部分集合

同義語：subset

概要

前提知識: 集合, 写像

定義

集合は、それに属する元（要素）によって定まる対象である。$x$ が集合 $A$ の元であることを $x\in A$（$x$ は $A$ に属する、$x$ は $A$ に所属する）と書き、そうでないことを $x\notin A$ と書く。部分集合は、この所属関係 $\in$ だけを使って定義される、集合と集合のあいだの最も基本的な関係である。

部分集合と包含

$A$, $B$ を集合とする。$A$ が $B$ の部分集合（subset）であるとは、$A$ のすべての元が $B$ の元でもあること、すなわち
$$ \forall x\ (x\in A \Rightarrow x\in B) $$
が成り立つことをいい、$A\subseteq B$ または $A\subset B$ と書く。このとき「$A$ は $B$ に含まれる」「$B$ は $A$ を含む」といい、$B$ を $A$ の上位集合（superset）ともいう。$A\subseteq B$ を $B\supseteq A$ とも書く。この関係 $\subseteq$ を包含（inclusion）または包含関係という。$A$ が $B$ の部分集合でないこと、すなわち $x\in A$ かつ $x\notin B$ となる $x$ が存在することを $A\not\subseteq B$ と書く。

定義の量化 $\forall x$ は、考えている宇宙のすべての対象（あるいは $A$ のすべての元）にわたる。したがって $A\subseteq B$ を示すには、「任意に $x\in A$ をとる。……よって $x\in B$ である」という形の議論を書けばよく、$A\not\subseteq B$ を示すには $A$ の元で $B$ に属さないものを 1 つ挙げればよい。
記法について注意する。文献によって $\subset$ は「等しい場合も許す包含」を表すことも「等しくない包含」を表すこともある。本記事および Mathpedia では、$\subset$ は $\subseteq$ と同じく等しい場合も許す包含を表し、等しくない包含は $\subsetneq$ で表す。

真部分集合と真包含

$A\subseteq B$ かつ $A\neq B$ であるとき、$A$ は $B$ の真部分集合（proper subset）であるといい、$A\subsetneq B$ と書く。この関係を真包含という。言い換えれば、$A\subsetneq B$ とは、$A$ のすべての元が $B$ に属し、しかも $B$ には $A$ に属さない元が少なくとも 1 つ存在することである（後半の言い換えは prop-subset-extensionality による）。

集合が「等しい」とはどういうことかは、集合論の最初の公理である外延性公理（axiom of extensionality）が定める。それは「同じ元をもつ 2 つの集合は等しい」という主張、すなわち
$$ \forall A\ \forall B\ \bigl(\forall x\ (x\in A \Leftrightarrow x\in B)\ \Rightarrow\ A=B\bigr) $$
である。逆向き、すなわち $A=B$ ならば $A$ と $B$ が同じ元をもつことは、等しいものは互いに置き換えられるという等号の一般的な性質（代入原理）から従う。外延性公理は、集合がその元によって完全に決まること、言い換えれば「どのように記述されたか」「どの順序で元を並べたか」「同じ元を何度書いたか」は集合の同一性に関係しないことを表している。たとえば $\{1,2,3\}=\{3,1,2\}=\{1,1,2,3\}$ である。この公理を包含の言葉で言い換えたものが次の命題であり、集合の相等を証明する標準的な方法（二重包含、double inclusion）を与える。

外延性による相等の特徴づけ

集合 $A$, $B$ について、次は同値である。

$A=B$
$A\subseteq B$ かつ $B\subseteq A$

1 ⇒ 2：$A=B$ とする。任意の $x$ について、$x\in A$ ならば、等号の代入原理により $A$ を $B$ で置き換えて $x\in B$ を得る。よって $A\subseteq B$ である。同様に $x\in B$ ならば $x\in A$ なので $B\subseteq A$ である。
2 ⇒ 1：$A\subseteq B$ かつ $B\subseteq A$ とする。任意の $x$ について、$A\subseteq B$ から $x\in A\Rightarrow x\in B$ が、$B\subseteq A$ から $x\in B\Rightarrow x\in A$ が成り立つので、$x\in A\Leftrightarrow x\in B$ である。$x$ は任意だったので $\forall x\,(x\in A\Leftrightarrow x\in B)$ が成り立ち、外延性公理により $A=B$ である。$\square$

この命題により、2 つの集合が等しいことを示すには「$A\subseteq B$」と「$B\subseteq A$」を別々に示せばよい。以下の証明でもこの方法を繰り返し使う。

直感

部分集合とは、ある集合から元をいくつか（1 つも選ばなくても、すべて選んでもよい）選び出して作られる集合である。$A\subseteq B$ は「$A$ は $B$ の一部である」「$A$ に入っているものは必ず $B$ にも入っている」ことを意味し、Venn図では $A$ を表す領域が $B$ を表す領域の内側にある状況にあたる。包含は集合どうしの「大小」を表す関係であるが、後述するように、どの 2 つの集合も比較できるわけではない（rem-subset-counterexample-incomparable）。また、$A$ が $B$ の部分集合であることと、$A$ が $B$ の元であることは別の事柄であり、混同してはならない（rem-subset-counterexample-membership）。

例と反例

数の集合の包含の列

自然数の全体 $\mathbb{N}$、整数の全体 $\mathbb{Z}$、有理数の全体 $\mathbb{Q}$、実数の全体 $\mathbb{R}$ について
$$ \mathbb{N}\subsetneq\mathbb{Z}\subsetneq\mathbb{Q}\subsetneq\mathbb{R} $$
が成り立つ。実際、すべての自然数は整数であり、すべての整数 $n$ は有理数 $n/1$ であり、すべての有理数は実数である（それぞれの数体系を構成したうえで、前の体系を後の体系の部分集合と同一視する。数体系の構成と同一視については End77 Chapter 5）。一方、$-1\in\mathbb{Z}$ は自然数でなく、$1/2\in\mathbb{Q}$ は整数でなく、$\sqrt2\in\mathbb{R}$ は有理数でない（$\sqrt2$ が無理数であることは Rud76 Example 1.1）ので、3 つの包含はいずれも真包含である。さらに、偶数全体 $2\mathbb{Z}=\{2n\mid n\in\mathbb{Z}\}$ は $\mathbb{Z}$ の真部分集合であり、素数全体は $\mathbb{N}$ の真部分集合である。

区間の包含

$\mathbb{R}$ の区間について考える。実数 $a< b$ に対し、開区間 $(a,b)=\{x\in\mathbb{R}\mid a< x< b\}$ と閉区間 $[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}$ のあいだには $(a,b)\subsetneq[a,b]$ が成り立つ。実際、$a< x< b$ ならば $a\le x\le b$ なので $(a,b)\subseteq[a,b]$ であり、$a\in[a,b]$ だが $a\notin(a,b)$ である。また $a\le c\le d\le b$ ならば $[c,d]\subseteq[a,b]$ である。実際、$x\in[c,d]$ なら $a\le c\le x\le d\le b$ である。逆に、$[c,d]\subseteq[a,b]$ ならば $c\in[a,b]$ から $a\le c$、$d\in[a,b]$ から $d\le b$ が従う。よって $c\le d$ のとき
$$ [c,d]\subseteq[a,b]\iff a\le c\ \text{かつ}\ d\le b $$
である。任意の区間 $I$ は $I\subseteq\mathbb{R}$ を満たし、有界な区間はどれも $\mathbb{R}$ の真部分集合である。

冪集合の元としての部分集合

集合 $X$ の部分集合をすべて集めた集合を $X$ の冪集合といい、$\mathcal{P}(X)$ または $2^X$ と書く。すなわち
$$ \mathcal{P}(X):=\{A\mid A\subseteq X\} $$
であり、$A\subseteq X$ と $A\in\mathcal{P}(X)$ は同じことである。$\mathcal{P}(X)$ が集合として存在することはZFC公理系の冪集合公理が保証する（Hal60 §5、Jec03 Chapter 1）。たとえば $X=\{1,2\}$ のとき
$$ \mathcal{P}(\{1,2\})=\bigl\{\emptyset,\ \{1\},\ \{2\},\ \{1,2\}\bigr\} $$
である。実際、$\{1,2\}$ の部分集合は、$1$ を入れるか入れないか、$2$ を入れるか入れないかの選び方で決まり、それぞれ上の 4 つになる。$\emptyset$ と $\{1,2\}$ も忘れずに数えることに注意する（prop-subset-empty、prop-subset-order）。一般に、$n$ 個の元をもつ有限集合の部分集合は $2^n$ 個ある（Mat68 第1章）。部分集合を冪集合の元とみなす見方は、位相空間の開集合系（$\mathcal{P}(X)$ の部分集合）や集合族を扱うときの基礎になる。

反例：所属と包含の混同

所属 $\in$ と包含 $\subseteq$ は別の関係であり、一方から他方は導けない。

$\{1\}\in\{\{1\}\}$ であるが $\{1\}\not\subseteq\{\{1\}\}$ である。実際、$\{\{1\}\}$ はただ 1 つの元 $\{1\}$ をもつ集合であり、$\{1\}$ はその元なので $\{1\}\in\{\{1\}\}$ である。一方、$1\in\{1\}$ であるが、$1\neq\{1\}$ なので $1\notin\{\{1\}\}$ であり、$\{1\}\not\subseteq\{\{1\}\}$ である。この集合 $\{1\}$ は「$\{\{1\}\}$ の元である」という性質を満たすが「$\{\{1\}\}$ の部分集合である」という性質を満たさず、含意「$A\in B\Rightarrow A\subseteq B$」を破る。
$\{1\}\subseteq\{1,2\}$ であるが $\{1\}\notin\{1,2\}$ である。実際、$\{1,2\}$ の元は $1$ と $2$ だけであり、$\{1\}$ はそのどちらとも異なる。この集合 $\{1\}$ は「$\{1,2\}$ の部分集合である」という性質を満たすが「$\{1,2\}$ の元である」という性質を満たさず、含意「$A\subseteq B\Rightarrow A\in B$」を破る。
$\in$ は推移的でない。$1\in\{1\}$ かつ $\{1\}\in\{\{1\}\}$ であるが $1\notin\{\{1\}\}$ である。これに対し $\subseteq$ は推移的である（prop-subset-order）。
両方が同時に成り立つこともある。たとえば $\emptyset\in\{\emptyset\}$ かつ $\emptyset\subseteq\{\emptyset\}$ である。$x\in A$ と $\{x\}\subseteq A$ はつねに同値であり、元 $x$ と一点集合 $\{x\}$ を区別すれば所属を包含で言い換えられる。

反例：比較不能な部分集合

包含は、どの 2 つの集合も比較できる関係（全順序）ではない。$A=\{1\}$、$B=\{2\}$ とすると、$1\in A$ かつ $1\notin B$ なので $A\not\subseteq B$ であり、$2\in B$ かつ $2\notin A$ なので $B\not\subseteq A$ である。この 2 つの集合は「同じ集合 $\{1,2\}$ の部分集合である」という性質を満たすが「一方が他方に含まれる」という性質を満たさず、「任意の 2 つの集合 $A$, $B$ について $A\subseteq B$ または $B\subseteq A$ が成り立つ」という主張を破る。したがって、$A\not\subseteq B$ から $B\subseteq A$ を結論することはできない。包含が満たす順序の法則は反射律・推移律・反対称律であり（prop-subset-order）、包含は半順序ではあるが全順序ではない。

反例：真部分集合と元の個数

有限集合では、真部分集合の元の個数はもとの集合の元の個数より真に少ない（Mat68 第2章、End77 Chapter 6）。しかし無限集合ではそうでない。偶数全体 $2\mathbb{Z}$ は $\mathbb{Z}$ の真部分集合であるが（$1\notin2\mathbb{Z}$）、写像 $n\mapsto2n$ は $\mathbb{Z}$ から $2\mathbb{Z}$ への全単射である。実際、$2m=2n$ ならば $m=n$ なので単射であり、任意の偶数 $2n$ は $n$ の像なので全射である。したがって $2\mathbb{Z}$ と $\mathbb{Z}$ は同じ濃度をもつ。この例は「$A\subsetneq B$ ならば $A$ と $B$ のあいだに全単射は存在しない」という主張（有限集合では正しい）が無限集合では成り立たないことを示す。自分自身の真部分集合と全単射で対応する集合が無限集合であるという事実は、Dedekind による無限集合の特徴づけの出発点である（End77 Chapter 6）。

性質

包含の反射律・推移律・反対称律

$A$, $B$, $C$ を集合とする。

（反射律）$A\subseteq A$ である。
（推移律）$A\subseteq B$ かつ $B\subseteq C$ ならば $A\subseteq C$ である。
（反対称律）$A\subseteq B$ かつ $B\subseteq A$ ならば $A=B$ である。
とくに、任意の集合 $X$ に対し、包含 $\subseteq$ は冪集合 $\mathcal{P}(X)$ 上の半順序であり、$(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ は順序集合である。

1：任意の $x$ について、$x\in A\Rightarrow x\in A$ は（前提と結論が同じ命題なので）つねに真である。よって $A\subseteq A$ である。
2：$A\subseteq B$ かつ $B\subseteq C$ とし、任意に $x\in A$ をとる。$A\subseteq B$ により $x\in B$ であり、$B\subseteq C$ により $x\in C$ である。$x\in A$ は任意だったので $A\subseteq C$ である。
3：prop-subset-extensionality の 2 ⇒ 1 そのものである。
最後の主張：$\mathcal{P}(X)$ の元は $X$ の部分集合であり、1〜3 は $\mathcal{P}(X)$ の任意の元について成り立つ。反射律・推移律・反対称律を満たす関係が半順序の定義である。$\square$

推移律は、$A\subseteq B\subseteq C$ のような包含の列を書くことを正当化する。真包含についても、$A\subsetneq B$ かつ $B\subseteq C$ ならば $A\subsetneq C$ である。実際、推移律により $A\subseteq C$ であり、もし $A=C$ なら $B\subseteq C=A\subseteq B$ から $A=B$ となって $A\subsetneq B$ に反する。ただし真包含は反射律を満たさない（$A\subsetneq A$ は $A\neq A$ を要求するので偽である）。

空集合は任意の集合の部分集合

空集合 $\emptyset$、すなわち元を 1 つももたない集合（$\forall x\ (x\notin\emptyset)$）について、次が成り立つ。

任意の集合 $A$ に対して $\emptyset\subseteq A$ である。
元を 1 つももたない集合はただ 1 つである。すなわち、$\forall x\ (x\notin E)$ を満たす集合 $E$ は $\emptyset$ に等しい。
$A\subseteq\emptyset$ ならば $A=\emptyset$ である。

1：示すべきことは $\forall x\ (x\in\emptyset\Rightarrow x\in A)$ である。任意の $x$ について、$x\in\emptyset$ は偽なので、含意 $x\in\emptyset\Rightarrow x\in A$ は結論 $x\in A$ の真偽によらず真である（前提が偽な含意は真である。空虚な真）。よって $\emptyset\subseteq A$ である。
2：$E$ が元をもたないとする。1 の議論を $E$ に対して行えば、任意の集合 $A$ について $E\subseteq A$ であり、とくに $E\subseteq\emptyset$ である。また 1 により $\emptyset\subseteq E$ である。よって prop-subset-extensionality により $E=\emptyset$ である。
3：$A\subseteq\emptyset$ とする。もし $x\in A$ となる $x$ があれば $x\in\emptyset$ となり、$\emptyset$ が元をもたないことに反する。よって $A$ は元をもたず、2 により $A=\emptyset$ である。$\square$

1 の証明は「$\emptyset$ の元で $A$ に属さないものは存在しない（そもそも $\emptyset$ の元が存在しない）」という論法であり、初学者が違和感をもちやすい箇所である。しかし def-subset の量化を文字どおりに読めばこれ以外の結論はない。この命題により、$\emptyset$ は順序集合 $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ の最小元、$X$ 自身は最大元である。
包含は、和集合 $A\cup B=\{x\mid x\in A\ \text{または}\ x\in B\}$ と共通部分 $A\cap B=\{x\mid x\in A\ \text{かつ}\ x\in B\}$ を使って言い換えることができる。

和集合・共通部分による包含の言い換え

集合 $A$, $B$ について、次は同値である。

$A\subseteq B$
$A\cup B=B$
$A\cap B=A$

まず、任意の $A$, $B$ について $B\subseteq A\cup B$ と $A\cap B\subseteq A$ が成り立つことに注意する。実際、$x\in B$ ならば「$x\in A$ または $x\in B$」が成り立つので $x\in A\cup B$ であり、$x\in A\cap B$ ならば「$x\in A$ かつ $x\in B$」により $x\in A$ である。
1 ⇒ 2：$A\subseteq B$ とする。$x\in A\cup B$ ならば $x\in A$ または $x\in B$ であり、前者の場合は $A\subseteq B$ により $x\in B$ である。よって $A\cup B\subseteq B$ である。上の注意により $B\subseteq A\cup B$ なので、prop-subset-extensionality により $A\cup B=B$ である。
2 ⇒ 1：$A\cup B=B$ とする。$x\in A$ ならば $x\in A\cup B=B$ である。よって $A\subseteq B$ である。
1 ⇒ 3：$A\subseteq B$ とする。$x\in A$ ならば $A\subseteq B$ により $x\in B$ でもあるので $x\in A\cap B$ である。よって $A\subseteq A\cap B$ である。上の注意により $A\cap B\subseteq A$ なので、prop-subset-extensionality により $A\cap B=A$ である。
3 ⇒ 1：$A\cap B=A$ とする。$x\in A$ ならば $x\in A\cap B$ であり、とくに $x\in B$ である。よって $A\subseteq B$ である。$\square$

この命題により、順序集合 $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ において $A\cup B$ は $\{A,B\}$ の上限（最小上界）、$A\cap B$ は下限（最大下界）であることが分かる。実際、$A\subseteq A\cup B$ かつ $B\subseteq A\cup B$ であり、$A\subseteq C$ かつ $B\subseteq C$ ならば $A\cup B\subseteq C$ である（$x\in A\cup B$ なら $x\in A$ または $x\in B$ で、どちらでも $x\in C$）。下限についても同様である。このように $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ は束をなし、さらに補集合 $X\setminus A$ を補元とするBoole代数である（Hal60 §5）。同様に、$A\subseteq B$ は差集合を用いて $A\setminus B=\emptyset$ とも言い換えられる（$A\setminus B$ の元とは、$A$ に属し $B$ に属さない元のことなので、$A\setminus B=\emptyset$ は $A\not\subseteq B$ の否定そのものである）。

分出公理による部分集合の構成

与えられた集合 $A$ から部分集合を作る基本的な方法は、「$A$ の元のうち、性質 $\varphi$ を満たすものを集める」ことである。

性質による部分集合の切り出し

集合 $A$ と、変数 $x$ についての性質（論理式）$\varphi(x)$ が与えられたとき、
$$ \{x\in A\mid\varphi(x)\} $$
すなわち「$A$ の元 $x$ で $\varphi(x)$ を満たすもの全体」が集合として存在することを、分出公理（axiom schema of separation。Hal60 では axiom of specification と呼ぶ）が保証する。定義から明らかに $\{x\in A\mid\varphi(x)\}\subseteq A$ であり、$A$ の部分集合は多くの場合この形で与えられる。たとえば偶数全体 $\{n\in\mathbb{Z}\mid n\ \text{は}\ 2\ \text{で割り切れる}\}$ は $\mathbb{Z}$ の部分集合であり、区間 $[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}$ は $\mathbb{R}$ の部分集合である。
ここで「$x\in A$」という範囲の制限が本質的である。範囲を制限しない $\{x\mid\varphi(x)\}$ の形の集まりを無条件に集合と認めると、$\varphi(x)$ として「$x\notin x$」をとることで Russellのパラドックスが生じる。実際、$R=\{x\mid x\notin x\}$ が集合なら、$R\in R\Leftrightarrow R\notin R$ となって矛盾する。同じ議論により、すべての集合を元とする集合（宇宙集合）は存在しない。もし $V$ がそのような集合なら、分出公理により $\{x\in V\mid x\notin x\}$ が集合になり、上と同じ矛盾が生じるからである。したがって、集合を作るときは「どの集合の部分集合として作るか」をつねに明示しなければならない（Hal60 §2、End77 Chapter 2、Jec03 Chapter 1）。

分出公理が与えるのは「$A$ の部分集合のうち、性質で記述できるもの」の存在である。それらすべてを 1 つの集合 $\mathcal{P}(A)$ にまとめるには、別に冪集合公理が必要である（ex-subset-power-set）。

部分集合と写像

部分集合 $A\subseteq X$ には、$A$ の元をそのまま $X$ の元とみなす写像が付随する。

包含写像と制限

$A\subseteq X$ とする。写像
$$ \iota\colon A\to X,\qquad \iota(a):=a $$
を $A$ の $X$ への包含写像（inclusion map）といい、$\iota\colon A\hookrightarrow X$ とも書く。$A=X$ のときの包含写像は $X$ の恒等写像 $\mathrm{id}_X$ である。写像 $f\colon X\to Y$ に対し、写像の合成 $f\circ\iota\colon A\to Y$、すなわち $a\mapsto f(a)$ を $f$ の $A$ への制限（写像の制限）といい、$f|_A$ と書く。

包含写像は単射である。実際、$\iota(a)=\iota(a')$ ならば定義により $a=a'$ である。逆に、任意の単射 $g\colon A\to X$ は、その像 $g(A)\subseteq X$ への全単射 $A\to g(A)$ と包含写像 $g(A)\hookrightarrow X$ の合成に分解される。この意味で、「$X$ の部分集合」と「$X$ への単射（を像で同一視したもの）」は同じ情報を担っており、この見方を一般化したものが圏論の部分対象である。
写像 $f\colon X\to Y$ と部分集合 $A\subseteq X$、$B\subseteq Y$ に対し、$A$ の像(写像)と $B$ の逆像を
$$ f(A):=\{y\in Y\mid \exists a\in A\ (y=f(a))\},\qquad f^{-1}(B):=\{x\in X\mid f(x)\in B\} $$
で定める（いずれも分出公理により $Y$、$X$ の部分集合として定まる）。像と逆像は包含関係を保つ。

像と逆像の単調性

$f\colon X\to Y$ を写像とする。

$A_1\subseteq A_2\subseteq X$ ならば $f(A_1)\subseteq f(A_2)$ である。
$B_1\subseteq B_2\subseteq Y$ ならば $f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)$ である。
任意の $A\subseteq X$ に対し $A\subseteq f^{-1}(f(A))$ である。
任意の $B\subseteq Y$ に対し $f(f^{-1}(B))\subseteq B$ である。
すなわち、$A\mapsto f(A)$ は順序集合 $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ から $(\mathcal{P}(Y),\subseteq)$ への単調写像であり、$B\mapsto f^{-1}(B)$ は $(\mathcal{P}(Y),\subseteq)$ から $(\mathcal{P}(X),\subseteq)$ への単調写像である。

1：$y\in f(A_1)$ とする。定義により $y=f(a)$ となる $a\in A_1$ が存在する。$A_1\subseteq A_2$ により $a\in A_2$ なので、$y=f(a)$ は $f(A_2)$ の元である。よって $f(A_1)\subseteq f(A_2)$ である。
2：$x\in f^{-1}(B_1)$ とする。定義により $f(x)\in B_1$ であり、$B_1\subseteq B_2$ により $f(x)\in B_2$ である。よって $x\in f^{-1}(B_2)$ であり、$f^{-1}(B_1)\subseteq f^{-1}(B_2)$ である。
3：$a\in A$ とする。$f(a)$ は $a\in A$ の像なので $f(a)\in f(A)$ であり、逆像の定義により $a\in f^{-1}(f(A))$ である。
4：$y\in f(f^{-1}(B))$ とする。$y=f(x)$ となる $x\in f^{-1}(B)$ が存在し、$x\in f^{-1}(B)$ は $f(x)\in B$ を意味するので $y=f(x)\in B$ である。
最後の主張は、1 と 2 が単調写像の定義（$A_1\subseteq A_2\Rightarrow f(A_1)\subseteq f(A_2)$ など）そのものであることから従う。$\square$

3 と 4 の包含は一般には等号にならない。$f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R}$、$f(x)=x^2$ とすると、$A=\{1\}$ に対し $f(A)=\{1\}$、$f^{-1}(f(A))=\{1,-1\}\supsetneq A$ であり、$B=[-1,1]$ に対し $f^{-1}(B)=[-1,1]$、$f(f^{-1}(B))=[0,1]\subsetneq B$ である。3 がすべての $A$ について等号になるのは $f$ が単射のとき、4 がすべての $B$ について等号になるのは $f$ が全射のときである。また、逆像は和集合・共通部分・補集合と両立する（$f^{-1}(B_1\cap B_2)=f^{-1}(B_1)\cap f^{-1}(B_2)$ など）が、像は一般に共通部分と両立しない（$f(A_1\cap A_2)\subseteq f(A_1)\cap f(A_2)$ は成り立つが、等号は不成立でありうる）。これらは像(写像)、逆像で扱う。
部分集合は、2 値の写像と同じ情報をもつ。

指示関数による部分集合の表現

$X$ を集合とし、部分集合 $A\subseteq X$ に対し、その指示関数（特性関数）を
$$ \chi_A\colon X\to\{0,1\},\qquad \chi_A(x):=\begin{cases}1,&x\in A,\\ 0,&x\notin A\end{cases} $$
で定める。対応 $A\mapsto\chi_A$ は、$\mathcal{P}(X)$ から $X$ 上の $\{0,1\}$ 値写像全体の集合 $\{0,1\}^X$ への全単射である。さらに、$A\subseteq B$ であることと、すべての $x\in X$ について $\chi_A(x)\le\chi_B(x)$ であることは同値である。

単射性：$\chi_A=\chi_B$ とする。任意の $x\in X$ について、$x\in A\Leftrightarrow\chi_A(x)=1\Leftrightarrow\chi_B(x)=1\Leftrightarrow x\in B$ である。また $A$, $B$ は $X$ の部分集合なので、$x\notin X$ なる $x$ については $x\notin A$ かつ $x\notin B$ である。よって $\forall x\,(x\in A\Leftrightarrow x\in B)$ が成り立ち、外延性公理により $A=B$ である。
全射性：$g\colon X\to\{0,1\}$ を任意の写像とし、分出公理により $A:=\{x\in X\mid g(x)=1\}$ とおく。$A\subseteq X$ であり、$x\in X$ について、$g(x)=1$ なら $x\in A$ なので $\chi_A(x)=1=g(x)$、$g(x)=0$ なら $x\notin A$ なので $\chi_A(x)=0=g(x)$ である。よって $\chi_A=g$ である。
包含の言い換え：$A\subseteq B$ とし、$x\in X$ をとる。$\chi_A(x)=0$ なら $0\le\chi_B(x)$ は明らかである。$\chi_A(x)=1$ なら $x\in A\subseteq B$ なので $\chi_B(x)=1$ であり、$\chi_A(x)\le\chi_B(x)$ である。逆に、すべての $x\in X$ で $\chi_A(x)\le\chi_B(x)$ とする。$x\in A$ なら $\chi_A(x)=1$ なので $\chi_B(x)\ge1$、すなわち $\chi_B(x)=1$ であり、$x\in B$ である。よって $A\subseteq B$ である。$\square$

この対応により、$X$ の部分集合全体は「$X$ の各元に $0$ か $1$ を割り当てる方法」の全体と同一視され、記法 $2^X$ の由来にもなっている。位相空間論では、$\{0,1\}$ に Sierpinski 位相を入れたときの連続な指示関数がちょうど開集合に対応する（開集合の記事の命題「Sierpinski空間への連続写像による分類」）。

補足

記法と用語の流儀

包含の記号には、等号を許す包含を $\subseteq$、真包含を $\subset$ で表す流儀と、等号を許す包含を $\subset$、真包含を $\subsetneq$ で表す流儀がある。前者は $\le$ と $<$ の類推に基づき、後者は多くの日本語・フランス語圏の教科書と Mathpedia の規約である。どちらの流儀でも $\subseteq$ と $\subsetneq$ の意味は同じなので、曖昧さを避けたいときはこの 2 つを使えばよい。本記事では「含まれる」を所属 $\in$ の意味では使わず、$x\in A$ は「$x$ は $A$ に属する」「$x$ は $A$ の元である」という。

部分集合と部分構造

集合に付加構造（演算、位相、順序など）が与えられているとき、その部分集合が同じ種類の構造を自然に受け継ぐとは限らない。群 $G$ の部分集合のうち演算に閉じて群になるものを部分群、位相空間 $X$ の部分集合に相対位相を入れたものを部分空間、順序集合の部分集合に制限した順序を入れたものを部分順序集合という。いずれも「部分集合であって、さらに構造に関する条件を満たす（または構造を制限して得られる）もの」であり、部分集合という概念はそれらすべての土台である。$\{1,-1\}\subseteq\mathbb{Z}$ は加法について閉じていないので $(\mathbb{Z},+)$ の部分群ではないが、部分集合ではある。

集合論の公理との関係

本記事で用いた集合論の原理は、外延性公理（prop-subset-extensionality）、分出公理（rem-subset-separation）、冪集合公理（ex-subset-power-set）、および空集合の存在である。外延性・分出・冪集合はZFC公理系の公理であり（Jec03 Chapter 1）、空集合の存在は分出公理と何らかの集合の存在から導かれる（End77 Chapter 2 は独立の公理として置く）。部分集合の概念自体は $\in$ から定義されるので公理を要しない。集合論を公理的に扱わない立場（素朴集合論）でも、本記事の定義と証明はそのまま通用する（Hal60 §1–§5、Mat68 第1章）。