立方体集合

必要性。恒等写像、$\delta^{i,\varepsilon}$（成分は $x_1,\ldots,x_{i-1},\varepsilon,x_i,\ldots$）、$\sigma^i$（成分は $x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},\ldots$）は 2 条件をみたす。$f\colon[1]^m\to[1]^n$、$g\colon[1]^n\to[1]^l$ がみたすとき、$(g\circ f)_k$ は $g_k$ が定数ならその定数、$g_k=x_b$ なら $f_b$ なので、1 をみたす。$k< k'$ で $(g\circ f)_k=x_a$、$(g\circ f)_{k'}=x_{a'}$ なら、$g_k=x_b$、$g_{k'}=x_{b'}$ で $b< b'$、$f_b=x_a$、$f_{b'}=x_{a'}$ なので $a< a'$ である。よって 2 条件をみたす写像は合成で閉じた部分圏をなし、$\square$ の射はすべて 2 条件をみたす。

十分性と分解。$f$ が 2 条件をみたすとする。$f$ が使わない入力の添字を大きい順に $e_1>e_2>\cdots$ とし、$\sigma^{e_1}$、$\sigma^{e_2}$、… の順に忘れる。大きい添字から忘れるので、各段で忘れる座標の現在の番号は元の番号に等しく、合成は $p$ である。次に、$f$ の定数の成分の位置を $k_1< \cdots< k_{n-r}$ とし、$s=1,2,\ldots$ の順に第 $k_s$ 座標へ定数 $f_{k_s}$ を差し込む。第 $s$ 段の始域の次元は $r+s-1$ で、$k_s$ より前の位置のうち定数は $s-1$ 個、変数は $k_s-s\le r$ 個なので $k_s\le r+s$ であり、$\delta^{k_s,f_{k_s}}$ は定義されている。後の段はより後ろの位置に差し込むので、前に差し込んだ定数は動かない。合成を $c$ とすると、$c$ は定数の位置に $f$ の定数を、残りの位置に入力を順に置くので、2 により $c\circ p=f$ である。

一意性。$m\ge1$ なら、定数 $0$、定数 $1$、$x_1,\ldots,x_m$ は互いに異なる関数なので、各成分が定数か変数か、定数の値、変数の添字は $f$ で決まる（$m=0$ なら成分は定数だけである）。余退化写像の合成は定数の成分をもたず、2 により入力の部分集合を順に並べる写像である。余面写像の合成は単射なのですべての入力を使う。よって $f=c'\circ p'$ がこの形の分解なら、$p'$ が選ぶ入力は $f$ が使う入力に一致して $p'=p$ であり、$p$ は全射なので $c'=c$ である。$\square$

1. $r=m$ なら $p$ は恒等写像で、$f=c$ は余面写像の合成であり、変数の成分から入力を読み取れるので単射、したがってモノ射である。$r< m$ なら、$f$ が使わない入力 $a$ をとり、第 $a$ 座標だけが異なる 2 点 $u,v\in[1]^m$ を考える。定値写像 $u,v\colon[1]^0\to[1]^m$ は $\square$ の射で $f\circ u=f\circ v$ だから、$f$ は単射でもモノ射でもない。余面写像の合成は単射である。

2. $r=n$ なら $c$ は恒等写像で $f=p$ は余退化写像の合成であり、$y\in[1]^r$ に対し $x_{a_l}=y_l$、残りの座標を $0$ とした $x$ が $f(x)=y$ をみたすので全射、したがってエピ射である。$r< n$ なら、定数 $\varepsilon$ の成分 $f_j$ があり、$[1]^n\to[1]^1$ の 2 つの射 $y\mapsto y_j$ と $y\mapsto\varepsilon$ は異なるが、$f$ と合成すると等しい。よって $f$ は全射でもエピ射でもない。余退化写像の合成は全射である。

3. 同型射はモノ射かつエピ射なので $r=m=n$ で、条件 2 により $f=(x_1,\ldots,x_m)$ は恒等射である。分解の一意性は prop-cs-coordinates と 1、2 による。$\square$

関係の成立。第 1 式の両辺は第 $i$ 座標に $\varepsilon$、第 $j$ 座標に $\eta$ を差し込む。第 2 式の両辺は元の第 $i$ 座標と第 $j+1$ 座標を忘れる。残りの 3 式は、第 $i$ 座標に差し込んでから第 $j$ 座標を忘れる写像で、$i=j$ なら差し込んだものを忘れ、$i\ne j$ なら差し込みと忘れる操作を入れ替えると相手の番号が一つずれる。

混ざった列の整理。生成元の列 $w$（右の文字から作用する）について、$\sigma$ が $\delta$ の左にある文字の対の数を $N(w)$ とする。$N(w)>0$ なら隣り合う $\sigma^j\delta^{i,\varepsilon}$ があり、後ろの 3 式で、$i\ne j$ なら長さを変えずに $N$ を 1 減らし、$i=j$ なら長さを 2 減らせる。（長さ, $N$）の辞書式順序が減るので有限回で止まり、$w$ は余面写像だけの列 $d$ と余退化写像だけの列 $q$ を並べた $d\,q$ に書き換わる。

余退化写像の列。$q$ の各文字が忘れる座標に、元の始域での番号を付ける（各文字は残っている座標の一つを忘れるので、番号は文字ごとに異なる）。隣り合う 2 文字が元の番号の小さい方を先に忘れているとき、その対は $\sigma^j\sigma^i$（$i\le j$。元の番号は $i$ と $j+1$）の形であり、第 2 式で $\sigma^i\sigma^{j+1}$（大きい方を先に忘れる）に替えられる。これを繰り返すと、元の番号の大きい順に忘れる列になる。

余面写像の列。$d$ の各文字が差し込む定数に、最後の像での位置を付ける（後の文字は前の定数の位置をずらすだけなので、位置は文字ごとに決まる）。隣り合う 2 文字が位置の大きい方を先に差し込んでいるとき、その対は $\delta^{i,\varepsilon}\delta^{j-1,\eta}$（$i< j$。先に差し込む $\eta$ の最後の位置は $j$、後の $\varepsilon$ の位置は $i$）の形であり、第 1 式で $\delta^{j,\eta}\delta^{i,\varepsilon}$ に替えられる。これを繰り返すと、位置の小さい順に差し込む列になる。

結論。そろえた列 $d\,q$ は、忘れる座標の集合と、差し込む定数の位置と値で決まる。これらは $d\,q$ が表す写像 $f$ の座標から読み取れる（忘れる座標は $f$ が使わない入力、定数は $f$ の定数の成分。prop-cs-coordinates の一意性）。よって $\square$ で同じ写像を与える二つの列は、関係によって同じそろえた列に書き換わる。関係で割った圏から $\square$ への関手は、対象の上で全単射で、各射の集合の上で全射（$\square$ は生成元で生成される）かつ単射なので、同型である。$\square$

存在。$x=\pi^*y$（$\pi$ はエピ射）と書ける組のうち $k$ が最小のものをとる（$\pi=\mathrm{id}$、$y=x$ が一つの組である）。$y=\tau^*z$ で $\tau\colon[1]^k\to[1]^l$ が恒等射でないエピ射なら、cor-cs-mono-epi により $l< k$ で、$x=(\tau\pi)^*z$ と $\tau\pi$ はエピ射なので最小性に反する。よって $y$ は非退化である。

一意性。$x=\pi^*y=\tau^*z$（$\pi\colon[1]^n\to[1]^k$、$\tau\colon[1]^n\to[1]^l$ はエピ射、$y,z$ は非退化）とする。エピ射 $\pi=(x_{a_1},\ldots,x_{a_k})$ には、第 $a_l$ 座標に入力の第 $l$ 座標を、残りの座標に定数を置く切断 $s\colon[1]^k\to[1]^n$（$\pi s=\mathrm{id}$。2 条件をみたす）がある。任意の切断 $s$ について $y=s^*\pi^*y=s^*\tau^*z=(\tau s)^*z$ であり、$\tau s=c\circ p$ と分解すると $y=p^*(c^*z)$ である。$y$ は非退化なので $p=\mathrm{id}$、$\tau s=c$ はモノ射で $k\le l$ である。$y$ と $z$ を入れ替えて $l\le k$ なので $k=l$ であり、$[1]^k$ からそれ自身へのモノ射は恒等射だから $\tau s=\mathrm{id}$、$y=z$ である。最後に $\pi=\tau$ を示す。$k=0$ なら両方とも $[1]^0$ への唯一の射である。$k\ge1$ とし、$\pi$ が忘れる座標に定数 $0$ を置く切断 $s$ をとる。$\tau$ が $\pi$ の忘れる座標を一つでも使うなら、$\tau s$ は定数の成分をもち恒等射でない。よって $\tau$ が使う $k$ 個の座標は $\pi$ が使う $k$ 個の座標に含まれ、両者は一致して $\tau=\pi$ である。$\square$

まず、エピ射 $\rho$ と $w$ について $\rho^*w$ の核は $w$ の核に等しい。実際 $w=\tau^*v$（$v$ は核）なら $\rho^*w=(\tau\rho)^*v$ で $\tau\rho$ はエピ射なので、prop-cs-ez の一意性による。

1. $z=\pi^*y$（$y$ は核で次元 $k$）とし、$\pi f=c\circ p$（$p\colon[1]^m\to[1]^r$ はエピ射、$c\colon[1]^r\to[1]^k$ はモノ射）と分解する。$f^*z=p^*(c^*y)$ の核は $c^*y\in Y_r$ の核で、その次元は $r$ 以下であり、$c$ はモノ射なので $r\le k$ である。$f\in\partial\square^n$ なら $f=c\circ p$ の $c\colon[1]^r\to[1]^n$ は恒等射でないモノ射で $r< n$ であり、$f^*w=p^*(c^*w)$ の核の次元は $r$ 以下である。

2. $X$ は部分前層なので、核が $X$ に入れば $z$ も入る。逆に $z=\pi^*y\in X_n$ なら、$\pi$ の切断 $s$ について $y=s^*z\in X$ である。$\square$

単射の余積・押し出し・増加列の合成は単射で、$F$ はこれらを保つので、thm-cs-cells の 3 により $F(\partial\square^n\to\square^n)$ が単射であることを示せばよい。$n=0$ では $\partial\square^0=\emptyset$ で $F(\emptyset)$ は空の前層である。

$n\ge1$ とする。前層 $Z$ の部分前層の有限族 $(U_\alpha)$ の和は、包含が定める $\coprod_{\alpha,\beta}U_\alpha\cap U_\beta\rightrightarrows\coprod_\alpha U_\alpha$ の余等化子である（各次元で、異なる $U_\alpha$ に入る同じ元を同一視したものが和集合である）。$\partial\square^n=\bigcup F_{i,\varepsilon}$ で、$F_{i,0}\cap F_{i,1}=\emptyset$ である。$i< j$ なら $F_{i,\varepsilon}\cap F_{j,\eta}$ は第 $i$、第 $j$ 成分がそれぞれ定数 $\varepsilon$、$\eta$ の射の全体で、$f=\delta^{i,\varepsilon}$、$g=\delta^{j,\eta}$、$a=\delta^{j-1,\eta}$、$b=\delta^{i,\varepsilon}\colon[1]^{n-2}\to[1]^{n-1}$ とおくと $fa=gb$（余立方体的恒等式の第 1 式）で、交わりは $fa$ の像である。$F$ はこの余等化子を保つので、$F(\partial\square^n)\to F(\square^n)$ が単射であるには、$F(U_\alpha)$ の元 $u$ と $F(U_\beta)$ の元 $v$ が同じ元に写るとき、$u$ と $v$ が $F(U_\alpha\cap U_\beta)$ の同じ元の像であることを示せばよい。

$F(\delta^{i,\varepsilon})$ は $F(\sigma^i)$ を左逆にもつので単射であり、$\alpha=\beta$ なら $u=v$ である。$\{\alpha,\beta\}=\{(i,0),(i,1)\}$ は仮定により起こらない。$\alpha=(i,\varepsilon)$、$\beta=(j,\eta)$、$i< j$ のとき、$r=\sigma^i\colon[1]^n\to[1]^{n-1}$、$s=\sigma^i\colon[1]^{n-1}\to[1]^{n-2}$ とおくと、余立方体的恒等式から $rf=\mathrm{id}$、$sb=\mathrm{id}$、$rg=as$ である。$F(f)(u)=F(g)(v)$ なら、$w:=F(s)(v)$ について $F(a)(w)=F(r)F(g)(v)=F(r)F(f)(u)=u$ であり、$F(g)F(b)(w)=F(f)F(a)(w)=F(g)(v)$ と $F(g)$ の単射性（左逆 $F(\sigma^j)$）から $F(b)(w)=v$ である。$\square$

1. $\square^m$ の要素の圏は終対象 $(\square^m,\mathrm{id})$ をもつので、余極限は終対象での値 $\square^{m+n}$ である。

2. 要点の対応は余極限の普遍性と米田の補題による。$[X,Z]_n:=\operatorname{Hom}(X\otimes\square^n,Z)$ とおくと、1 と同様に射 $X\otimes\square^n\to Z$ は $x\in X_m$ ごとの $\psi(x)\in Z_{m+n}$ で $\psi(f^*x)=(f\otimes1)^*\psi(x)$ をみたす族なので、射 $Y\to[X,Z]$ も要点の族と一対一に対応する。よって $X\otimes-$ は右随伴 $[X,-]$ をもつ。$-\otimes Y$ も同様である。

3. 前層(圏論) の定理「前層は表現可能前層の余極限」と 2 により、$(X\otimes Y)\otimes W$ と $X\otimes(Y\otimes W)$ はどちらも $(x,y,w)$ にわたる $\square^{m+n+p}$ の余極限と自然に同型で、これが結合の同型を与える。$\square^0\otimes Y$ は $(n,y)$ にわたる $\square^n$ の余極限、すなわち $Y$ である。五角形・三角形の図式は、表現可能前層の上ではすべて $\square^{m+n+p+q}$ の恒等射なので可換であり、余極限の普遍性により一般の場合も可換である。

4. そのような関手を $T$ とすると、2 と稠密性により $T(X,Y)\cong\operatorname{colim}T(\square^m,\square^n)\cong\operatorname{colim}\square^{m+n}=X\otimes Y$ である。$\square$

1. 射 $i_!(X)\to K$ は $x\in X_n$ ごとの単体的写像 $(\Delta^1)^n\to K$ で $f$ と両立する族、すなわち米田の補題により射 $X\to i^*(K)$ である。$i_!(\square^n)$ は要素の圏の終対象での値である。

2. $i_!$ は左随伴なので余極限を保ち、単体的集合の積は各次数で計算されて各変数で余極限を保つ。よって $i_!(X\otimes Y)$ と $i_!(X)\times i_!(Y)$ はどちらも $(x,y)$ にわたる余極限で、表現可能前層の上では $i_!(\square^{m+n})=(\Delta^1)^{m+n}=(\Delta^1)^m\times(\Delta^1)^n$ である。$i(f\otimes g)=i(f)\times i(g)$ なのでこの同型は $(f,g)$ と両立し、余極限の普遍性により一般の同型に延びる。結合と単位の両立は、表現可能前層の上で恒等射になることから従う。$\square$

1. $X\otimes-$ は余極限を保つ。$1_X\otimes\delta^{i,\varepsilon}$ は $1_X\otimes\sigma^i$ を左逆にもつので単射である。終対象への射 $X\to\square^0$ と単位の同型から得る $X\otimes\square^n\to\square^n$ は、自然性により $1_X\otimes\delta^{i,\varepsilon}$ を $\delta^{i,\varepsilon}$ に写す。$\square^n$ の中で $F_{i,0}$ と $F_{i,1}$ は交わらないので、$1_X\otimes\delta^{i,0}$ と $1_X\otimes\delta^{i,1}$ の像も交わらない。よって lem-cs-mono-criterion の仮定が成り立つ。$-\otimes X$ も同じである。

2（境界の包含どうし）．$u=(\partial\square^m\subset\square^m)$、$v=(\partial\square^n\subset\square^n)$ とする。1 により $\partial\square^m\otimes\square^n$ などは $\square^m\otimes\square^n=\square^{m+n}$ の部分前層である。面の余積から $\partial\square^m$ へのエピ射（各次元で全射）は、余極限を保つ $-\otimes\square^n$ でエピ射に写るので、$\partial\square^m\otimes\square^n$ は $\delta^{i,\varepsilon}\otimes1=\delta^{i,\varepsilon}$（$i\le m$）の像の和、すなわち第 $i$ 成分（$i\le m$）のどれかが定数である射の全体である。同様に $\square^m\otimes\partial\square^n$ は第 $j$ 成分（$j>m$）のどれかが定数である射の全体、$\partial\square^m\otimes\partial\square^n$ は第 $i$ 成分（$i\le m$）と第 $j$ 成分（$j>m$）の両方に定数があるものの全体で、これは前の二つの交わりに等しい。単射の押し出し積が単射であることは、交わりがこの部分前層に等しいことと同値である（各次元の集合で、二つの部分集合の和は共通部分に沿った押し出しである）。

2（一般の場合）．$I=\{\partial\square^n\subset\square^n\}$ とする。$\otimes$ は各変数に右随伴をもつ（prop-cs-tensor の 2）ので、Hov99 Lemma 4.2.4 により、$\mathrm l(\mathrm r(I))$ の射どうしの押し出し積は $\mathrm l(\mathrm r(I\mathbin{\hat\otimes}I))$ に入る。thm-cs-cells の 3 により $\mathrm l(\mathrm r(I))$ は単射の全体 $\mathcal M$ で、$\mathrm r(\mathcal M)=\mathrm r(I)$ である。上により $I\mathbin{\hat\otimes}I\subset\mathcal M$ なので $\mathrm r(I)\subset\mathrm r(I\mathbin{\hat\otimes}I)$、したがって $\mathrm l(\mathrm r(I\mathbin{\hat\otimes}I))\subset\mathrm l(\mathrm r(I))=\mathcal M$ である。$\square$