Dirichlet級数
概要
Dirichlet級数（Dirichlet series）とは、複素数列 $(a_n)$ と複素変数 $s$ による級数 $\sum_{n\ge1}a_nn^{-s}$ のことであり、Riemann ゼータ関数や Dirichlet L 関数を含む。級数は収束座標 $\sigma_c$ の右の半平面で収束してそこで正則な関数を表し、絶対収束座標 $\sigma_a$ との間には $\sigma_c\le\sigma_a\le\sigma_c+1$ が成り立つ。表された関数は係数を一意に決め、係数の Dirichlet 積は級数の積に、乗法的な係数は Euler 積に対応する。係数が $0$ 以上なら実軸上の点 $\sigma_c$ は特異点であり（Landau の定理）、数論的関数の和の問題を関数論の問題に言い換える基本の道具である。
前提知識: 数論的関数, 正則関数, 一様収束, Riemannゼータ関数
Dirichlet 級数（Dirichlet series）とは、複素数列 $(a_n)_{n\ge1}$ と複素変数 $s$ について
$$
F(s)=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}
$$
の形をした級数である。$a_n=1$ のときが Riemannゼータ関数 $\zeta(s)$、$a_n=\chi(n)$ のときが Dirichlet L関数 である。整数論の関数 $n\mapsto a_n$ の情報を 1 つの解析関数に詰め込む道具で、数論的関数の Dirichlet 積が級数の積に、乗法的な係数が素数にわたる積（Euler 積）に対応する。そのため、係数の和 $\sum_{n\le x}a_n$ の大きさについての問題を、$F$ の解析的な性質（極や零点の位置）についての問題に言い換えられる。
冪級数 $\sum c_nz^n$ が円板で収束するのに対し、Dirichlet 級数は右半平面 $\operatorname{Re}s>\sigma_c$ で収束し、そこで正則な関数を表す。ただし冪級数と違って、絶対収束する範囲は収束する範囲より幅 $1$ まで狭くなりうるし、収束の境界の直線の上に特異点があるとは限らない。この記事では、収束する範囲が半平面であること、その上で正則であること、2 つの境界 $\sigma_c\le\sigma_a\le\sigma_c+1$、係数の一意性、係数が $0$ 以上のときの Landau の定理を証明する。
定義
以下、複素数 $s$ を $s=\sigma+it$（$\sigma,t$ は実数）と書く。正の整数 $n$ について $n^{-s}:=e^{-s\log n}$（$\log n$ は実数の自然対数）と定めるので、$\lvert n^{-s}\rvert=n^{-\sigma}$ であり、$n^{-s}m^{-s}=(nm)^{-s}$、$n^{-s-w}=n^{-s}n^{-w}$ が成り立つ。
複素数列 $(a_n)_{n\ge1}$（数論的関数 $n\mapsto a_n$ と同じもの）について、級数
$$
F(s)=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{-s}
$$
を、係数 $a_n$ の Dirichlet 級数という。この級数が収束する $s$ の実部の下限
$$
\sigma_c:=\inf\Bigl\{\operatorname{Re}s\ \Big|\ \sum_na_nn^{-s}\text{ が収束する}\Bigr\}
$$
を 収束座標（abscissa of convergence）、絶対収束する $s$ の実部の下限、すなわち $\sum_n\lvert a_n\rvert n^{-\sigma}<\infty$ となる実数 $\sigma$ の下限 $\sigma_a$ を 絶対収束座標（abscissa of absolute convergence）という。収束する点がなければ $\sigma_c=+\infty$、すべての点で収束すれば $\sigma_c=-\infty$ とし、$\sigma_a$ も同様に定める。
$\lvert a_nn^{-s}\rvert=\lvert a_n\rvert n^{-\operatorname{Re}s}$ は $\operatorname{Re}s$ だけで決まり、$\operatorname{Re}s$ について減少するので、級数は $\operatorname{Re}s>\sigma_a$ で絶対収束し、$\operatorname{Re}s<\sigma_a$ では絶対収束しない。絶対収束すれば収束するので $\sigma_c\le\sigma_a$ である。項が有限個のもの（$n>N$ で $a_n=0$）を Dirichlet 多項式といい、これは全平面で収束する。
例
| 係数 $a_n$ | 級数 | $\sigma_c$ | $\sigma_a$ | 収束軸 $\operatorname{Re}s=\sigma_c$ の上 |
|---|---|---|---|---|
| $1$ | $\zeta(s)$ | $1$ | $1$ | $s=1$ で発散 |
| $(-1)^{n-1}$ | $\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)$ | $0$ | $1$ | $s=0$ で発散 |
| $\chi(n)$（主指標でない法 $q$ の指標） | $L(s,\chi)$ | $0$ | $1$ | $s=0$ で発散 |
| $(\log n)^{-2}$（$n\ge2$。$a_1=0$） | $\sum_{n\ge2}\frac{1}{n^s(\log n)^2}$ | $1$ | $1$ | 軸全体で絶対収束 |
| $2^{-n}$ | — | $-\infty$ | $-\infty$ | — |
| $2^n$ | — | $+\infty$ | $+\infty$ | — |
$\eta$ を Dirichlet の イータ関数（交代ゼータ関数）という。$\eta=(1-2^{1-s})\zeta$ は $\operatorname{Re}s>1$ での等式で、$\sum(-1)^{n-1}n^{-s}=\sum n^{-s}-2\sum(2m)^{-s}$ による。
要点：収束する範囲は、実軸上の点での収束・発散と thm-ds-halfplane・prop-ds-partial-sums から決まり、絶対収束する範囲は絶対値の級数を比べて決まる。
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$\zeta$：実数 $\sigma\le1$ で $\sum n^{-\sigma}$ は発散する。$\operatorname{Re}s_0<1$ である $s_0$ で収束したとすると、thm-ds-halfplane により $\operatorname{Re}s_0<\sigma<1$ の実数 $\sigma$ でも収束するので矛盾である。よって $\sigma_c\ge1$ であり、$\sigma_a=1$ と合わせて $\sigma_c=\sigma_a=1$ である。
$\eta$：実数 $\sigma>0$ では項の絶対値 $n^{-\sigma}$ が単調に $0$ へ減る交代級数なので収束し、$\operatorname{Re}s\le0$ では $\lvert(-1)^{n-1}n^{-s}\rvert=n^{-\operatorname{Re}s}\ge1$ なので項が $0$ に近づかず発散する。よって $\sigma_c=0$ である。絶対値の級数は $\zeta$ と同じなので $\sigma_a=1$ である。
$L(s,\chi)$：$\chi$ は周期 $q$ で、主指標でなければ 1 周期の和は $0$ である（Dirichlet指標 の定理「指標の個数と直交関係」）。よって部分和 $\sum_{n\le x}\chi(n)$ の絶対値は $q$ 以下であり、prop-ds-partial-sums により $\sigma_c\le0$ である。$\operatorname{Re}s\le0$ では $n\equiv1\pmod q$ の項の絶対値が $1$ 以上なので発散し、$\sigma_c=0$ である。$\lvert\chi(n)\rvert\le1$ から $\sigma_a\le1$ であり、$\sum_{n\equiv1\ (q)}1/n=\infty$ から $\sigma_a=1$ である。
$(\log n)^{-2}$：$\sum_{n\ge2}1/(n(\log n)^2)$ は積分 $\int_2^\infty dt/(t(\log t)^2)=1/\log2$ と比べて収束するので、$\operatorname{Re}s\ge1$ で絶対収束する。$\sigma<1$ なら $n^{1-\sigma}/(\log n)^2\to\infty$ なので十分大きい $n$ で項は $1/n$ 以上になり、実数 $\sigma<1$ では発散する。よって $\sigma_a=1$ であり、係数は $0$ 以上なので prop-ds-nonnegative により $\sigma_c=\sigma_a=1$ である。
$2^{-n}$：どの $s$ でも $\lvert2^{-n}n^{-s}\rvert=2^{-n}n^{-\sigma}$ で、$n^{-\sigma}$ は $n$ の多項式で抑えられるので絶対収束する。$2^n$：どの $s$ でも $2^nn^{-\sigma}\to\infty$ なので項が $0$ に近づかない。$\square$
係数が乗法的なときの等式を、次の表にまとめる（すべて $\operatorname{Re}s>1$ で、$\varphi$ の行だけ $\operatorname{Re}s>2$。$d(n)$ は約数の個数、$\lambda$ は Liouville関数）。
| 係数 $a_n$ | Dirichlet 級数 | 根拠 |
|---|---|---|
| Möbius関数 $\mu(n)$ | $1/\zeta(s)$ | Riemannゼータ関数 の定理「$1/\zeta(s)$ の級数表示」 |
| Eulerのφ関数 $\varphi(n)$ | $\zeta(s-1)/\zeta(s)$ | 同上 |
| $d(n)$ | $\zeta(s)^2$ | $d=\mathbf1*\mathbf1$ と thm-ds-product |
| $\log n$ | $-\zeta'(s)$ | thm-ds-holomorphic |
| von Mangoldt関数 $\Lambda(n)$ | $-\zeta'(s)/\zeta(s)$ | von Mangoldt関数 の定理「$\Lambda$ の Dirichlet 級数」 |
| $\lambda(n)$ | $\zeta(2s)/\zeta(s)$ | Liouville関数 の定理「$\lambda$ の Dirichlet 級数」 |
収束する範囲
冪級数の収束円の議論で使う「1 点で収束すればそれより内側でも収束する」に当たるのが次の定理である。証明では部分和の差を、級数の残り $r_n$ に付け替える（Abelの級数変形法とその応用 の定理「級数変形法の等式」と同じ計算）。
Dirichlet 級数 $\sum a_nn^{-s}$ が $s=s_0$ で収束するとする。このとき、各 $M\ge1$ について、級数は集合
$$
W_M:=\bigl\{s\in\mathbb C\ \big|\ \operatorname{Re}s>\operatorname{Re}s_0,\ \lvert s-s_0\rvert\le M\,(\operatorname{Re}s-\operatorname{Re}s_0)\bigr\}
$$
の上で一様収束する。とくに $\operatorname{Re}s>\operatorname{Re}s_0$ であるすべての $s$ で収束する。したがって級数は $\operatorname{Re}s>\sigma_c$ で収束し、$\operatorname{Re}s<\sigma_c$ で発散する。
要点：$s_0$ での級数の残り $r_n$ を使って部分和を書き直すと、$n^{-s}=n^{-s_0}n^{-(s-s_0)}$ の差 $(n+1)^{-w}-n^{-w}$ の和が $\lvert w\rvert/\operatorname{Re}w$ で抑えられ、扇形 $W_M$ の上で一様な評価になる。
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$b_n:=a_nn^{-s_0}$、$r_n:=\sum_{k>n}b_k$ とおく。仮定から $r_n\to0$ なので、$\varepsilon_m:=\sup_{n\ge m}\lvert r_n\rvert$ も $m\to\infty$ で $0$ に近づく。$s\in W_M$ とし、$w:=s-s_0$、$\delta:=\operatorname{Re}w>0$ とおくと $a_nn^{-s}=b_nn^{-w}$ である。$m< N$ について $b_n=r_{n-1}-r_n$ を代入して和の番号をずらすと$$\sum_{n=m+1}^Nb_nn^{-w}=r_m(m+1)^{-w}-r_NN^{-w}+\sum_{n=m+1}^{N-1}r_n\bigl((n+1)^{-w}-n^{-w}\bigr)$$である。$\lvert n^{-w}\rvert=n^{-\delta}\le1$ であり、$$\bigl\lvert(n+1)^{-w}-n^{-w}\bigr\rvert=\Bigl\lvert w\int_n^{n+1}t^{-w-1}\,dt\Bigr\rvert\le\lvert w\rvert\int_n^{n+1}t^{-\delta-1}\,dt$$なので、右辺の和は $\varepsilon_m\lvert w\rvert\int_1^\infty t^{-\delta-1}dt=\varepsilon_m\lvert w\rvert/\delta\le M\varepsilon_m$ 以下である。よって$$\Bigl\lvert\sum_{n=m+1}^Na_nn^{-s}\Bigr\rvert\le(2+M)\,\varepsilon_m$$であり、右辺は $s\in W_M$ によらず $m\to\infty$ で $0$ に近づく。これは $W_M$ 上の一様な Cauchy の条件である。$\operatorname{Re}s>\operatorname{Re}s_0$ である点 $s$ は、$M\ge\lvert s-s_0\rvert/(\operatorname{Re}s-\operatorname{Re}s_0)$ とすれば $W_M$ に入る。
最後の主張：$\operatorname{Re}s>\sigma_c$ なら下限の定義から $\sigma_c\le\operatorname{Re}s_0<\operatorname{Re}s$ となる収束点 $s_0$ があるので、$s$ で収束する。$\operatorname{Re}s<\sigma_c$ の点で収束しないことは $\sigma_c$ の定義そのものである。$\square$
直線 $\operatorname{Re}s=\sigma_c$ を 収束軸 という。収束軸の上での収束・発散は点ごとに異なりうる（ex-ds-table の最後の列）。この定理は HR15 Theorem 1–3（pp. 3–4）にある（一般の型 $\sum a_ne^{-\lambda_ns}$ で述べられており、$\lambda_n=\log n$ の場合がここでの Dirichlet 級数である）。
$\sigma_c<\infty$ とする。$F(s)=\sum a_nn^{-s}$ は半平面 $\operatorname{Re}s>\sigma_c$ 上の正則関数であり、各 $k\ge1$ について、級数 $\sum_na_n(-\log n)^kn^{-s}$ も $\operatorname{Re}s>\sigma_c$ で収束して $F^{(k)}(s)$ に等しい。
$\operatorname{Re}s>\sigma_c$ の有界閉集合 $K$ をとり、$\sigma_0$ を $\sigma_c<\sigma_0<\min_{s\in K}\operatorname{Re}s$ である実数とする。thm-ds-halfplane により級数は $s_0=\sigma_0$ で収束する。$\delta:=\min_K\operatorname{Re}s-\sigma_0>0$、$R:=\max_K\lvert s-\sigma_0\rvert$ とおくと、$s\in K$ について $\lvert s-\sigma_0\rvert\le(R/\delta)(\operatorname{Re}s-\sigma_0)$ なので、$K\subset W_{M}$（$M=\max\{1,R/\delta\}$）であり、部分和は $K$ 上で一様収束する。部分和は正則関数（有限個の $e^{-s\log n}$ の 1 次結合）なので、Cauchyの積分公式 の系「Weierstrass の定理」により、$F$ は正則で、部分和の $k$ 階導関数 $\sum_{n\le N}a_n(-\log n)^kn^{-s}$ は $F^{(k)}$ に局所一様収束する。$\square$
この定理は HR15 Theorem 4（p. 5）にある。
$\sigma_c\le\sigma_a\le\sigma_c+1$ である（$\sigma_c=\pm\infty$ のときは $\sigma_a=\sigma_c$ と読む）。
$\sigma_c\le\sigma_a$ は定義の直後に見た。$\sigma_c=+\infty$ なら $\sigma_a=+\infty$ である。$\sigma_c<\infty$ とし、$\operatorname{Re}s_0>\sigma_c$ である点 $s_0$ をとる。そこで級数は収束するので項は $0$ に近づき、とくに有界である：$\lvert a_n\rvert n^{-\operatorname{Re}s_0}\le K$。すると実数 $\sigma>\operatorname{Re}s_0+1$ について
$$
\sum_n\lvert a_n\rvert n^{-\sigma}\le K\sum_nn^{\operatorname{Re}s_0-\sigma}<\infty
$$
なので $\sigma_a\le\operatorname{Re}s_0+1$ である。$\operatorname{Re}s_0$ は $\sigma_c$ にいくらでも近くとれるので $\sigma_a\le\sigma_c+1$ である（$\sigma_c=-\infty$ なら $\sigma_a=-\infty$）。$\square$
ex-ds-table の $\eta$ と $L(s,\chi)$ では $\sigma_a-\sigma_c=1$ なので、上からの評価は改良できない。この差の評価は HR15 Theorem 9（p. 9）にある。係数が $0$ 以上なら差はなくなる。
すべての $n$ で $a_n\ge0$ なら $\sigma_c=\sigma_a$ である。
実数 $\sigma>\sigma_c$ をとると級数は $s=\sigma$ で収束し、その項 $a_nn^{-\sigma}$ は $0$ 以上なので絶対収束している。よって $\sigma_a\le\sigma$ であり、$\sigma\downarrow\sigma_c$ として $\sigma_a\le\sigma_c$ である。$\square$
収束座標は係数の部分和の増え方で決まる。次の命題は、部分和が有界なら $\sigma_c\le0$ であることを含む。
$A(x):=\sum_{n\le x}a_n$ とし、実数 $\theta$ と定数 $K$ があって、すべての $x\ge1$ で $\lvert A(x)\rvert\le Kx^\theta$ であるとする。このとき $\sigma_c\le\theta$ であり、$\operatorname{Re}s>\theta$ で
$$
F(s)=s\int_1^\infty A(t)\,t^{-s-1}\,dt
$$
が成り立つ（右辺の積分は絶対収束する）。
$A$ は $[n,n+1)$ で一定値 $A(n)$ をとり、$n^{-s}-(n+1)^{-s}=s\int_n^{n+1}t^{-s-1}dt$ なので、
$$
\sum_{n\le N}a_nn^{-s}=\sum_{n\le N}\bigl(A(n)-A(n-1)\bigr)n^{-s}=A(N)N^{-s}+\sum_{n=1}^{N-1}A(n)\bigl(n^{-s}-(n+1)^{-s}\bigr)=A(N)N^{-s}+s\int_1^NA(t)\,t^{-s-1}\,dt
$$
である（$A(0)=0$）。$\sigma=\operatorname{Re}s>\theta$ なら $\lvert A(N)N^{-s}\rvert\le KN^{\theta-\sigma}\to0$ であり、$\lvert A(t)t^{-s-1}\rvert\le Kt^{\theta-\sigma-1}$ は $[1,\infty)$ で可積分なので、$N\to\infty$ で主張を得る。$\square$
たとえば $\zeta$ では $A(x)=\lfloor x\rfloor$ なので、$\operatorname{Re}s>1$ で $\zeta(s)=s\int_1^\infty\lfloor t\rfloor t^{-s-1}dt$ である。$\lfloor t\rfloor=t-\{t\}$ と分けると $\zeta(s)=\frac s{s-1}-s\int_1^\infty\{t\}t^{-s-1}dt$ となり、右辺の積分は $\operatorname{Re}s>0$ で収束する。これが Riemannゼータ関数 の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」の出発点である。部分和の大きさから $\sigma_c$ を正確に求める公式（$\sigma_c>0$ なら $\sigma_c=\limsup_{N\to\infty}\log\lvert A(N)\rvert/\log N$）は HR15 Theorem 7（p. 8）にある（この記事では証明しない）。
係数の一意性
Dirichlet 級数で表された関数は係数を決める。これにより、2 つの級数が等しいことから係数どうしの等式（数論的関数の恒等式）を読み取れる。
$\sigma_c<\infty$ とし、複素数の列 $(s_k)$ で $\operatorname{Re}s_k\to+\infty$、かつ十分大きいすべての $k$ で $F(s_k)=0$ となるものがあるとする。このとき、すべての $n$ で $a_n=0$ である。とくに、2 つの Dirichlet 級数 $\sum a_nn^{-s}$、$\sum b_nn^{-s}$ がある右半平面で同じ関数を表せば、すべての $n$ で $a_n=b_n$ である。
thm-ds-abscissae により $\sigma_a<\infty$ なので、実数 $\sigma_1>\sigma_a$ をとると $B:=\sum_n\lvert a_n\rvert n^{-\sigma_1}<\infty$ である。$a_n\ne0$ となる $n$ があるとして、その最小のものを $N$ とする。$\operatorname{Re}s=\sigma\ge\sigma_1$ について
$$
N^sF(s)=a_N+\sum_{n>N}a_n\Bigl(\frac Nn\Bigr)^s
$$
であり、$n>N$ で $\lvert a_n(N/n)^s\rvert=\lvert a_n\rvert n^{-\sigma_1}N^{\sigma_1}(N/n)^{\sigma-\sigma_1}\le\lvert a_n\rvert n^{-\sigma_1}N^{\sigma_1}\bigl(\frac N{N+1}\bigr)^{\sigma-\sigma_1}$ なので
$$
\Bigl\lvert N^sF(s)-a_N\Bigr\rvert\le BN^{\sigma_1}\Bigl(\frac N{N+1}\Bigr)^{\sigma-\sigma_1}
$$
である。右辺は $\sigma\to\infty$ で $0$ に近づく。$s=s_k$（$k$ が十分大きく $\operatorname{Re}s_k\ge\sigma_1$）では左辺は $\lvert a_N\rvert$ に等しいので、$k\to\infty$ として $a_N=0$ となり、$N$ のとり方に反する。後半は差 $\sum(a_n-b_n)n^{-s}$ に前半を使えばよい。$\square$
HR15 Theorem 6（p. 6）は、零点が収束軸の右にある扇形 $\lvert\arg(s-s_0)\rvert\le\alpha<\pi/2$ の中に無限個あるという別の仮定のもとで、同じ結論を述べる。
積と Euler 積
2 つの級数が $s$ で絶対収束するとき、その積は係数の Dirichlet 積 $(f*g)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)g(n/d)$ の級数であり、これも $s$ で絶対収束する（数論的関数 の定理「絶対収束する Dirichlet 級数の積」）。$a_n$ が乗法的関数で $\operatorname{Re}s>\sigma_a$ なら、係数 $a_nn^{-s}$ も乗法的なので、乗法的関数 の定理「乗法的関数の Euler 積」から
$$
\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}{n^s}=\prod_p\Bigl(1+\frac{a_p}{p^s}+\frac{a_{p^2}}{p^{2s}}+\cdots\Bigr)
$$
（積は素数 $p$ を小さい順に掛けた極限）が成り立ち、$a_n$ が完全乗法的なら各因子は $(1-a_pp^{-s})^{-1}$ である。この 2 つと thm-ds-uniqueness を合わせたものが、ex-ds-table のあとの表の等式の仕組みである。
$\sum f(n)n^{-s}$ と $\sum g(n)n^{-s}$ がともに $\operatorname{Re}s>\sigma$ で絶対収束するとする。$\operatorname{Re}s>\sigma$ で $\bigl(\sum f(n)n^{-s}\bigr)\bigl(\sum g(n)n^{-s}\bigr)=\sum h(n)n^{-s}$ となる Dirichlet 級数 $\sum h(n)n^{-s}$（どこかで収束するもの）は $h=f*g$ に限る。
数論的関数 の定理「絶対収束する Dirichlet 級数の積」により $\sum(f*g)(n)n^{-s}$ は $\operatorname{Re}s>\sigma$ で積に等しい。$\sum h(n)n^{-s}$ とは右半平面で同じ関数を表すので、thm-ds-uniqueness により $h=f*g$ である。$\square$
たとえば $\zeta(s)^2=\sum d(n)n^{-s}$、$\zeta(s)\cdot\frac1{\zeta(s)}=1$ から $\mathbf 1*\mu=\varepsilon$（$\varepsilon(1)=1$、$n\ge2$ で $\varepsilon(n)=0$）が読み取れる。後者は Möbius の反転公式の土台である（Möbius関数）。
係数が 0 以上の級数の特異点
冪級数は収束円の上に必ず特異点をもつが、Dirichlet 級数は収束軸の上に特異点をもつとは限らない（ex-ds-counterexamples の 3 行目）。係数が $0$ 以上なら、収束軸と実軸の交点が必ず特異点になる。
すべての $n$ で $a_n\ge0$ とし、$\sigma_c$ は有限とする。このとき、点 $\sigma_c$ を中心とするどんな開円板 $D$ についても、$\{\operatorname{Re}s>\sigma_c\}\cup D$ 上の正則関数で $\operatorname{Re}s>\sigma_c$ では $F$ に等しいものは存在しない。
要点：$\sigma_c=0$ とし、$0$ のまわりまで正則に延びたとすると、$s=1$ での Taylor 展開は半径が $1$ より大きい円板で収束する。Taylor 係数は $\sum_na_n(-\log n)^k/n$ なので、負の実数 $s=-\eta$ では二重級数の項がすべて $0$ 以上になり、和の順序を入れ替えると $\sum a_nn^{\eta}$ が収束することになって矛盾する。
詳しい証明を開く
$a_n$ を $a_nn^{-\sigma_c}$ に替えると係数は $0$ 以上のままで収束座標は $0$ になるので、$\sigma_c=0$ としてよい。半径 $\rho>0$ の円板 $D$ について、$U:=\{\operatorname{Re}s>0\}\cup D$ 上の正則関数 $G$ で $\operatorname{Re}s>0$ では $G=F$ となるものがあったとして矛盾を導く。
円板をとる：$0<\varepsilon<1$ を $2\varepsilon^2+2\varepsilon<\rho^2$ となるようにとる。円板 $B:=\{s:\lvert s-1\rvert<1+\varepsilon\}$ の点 $s$ で $\operatorname{Re}s\le0$ のものは、$\operatorname{Re}s>-\varepsilon$ と $(\operatorname{Im}s)^2<(1+\varepsilon)^2-(1-\operatorname{Re}s)^2\le(1+\varepsilon)^2-1$ を満たすので $\lvert s\rvert^2<\varepsilon^2+2\varepsilon+\varepsilon^2<\rho^2$ であり、$D$ に属する。よって $B\subset U$ である。
Taylor 展開：正則関数 の定理「正則関数の冪級数展開」により、$B$ 上で $G(s)=\sum_{k\ge0}\frac{G^{(k)}(1)}{k!}(s-1)^k$ である。$1$ の近くで $G=F$ なので、thm-ds-holomorphic により$$G^{(k)}(1)=F^{(k)}(1)=\sum_{n=1}^\infty a_n(-\log n)^kn^{-1}$$である。$0<\eta<\varepsilon$ として $s=-\eta\in B$ を代入すると、$(s-1)^k=(-1)^k(1+\eta)^k$ なので$$G(-\eta)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(1+\eta)^k}{k!}\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n(\log n)^k}{n}$$であり、この二重級数の項はすべて $0$ 以上である。$0$ 以上の項の二重級数は足す順序を入れ替えても同じ値になるので$$G(-\eta)=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}n\sum_{k=0}^\infty\frac{\bigl((1+\eta)\log n\bigr)^k}{k!}=\sum_{n=1}^\infty\frac{a_n}n\,n^{1+\eta}=\sum_{n=1}^\infty a_nn^{\eta}$$となる。左辺は有限なので Dirichlet 級数は $s=-\eta<0=\sigma_c$ で収束し、$\sigma_c$ の定義に反する。$\square$
この定理は HR15 Theorem 10（p. 10）にある。たとえば $\zeta$ は係数が $0$ 以上で $\sigma_c=1$ なので、$s=1$ の近くに正則に延びない（実際 $s=1$ は 1 位の極である。Riemannゼータ関数 の系「$s=1$ での展開と Euler の定数」）。言い換えると、係数が $0$ 以上の級数の和 $F$ が、ある実数 $\sigma'$ について半平面 $\operatorname{Re}s>\sigma'$ 全体の正則関数に延びるなら、級数そのものが $\operatorname{Re}s>\sigma'$ で収束する（$\sigma_c>\sigma'$ なら、延びた関数は点 $\sigma_c$ のまわりで正則になって定理に反する）。
反例：条件を外すと成り立たない
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 係数が $0$ 以上（prop-ds-nonnegative） | $\eta(s)=\sum(-1)^{n-1}n^{-s}$ | $\sigma_c=0<1=\sigma_a$ で、$\sigma_c=\sigma_a$ にならない |
| 零点の実部が $+\infty$ に近づく（thm-ds-uniqueness） | $1-2\cdot2^{-s}$（$a_1=1$、$a_2=-2$）と $s_k=1+\dfrac{2\pi ik}{\log2}$ | 係数が $0$ でないのに、実部が $1$ の無限個の点で $0$ になる |
| 係数が $0$ 以上（thm-ds-landau） | $L(s,\chi_4)=1-3^{-s}+5^{-s}-7^{-s}+\cdots$ | $\sigma_c=0$ だが、$s=0$ を含む全平面で正則に延びる |
1 行目：ex-ds-table の確かめのとおりである。
2 行目：$2^{1-s_k}=e^{(1-s_k)\log2}=e^{-2\pi ik}=1$ なので $1-2\cdot2^{-s_k}=0$ である。$\operatorname{Re}s_k=1$ は $+\infty$ に近づかない。同じ理由で、$\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)$ も $s_k$（$k\ne0$）で $0$ になる。
3 行目：$\chi_4$ は法 $4$ の原始指標（$\chi_4(n)=1,0,-1,0$ が $n\equiv1,2,3,0\pmod4$ に対応）で、ex-ds-table の $L(s,\chi)$ の行により $\sigma_c=0$ である。Dirichlet L関数 の定理「Dirichlet L関数の解析接続と関数等式」の 1 により $L(s,\chi_4)$ は全平面の正則関数に延びるので、収束軸の上の点 $0$ は特異点でない。同じことは $\eta$ についても成り立つ（HR15 p. 10）。
補足
- 一般の Dirichlet 級数：$0\le\lambda_1<\lambda_2<\cdots\to\infty$ について $\sum a_ne^{-\lambda_ns}$ の形の級数も Dirichlet 級数と呼ぶ。$\lambda_n=\log n$ がこの記事の級数、$\lambda_n=n$ が $z=e^{-s}$ についての冪級数である。thm-ds-halfplane・thm-ds-holomorphic・thm-ds-landau は同じ形で成り立ち（HR15 の II、pp. 3–10）、thm-ds-uniqueness は、絶対収束する半平面があれば（$\sigma_a<\infty$ なら）$N^{-s}$ を $e^{-\lambda_Ns}$ に替えた同じ証明で成り立つ。絶対収束する半平面がない一般の級数では、実部がいくらでも大きい零点をもつ $0$ でない級数があり（HR15 p. 6）、扇形の中の零点を仮定する形（HR15 Theorem 6）だけが残る。差 $\sigma_a-\sigma_c$ の上限は $\limsup\log n/\lambda_n$ になり、冪級数では $0$ である。
- 係数の和への逆向きの道：prop-ds-partial-sums の積分表示を逆に解くと、部分和 $A(x)$ が $F(s)x^s/s$ の縦線上の積分で表される（Perron の公式。HR15 Theorem 13、p. 12。この記事では証明しない）。$F$ の極や零点の位置から $A(x)$ の大きさを読み取るのが、素数定理 の証明の型である（Wiener–池原の定理）。
関連項目
- 前提: 数論的関数, 正則関数, 一様収束
- 例: Riemannゼータ関数, Dirichlet L関数, von Mangoldt関数, Liouville関数, Möbius関数
- 関連: 冪級数, 乗法的関数, Abelの級数変形法とその応用, 解析接続
- 発展: 素数定理, Wiener–池原の定理, Mertensの定理, 解析的整数論
参考文献
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