Cantor関数

1. Cantor集合 の記事の補題「構成に現れる区間の入れ子」の 1 により $I_{2r}\setminus(I_{2r0}\cup I_{2r2})=G_r$ であり、同じ補題の 2 により $I_{2r}$ は $C_n$ を作るほかの区間と交わらないので、$G_r\cap C_{n+1}=\emptyset$、したがって $G_r\cap C=\emptyset$ である。逆に $x\in[0,1]\setminus C$ なら、$x\notin C_{m}$ となる最小の $m\ge1$ があり、$n:=m-1$ について $x\in I_{2r}$ となる $r\in\{0,1\}^n$ がある。$x\notin I_{2r0}\cup I_{2r2}$ なので $x\in G_r$ である。同じ $n$ の異なる $r,r'$ では $I_{2r}\cap I_{2r'}=\emptyset$ なので $G_r\cap G_{r'}=\emptyset$ であり、$n< n'$ なら $G_{r'}\subset I_{2r'}\subset C_{n'}\subset C_{n+1}$ と $G_r\cap C_{n+1}=\emptyset$ から $G_r\cap G_{r'}=\emptyset$ である。

2. $\varphi(r,0,1,1,\dots)=t_{2r}+\sum_{j\ge n+1}2\cdot3^{-(j+1)}=t_{2r}+3^{-(n+1)}$、$\varphi(r,1,0,0,\dots)=t_{2r}+2\cdot3^{-(n+1)}$ である。$\varphi$ の値はすべて $C$ に属する。$\square$

$F$ は連続な全射で単調なので、$F^{-1}(y)$ は空でない閉区間 $[p,q]$ である。$p\notin C$ なら、$p$ を含む開区間 $G_r$ の上で $F$ は定数なので、$p$ より左に値 $y$ の点があり、$p$ の最小性に反する。よって $p\in C$ であり、同様に $q\in C$ である。

$p< q$ とし、$p=\varphi(s)$、$q=\varphi(s')$ と書く。$s_m\ne s'_m$ となる最小の $m$ について $s_m=0$、$s'_m=1$ であり（$\varphi$ は辞書式順序を保つ）、thm-cantor-function-basic の 1 により $\beta(s)=\beta(s')$ なので、($\ast$) の等号の条件から $s=(r,0,1,1,\dots)$、$s'=(r,1,0,0,\dots)$（$r\in\{0,1\}^m$）である。lem-cantor-function-gaps の 2 により $p,q$ は $G_r$ の両端であり、$[p,q]=\overline{G_r}$、$y=\frac{2k_r+1}{2^{m+1}}$ である。$p=q$ なら $F^{-1}(y)$ は $C$ の 1 点である。逆に 1 の形の $y$ について、$k$ の $n$ 桁の 2 進表示を $r$ とすれば $k_r=k$ であり、thm-cantor-function-basic の 3 から $F^{-1}(y)\supset\overline{G_r}$ である。前半により $F^{-1}(y)$ は $\overline{G_r}$ に等しい。2 進有理数の表し方の一意性は、$y\cdot2^{n+1}$ が奇数となる $n$ がただ 1 つであることによる。$C$ への制限については、$\overline{G_r}\cap C$ が $G_r$ の両端の 2 点であることによる。$\square$

ある $m$ と $p\ge1$ について $j\ge m$ ならつねに $s_{j+p}=s_j$ となる列を、いずれ周期的な列という。このとき $\beta(s)=\sum_{j< m}\frac{s_j}{2^{j+1}}+\frac{1}{1-2^{-p}}\sum_{m\le j< m+p}\frac{s_j}{2^{j+1}}$ は有理数であり、同様に $\varphi(s)$ も有理数である。

$x\in\mathbb Q\cap[0,1]$ とする。$x\notin C$ なら thm-cantor-function-basic の 3 により $F(x)$ は 2 進有理数である。$x\in C$ なら $x=\varphi(s)$ と書け、$x=p/q$（$p,q$ は整数、$q\ge1$）とする。$s$ の最初の $k$ 項を落とした列を $\sigma^ks:=(s_k,s_{k+1},\dots)$ とすると $\varphi(\sigma^ks)=3^kx-\sum_{j< k}2s_j3^{k-1-j}$ であり、これは $[0,1]$ に属し、分母 $q$ の分数で書ける。そのような値は $q+1$ 個しかないので、$k< l$ で $\varphi(\sigma^ks)=\varphi(\sigma^ls)$ となるものがあり、$\varphi$ の単射性から $\sigma^ks=\sigma^ls$ である。よって $s$ はいずれ周期的で、$F(x)=\beta(s)$ は有理数である。

逆に $u\in\mathbb Q\cap[0,1)$、$u=p/q$ とし、$u_k:=2^ku-\lfloor2^ku\rfloor\in[0,1)$ とおく。thm-cantor-function-basic の 1 の証明の $s_k$ は $s_k=\lfloor2u_k\rfloor$ を満たし、$u_{k+1}=2u_k-s_k$ である。$u_k$ は分母 $q$ の分数で書けるので値は $q$ 個以下であり、ある $k< l$ で $u_k=u_l$ となる。以後 $u_j$ と $s_j$ は周期 $l-k$ で繰り返すので、$s$ はいずれ周期的であり、$x:=\varphi(s)$ は有理数で $F(x)=\beta(s)=u$ である。$u=1$ には $x=1$ が対応する。$\square$

$x\in C\subset C_n$ なので、$x\in I_{2r}$ となる $r\in\{0,1\}^n$ がある。$I_{2r}$ の両端は $t_{2r}=\varphi(r,0,0,\dots)$ と $t_{2r}+3^{-n}=\varphi(r,1,1,\dots)$ であり、thm-cantor-function-basic の 1 により、そこでの $F$ の値は $\beta(r)$ と $\beta(r)+2^{-n}$ である。$F(x)$ はこの 2 つの値の間にあるので、どちらかの端点 $e$ について $|F(e)-F(x)|\ge2^{-n-1}$ であり、とくに $e\ne x$、$|e-x|\le3^{-n}$ である。$F$ は単調なので差分商は $0$ 以上で、$\frac{F(e)-F(x)}{e-x}=\frac{|F(e)-F(x)|}{|e-x|}\ge\frac{2^{-n-1}}{3^{-n}}$ である。$y:=e$ とすればよい。$F$ が $x$ で微分可能なら、$x$ の近くで差分商は有界でなければならないが、$n\to\infty$ でこの下界は限りなく大きくなる。$\square$

$3^{\alpha}=2$ である。$x< y$ とする。$y-x\ge\frac13$ なら $|F(y)-F(x)|\le1\le4\cdot3^{-\alpha}\le4(y-x)^{\alpha}$ である。$y-x<\frac13$ なら $3^{-(n+1)}\le y-x< 3^{-n}$ となる $n\ge1$ をとる。$C_n$ の $2^n$ 個の区間を左から $J_1,\dots,J_{2^n}$、$J_i=[l_i,u_i]$ とする。prop-cantor-function-nondifferentiable の証明と同じく $F(u_i)-F(l_i)=2^{-n}$ である。隣り合う区間の間の開区間 $(u_i,l_{i+1})$ は $C$ と交わらないので、その各点 $z$ で $F(z)$ の定義の上限をとる集合は $F(u_i)$ のものと同じであり、$F$ は $[u_i,l_{i+1})$ 上で定数、連続性から $[u_i,l_{i+1}]$ 上で定数である。よって $F(y)-F(x)$ は、$[x,y]$ と交わる各 $J_i$ の上での $F$ の増加の和以下であり、それぞれ $2^{-n}$ 以下である。$[x,y]$ が 3 個の $J_i$ と交わると、真ん中の 1 個（長さ $3^{-n}$）を含んで $y-x\ge3^{-n}$ となるので、交わるのは高々 2 個である。したがって $F(y)-F(x)\le2\cdot2^{-n}=2\,(3^{-n})^{\alpha}\le2\,(3(y-x))^{\alpha}=4(y-x)^{\alpha}$ である。$F(3^{-n})=F(\varphi(0,\dots,0,1,1,\dots))$（$0$ が $n$ 個）$=2^{-n}$ であり、$F(3^{-n})-F(0)=(3/2)^n\cdot3^{-n}$ なので、Lipschitz 定数はとれない。$\square$

1. $x< y$ なら $\psi(y)-\psi(x)=(y-x)+(F(y)-F(x))\ge y-x>0$ なので、$\psi$ は狭義単調増加で連続である。$\psi(0)=0$、$\psi(1)=2$ なので、中間値の定理 により $\psi([0,1])=[0,2]$ であり、$\psi$ は全単射である。$u=\psi(x)$、$v=\psi(y)$ とすると、上の不等式から $|\psi^{-1}(u)-\psi^{-1}(v)|=|x-y|\le|u-v|$ なので、$\psi^{-1}$ は連続である。

2. thm-cantor-function-basic の 3 により $F$ は $G_r$ 上で定数 $\frac{2k_r+1}{2^{n+1}}$ なので、$\psi$ はそこで平行移動である。$\psi$ は全単射なので $\psi([0,1]\setminus C)=[0,2]\setminus\psi(C)$ であり、lem-cantor-function-gaps の 1 から後半が従う。

3. $\psi(C)$ はコンパクト集合 $C$ の連続像なのでコンパクトであり、閉集合なので可測である。$G_r$ は可算個で、その長さの和は $\lambda([0,1]\setminus C)=1-\lambda(C)=1$ である。2 と測度の可算加法性により $\lambda([0,2]\setminus\psi(C))=\sum\lambda(\psi(G_r))=\sum\lambda(G_r)=1$ であり、$\lambda(\psi(C))=2-1=1$ である。$\square$

1. $E\subset C$ で $C$ は外測度 $0$ なので、$E$ も外測度 $0$ であり、外測度 $0$ の集合は Lebesgue 可測である（Lebesgue測度 の定理「Carathéodoryの定理」）。

2. $E$ が $\mathbb R$ の Borel 集合だとする。$E\subset[0,1]$ なので、$E$ は部分空間 $[0,1]$ の Borel 集合でもある（Borel集合 の命題「部分空間のBorel集合」）。同相写像は Borel 集合を Borel 集合に写す（Borel集合 の定理「連続写像とBorel集合」の 2）ので、$D=\psi(E)$ は部分空間 $[0,2]$ の Borel 集合であり、$[0,2]$ は $\mathbb R$ の Borel 集合なので、同じ命題により $D$ は $\mathbb R$ の Borel 集合である。Borel 集合は Lebesgue 可測である（Lebesgue測度 の命題「区間とBorel集合の可測性・不変性」の 1）から、$D$ が可測でないことに反する。

3. は 1 と $D$ の取り方による。$\square$

1. $x< y$ なら $g(y)-g(x)=2\lambda(K\cap(x,y])\in[0,2(y-x)]$ である。$g(0)=2\lambda(K\cap\{0\})=0$、$g(1)=2\lambda(K)=1$ である。

2. 第 $n$ 段階の後に残る閉区間は、どれも同じ長さ $\ell_n$ をもつ（各段で、同じ長さの区間から同じ長さの中央部分を取り除くから）。そのうちの 1 つ $J=[c,c+\ell_n]$ の中で、第 $n+1$ 段階以降に残る区間は、$[0,\ell_n]$ から同じ操作で残る区間を $c$ だけ平行移動したものである（段数についての帰納法）。よって $K\cap J$ は $c$ によらない 1 つの集合の平行移動であり、Lebesgue測度 の平行移動不変性から、$2^n$ 個の $J$ について $\lambda(K\cap J)$ は等しい。これらの $J$ は互いに交わらず $K$ を覆うので、$\lambda(K\cap J)=\lambda(K)/2^n$ である。第 $n$ 段階で第 $n-1$ 段階の $k+1$ 番目の区間 $J'$ から取り除いた開区間 $(u,v)$ の点 $x$ については、$K\cap[0,x]$ は、左の $k$ 個の区間に含まれる $K$ の部分と、$J'$ の左側の子区間に含まれる $K$ の部分の和である。よって $\lambda(K\cap[0,x])=k\cdot\frac{\lambda(K)}{2^{n-1}}+\frac{\lambda(K)}{2^n}=\frac{(2k+1)\lambda(K)}{2^{n}}$ であり、$g(x)=\frac{2k+1}{2^n}$ である。連続性から閉区間 $[u,v]$ の上でも同じ値である。取り除いた開区間の和 $[0,1]\setminus K$ は、$K$ の内部が空なので $[0,1]$ で稠密であり、稠密な集合の上で一致する 2 つの連続関数は一致するので、処方を満たす連続関数は $g$ だけである。

3. $g(x)=\int_0^x2\cdot1_K\,d\lambda$ であり、$2\cdot1_K$ は可積分なので、絶対連続関数 の定理「絶対連続関数と不定積分」により $g$ は絶対連続で、ほとんどすべての点で $g'=2\cdot1_K$ である。$\lambda(K)=\frac12>0$ なので、$g'=2$ となる点の集合は測度正である。$\square$