確率微分方程式

打ち切った和。 分割 $\Pi:0=t_0< \cdots< t_k=T$ について $I^\Pi_t:=\sum_{i=1}^kH_{t_{i-1}}(B_{t_i\wedge t}-B_{t_{i-1}\wedge t})$ とおく。道は $t$ について連続で、$I^\Pi_t$ は $\mathcal F_t$-可測である。$t\in(t_{j-1},t_j]$ なら $I^\Pi_t$ は $[0,t]$ の分割 $\{t_0,\dots,t_{j-1},t\}$（幅は $\lvert\Pi\rvert$ 以下）の左端の和なので、$\lvert\Pi\rvert\to0$ で $I^\Pi_t\to\int_0^tH_s\,dB_s$（2 乗平均）である。

差の評価。 $\omega_H(\eta):=\sup\{\|H_s-H_r\|_{L^2}:\lvert s-r\rvert\le\eta\}$ とおく（伊藤の公式 の定理「伊藤積分の存在と等長性」の証明と同じ記号で、$\eta\to0$ で $0$ に近づく）。2 つの分割 $\Pi,\Pi'$ と有限集合 $D\subset[0,T]$ をとり、これらの点をすべて合わせた分割を $0=s_0< \cdots< s_m=T$ とする。小区間 $(s_{j-1},s_j]$ を含む $\Pi$・$\Pi'$ の小区間の左端を $a_j,a_j'$ とし、$\xi_j:=H_{a_j}-H_{a_j'}$、$\Delta_j:=B_{s_j}-B_{s_{j-1}}$、$N_l:=\sum_{j\le l}\xi_j\Delta_j$ とおくと、$I^\Pi_{s_l}-I^{\Pi'}_{s_l}=N_l$ である。$\xi_j$ は $\mathcal F_{s_{j-1}}$-可測で $L^2$ に属し、$\Delta_j$ は $\mathcal F_{s_{j-1}}$ と独立なので、条件付き期待値 の定理「条件付き期待値の基本性質」の 6・7 から $E[\xi_j\Delta_j\mid\mathcal F_{s_{j-1}}]=\xi_jE[\Delta_j]=0$ であり、$(N_l)$ は $(\mathcal F_{s_l})$ に関するマルチンゲールである。マルチンゲール の系「$L^p$ での極大不等式」（$p=2$）と 伊藤の公式 の補題「左端の和の等長性」から

$$E\Bigl[\max_{s\in D}\lvert I^\Pi_s-I^{\Pi'}_s\rvert^2\Bigr]\le E\Bigl[\max_lN_l^2\Bigr]\le4E[N_m^2]=4\sum_jE[\xi_j^2](s_j-s_{j-1})\le4T\,\omega_H(\eta)^2$$

である（$\eta:=\max(\lvert\Pi\rvert,\lvert\Pi'\rvert)$）。有限集合 $D$ を増やして $[0,T]$ の稠密な可算集合 $\{T\}\cup\{j2^{-n}T\}$ に近づけると、道の連続性から最大値は $[0,T]$ 全体での上限に増加して近づくので、単調収束定理 により $E[\sup_t\lvert I^\Pi_t-I^{\Pi'}_t\rvert^2]\le4T\omega_H(\eta)^2$ である。同じ議論を $\Pi'$ の代わりに「$H\equiv0$ の和」として $I^\Pi$ 自身に当てると $E[\sup_t(I^\Pi_t)^2]\le4\sum_iE[H_{t_{i-1}}^2](t_i-t_{i-1})$ を得る。

一様収束。 $\lvert\Pi_n\rvert$ が減少して $0$ に近づき $4T\omega_H(\lvert\Pi_n\rvert)^2\le8^{-n}$ となる分割の列をとる。Chebyshev の不等式から $P(\sup_t\lvert I^{\Pi_{n+1}}_t-I^{\Pi_n}_t\rvert>2^{-n})\le4^n\cdot8^{-n}=2^{-n}$ であり、Borel–Cantelliの補題 により、確率 $1$ である番号から先は上限が $2^{-n}$ 以下である。この事象の上で $I^{\Pi_n}$ は一様に Cauchy 列なので、連続関数に一様収束する。その極限を $I$ とし、収束しない確率 $0$ の事象の上では $I\equiv0$ とおく。$\mathcal N\subset\mathcal F_t$ なので $I_t$ は $\mathcal F_t$-可測である。各 $t$ で $I^{\Pi_n}_t$ は $\int_0^tH_s\,dB_s$ に 2 乗平均で、$I_t$ に確率 $1$ で収束するので、両者は確率 $1$ で等しい。

一意性と 1・2。 連続な道をもつ 2 つの過程が各有理数時刻（と $T$）で確率 $1$ で一致すれば、可算個の時刻での一致と連続性から、確率 $1$ で道全体が一致する。1 は Fatouの補題 と上の評価から $E[\sup_tI_t^2]\le\liminf_nE[\sup_t(I^{\Pi_n}_t)^2]\le4\int_0^TE[H_t^2]\,dt$（右辺の和は連続関数 $t\mapsto E[H_t^2]$ の Riemann 和）。2 は、$s$ を分点に含む分割では $[0,t]$ の左端の和が $[0,s]$ の和と $[s,t]$ の和に分かれ、後者は 伊藤の公式 の補題「左端の和の等長性」により 2 乗平均が $\sum E[H^2]\delta$ になることから、極限をとって得る。$\square$

$\sigma$ は連続なので $\sigma(t,X_t)$ は $\mathcal F_t$-可測で、道は連続である。$L^2$ 連続性は 2 項に分けて確かめる。$\|\sigma(t,X_t)-\sigma(s,X_s)\|_{L^2}\le\|\sigma(t,X_t)-\sigma(s,X_t)\|_{L^2}+L\|X_t-X_s\|_{L^2}$ の第 2 項は 2 により $s\to t$ で $0$ に近づく。第 1 項の被積分関数は $\sigma$ の連続性により各点で $0$ に近づき、$4K^2(1+\lvert X_t\rvert)^2$ で抑えられるので、優収束定理 により $0$ に近づく。$E[\sigma(t,X_t)^2]\le2K^2(1+E[X_t^2])< \infty$ である。$b$ についても同じである。

$\Phi(X)$ の第 1 項は道ごとに $t$ の連続関数で、$\mathcal F_t$-可測な値の Riemann 和の極限なので $\mathcal F_t$-可測である。$t\mapsto E[X_t^2]$ は連続なので有界であり、$M:=\sup_tE[b(t,X_t)^2]< \infty$ である。Cauchy–Schwarz の不等式から $E[(\int_s^tb(r,X_r)\,dr)^2]\le(t-s)\int_s^tE[b(r,X_r)^2]\,dr\le(t-s)^2M$ なので第 1 項は $L^2$ 連続であり、第 2 項は thm-sde-continuous の 2 により $L^2$ 連続である。最後に $\sup_t\Phi(X)_t^2\le3\bigl(x^2+T\int_0^Tb(s,X_s)^2ds+\sup_tI_t^2\bigr)$（$I$ は第 2 項）であり、thm-sde-continuous の 1 から期待値は有限である。$\square$

逐次近似。 定数過程 $X^0\equiv x$ は def-sde-solution の 1・2 を満たすので、lem-sde-integrand により $X^{n+1}:=\Phi(X^n)$ が帰納的に定まり、どれも 1・2 を満たす。$d_n(t):=E[\sup_{r\le t}\lvert X^{n+1}_r-X^n_r\rvert^2]$ とおく。lem-sde-integrand から $A:=d_0(T)\le2E[\sup_r(X^1_r)^2]+2x^2< \infty$ である。lem-sde-estimate により $d_n(t)\le C\int_0^tE[\lvert X^n_s-X^{n-1}_s\rvert^2]\,ds\le C\int_0^td_{n-1}(s)\,ds$ なので、帰納法で $d_n(t)\le A(Ct)^n/n!$ である。

収束。 $\varepsilon_n:=(A(CT)^n/n!)^{1/2}$ とおくと $\sum_n\varepsilon_n< \infty$ である。Chebyshev の不等式から $P(\sup_r\lvert X^{n+1}_r-X^n_r\rvert>\varepsilon_n^{1/2})\le\varepsilon_n$ であり、Borel–Cantelliの補題 により、確率 $1$ である番号から先は $\sup_r\lvert X^{n+1}_r-X^n_r\rvert\le\varepsilon_n^{1/2}$ である。$\sum_n\varepsilon_n^{1/2}< \infty$（比の判定法）なので、この事象の上で $X^n$ は連続関数に一様収束する。その極限を $X$ とし、残りの確率 $0$ の事象の上では $X\equiv x$ とおくと、$X$ は適合し道は連続である。Minkowski の不等式から $m>n$ について $\|\sup_r\lvert X^m_r-X^n_r\rvert\|_{L^2}\le\sum_{j\ge n}\varepsilon_j$ であり、$m\to\infty$ として Fatouの補題 を使うと $E[\sup_r\lvert X_r-X^n_r\rvert^2]\le(\sum_{j\ge n}\varepsilon_j)^2\to0$ である。よって各 $X_t$ は $L^2$ に属し、$t\mapsto X_t$ は $L^2$ 連続な写像 $t\mapsto X^n_t$ の一様な極限なので $L^2$ 連続である。$X$ は 1・2 を満たす。

極限が解であること。 lem-sde-estimate から $E[\sup_r\lvert\Phi(X)_r-X^{n+1}_r\rvert^2]=E[\sup_r\lvert\Phi(X)_r-\Phi(X^n)_r\rvert^2]\le CT\,E[\sup_r\lvert X_r-X^n_r\rvert^2]\to0$ であり、$X^{n+1}\to X$ も同じ意味で成り立つので、$E[\sup_r\lvert\Phi(X)_r-X_r\rvert^2]=0$ である。よって確率 $1$ で道全体として $X=\Phi(X)$ であり、$X$ は解である。

一意性と 3。 $X,Y$ を解とする。$X=\Phi(X)$、$Y=\Phi(Y)$ なので、lem-sde-integrand から $E[\sup_tX_t^2]< \infty$（3）であり、$D(t):=E[\sup_{r\le t}\lvert X_r-Y_r\rvert^2]$ は有限である。lem-sde-estimate から $D(t)\le C\int_0^tD(s)\,ds$ なので、繰り返し代入して $D(t)\le D(T)(Ct)^n/n!$ がすべての $n$ で成り立ち、$D(T)=0$ である。$\square$