\mathrm{id}$）をとり、$C_t:=g_t(C)$ の族を考える。どの $t$ でも $C_t$ は $X$ と固有に交わり、$t=\infty$ では $C_\infty$ は各 $T_l$ とも一般の位置にあって、$C_\infty\cdot X$ は $\beta$ と固有に交わる。
- まとめる：$\mathbb{P}^1$ の族の 2 つのファイバーなので $C_0\cdot X\sim C_\infty\cdot X$ であり、
$$ [Z]=C_0\cdot X-\sum_jm_j[Z_j]\sim C_\infty\cdot X-\sum_jm_j[Z_j] $$
となる。帰納法の仮定で各 $[Z_j]$ を $\beta$ と固有に交わるサイクルに有理同値に取り替えれば、$[Z]$ を移動できたことになる。
2（類の一意性）も同じ形の帰納法で示す。核になるのは、$X\times\mathbb{P}^1$ の部分多様体 $\mathcal{W}$ で $\mathbb{P}^1$ を支配するものと部分多様体 $V$ について、$V$ が 2 つのファイバー $\mathcal{W}_a,\mathcal{W}_b$ の両方と固有に交わるなら $[V]\cdot[\mathcal{W}_a]\sim[V]\cdot[\mathcal{W}_b]$ となることである。これは交叉重複度の結合律と射影公式から従う。$V$ と $\mathcal{W}_a$ が固有に交わっても、有理同値を与える途中の部分多様体と $V$ が固有に交わるとは限らないので、その場合に 1 の錐の構成で $V$ を取り替える。
移動補題は「積を定めるために、まず一般の位置へ動かす」という古典的な方法の要である。これとは別に、対角線 $\Delta\colon X\to X\times X$ への引き戻しを法錐への変形で定める方法がある。交叉積を $\alpha\cdot\beta:=\Delta^!(\alpha\times\beta)$ と定めるもので、サイクルを動かさずに有理同値類の積が直接定まり、準射影とは限らない非特異多様体でも同じ性質が成り立つ（交叉理論 の定理「Fultonの交叉理論」、Chow環 の注意「交叉積の出典と移動補題によらない構成」）。準射影な非特異多様体の上では、2 つの方法で定めた積は一致する。
例と反例
$\mathbb{P}^2$ の直線 $L$ について $\alpha=\beta=[L]$ とする。$L\cap L=L$ は $1$ 次元で、期待される次元 $2-1-1=0$ より大きいので、$\alpha$ と $\beta$ は固有に交わらない。別の直線 $L'$ をとると $L'\sim L$ であり（prop-cml-projective の証明。$L,L'$ を定める 1 次式 $\ell,\ell'$ について $[L']-[L]=\operatorname{div}(\ell'/\ell)$）、$L'\cap L$ は 1 点 $P$ である。$P$ のまわりで $\ell,\ell'$ は正則パラメータ系をなすので交わりは横断的で、$[L']\cdot[L]=[P]$ である。したがって $[L]^2$ は 1 点の類で、その次数は $1$ である。
$\pi\colon\tilde X\to\mathbb{P}^2$ を点 $P$ でのブローアップ、$E:=\pi^{-1}(P)$ を例外曲線とする。$\tilde X$ は非特異な射影曲面である。
- $P$ を通る直線 $\ell$ と通らない直線 $\ell'$ をとり、$\tilde\ell$ を $\ell$ の強変換とする。交叉理論 の例「ブローアップの例外曲線」により、Cartier 因子として $\pi^*\ell=\tilde\ell+E$ であり、$\tilde\ell$ と $E$ はただ 1 点 $Q$ で横断的に交わる。$\ell,\ell'$ を定める 1 次式の比 $f$ について $\operatorname{div}(\pi^*f)=\pi^*\ell'-\pi^*\ell$ であり、$\pi^*\ell'=[\pi^{-1}(\ell')]$（$\pi$ は $E$ の外で同型）は $E$ と交わらない。よって
$$ [E]\sim\alpha':=[\pi^{-1}(\ell')]-[\tilde\ell] $$
であり、$\alpha'$ の 2 つの成分はどちらも $E$ と固有に交わる。$\alpha'\cdot[E]=0-[Q]$ なので、$[E]^2$ は $-1$ 倍の点の類で、次数は $-1$ である。 - $[E]$ に有理同値で $[E]$ と固有に交わる有効なサイクル $\alpha''$ は存在しない。実際、そのような $\alpha''=\sum_ln_l[C_l]$（$n_l>0$）があれば、固有な交わりから $C_l\ne E$ であり、交叉重複度は正なので（Serreの交叉重複度公式 の定理「正値性（Serre）」）$\alpha''\cdot[E]$ は有効な $0$ サイクルで、次数は $0$ 以上である。一方 thm-cml-main の 2 により $\alpha''\cdot[E]\sim\alpha'\cdot[E]$ であり、完備な多様体の $0$ サイクルの次数は有理同値で変わらないので（Chow環 の定理「固有押し出しと平坦引き戻し」の 3）、次数は $-1$ である。これは矛盾である。
したがって移動補題の $\alpha'$ は、$\alpha$ が有効でも一般には有効にとれず、負の係数が要る。
| 変えたこと | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 仮定「$X$ が非特異」を外す | 射影 2 次錐 $X=V(xy-z^2)\subset\mathbb{P}^3$ と頂点を通る直線 $L$ | 有理同値類だけで決まり、横断的な交わりでは点の個数になる整数値の交点数が、$CH^1(X)$ の上に存在しない |
| 動かすことをやめる（$\alpha'=\alpha$ に限る） | $\mathbb{P}^2$ の直線 $L$ と $\alpha=\beta=[L]$ | $\alpha$ と $\beta$ が固有に交わらず、交叉サイクルが定まらない |
| 結論を強める（$\alpha'$ を有効にとる） | $\mathbb{P}^2$ の 1 点のブローアップの例外曲線 $E$ と $\alpha=\beta=[E]$ | $[E]$ に有理同値で $[E]$ と固有に交わる有効なサイクルがない |
2 行目は ex-cml-line、3 行目は ex-cml-blowup の 2 である。1 行目を確かめる。
$\mathbb{P}^3$ の斉次座標を $(x:y:z:w)$ とし、$X:=V(xy-z^2)$、頂点 $O:=(0:0:0:1)$、$L:=V(x,z)\subset X$、$C:=X\cap V(w)$ とする。$xy-z^2$ は既約なので $X$ は既約な曲面であり、偏微分 $y,x,-2z,0$ と方程式が同時に消えるのは $x=y=z=0$ のときだけなので、$X$ は $O$ の外で非特異である（標数 $2$ でも同じ）。$C$ は平面 $w=0$ の中の既約な 2 次曲線 $xy=z^2$ で、$O$ を通らない。
$2[L]\sim[C]$ であること：$f:=x/w$ を $X$ の有理関数とする。$X$ の上で $x=0$ は $z^2=0$ を強いるので $V(x)\cap X=L$、また $V(w)\cap X=C$ であり、$\operatorname{div}(f)$ の台は $L\cup C$ に含まれる。$L$ の生成点で、$y=1$ のアフィン座標では $X\cap V(x)$ の局所環は $k[z,w]_{(z)}/(z^2)$ で長さ $2$ だから、$\operatorname{ord}_L(x)=2$、$\operatorname{ord}_L(w)=0$ である。$C$ の生成点で $X$ は非特異で $X\cap V(w)$ は被約な $C$ だから、$\operatorname{ord}_C(w)=1$、$\operatorname{ord}_C(x)=0$ である。よって $\operatorname{div}(f)=2[L]-[C]$ である。
$L$ と $C$ は 1 点で横断的に交わること：$L\cap C=\{Q\}$、$Q:=(0:1:0:0)$ であり、$Q\ne O$ は $X$ の非特異点である。$y=1$ の座標で $X$ は $x=z^2$ のグラフなので $(z,w)$ が $Q$ のまわりの座標になり、$L$ は $z=0$、$C$ は $w=0$ で与えられる。$z,w$ は $\mathcal{O}_{X,Q}$ の正則パラメータ系なので、交わりは横断的である。
結論：$CH^1(X)$ の上の整数値の双線型形式 $(\ ,\ )$ で、1 点で横断的に交わる曲線の組に $1$ を与えるものがあったとすると、$(L,C)=1$ であり、一方 $(L,C)=(L,2L)=2(L,L)$ は偶数である。これは矛盾である。なお、頂点を通る相異なる 2 直線は $O$ だけで交わるので、成分を固有な交わりへ動かすこと自体はできる。破れているのは交わりの類が整数値で定まることであり、$O$ の局所環が正則でないので Tor 公式の和も有限とは限らない。
関連項目
- 前提: Chow群, 有理同値, 代数的サイクル, Cartier因子, Serreの交叉重複度公式
- 使い所: Chow環, 交叉理論, Schubertカルキュラス
- 比較: Kleimanの横断性定理, Gysin写像, 射影次元定理
- 例: ブローアップ, 2次錐
参考文献
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