スマッシュ積

$f\times g\colon X_1\times X_2\to Y_1\times Y_2$ は連続である。$(a,b)\in X_1\vee X_2$ なら $a=x_1$ または $b=x_2$ であり、$f,g$ が基点を保つので $f(a)=y_1$ または $g(b)=y_2$、すなわち $(f\times g)(a,b)\in Y_1\vee Y_2$ である。よって $q_Y\circ(f\times g)\colon X_1\times X_2\to Y_1\wedge Y_2$ は $X_1\vee X_2$ 上で定値であり、商写像 $q_X$ の普遍性により連続写像 $f\wedge g$ を誘導する。$f\wedge g$ は基点を基点に写す。合成則と恒等写像の保存は代表元の上で明らかであり、最後の主張は $f^{-1}\wedge g^{-1}$ が逆写像になることによる。$\square$

$\tau\colon X_1\times X_2\to X_2\times X_1$、$\tau(a,b):=(b,a)$ は同相写像で、$X_1\vee X_2$ を $X_2\vee X_1$ の上に全単射に写す。よって $q\circ\tau$ は $X_1\vee X_2$ 上で定値なので連続写像 $\bar\tau\colon X_1\wedge X_2\to X_2\wedge X_1$ を誘導し、$\tau^{-1}$ が誘導する写像がその逆写像である。$\square$

$j\colon X\to X\wedge S^0$、$j(x):=q(x,-1)$ は $x\mapsto(x,-1)$ と $q$ の合成なので連続であり、$j(x_0)=\ast$ である。$X\times S^0=X\times\{-1\}\sqcup X\times\{1\}$ であり、$X\vee S^0=X\times\{1\}\cup\{(x_0,-1)\}$ なので、$X\wedge S^0$ の点は $\ast$ と、$x\ne x_0$ に対する $q(x,-1)$ からなり、$j$ は全単射である。逆写像の連続性：$r\colon X\times S^0\to X$ を $r(x,-1):=x$、$r(x,1):=x_0$ と定めると、$X\times\{-1\}$ と $X\times\{1\}$ は $X\times S^0$ の開かつ閉な部分集合なので $r$ は連続であり、$X\vee S^0$ 上で値 $x_0$ をとる。よって $r$ は連続写像 $\bar r\colon X\wedge S^0\to X$ を誘導し、$\bar r\circ j=\operatorname{id}_X$、$j\circ\bar r=\operatorname{id}$ である。$\square$

コンパクト性は連続像であることによる。$\pi\colon X\to X/A$ を商写像とする。$X/A$ の相異なる 2 点をとる。両方が $A$ の像 $\ast$ でないとき、それらは $x,y\in X\setminus A$、$x\ne y$ の像であり、$X$ の Hausdorff 性から交わらない開集合 $x\in U$、$y\in V$ をとり、$U':=U\setminus A$、$V':=V\setminus A$ とおくと、$A$ が閉なのでこれらは開であり、$A$ と交わらないので $\pi^{-1}(\pi(U'))=U'$、$\pi^{-1}(\pi(V'))=V'$ である。よって $\pi(U'),\pi(V')$ は $\pi(x),\pi(y)$ を分離する開集合である。一方が $\ast$ で他方が $x\in X\setminus A$ の像のとき、コンパクト Hausdorff 空間は正規（正規空間、Mun00 §32 Theorem 32.3）なので、交わらない閉集合 $\{x\}$ と $A$ を分離する開集合 $x\in U$、$A\subset V$ がある。$\pi^{-1}(\pi(U\setminus A))=U\setminus A$、$\pi^{-1}(\pi(V))=V$ なので $\pi(U\setminus A)$ と $\pi(V)$ は $\pi(x)$ と $\ast$ を分離する開集合である。$\square$

$\pi_A\colon X\to X/A$、$\pi_B\colon Y\to Y/B$ を商写像とし、合成
$$ \Phi\colon X\times Y\xrightarrow{\pi_A\times\pi_B}(X/A)\times(Y/B)\xrightarrow{q}(X/A)\wedge(Y/B) $$
を考える。$\Phi$ は連続な全射である。$\Phi(x,y)$ が基点であることは $\pi_A(x)=[A]$ または $\pi_B(y)=[B]$、すなわち $x\in A$ または $y\in B$、すなわち $(x,y)\in T:=(X\times B)\cup(A\times Y)$ と同値である。$(x,y),(x',y')\notin T$ のとき $\Phi(x,y)=\Phi(x',y')$ は $(\pi_A(x),\pi_B(y))=(\pi_A(x'),\pi_B(y'))$、すなわち $(x,y)=(x',y')$ と同値である。よって $\Phi$ は連続な全単射 $\bar\Phi\colon(X\times Y)/T\to(X/A)\wedge(Y/B)$ を誘導し、$\bar\Phi$ は基点を基点に写す。$(X\times Y)/T$ はコンパクトである。一方 $X/A$、$Y/B$ は smash-lem-quotient-hausdorff によりコンパクト Hausdorff であり、その直積もコンパクト Hausdorff で、$(X/A)\vee(Y/B)$ は一点集合が閉であることから閉集合なので、再び同じ補題により $(X/A)\wedge(Y/B)$ は Hausdorff である。コンパクト空間から Hausdorff 空間への連続な全単射は同相写像である（Mun00 §26 Theorem 26.6）ので、$\bar\Phi$ は同相写像である。$\square$

$I^m$ は $x\mapsto2x-(1,\ldots,1)$ により $J:=[-1,1]^m$ と同相で、境界は境界に写るので $J$ で考える。$\|x\|_\infty:=\max_i|x_i|$ とおき、$\varphi\colon J\to D^m$ を $\varphi(x):=(\|x\|_\infty/\|x\|)\,x$（$x\ne0$）、$\varphi(0):=0$ で定める。$\|\varphi(x)\|=\|x\|_\infty\le1$ なので $\varphi$ は $D^m$ に値をとり、$x\ne0$ では連続、$0$ でも $\|\varphi(x)\|=\|x\|_\infty\to0$ から連続である。$\psi\colon D^m\to J$ を $\psi(y):=(\|y\|/\|y\|_\infty)\,y$（$y\ne0$）、$\psi(0):=0$ で定めると同様に連続で $J$ に値をとり、$\|\varphi(x)\|_\infty=\|x\|_\infty^2/\|x\|$、$\|\varphi(x)\|=\|x\|_\infty$ から $\psi(\varphi(x))=x$、同様に $\varphi(\psi(y))=y$ である。よって $\varphi$ は同相写像であり、$\|\varphi(x)\|=\|x\|_\infty$ から $\partial J=\{\|x\|_\infty=1\}$ を $S^{m-1}$ の上に写す。ゆえに $J/\partial J\cong D^m/S^{m-1}$ である。
次に $g\colon D^m\to S^m\subset\mathbb{R}^m\times\mathbb{R}$ を
$$ g(y):=\Bigl(\sin(\pi\|y\|)\frac{y}{\|y\|},\ \cos(\pi\|y\|)\Bigr)\quad(y\ne0),\qquad g(0):=(0,1) $$
で定める。$\|g(y)\|^2=\sin^2+\cos^2=1$ であり、$y\ne0$ で連続、$0$ では第 1 成分のノルムが $|\sin(\pi\|y\|)|\to0$ で第 2 成分が $1$ に近づくので連続である。$\|y\|=1$ では $g(y)=(0,-1)=s_0$ で一定なので、$g$ は連続写像 $\bar g\colon D^m/S^{m-1}\to S^m$ を誘導する。$\bar g$ は全射である：$(u,c)\in S^m$（$u\in\mathbb{R}^m$、$c\in[-1,1]$、$\|u\|^2+c^2=1$）に対し、$c=-1$ なら $s_0$ の類、そうでなければ $r:=\arccos(c)/\pi\in[0,1)$ とおくと $\|u\|=\sin(\pi r)$ であり、$u=0$ なら $y=0$、$u\ne0$ なら $y:=r\,u/\|u\|$ について $g(y)=(u,c)$ である。$\bar g$ は単射である：$g(y)=g(y')$ で $\|y\|,\|y'\|<1$ なら、第 2 成分から $\|y\|=\|y'\|$、第 1 成分から（$\|y\|=0$ なら $y=y'=0$、そうでなければ $\sin(\pi\|y\|)>0$ より）$y=y'$ である。$D^m/S^{m-1}$ はコンパクト、$S^m$ は Hausdorff なので $\bar g$ は同相写像である（Mun00 §26 Theorem 26.6）。$\square$

$m=0$ または $n=0$ のときは smash-prop-unit と smash-prop-commutative による（$S^0$ の基点を $1$ とし、基点の取り方の違いは同相 $S^0\to S^0$ で吸収される）。$m,n\ge1$ とする。smash-lem-cube-sphere により $S^m\cong I^m/\partial I^m$、$S^n\cong I^n/\partial I^n$（基点を保つ同相）であり、smash-prop-functor によりスマッシュ積も同相なので、smash-prop-quotient を $X=I^m$、$A=\partial I^m$、$Y=I^n$、$B=\partial I^n$ に適用して
$$ S^m\wedge S^n\cong(I^m/\partial I^m)\wedge(I^n/\partial I^n)\cong(I^m\times I^n)/\bigl(I^m\times\partial I^n\cup\partial I^m\times I^n\bigr)=I^{m+n}/\partial I^{m+n}\cong S^{m+n} $$
を得る。最後の等号は、$I^{m+n}=I^m\times I^n$ の点が境界に属することと、その第 1 成分が $\partial I^m$ に属するか第 2 成分が $\partial I^n$ に属することが同値であることによる。最後の同相は再び smash-lem-cube-sphere である。$\Sigma S^n=S^n\wedge S^1\cong S^{n+1}$ は $m=1$ の場合であり、繰り返せば $\Sigma^kS^n\cong S^{n+k}$ である。$\square$

$X\times Y$ はコンパクト Hausdorff で、$X\vee Y=(X\times\{y_0\})\cup(\{x_0\}\times Y)$ は一点集合が閉であることから閉集合である。smash-prop-quotient を $(X\times Y,X\vee Y)$ と $(Z,\{z_0\})$ に適用すると
$$ (X\wedge Y)\wedge Z=\bigl((X\times Y)/(X\vee Y)\bigr)\wedge\bigl(Z/\{z_0\}\bigr)\cong(X\times Y\times Z)/\bigl((X\times Y)\times\{z_0\}\cup(X\vee Y)\times Z\bigr)=(X\times Y\times Z)/T $$
である。同様に smash-prop-quotient を $(X,\{x_0\})$ と $(Y\times Z,Y\vee Z)$ に適用し、直積の結合律 $X\times(Y\times Z)=X\times Y\times Z$ を用いれば $X\wedge(Y\wedge Z)\cong(X\times Y\times Z)/T$ である。基点はいずれも $T$ の像に対応する。$\square$

$r\colon Y\sqcup Z\to W:=Y\vee Z$ をウェッジ和の商写像とし、ウェッジ和の基点を $w_0$ とする。$W$ はコンパクト Hausdorff 空間 $Y\sqcup Z$ を閉集合 $\{y_0,z_0\}$ で潰したものなので、smash-lem-quotient-hausdorff によりコンパクト Hausdorff である。$X$ は局所コンパクト Hausdorff なので $\operatorname{id}_X\times r\colon X\times(Y\sqcup Z)\to X\times W$ は商写像である（Whitehead の補題、錐(位相)の記事の注意「Whiteheadの補題の扱い」）。
$\Phi\colon X\times(Y\sqcup Z)\to(X\wedge Y)\vee(X\wedge Z)$ を、$X\times Y$ 上では $(x,y)\mapsto\iota_1(x\wedge y)$、$X\times Z$ 上では $(x,z)\mapsto\iota_2(x\wedge z)$ と定める（$\iota_1,\iota_2$ はウェッジ和への標準的な埋め込み）。$X\times Y$ と $X\times Z$ は $X\times(Y\sqcup Z)$ の開かつ閉な部分集合なので $\Phi$ は連続である。$\operatorname{id}_X\times r$ のファイバーのうち一点でないものは $\{(x,y_0),(x,z_0)\}$ であり、$\Phi(x,y_0)=\iota_1(\ast)$、$\Phi(x,z_0)=\iota_2(\ast)$ はともにウェッジ和の基点である。よって $\Phi$ は連続写像 $\Phi'\colon X\times W\to(X\wedge Y)\vee(X\wedge Z)$ を誘導する。$\Phi'$ は $X\vee W=(X\times\{w_0\})\cup(\{x_0\}\times W)$ を基点に写す（$\Phi'(x,w_0)=\Phi(x,y_0)$、$\Phi'(x_0,r(y))=\iota_1(x_0\wedge y)=\iota_1(\ast)$）ので、連続な基点付き写像 $\Psi\colon X\wedge W\to(X\wedge Y)\vee(X\wedge Z)$ を誘導する。
$\Psi$ は全単射である：$X\wedge W$ の基点以外の点は $x\wedge r(y)$（$x\ne x_0$、$y\ne y_0$）または $x\wedge r(z)$（$x\ne x_0$、$z\ne z_0$）の形にただ一通りに書け、$\Psi$ はこれらを $\iota_1(x\wedge y)$、$\iota_2(x\wedge z)$ に写す。これらは $(X\wedge Y)\vee(X\wedge Z)$ の基点以外の点をちょうど一度ずつ尽くす（ウェッジ和の記事の命題「各成分の埋め込み」）。
$X\wedge W$ はコンパクトである。$X\wedge Y$、$X\wedge Z$ は smash-lem-quotient-hausdorff によりコンパクト Hausdorff であり、そのウェッジ和はコンパクト Hausdorff 空間 $(X\wedge Y)\sqcup(X\wedge Z)$ を閉集合（2 点）で潰したものなので、同じ補題により Hausdorff である。よって $\Psi$ は同相写像である（Mun00 §26 Theorem 26.6）。$\square$

次の指数法則を用いる：(E1) 連続写像 $F\colon X\times A\to Y$ に対し $\hat F\colon X\to\mathrm{Map}(A,Y)$、$\hat F(x)(a):=F(x,a)$ はコンパクト開位相について連続である。(E2) $A$ が局所コンパクト Hausdorff ならば、逆に連続写像 $G\colon X\to\mathrm{Map}(A,Y)$ に対し $\check G\colon X\times A\to Y$、$\check G(x,a):=G(x)(a)$ は連続である。(E1)(E2) はコンパクト開位相の記事の定理「指数法則」が証明付きで与える（(E1) が同定理の 1、(E2) が $X$ を局所コンパクト Hausdorff とした 2 にあたる。Mun00 §46 Theorem 46.11、Hat02 Appendix の compact-open topology の節も参照）。
基点付き写像 $f\colon X\wedge A\to Y$ は、商写像 $q$ との合成により、$X\vee A$ 上で値 $y_0$ をとる連続写像 $F=f\circ q\colon X\times A\to Y$ と一対一に対応する（商位相の普遍性）。$F$ が $X\vee A$ 上で $y_0$ をとることは、「各 $x$ について $F(x,a_0)=y_0$」かつ「各 $a$ について $F(x_0,a)=y_0$」、すなわち「各 $\hat F(x)$ が基点付き写像 $A\to Y$」かつ「$\hat F(x_0)$ が定値写像 $y_0$（$\mathrm{Map}_*(A,Y)$ の基点）」と同値である。(E1) により $\hat F\colon X\to\mathrm{Map}(A,Y)$ は連続で、像が部分空間 $\mathrm{Map}_*(A,Y)$ に入るので $\hat F\colon X\to\mathrm{Map}_*(A,Y)$ も連続であり、基点を保つ。逆に基点付き写像 $G\colon X\to\mathrm{Map}_*(A,Y)$ が与えられると、(E2) により $\check G\colon X\times A\to Y$ は連続で、上の同値により $X\vee A$ 上で $y_0$ をとるので、基点付き写像 $X\wedge A\to Y$ を誘導する。二つの対応は互いに逆である。自然性は、$g\colon X'\to X$、$h\colon Y\to Y'$ に対し $\widehat{h\circ f\circ(g\wedge\operatorname{id}_A)}=h_*\circ\hat f\circ g$ が定義から直ちに従うことによる。$\square$