Carlesonの定理
概要
Carlesonの定理（Carleson's theorem）とは、2 乗可積分な $2\pi$ 周期関数の Fourier 級数の対称な部分和 $s_N(f;x)$ が、$N\to\infty$ でほとんどすべての点 $x$ で $f(x)$ に収束するという定理である（Carleson、1966 年）。部分和の最大関数の弱 $(2,2)$ 型評価に帰着し、評価さえあれば三角多項式の稠密性から結論が従う。評価の現代的な証明は Lacey–Thiele による時間周波数解析で、タイルと木に分けた和をエネルギーと質量（密度）の二つの量で制御する。可積分関数では同じ結論は成り立たない。
前提知識: Fourier級数, Lp空間, Hardy–Littlewoodの極大関数, Fourier変換
2 乗可積分な周期関数の Fourier 級数は、$L^2$ のノルムでは元の関数に収束する。しかし各点ではどうか。連続関数でさえ Fourier 級数が発散する点をもちうるので、すべての点での収束は期待できない。ほとんど至るところ収束するかどうかは長く未解決だった。Carleson の定理（1966 年）はこれに肯定的に答え、$L^2$ の関数の Fourier 級数の部分和がほとんど至るところ元の関数に収束することを示した。
証明の核心である実数直線の上の評価は長いので、この記事ではその評価を証明しない。この記事では、主張と歴史的位置を述べたあと、定理が部分和の最大関数の弱型評価に帰着し、さらに実数直線の Carleson 作用素の弱型評価に帰着することを完全に証明し、その評価の現代的な証明（Lacey–Thiele の時間周波数解析）の構成を、タイル・木・サイズ（エネルギー）・密度（質量）を中心に説明する。
主張
$2\pi$ 周期の可測関数 $f$ で $\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2<\infty$ となるものの全体を $L^2(\mathbb T)$ と書く。Fourier 係数と部分和は Fourier級数 と同じく
$$
\hat f(n)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-inx}\,dx,\qquad s_N(f;x)=\sum_{n=-N}^{N}\hat f(n)e^{inx}
$$
で定める。
$f\in L^2(\mathbb T)$ なら、ほとんどすべての $x$ で $\displaystyle\lim_{N\to\infty}s_N(f;x)=f(x)$ である。
この記事で完全に証明するのは、定理が実数直線の Carleson 作用素の弱 $(2,2)$ 型評価（thm-carleson-real-line）から従うことまでである（節「最大評価への帰着」）。その評価の証明は LT00 に譲り（この記事では証明しない）、構成だけを節「Lacey–Thiele の証明の構成」で述べる。定理の主張は Axl26 §11A の末尾（p. 352）と Bre11 Theorem 5.17（p. 146、$L^2(0,\pi)$ の正弦展開の形）にもあり、どちらの本でも証明は省かれている。
定理が主張するのは部分和の列全体の収束である。$L^2$ のノルムでの収束 $\|s_N(f;\cdot)-f\|_2\to0$（Axl26 11.31、pp. 355–356）からは、ほとんど至るところ収束する部分列の存在しか出ない（Lp空間 の系「各点収束する部分列」）。定理はこの差を埋める。
歴史的位置
- 連続関数でも、Fourier 級数が $0$ で発散するものがある（Banach–Steinhausの定理 の定理「$0$ で Fourier 級数が発散する連続関数の存在」）。したがって「すべての点で収束する」は連続関数でも成り立たない。
- Kolmogorov は 1923 年に、可積分関数で Fourier 級数がほとんど至るところ発散するものを構成した（Axl26 p. 352）。Kolmogorov はすべての点で発散するものも与えている（Bass24 Remark 19.23、p. 214）。$L^1$ では定理は成り立たない。
- Carleson は 1966 年に $L^2$ の場合を証明した（Axl26 p. 352）。Hunt はこれを $1< p<\infty$ の $L^p$ へ拡張した（Bass24 Remark 19.23）。
- Fefferman（1973 年）は、各点 $x$ で最悪の周波数 $N(x)$ を選ぶ関数に沿って作用素を分解する別証明を与えた。Lacey と Thiele（2000 年）は、双線形 Hilbert 変換の研究で開発した時間周波数解析の方法により、$f$ と $N$ を対称に扱う短い証明を与えた（LT00 §1、pp. 361–362）。
外す条件 反例 成り立たなくなること $f\in L^2$（$L^1$ にする） Kolmogorov の可積分関数（この記事では構成しない） ほとんど至るところの収束 「ほとんどすべての点」 $0$ で部分和が有界でない連続関数 すべての点での収束
最大評価への帰着
部分和の最大関数を
$$
\mathcal Cf(x):=\sup_{N\ge0}|s_N(f;x)|
$$
とおく（Carleson の最大作用素）。定理の核心は、この作用素の弱 $(2,2)$ 型の評価である。それさえあれば、残りは Hardy–Littlewoodの極大関数 の記事で Lebesgue の微分定理を導いたのと同じ論法で済む。
$(\Omega,\mu)$ を測度空間とし、$n\ge1$ ごとに線形写像 $S_n\colon L^2(\mu)\to L^0(\mu)$ が与えられているとする。$S^*h:=\sup_n|S_nh|$ が、ある定数 $C$ について
$$
\mu(\{S^*h>\lambda\})\le\frac{C}{\lambda^2}\|h\|_2^2\qquad(h\in L^2(\mu),\ \lambda>0)
$$
を満たし、稠密な部分集合 $D\subset L^2(\mu)$ の各 $g$ について $S_ng\to g$ がほとんど至るところ成り立つとする。このとき、すべての $f\in L^2(\mu)$ について $S_nf\to f$ がほとんど至るところ成り立つ。
$f\in L^2$ を固定し、$L_f:=\limsup_n|S_nf-f|$（$[0,\infty]$ 値の可測関数）とおく。$g\in D$ とすると、線形性 $S_nf=S_ng+S_n(f-g)$ は各 $n$ でほとんど至るところ成り立ち、可算個の $n$ の例外集合の和は零集合である。したがってほとんど至るところ
$$
L_f\le\limsup_n|S_ng-g|+\sup_n|S_n(f-g)|+|f-g|=S^*(f-g)+|f-g|
$$
である。$\varepsilon>0$ について、仮定と Chebyshevの不等式 から
$$
\mu(\{L_f>\varepsilon\})\le\mu(\{S^*(f-g)>\tfrac\varepsilon2\})+\mu(\{|f-g|>\tfrac\varepsilon2\})\le\frac{4(C+1)}{\varepsilon^2}\|f-g\|_2^2
$$
である。$D$ は稠密なので右辺はいくらでも小さく、左辺は $g$ によらないから $\mu(\{L_f>\varepsilon\})=0$ である。$\varepsilon=1/k$ の可算和をとれば $L_f=0$ がほとんど至るところ成り立つ。$\square$
ある定数 $C$ について、すべての $f\in L^2(\mathbb T)$ と $\lambda>0$ で
$$
|\{x\in[-\pi,\pi)\mid\mathcal Cf(x)>\lambda\}|\le\frac{C}{\lambda^2}\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2\,dx
$$
が成り立つなら、thm-carleson-main が成り立つ。
$\Omega=[-\pi,\pi)$、$S_n:=s_n(\cdot\,;x)$、$D$ を三角多項式 $\sum_{|k|\le K}c_ke^{ikx}$ の全体として thm-carleson-max-dense を使う。三角多項式 $g$ では $n\ge K$ で $s_n(g;x)=g(x)$（Fourier級数 の系「三角多項式の係数」）なので、すべての点で収束する。三角多項式が $L^2(\mathbb T)$ で稠密なことは、$L^2$ の関数の部分和がノルムで収束すること（Axl26 11.30・11.31、pp. 355–356。この記事では証明しない）による。$\square$
逆に、定理が成り立てば $\mathcal Cf$ はほとんど至るところ有限である。最大評価は、収束の定量的な形と考えられる。
実数直線の作用素への帰着
実数直線の上の Schwartz 関数 $F$ について $\hat F(\xi)=\int_{\mathbb R}F(x)e^{-2\pi ix\xi}\,dx$ とし（Fourier変換）、Carleson 作用素を
$$
CF(x):=\sup_{N\in\mathbb R}\Bigl|\int_{-\infty}^{N}\hat F(\xi)e^{2\pi ix\xi}\,d\xi\Bigr|
$$
で定める。周波数を半直線 $(-\infty,N]$ で切る作用素の、切り口 $N$ についての最大関数である。
ある定数 $A$ について、すべての Schwartz 関数 $F$ と $\lambda>0$ で $|\{x\in\mathbb R\mid CF(x)>\lambda\}|\le A\lambda^{-2}\|F\|_2^2$ が成り立つ。
この定理の証明は LT00 Theorem 1.1（p. 361。証明は §2–§6、pp. 362–369）に譲る（この記事では証明しない）。証明の構成は次の節で述べる。
周期関数の場合は、この定理から次のように導かれる。
thm-carleson-real-line が成り立てば、cor-carleson-reduction の仮定が成り立つ。したがって thm-carleson-main が成り立つ。
要点：三角多項式 $f$ に、Fourier 変換が狭い区間に台をもつ切り落とし $\psi(x/R)$ を掛けると、$f$ の周波数 $n$ の成分は実数直線の周波数 $n/2\pi$ のまわりの互いに交わらない区間に移る。整数の中点にあたる周波数で切れば、部分和に $\psi(x/R)$ を掛けたものが誤差の項なしに現れる。あとは周期性で $[-\pi,\pi)$ の上の測度に戻し、稠密性で一般の $f$ へ延ばす。
詳しい証明を開く
切り落とし。 $\theta\ge0$ を $[-\frac1{8\pi},\frac1{8\pi}]$ に台をもつ滑らかな関数で $\int\theta=1$ となるものとし、$\psi(y):=\int_{\mathbb R}\theta(\eta)e^{2\pi iy\eta}\,d\eta$ とおく。$\psi$ は Schwartz 関数で（Fourier変換）、$\psi(0)=1$ である。$\psi$ は連続なので、ある $\rho>0$ について $[-\rho,\rho]$ の上で $|\psi|\ge\frac12$ であり、$B:=\sup_y(1+|y|)^2|\psi(y)|^2$ は有限である。$R:=\max(2,4\pi/\rho)$ と固定する。
三角多項式の場合。 $f(x)=\sum_{|n|\le K}\hat f(n)e^{inx}$ とし、$M\in\mathbb Z$ について $S_Mf(x):=\sum_{n\le M}\hat f(n)e^{inx}$ とおく。$s_N(f;x)=S_Nf(x)-S_{-N-1}f(x)$ である。$F(x):=f(x)\psi(x/R)$ は Schwartz 関数で、$\eta=R(\xi-\frac n{2\pi})$ と置換すれば $$\hat F(\xi)=\sum_{|n|\le K}\hat f(n)\,R\,\theta\Bigl(R\bigl(\xi-\frac n{2\pi}\bigr)\Bigr)$$ である。$R\ge2$ なので第 $n$ 項の台は $[\frac n{2\pi}-\frac1{16\pi},\frac n{2\pi}+\frac1{16\pi}]$ に含まれる。$N_M:=\frac{2M+1}{4\pi}$ は $\frac M{2\pi}$ と $\frac{M+1}{2\pi}$ の中点で、両者からの距離 $\frac1{4\pi}$ は $\frac1{16\pi}$ より大きいから、$n\le M$ の項の台は $N_M$ より左に、$n\ge M+1$ の項の台は $N_M$ より右にある。したがって同じ置換により $$\int_{-\infty}^{N_M}\hat F(\xi)e^{2\pi ix\xi}\,d\xi=\sum_{n\le M}\hat f(n)\int_{\mathbb R}\theta(\eta)e^{2\pi ix(\frac n{2\pi}+\frac\eta R)}\,d\eta=S_Mf(x)\,\psi(x/R)$$ であり、$|S_Mf(x)\psi(x/R)|\le CF(x)$ である。$M=N$ と $M=-N-1$ に使って、すべての $x$ で $\mathcal Cf(x)\,|\psi(x/R)|\le2\,CF(x)$ を得る。
$Q:=[-\rho R,\rho R]$ の上では $|\psi(x/R)|\ge\frac12$ なので $\mathcal Cf\le4\,CF$ であり、thm-carleson-real-line から $$|\{x\in Q\mid\mathcal Cf(x)>\lambda\}|\le|\{CF>\tfrac\lambda4\}|\le\frac{16A}{\lambda^2}\|F\|_2^2$$ である。$\|F\|_2^2$ を見積もる。$J_k:=[2\pi k-\pi,2\pi k+\pi)$ とおくと、$k\ne0$ のとき $J_k$ の上で $|x|\ge\pi|k|$ だから $|\psi(x/R)|^2\le B(1+\pi|k|/R)^{-2}$ である。$|f|^2$ の周期性と、和を $1+2\int_0^\infty(1+\pi t/R)^{-2}dt$ で抑えることと、$R\ge\pi/2$ から $$\|F\|_2^2=\sum_{k\in\mathbb Z}\int_{J_k}|f|^2|\psi(x/R)|^2\,dx\le B\|f\|_2^2\sum_{k\in\mathbb Z}\Bigl(1+\frac{\pi|k|}R\Bigr)^{-2}\le B\Bigl(1+\frac{2R}\pi\Bigr)\|f\|_2^2\le\frac{4BR}{\pi}\|f\|_2^2$$ である（$\|f\|_2^2=\int_{-\pi}^{\pi}|f|^2$）。
左辺は周期性で戻す。$\mathcal Cf$ は $2\pi$ 周期である。$J_k\subset Q$ となる $k$ は $|k|\le\frac{\rho R-\pi}{2\pi}$ を満たすすべての整数で、その個数は $\frac{\rho R}\pi-2$ 以上、$\rho R\ge4\pi$ より $\frac{\rho R}{2\pi}$ 以上である。これらの $J_k$ は互いに交わらないので $$\frac{\rho R}{2\pi}\,|\{x\in[-\pi,\pi)\mid\mathcal Cf(x)>\lambda\}|\le\frac{16A}{\lambda^2}\cdot\frac{4BR}{\pi}\|f\|_2^2$$ となり、$C_1:=128AB/\rho$ について $|\{x\in[-\pi,\pi)\mid\mathcal Cf(x)>\lambda\}|\le C_1\lambda^{-2}\|f\|_2^2$ を得る。$C_1$ は $f$ によらない。
一般の $f\in L^2(\mathbb T)$。 三角多項式 $g_k$ で $\|g_k-f\|_2\to0$ となるものをとる（prf-carleson-reduction の稠密性）。Cauchy–Schwarz の不等式から各 $n$ で $\hat g_k(n)\to\hat f(n)$ なので、各 $N$ と $x$ で $s_N(g_k;x)\to s_N(f;x)$ である。$\lambda'\in(0,\lambda)$ とする。$\mathcal Cf(x)>\lambda$ なら $|s_N(f;x)|>\lambda$ となる $N$ があり、十分大きいすべての $k$ で $\mathcal Cg_k(x)>\lambda'$ である。よって $\{\mathcal Cf>\lambda\}\subset\bigcup_m\bigcap_{k\ge m}\{\mathcal Cg_k>\lambda'\}$ であり、右辺は増加列の和だから $$|\{x\in[-\pi,\pi)\mid\mathcal Cf(x)>\lambda\}|\le\liminf_{k\to\infty}\frac{C_1}{\lambda'^2}\|g_k\|_2^2=\frac{C_1}{\lambda'^2}\|f\|_2^2$$ である。$\lambda'\to\lambda$ として、cor-carleson-reduction の仮定が定数 $C_1$ で成り立つ。$\square$
切り落としの Fourier 変換の台を有界にとったので、周波数の切断は周期の側と実数直線の側でちょうど一致し、評価すべき誤差の項は生じない。
Lacey–Thiele の証明の構成
Lacey–Thiele は、実数直線の上の Carleson 作用素が弱 $(2,2)$ 型であること（thm-carleson-real-line）を証明した（LT00 Theorem 1.1、p. 361）。以下、LT00 に沿ってその証明の構成を述べ、各段の命題は主張だけを述べる。この節では実数直線の上の関数も $f$ と書く。
タイルと波束
二進区間 $[k2^j,(k+1)2^j)$（$j,k\in\mathbb Z$）$I,\omega$ で $|I|\,|\omega|=1$ となる長方形 $P=I_P\times\omega_P$ をタイルという。$I_P$ は時間（位置）、$\omega_P$ は周波数の区間であり、面積 $1$ は不確定性原理が許す最小の広がりにあたる。$\omega_P$ の下半分を $\omega_{P1}$、上半分を $\omega_{P2}$ とする。Fourier 変換が $[-0.1,0.1]$ に台をもつ Schwartz 関数 $\varphi$ を固定し、平行移動・変調・拡大で
$$
\varphi_P(x):=e^{2\pi ic(\omega_{P1})x}\,|I_P|^{-1/2}\varphi\Bigl(\frac{x-c(I_P)}{|I_P|}\Bigr)
$$
（$c(\cdot)$ は区間の中心）とおく。$\widehat{\varphi_P}$ は $\omega_{P1}$ の中に台をもち、$|\varphi_P(x)|\le C|I_P|^{1/2}w_P(x)$、$w_P(x):=|I_P|^{-1}(1+|x-c(I_P)|/|I_P|)^{-\kappa}$（$\kappa$ は大きな定数）である。つまり $\varphi_P$ は、時間では $I_P$ の近く、周波数では $\omega_{P1}$ の中に集中した波束である。
タイル全体を $\mathbf P$ とし、模型の作用素
$$
A_\xi f:=\sum_{P\in\mathbf P}1_{\omega_{P2}}(\xi)\,\langle f,\varphi_P\rangle\,\varphi_P
$$
を考える。$\xi$ が $\omega_{P2}$ に入るタイルだけを足すので、$\xi$ より下の周波数の波束だけが残り、$A_\xi$ は「周波数を $\xi$ で切る」作用素を粗く模倣する。二進格子の平行移動・変調・拡大についての $A_\xi$ の平均は、平行移動と（変調を伴う）拡大で不変な作用素になり、それは Fourier 変換の側で $(-\infty,\xi)$ への射影の $0$ でない定数倍に限られる（LT00 §2、pp. 362–363）。こうして $\sup_\xi|A_\xi f|$ の弱 $(2,2)$ 型評価から Carleson 作用素の評価が従う。
線形化と双対
各 $x$ で上限を与える $\xi$ を可測関数 $N(x)$ として選べば、作用素は $f$ について線形になる。双対性により、すべての Schwartz 関数 $f$、可測関数 $N$、測度有限の可測集合 $E$、タイルの有限集合 $\mathbf P'\subset\mathbf P$ について
$$
\sum_{P\in\mathbf P'}\bigl|\langle f,\varphi_P\rangle\bigr|\,\bigl|\langle\varphi_P1_{\omega_{P2}}(N(\cdot)),1_E\rangle\bigr|\le C\|f\|_2|E|^{1/2}
$$
を示せばよい（LT00 (3)、p. 363。以下この不等式を評価 (A) と呼ぶ）。$E$ の上での積分の評価から弱型評価が出るのは、次の初等的な命題による。
$g$ を $\mathbb R$ 上の可測関数で、測度有限の集合の上では可積分なものとする。測度有限のすべての可測集合 $E$ について $\bigl|\int_Eg\bigr|\le A|E|^{1/2}$ とする。このとき $\lambda>0$ について $|\{|g|>\lambda\}|\le8A^2/\lambda^2$ である。
$R>0$ とし、$B:=\{|g|>\lambda\}\cap[-R,R]$ を $g$ の偏角で 4 つに分ける：$E_j:=\{x\in B\mid|\arg g(x)-j\pi/2|\le\pi/4\}$（$j=0,1,2,3$。境界はどれか 1 つに入れる）。$E_j$ の上では $\operatorname{Re}(e^{-ij\pi/2}g)\ge|g|/\sqrt2>\lambda/\sqrt2$ なので
$$
\frac{\lambda}{\sqrt2}|E_j|\le\operatorname{Re}\Bigl(e^{-ij\pi/2}\int_{E_j}g\Bigr)\le A|E_j|^{1/2}
$$
であり、$|E_j|\le2A^2/\lambda^2$ である。4 つを足して $|B|\le8A^2/\lambda^2$ を得て、$R\to\infty$ とすればよい。$\square$
評価 (A) の左辺は、$N$ で線形化した模型作用素を $E$ の上で積分した値の絶対値を上から抑えている。したがって 評価 (A) とこの命題から、模型作用素の弱 $(2,2)$ 型評価が得られる。
木、エネルギー、質量
タイルの間に順序を $P< P'\iff I_P\subset I_{P'}$ かつ $\omega_{P'}\subset\omega_P$ で定める。時間で大きいタイルほど周波数では小さい。あるタイル $P_T=I_T\times\omega_T$（頂点。木に属さなくてよい）について、すべての $P\in T$ が $P< P_T$ を満たす集合 $T$ を木という。木は、ほぼ一つの周波数 $\omega_T$ のまわりで、区間 $I_T$ の中のさまざまな尺度の波束を集めたものである。
$f$、$N$、$E$（評価 (A) は $f$ について斉次で、$f,N,E,\mathbf P'$ を同時に二進の尺度で拡大しても変わらないので、$\|f\|_2=1$、$|E|\le1$ と正規化してよい）を固定し、タイルの有限集合 $\mathbf P'$ に 2 つの量を定める（LT00 §3、p. 364）。
- 質量（mass。密度とも呼ばれる）：$E_{P'}:=E\cap\{x\mid N(x)\in\omega_{P'}\}$ として
$$ \operatorname{mass}(\mathbf P'):=\sup_{P\in\mathbf P'}\ \sup_{P'\in\mathbf P,\ P< P'}\int_{E_{P'}}w_{P'}(x)\,dx. $$
$E$ のうち $N$ がそのタイルの周波数に落ちる部分が、$I_{P'}$ の近くにどれだけ集まっているかを測る。$\int w_{P'}$ は一定なので、質量は普遍的な定数で抑えられる。 - エネルギー（energy。サイズとも呼ばれる）：特定の型の木 $T\subset\mathbf P'$ についての上限
$$ \operatorname{energy}(\mathbf P'):=\sup_T\Bigl(\frac1{|I_T|}\sum_{P\in T}|\langle f,\varphi_P\rangle|^2\Bigr)^{1/2}. $$
$f$ の係数が一つの木にどれだけ集中しているかを測る。
この 2 つの量について、次の 3 つの命題が成り立つ（証明は LT00 §4–§6、pp. 365–369）。 - 質量の補題（Proposition 3.1）：$\mathbf P'$ は、$\operatorname{mass}\le\frac12\operatorname{mass}(\mathbf P')$ の部分と、頂点の区間の長さの和が $C\operatorname{mass}(\mathbf P')^{-1}$ 以下の木の族の和に分けられる。
- エネルギーの補題（Proposition 3.2）：$\mathbf P'$ は、$\operatorname{energy}\le\frac12\operatorname{energy}(\mathbf P')$ の部分と、頂点の区間の長さの和が $C\operatorname{energy}(\mathbf P')^{-2}$ 以下の木の族の和に分けられる。
- 木の評価（(8)）：木 $T$ について
$$ \sum_{P\in T}\bigl|\langle f,\varphi_P\rangle\langle\varphi_P1_{\omega_{P2}}(N),1_E\rangle\bigr|\le C\operatorname{energy}(T)\operatorname{mass}(T)|I_T|. $$
質量の補題の証明は、極大なタイルを大きい順に選ぶ被覆の議論で、選んだタイルに対応する $E$ の部分集合が互いに交わらないことから長さの和を $|E|$ で抑える。エネルギーの補題は、選んだ木の係数の直交性（$TT^*$ の議論）による。木の評価では、一つの木の中では一つの周波数の近くで調和解析をすることになり、Hardy–Littlewood の極大関数の $L^2$ 有界性が使われる（LT00 §6、pp. 368–369。Hardy–Littlewoodの極大関数 の定理「極大作用素の $L^p$ 有界性」）。
組み合わせ
3 つの命題から評価 (A) を導く部分は短い計算なので、ここで示す。
上の 3 つの命題を認めると、$\|f\|_2=1$、$|E|\le1$ のとき、タイルの有限集合 $\mathbf P'$ について 評価 (A) の左辺は普遍的な定数で抑えられる。
十分大きい整数 $n$ では $\operatorname{mass}(\mathbf P')\le2^{2n}$、$\operatorname{energy}(\mathbf P')\le2^n$ である。この状態から始めて、$n$ を 1 ずつ下げながら次を繰り返す。残っている集合の質量が $2^{2(n-1)}$ を超えている間は、質量の補題で木の族を取り除く。1 回で質量は半分以下になり、始めの質量は $2^{2n}$ 以下なので、高々 2 回で質量は $2^{2(n-1)}$ 以下になる。補題を使う時点の質量は $2^{2(n-1)}$ を超えているので、各回に取り除く木の頂点の長さの和は $C2^{-2(n-1)}$ 以下である。次にエネルギーが $2^{n-1}$ を超えていれば、エネルギーの補題を 1 回使って木の族を取り除く。エネルギーは $2^{n-1}$ 以下になり、取り除く木の頂点の長さの和は同じく $C2^{-2(n-1)}$ 以下である。取り除いた木を集めたものを $\mathbf T_n$ とする。質量とエネルギーは部分集合で増えないので、残りは質量 $\le2^{2(n-1)}$、エネルギー $\le2^{n-1}$ を満たし、$\mathbf T_n$ の木は質量 $\le2^{2n}$、エネルギー $\le2^n$ を満たす。補題は高々 3 回しか使わないので、$\mathbf T_n$ の木の頂点の長さの和は $3C2^{-2(n-1)}=C'2^{-2n}$（$C':=12C$）以下である。$\mathbf P'$ は有限集合なので、有限回で係数が $0$ でないタイルは尽きる（LT00 (6)・(7)、pp. 364–365）。
木の評価を各木に使い、質量が普遍的な定数 $C_0$ 以下であることも合わせると、
$$
\sum_n\sum_{T\in\mathbf T_n}C\operatorname{energy}(T)\operatorname{mass}(T)|I_T|
\le\sum_{n\in\mathbb Z}C\,2^n\min(C_0,2^{2n})\,C'2^{-2n}
=C''\sum_{n\in\mathbb Z}\min(C_02^{-n},2^{n})
$$
である。$n\ge0$ の項は $C_02^{-n}$、$n< 0$ の項は $2^n$ で抑えられるので、右辺は $C''(2C_0+1)$ 以下である。$\square$
質量とエネルギーは互いに相手と独立に制御され、木の評価で積として出会う。二つの尺度の和が収束するのは、エネルギーの補題が $2^{-2n}$ の長さの和を、質量の上界 $\min(C_0,2^{2n})$ と木の評価のエネルギー $2^n$ がちょうど打ち消すように与えるからである。
質量は $E$ の中で測る
質量の定義で $E$ との共通部分をとることは本質的である。
質量の定義の $E_{P'}$ を $\{x\mid N(x)\in\omega_{P'}\}$ に替えたもの $\operatorname{mass}'$ を考える。$N\equiv0$ とし、正の整数 $M$ についてタイル $P_j:=[j,j+1)\times[0,1)$（$j=0,\dots,M-1$）の集合 $\mathbf P_M$ をとる。$P_j$ は、$[j,j+1)$ を含む長さ $2$ の二進区間 $I'_j$ によるタイル $P'_j:=I'_j\times[0,\frac12)$ について $P_j< P'_j$ を満たし、$0\in[0,\frac12)$ だから $\{N\in\omega_{P'_j}\}=\mathbb R$ である。どのタイル $P'$ についても $\{N\in\omega_{P'}\}$ は $\mathbb R$ か空集合なので、$\int w_{P'}=\int_{\mathbb R}(1+|y|)^{-\kappa}dy=:d_0$ に注意すると、$\mathbf P_M$ の空でないどの部分集合も $\operatorname{mass}'$ はちょうど $d_0$ である。
したがって $\operatorname{mass}'\le d_0/2$ となる部分は空で、$\mathbf P_M$ 全体を木で覆わなければならない。木の頂点の区間は木のタイルの区間を含むので、頂点の長さの和は $|[0,M)|=M$ 以上である。$M$ を大きくとれば、$M$ によらない定数 $C$ による上界 $C\,d_0^{-1}$ は成り立たない。$E$ を含む元の定義では、質量の補題の証明で選んだタイルに対応する $E$ の部分集合が互いに交わらず、長さの和が $|E|\le1$ で抑えられる。$E$ を外すとこの仕組みが失われる。
補足
- Carleson の定理は、Fourier 級数の部分和を「周波数の切断」と見て、その切り口についての最大関数を制御する定理である。Hardy–Littlewood の極大関数が時間の側の平均の上限であるのに対し、Carleson の最大作用素は周波数の側の切断の上限であり、時間と周波数の両方を同時に分解する必要がある。これが時間周波数解析の出発点になった。
- 線形化した作用素の評価を、集合 $E$ と関数 $f$ についての双線形の量（評価 (A) の左辺）に書き直し、$f$ の側の量（エネルギー）と $N,E$ の側の量（質量）を対称に扱うのが LT00 の特徴である。
関連項目
参考文献
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