2つの2次方程式の共通解

方針：$h(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)$ に $x=\alpha$ を代入し、$f(\alpha)=g(\alpha)=0$ を使う。
$h(\alpha)=u(\alpha)f(\alpha)+v(\alpha)g(\alpha)$ である。$f(\alpha)=0$、$g(\alpha)=0$ なので $h(\alpha)=u(\alpha)\cdot0+v(\alpha)\cdot0=0$ である。$\square$

方針：左辺を展開し、$x^2$、$x$、定数項ごとにまとめる。
段 1（1）。
$$ a'f(x)-ag(x)=(a'a-aa')x^2+(a'b-ab')x+(a'c-ac')=-(ab'-a'b)x-(ac'-a'c) $$
で、$x^2$ の係数は $0$ になり、右辺は $-(Px+Q)$ である。
段 2（2）。
$$ c'f(x)-cg(x)=(ac'-a'c)x^2+(bc'-b'c)x+(cc'-cc')=Qx^2+Sx $$
で、定数項は $0$ になり、右辺は $x(Qx+S)$ である。$\square$

方針：定義どおりに展開する。
$$ aS-bQ+cP=a(bc'-b'c)-b(ac'-a'c)+c(ab'-a'b) $$
右辺を展開すると $abc'-ab'c-abc'+a'bc+ab'c-a'bc$ となる。$abc'$ と $-abc'$、$-ab'c$ と $ab'c$、$a'bc$ と $-a'bc$ がそれぞれ打ち消し合うので、和は $0$ である。$\square$

方針：共通解 $\alpha$ があれば、lem-crq-eliminations の 2 つの式に $\alpha$ を代入して $\alpha$ を消去し、$Q^2=PS$ を導く（段 1、2）。逆に $Q^2=PS$ なら、$P\ne0$ か $P=0$ かで分けて共通解を実際に作る（段 3〜5）。
段 1（必要性：$\alpha\ne0$ の場合）。$\alpha$ を共通解とする。lem-crq-combination により $\alpha$ は lem-crq-eliminations の 2 つの式の左辺の解なので、右辺も $0$ になり
$$ P\alpha+Q=0,\qquad\alpha(Q\alpha+S)=0 $$
である。$\alpha\ne0$ なら 2 つ目から $Q\alpha+S=0$ である。すると
$$ Q^2=Q\cdot Q=Q\cdot(-P\alpha)=-P\,(Q\alpha)=-P\cdot(-S)=PS $$
となる。2 つ目の等号は $Q=-P\alpha$、4 つ目の等号は $Q\alpha=-S$ を使った。
段 2（必要性：$\alpha=0$ の場合）。$f(0)=c$、$g(0)=c'$ なので $c=c'=0$ である。すると $Q=a\cdot0-a'\cdot0=0$、$S=b\cdot0-b'\cdot0=0$ で、$Q^2=0=PS$ である。これで 1 の「必要」が示された。
段 3（十分性：$P\ne0$、候補を作る）。$Q^2=PS$、$P\ne0$ とし、$\alpha=-\dfrac QP$ とおく。$P\alpha+Q=0$ であり、
$$ Q\alpha+S=-\frac{Q^2}P+S=\frac{PS-Q^2}P=0 $$
である。lem-crq-eliminations に $x=\alpha$ を代入すると、$F=f(\alpha)$、$G=g(\alpha)$ について
$$ a'F-aG=-(P\alpha+Q)=0,\qquad c'F-cG=\alpha(Q\alpha+S)=0 $$
が成り立つ。
段 4（十分性：$P\ne0$、候補が共通解であること）。段 3 の 1 つ目の式から $G=\dfrac{a'}aF$ である（$a\ne0$）。これを 2 つ目の式に代入すると $c'F-\dfrac{ca'}aF=\dfrac{ac'-a'c}aF=\dfrac QaF=0$ である。

• $Q\ne0$ のとき、$F=0$ で、$G=\dfrac{a'}a\cdot0=0$ である。
• $Q=0$ のとき、$\alpha=0$ であり、$PS=Q^2=0$ と $P\ne0$ から $S=0$ である。lem-crq-identity の $aS-bQ+cP=0$ に $S=Q=0$ を入れると $cP=0$ なので $c=0$ である。すると $Q=ac'-a'c=ac'=0$ と $a\ne0$ から $c'=0$ である。よって $F=f(0)=c=0$、$G=g(0)=c'=0$ である。
  どちらの場合も $f(\alpha)=g(\alpha)=0$ で、$\alpha$ は共通解である。また、共通解 $\beta$ はどれも段 1 と同じく $P\beta+Q=0$ を満たすので、$\beta=-\dfrac QP=\alpha$ である。これで $P\ne0$ の場合の十分性と 2 が示された。
  段 5（十分性：$P=0$ の場合）。$Q^2=PS=0$ なので $Q=0$ である。$P=ab'-a'b=0$ から $b'=\dfrac{a'b}a$、$Q=ac'-a'c=0$ から $c'=\dfrac{a'c}a$ である。よって
  $$ g(x)=a'x^2+\frac{a'b}ax+\frac{a'c}a=\frac{a'}a\,(ax^2+bx+c)=\frac{a'}a\,f(x) $$
  である。$f(x)=0$ は 2 次方程式なので、複素数の範囲で解 $\alpha$ をもつ（解の公式）。$g(\alpha)=\dfrac{a'}af(\alpha)=0$ なので、$f(x)=0$ の解はすべて共通解である。これで 3 と、$P=0$ の場合の十分性が示された。$\square$

方針：共通解があることは $Q^2=PS$ と同じなので（thm-crq-main の 1）、その条件のもとで、共通解が実数になるかを $P$ で場合を分けて調べる。
段 1（$P\ne0$）。共通解は $\alpha=-\dfrac QP$ だけである（thm-crq-main の 2）。$P,Q$ は実数の係数から引き算と掛け算で作った数なので実数であり、$\alpha$ も実数である。
段 2（$P=0$）。共通解は $f(x)=0$ の解全体である（thm-crq-main の 3）。$f(x)=0$ が実数解をもつのは判別式 $b^2-4ac\ge0$ のときである。
段 3（まとめ）。段 1、2 を合わせると、実数の共通解があることは「$Q^2=PS$ かつ（$P\ne0$、または $P=0$ かつ $b^2-4ac\ge0$）」と同じである。$\square$

方針：共通解 $\alpha$ から共通の因数 $x-\alpha$ を作り、逆に共通の因数から、その解として共通解を作る。
段 1（必要性）。$\alpha$ を共通解とする。$f(\alpha)=0$ なので、因数定理（剰余の定理と因数定理）により $f(x)$ は $x-\alpha$ で割り切れる。$g(\alpha)=0$ なので $g(x)$ も $x-\alpha$ で割り切れる。$h(x)=x-\alpha$ とすればよい。
段 2（十分性）。$h(x)$ が $f(x)$ と $g(x)$ を割り切るとし、$f(x)=h(x)q(x)$、$g(x)=h(x)r(x)$ と書く。$f(x)$ は $0$ でない 2 次式なので、$q(x)$ も $0$ ではなく、$h(x)$ の次数と $q(x)$ の次数の和は $f(x)$ の次数 $2$ に等しい。$h(x)$ は 1 次以上なので、次数は 1 か 2 である。

• $h(x)$ が 1 次のとき、$h(x)=px+s$（$p\ne0$）と書くと、$\beta=-\dfrac sp$ で $h(\beta)=0$ である。
• $h(x)$ が 2 次のとき、$q(x)$ の次数は $0$ なので、$q(x)$ は $0$ でない定数 $q$ である。よって $h(x)=\dfrac1q f(x)$ である。$f(x)=0$ は実数係数の 2 次方程式なので、解の公式により複素数の範囲で解 $\beta$ をもち、$h(\beta)=\dfrac1q f(\beta)=0$ である。
  どちらの場合も $h(\beta)=0$ となる複素数 $\beta$ がある。すると $f(\beta)=h(\beta)q(\beta)=0$、$g(\beta)=h(\beta)r(\beta)=0$ なので、$\beta$ は共通解である。$\square$

方針：1 次式で割った余りは、その 1 次式が $0$ になる $x$ での値である（剰余の定理）。値を計算し、lem-crq-identity で整理する。
段 1。$Px+Q=P\Bigl(x+\dfrac QP\Bigr)$ なので、$f(x)$ を $Px+Q$ で割った余りは定数で、剰余の定理（剰余の定理と因数定理）により $f\Bigl(-\dfrac QP\Bigr)$ に等しい。
段 2。
$$ f\Bigl(-\frac QP\Bigr)=a\frac{Q^2}{P^2}-b\frac QP+c=\frac{aQ^2-bPQ+cP^2}{P^2} $$
である。
段 3。lem-crq-identity より $cP=bQ-aS$ なので、$cP^2=bPQ-aPS$ である。これを段 2 の分子に入れると $aQ^2-bPQ+bPQ-aPS=a(Q^2-PS)$ となる。$a\ne0$、$P\ne0$ なので、余りが $0$ であることと $Q^2=PS$ は同値である。$\square$

方針：$R(f,g)$ を「$f$ の解での $g$ の値の積」に書き直す。その値を lem-crq-eliminations で 1 次式に落とし、最後に解と係数の関係で $\alpha_1,\alpha_2$ を消す。
段 1。$g(\alpha_i)=a'(\alpha_i-\beta_1)(\alpha_i-\beta_2)$ なので、$g(\alpha_1)g(\alpha_2)=a'^2(\alpha_1-\beta_1)(\alpha_1-\beta_2)(\alpha_2-\beta_1)(\alpha_2-\beta_2)$ である。両辺に $a^2$ を掛けて $R(f,g)=a^2g(\alpha_1)g(\alpha_2)$ である。
段 2。lem-crq-eliminations の 1 から $ag(x)=a'f(x)+Px+Q$ である。$f(\alpha_i)=0$ なので $ag(\alpha_i)=P\alpha_i+Q$ である。よって
$$ R(f,g)=\bigl(ag(\alpha_1)\bigr)\bigl(ag(\alpha_2)\bigr)=(P\alpha_1+Q)(P\alpha_2+Q)=P^2\alpha_1\alpha_2+PQ(\alpha_1+\alpha_2)+Q^2 $$
である。
段 3。解と係数の関係（根と係数の関係と対称式）$\alpha_1+\alpha_2=-\dfrac ba$、$\alpha_1\alpha_2=\dfrac ca$ を代入すると
$$ R(f,g)=\frac{cP^2-bPQ}a+Q^2=\frac{P\,(cP-bQ)}a+Q^2 $$
である。lem-crq-identity より $cP-bQ=-aS$ なので、$R(f,g)=\dfrac{P\cdot(-aS)}a+Q^2=Q^2-PS$ である。$\square$

方針：高校の引き算と同じ操作（3 行目から 1 行目の定数倍を引く）を行列の行に行い、1 列目を $a$ 以外 $0$ にしてから、1 列目で展開する。行列式の性質は証明しない（行を定数倍すると行列式も同じ数倍になること：Bee15 Theorem DRCM、ある行の定数倍を別の行に足しても行列式は変わらないこと：同 Theorem DRCMA、列による展開：同 Theorem DEC、1 行目による展開は行列式の定義：同 Definition DM）。
段 1（3 行目と 4 行目の変形）。3 行目を $a$ 倍してから 1 行目の $-a'$ 倍を足すと、3 行目は $(aa'-a'a,\ ab'-a'b,\ ac'-a'c,\ 0)=(0,\ P,\ Q,\ 0)$ になる。同じように、4 行目を $a$ 倍してから 2 行目の $-a'$ 倍を足すと $(0,\ 0,\ P,\ Q)$ になる。行を $a$ 倍する操作を 2 回したので、行列式は $a^2$ 倍になる。
$$ a^2\det M=\det\begin{pmatrix}a&b&c&0\\ 0&a&b&c\\ 0&P&Q&0\\ 0&0&P&Q\end{pmatrix} $$
段 2（1 列目で展開）。1 列目の $0$ でない成分は左上の $a$ だけなので
$$ a^2\det M=a\det\begin{pmatrix}a&b&c\\P&Q&0\\ 0&P&Q\end{pmatrix} $$
である。
段 3（3 次の行列式）。1 行目で展開すると（Bee15 Definition DM）
$$ \det\begin{pmatrix}a&b&c\\P&Q&0\\ 0&P&Q\end{pmatrix}=a(Q\cdot Q-0\cdot P)-b(P\cdot Q-0\cdot0)+c(P\cdot P-Q\cdot0)=aQ^2-bPQ+cP^2 $$
である。
段 4（まとめ）。prf-prop-crq-euclid-step の段 3 と同じく、lem-crq-identity から $aQ^2-bPQ+cP^2=a(Q^2-PS)$ である。よって $a^2\det M=a\cdot a(Q^2-PS)$ で、$a\ne0$ で割って $\det M=Q^2-PS$ である。$\square$