Ado–岩澤の定理

$N^2+1$ 個の元 $A^{p^0},A^{p^1},\dots,A^{p^{N^2}}$ は一次従属であり、すべてが $0$ ではない係数で $\sum_{i\le N^2}d_iA^{p^i}=0$ となる。$d_i\ne0$ となる最大の $i$ を $m_0$ とし、$d_{m_0}$ で割ると、$p$ 多項式 $f_0(t)=t^{p^{m_0}}+\sum_{i< m_0}c_it^{p^i}$ で $f_0(A)=0$ となるものが得られる。$m_0\ge1$ なら $f=f_0$ とすればよい。$m_0=0$ の場合にも次数を上げるため、$f:=f_0^{\,p}$ を考える。標数 $p$ の可換環 $K[t]$ では $(g+h)^p=g^p+h^p$ なので

$$f(t)=f_0(t)^p=t^{p^{m_0+1}}+\sum_{i< m_0}c_i^{\,p}\,t^{p^{i+1}}$$

も $p$ 多項式で、次数は $p^{m_0+1}$ である。多項式に $A$ を代入する写像 $K[t]\to\operatorname{End}(V)$ は環準同型なので $f(A)=f_0(A)^p=0$ である。どちらの場合も $1\le m\le N^2+1$ である。$\square$

左からの掛け算 $L_x(y)=xy$ と右からの掛け算 $R_x(y)=yx$ は $A$ の線形変換として可換で（結合律 $(xy)x=x(yx)$）、$\operatorname{ad}x=L_x-R_x$ である。可換な 2 つの元については二項定理が使え、$0< k< p$ の二項係数 $\binom pk$ は $p$ で割り切れて $K$ では $0$ なので

$$(\operatorname{ad}x)^p=(L_x-R_x)^p=L_x^{\,p}+(-1)^pR_x^{\,p}=L_{x^p}-R_{x^p}=\operatorname{ad}(x^p)$$

である（$p=2$ のときは $-1=1$ なので $(-1)^p=-1$ と同じである）。これを $x^p,x^{p^2},\dots$ に順に当てれば $(\operatorname{ad}x)^{p^i}=\operatorname{ad}(x^{p^i})$ を得る。$f(t)=\sum_ic_it^{p^i}$ なら、$\operatorname{ad}$ が線形なので $f(\operatorname{ad}x)=\sum_ic_i\operatorname{ad}(x^{p^i})=\operatorname{ad}(f(x))$ である。$\square$

1：lem-ai-p-power を $A=U(\mathfrak g)$ と $x=x_i$ に当てる。$y\in\mathfrak g$ について、$U(\mathfrak g)$ の中での $(\operatorname{ad}x_i)(y)=x_iy-yx_i=[x_i,y]$ は $\mathfrak g$ の括弧積なので、$U(\mathfrak g)$ の $\operatorname{ad}x_i$ を $\mathfrak g$ に制限したものは $\mathfrak g$ の $\operatorname{ad}x_i$ である。よって $z_iy-yz_i=\operatorname{ad}(f_i(x_i))(y)=f_i(\operatorname{ad}x_i)(y)=0$ である。$U(\mathfrak g)$ は $\mathfrak g$ で生成されるので、$z_i$ はすべての元と可換である。

2：$f_i$ の $t^{e_i}$ 以外の項の次数は $e_i$ 未満なので、$z_i-x_i^{e_i}\in U_{e_i-1}$ であり、$z_i$ の主部は $\bar x_i^{\,e_i}$ である。$\operatorname{gr}U(\mathfrak g)$ は多項式環で零因子をもたないので、主部が $0$ でない元の積の主部は主部の積である。$z_i$ は互いに可換なので、$u_{a,b}\in U_{d}$（$d=|a+eb|$）で、その主部は $\bar x^{a+eb}$ である。$x^{a+eb}$ の主部も同じなので、$u_{a,b}-x^{a+eb}\in U_{d-1}$ である。

指数 $c$ を各成分について $c_i=e_ib_i+a_i$（$0\le a_i< e_i$）と割り算すると $(a,b)$ がただ一つ決まるので、$(a,b)\mapsto c=a+eb$ は全単射である。張ること：$|c|$ についての帰納法で $x^c$ が $u_{a,b}$ たちの一次結合であることを示す。$x^c=u_{a,b}+(x^c-u_{a,b})$ で、第 2 項は $U_{|c|-1}$ に入り、$U_{|c|-1}$ は $|c'|<|c|$ の $x^{c'}$ で張られるので帰納法の仮定が使える。一次独立：$0$ でない有限個の係数で $\sum\lambda_{a,b}u_{a,b}=0$ とし、係数が $0$ でない項の $|a+eb|$ の最大値を $d$ とする。$U_d/U_{d-1}$ で見ると $\sum_{|a+eb|=d}\lambda_{a,b}\bar x^{a+eb}=0$ であり、相異なる単項式は一次独立なのでそれらの $\lambda_{a,b}$ はすべて $0$ となり、$d$ の取り方に反する。

3：$z_i$ は中心にあるので $z_iU(\mathfrak g)=U(\mathfrak g)z_i$ で、$I$ は両側イデアルである。$z_iu_{a,b}=u_{a,b+\varepsilon_i}$（$\varepsilon_i$ は第 $i$ 成分だけ $1$）なので、$I$ は $b\ne0$ の $u_{a,b}$ たちで張られ、逆に $b_i\ge1$ の $u_{a,b}=z_iu_{a,b-\varepsilon_i}$ は $I$ に入る。2 により、$U(\mathfrak g)/I$ は $u_{a,0}=x^a$ の類を基底にもつ。$m_i\ge1$ なので $e_i\ge p\ge2$ であり、$a=\varepsilon_i$ はこの範囲に入る。よって $x_1,\dots,x_n$ の類は一次独立で、$\mathfrak g\to U(\mathfrak g)/I$ は単射である。$\square$

$C^m\mathfrak i$ を $\mathfrak i$ 自身の下降中心列とする（冪零Lie環 の定義「上中心列と下降中心列」）。可解Lie環 の補題「イデアルの括弧積はイデアル」を帰納的に使うと、各 $C^m\mathfrak i=[\mathfrak i,C^{m-1}\mathfrak i]$ は $\mathfrak g$ のイデアルである。$z_1,\dots,z_k\in\mathfrak i\cup\mathfrak j$ について $w=[z_1,{[z_2,\dots,{[z_{k-1},z_k]}\cdots]}]$ とし、$z_l$ のうち $\mathfrak i$ に入るものの個数を $r$ とする。$r\ge1$ なら $w\in C^r\mathfrak i$ である。実際、内側から括弧をとるとき、$\mathfrak i$ の元との括弧は $C^q\mathfrak i$ を $C^{q+1}\mathfrak i$ に（$\mathfrak j$ の元だけからなる部分との最初の括弧は $\mathfrak i$ がイデアルなので $\mathfrak i=C^1\mathfrak i$ に）入れ、$\mathfrak j$ の元との括弧は $C^q\mathfrak i$ がイデアルなので $C^q\mathfrak i$ にとどめる。同様に $k-r\ge1$ なら $w\in C^{k-r}\mathfrak j$ である。

$C^s\mathfrak i=0$、$C^t\mathfrak j=0$ とし、$k=s+t-1$ とする。冪零Lie環 の補題「二つの列の基本性質」の 2 により $C^k(\mathfrak i+\mathfrak j)$ は $k$ 個の $\mathfrak i+\mathfrak j$ の元の上の形の括弧積で張られ、各元を $\mathfrak i$ の成分と $\mathfrak j$ の成分に分けて多重線形に展開すると、$z_l\in\mathfrak i\cup\mathfrak j$ の括弧積の和になる。各項で $r\ge s$ か $k-r\ge t$ のどちらかが成り立つので、各項は $0$ であり、$C^k(\mathfrak i+\mathfrak j)=0$ である。

後半：冪零なイデアル（たとえば $0$）のうち次元が最大のもの $\mathfrak n$ をとると、任意の冪零なイデアル $\mathfrak i$ について $\mathfrak n+\mathfrak i$ は冪零なイデアルで、最大性から $\mathfrak i\subset\mathfrak n$ である。$\square$

1：$\mathfrak b:=\mathfrak a\rtimes K\delta$ とする。$\mathfrak a$ は可解なイデアルで $\mathfrak b/\mathfrak a$ は 1 次元（可換）なので、可解Lie環 の命題「部分 Lie 環・像・拡大での可解性」の 2 により $\mathfrak b$ は可解である。同じ記事の定理「標数 0 での導来環の冪零性」により $[\mathfrak b,\mathfrak b]$ は冪零である。$\delta y=[\hat\delta,y]$ なので $\delta(\mathfrak a)\subset\mathfrak m:=[\mathfrak b,\mathfrak b]\cap\mathfrak a$ である。$\mathfrak m$ は $\mathfrak b$ の 2 つのイデアルの共通部分なので $\mathfrak b$ のイデアル、したがって $\mathfrak a$ のイデアルであり、冪零 Lie 環の部分 Lie 環として冪零である（冪零Lie環 の命題「冪零 Lie 環の基本性質」の 1）。よって $\mathfrak m\subset\operatorname{nil}\mathfrak a$ である。

2：$x\in\mathfrak g$ について、$\mathfrak a$ はイデアルなので $\operatorname{ad}x$ を $\mathfrak a$ に制限したものは $\mathfrak a$ の導分であり（Jacobi 恒等式）、1 により $[x,\mathfrak a]\subset\operatorname{nil}\mathfrak a$ である。とくに $[x,\operatorname{nil}\mathfrak a]\subset\operatorname{nil}\mathfrak a$ である。$\square$

$\mathfrak b:=\mathfrak a\rtimes K\delta$ とする。普遍包絡環 の系「PBW の定理の帰結」の 4 により $U(\mathfrak a)\to U(\mathfrak b)$ は単射なので、$U(\mathfrak a)\subset U(\mathfrak b)$ とみる。$U(\mathfrak b)$ の線形写像 $D(u):=\hat\delta u-u\hat\delta$ は結合代数の導分であり、$y\in\mathfrak a$ について $D(y)=[\hat\delta,y]=\delta y\in\mathfrak a$ である。$U(\mathfrak a)$ は $\mathfrak a$ の元の積で張られ、$D(y_1\cdots y_m)=\sum_ly_1\cdots D(y_l)\cdots y_m$ なので $D(U(\mathfrak a))\subset U(\mathfrak a)$ である。導分は生成元での値で決まるので、延長は一意である。$\square$

$\pi\colon U\to A:=U/I$ を射影とし、$N:=\pi(\operatorname{nil}\mathfrak a)$ とする。$A$ は $\mathfrak a$ の元の積の像で張られる（空の積は $1$）。

1 段目：$k:=\dim A$ とおくと、$N$ の元 $k$ 個の積は $0$ である。$x\in N$ による左からの掛け算 $L_x\colon A\to A$ は、(ii) により冪零である。$\pi$ は $\mathfrak a$ 上で括弧積を交換子に写すので、$\{L_x\mid x\in N\}$ は $\mathfrak{gl}(A)$ の部分 Lie 環で、すべての元が冪零である。Engelの定理 の系「同時に狭義上三角行列にできる」の 2 により $L_{x_1}\cdots L_{x_k}=0$ であり、$1$ に当てて $x_1\cdots x_k=0$ を得る（$A=0$ なら以下は自明）。

2 段目：$N$ が生成する $A$ の両側イデアル $Q$ について $Q^k=0$ である。$Q^k$ は、$\pi(\mathfrak a)$ の元の積のうち $N$ の元を $k$ 個以上含むもので張られる。$y\in\pi(\mathfrak a)$、$x\in N$ について $yx=xy+[y,x]$ であり、$\operatorname{nil}\mathfrak a$ は $\mathfrak a$ のイデアルなので $[y,x]\in N$ である。この書き換えで、$N$ の元の個数を変えずに、積の長さか「$N$ の元より前にある $\pi(\mathfrak a)$ の元の対」の個数が減る。くり返すと、そのような積は $N$ の元 $k$ 個で始まる積の和になり、1 段目により $0$ である。

3 段目：$P:=\pi^{-1}(Q)$ は $I$ を含む $U$ の両側イデアルである。$J:=P^k$（$P$ の元 $k$ 個の積が張る部分空間）とおくと $J$ は両側イデアルで、$\pi(J)=Q^k=0$ より $J\subset I$ である。

(i)：$\mathfrak a$ の基底 $x_1,\dots,x_n$ をとる。$U/P\cong A/Q$ は有限次元なので、各 $x_i$ の冪の類は一次従属であり、最高次の係数が $1$ の多項式 $q_i$（次数 $d_i$）で $q_i(x_i)\in P$ となるものがある。$q_i(x_i)^k\in J$ は最高次の係数が $1$ の $x_i$ の $kd_i$ 次式なので、$J$ を法として $x_i$ の $kd_i$ 次以上の冪は $kd_i$ 次未満の冪の一次結合になる。$J$ は両側イデアルなので、順序付き単項式 $x_1^{c_1}\cdots x_n^{c_n}$ の中の $x_i^{c_i}$ をこの一次結合に取り替えてよい。PBW の定理（普遍包絡環）により順序付き単項式は $U$ を張るので、$U/J$ は $c_i< kd_i$ の単項式の類で張られ、有限次元である。

(ii)：$x\in\operatorname{nil}\mathfrak a$ なら $\pi(x)\in N\subset Q$ なので $x\in P$ で、$x^k\in P^k=J$ である。

(iii)：lem-ai-derivation の 1 により $\delta(\mathfrak a)\subset\operatorname{nil}\mathfrak a\subset P$ である。$D(y_1\cdots y_m)=\sum_ly_1\cdots\delta(y_l)\cdots y_m$ と $D(1)=0$ から $D(U)\subset P$ である。$\kappa_1,\dots,\kappa_k\in P$ について $D(\kappa_1\cdots\kappa_k)=\sum_l\kappa_1\cdots D(\kappa_l)\cdots\kappa_k\in P^k$ なので、$D(J)\subset J$ である。$\square$

$U=U(\mathfrak a)$ とし、$\sigma\colon\mathfrak a\to\mathfrak{gl}(V)$ が 普遍包絡環 の命題「普遍性」で引き起こす代数の準同型を $\tilde\sigma\colon U\to\operatorname{End}(V)$、その核を $I$ とする。$U/I$ は $\operatorname{End}(V)$ に埋め込まれるので有限次元で、$\sigma$ が nil 表現なので $\operatorname{nil}\mathfrak a$ の元の類は冪零である。lem-ai-ideal の $J\subset I$ をとる。

$Y\in\mathfrak a$ について $L_Y\colon U\to U$ を左からの掛け算とする。$Z\in\mathfrak h$ について、$\mathfrak a$ はイデアルなので $\operatorname{ad}Z|_{\mathfrak a}$ は $\mathfrak a$ の導分で、その延長を $D_Z$ とする（lem-ai-extend）。$X=Y+Z$ について $T_X:=L_Y+D_Z$ とおく。$J$ は両側イデアルなので $L_Y(J)\subset J$、(iii) により $D_Z(J)\subset J$ である。

$X\mapsto T_X$ が Lie 環の準同型 $\mathfrak g\to\mathfrak{gl}(U)$ であることを示す。$[L_Y,L_{Y'}]=L_{[Y,Y']}$ は $U$ の中で $YY'-Y'Y=[Y,Y']$ であることによる。$D_Z(Yu)=[Z,Y]u+YD_Z(u)$ から $[D_Z,L_Y]=L_{[Z,Y]}$ である。$[D_Z,D_{Z'}]$ は導分の交換子として $U$ の導分で、$\mathfrak a$ の上では Jacobi 恒等式により $\operatorname{ad}[Z,Z']$ に一致するので、延長の一意性から $D_{[Z,Z']}$ に等しい。一方

$$[Y+Z,\ Y'+Z']=\bigl([Y,Y']+[Z,Y']-[Z',Y]\bigr)+[Z,Z']$$

で第 1 項は $\mathfrak a$、第 2 項は $\mathfrak h$ に入る。よって $T_{[X,X']}=L_{[Y,Y']}+L_{[Z,Y']}-L_{[Z',Y]}+D_{[Z,Z']}=[T_X,T_{X'}]$ である。$T_X$ は $J$ を保つので、有限次元の $W:=U/J$ の上に $\rho(X)$ を引き起こし、$\rho$ は $\mathfrak g$ の表現である。

核：$Y\in\mathfrak a$ で $\rho(Y)=0$ なら $\rho(Y)(\bar1)=\bar Y=0$、すなわち $Y\in J\subset I$ なので $\sigma(Y)=\tilde\sigma(Y)=0$ である。

nil 表現：$Y\in\operatorname{nil}\mathfrak a$ なら (ii) により $Y^k\in J$ となる $k$ があり、$\rho(Y)^k=0$ である。$\operatorname{nil}\mathfrak g=\operatorname{nil}\mathfrak a$ の場合はこれで足りる。$\mathfrak g$ が冪零の場合、$\mathfrak a$ も冪零なので $\operatorname{nil}\mathfrak a=\mathfrak a$ で、$\rho(\mathfrak a)$ の元はすべて冪零である。$\rho(\mathfrak a)$ は $\mathfrak{gl}(W)$ の部分 Lie 環なので、Engelの定理 の系「同時に狭義上三角行列にできる」の 2 により $\rho(\mathfrak a)$ の元 $k'=\dim W$ 個の積は $0$ である。$\rho(\mathfrak g)$ の元の積で $\rho(\mathfrak a)$ の元を $k'$ 個以上含むものも $0$ である。実際 $u\in\rho(\mathfrak g)$、$v\in\rho(\mathfrak a)$ について $uv=vu+[u,v]$ で $[u,v]\in\rho(\mathfrak a)$（$\mathfrak a$ はイデアル）なので、lem-ai-ideal の証明の 2 段目と同じ書き換えで $\rho(\mathfrak a)$ の元を左へ集められる。次に $Z\in\mathfrak h$ とする。冪零Lie環 の命題「冪零 Lie 環の基本性質」の 6 により $(\operatorname{ad}Z)^c=0$ となる $c$ があり、$D_Z^{\,M}(y_1\cdots y_m)$ を Leibniz 則で展開すると、$M> m(c-1)$ ならどの項もある因子に $\operatorname{ad}Z$ を $c$ 回以上施すので $0$ である。$W$ は有限個の元の類で張られるので、$\rho(Z)^l=0$ となる $l$ がある。$X=Y+Z$ について $(\rho(Y)+\rho(Z))^{k'l}$ を展開すると、各項は $\rho(Z)$ が $l$ 個続く部分を含むか、$\rho(Y)$ を $k'$ 個以上含む（$\rho(Y)$ が $j\le k'-1$ 個なら $\rho(Z)$ の連続は高々 $j+1$ か所で、どれも $l-1$ 個以下なら長さは $j+(j+1)(l-1)< k'l$ になる）ので $0$ である。よって $\rho(X)$ は冪零で、$\operatorname{nil}\mathfrak g=\mathfrak g$ だから $\rho$ は nil 表現である。$\square$

準備：$\mathfrak c:=\mathfrak z(\mathfrak g)$、$\mathfrak r:=\operatorname{rad}\mathfrak g$（可解Lie環 の命題「根基の存在」）、$\mathfrak n:=\operatorname{nil}\mathfrak r$ とする。$\mathfrak c$ は可換なイデアルなので $\mathfrak c\subset\mathfrak r$ で、$\mathfrak r$ の冪零なイデアルなので $\mathfrak c\subset\mathfrak n$ である。可解Lie環 の定理「標数 0 での導来環の冪零性」により $[\mathfrak r,\mathfrak r]$ は冪零で、$\mathfrak r$ のイデアルなので $[\mathfrak r,\mathfrak r]\subset\mathfrak n$ である。lem-ai-derivation の 2 により $\mathfrak n$ は $\mathfrak g$ のイデアルなので $\mathfrak n\subset\operatorname{nil}\mathfrak g$ であり、逆に $\operatorname{nil}\mathfrak g$ は可解なイデアルなので $\mathfrak r$ に含まれ、$\mathfrak r$ の冪零なイデアルなので $\mathfrak n$ に含まれる。よって $\operatorname{nil}\mathfrak g=\mathfrak n$ である。

$\mathfrak c=0$ の場合：$\operatorname{ad}$ は忠実である（prop-ai-center）。$x\in\mathfrak n$ について $(\operatorname{ad}x)(\mathfrak g)\subset\mathfrak n$、$(\operatorname{ad}x)(C^j\mathfrak n)\subset C^{j+1}\mathfrak n$ なので、$\mathfrak n$ の冪零類を $t$ とすると $(\operatorname{ad}x)^{t+1}=0$ であり、$\operatorname{ad}$ は忠実な nil 表現である。以下 $\mathfrak c\ne0$ とする。

イデアルの列：$C^j:=C^j\mathfrak n$、$W_j:=\mathfrak c+C^j$ とおくと $W_1=\mathfrak n$、$W_{t+1}=\mathfrak c$ で、$[\mathfrak n,W_j]\subset[\mathfrak n,C^j]=C^{j+1}\subset W_{j+1}$ である。よって $W_{j+1}\subset V\subset W_j$ を満たす部分空間 $V$ は $[\mathfrak n,V]\subset V$ を満たし、$\mathfrak n$ のイデアルである。また $\mathfrak n\subset V\subset\mathfrak r$ を満たす部分空間 $V$ は $[\mathfrak r,V]\subset[\mathfrak r,\mathfrak r]\subset\mathfrak n\subset V$ を満たし、$\mathfrak r$ のイデアルである。これらの間を 1 次元ずつ細分して、

$$\mathfrak c=\mathfrak g_0\subset\mathfrak g_1\subset\cdots\subset\mathfrak g_p=\mathfrak n\subset\cdots\subset\mathfrak g_q=\mathfrak r,\qquad\dim\mathfrak g_i/\mathfrak g_{i-1}=1$$

で、各 $\mathfrak g_{i-1}$ が $\mathfrak g_i$ のイデアルとなるものをとる。$\mathfrak h_i$ を $\mathfrak g_{i-1}$ の $\mathfrak g_i$ での 1 次元の補空間とすると、1 次元の部分空間は部分 Lie 環なので $\mathfrak g_i=\mathfrak g_{i-1}\oplus\mathfrak h_i$ は prop-ai-extend-rep の形をしている（$\mathfrak g_{i-1}$ は $\mathfrak r$ の部分 Lie 環なので可解である）。

$\operatorname{nil}$ の確認：$1\le i\le p$ なら $\mathfrak g_i\subset\mathfrak n$ は冪零である。$p< i\le q$ なら、$\mathfrak b=\mathfrak g_{i-1}$ と $\mathfrak b=\mathfrak g_i$ のどちらについても、$\mathfrak n\subset\mathfrak b$ は $\mathfrak b$ の冪零なイデアルなので $\mathfrak n\subset\operatorname{nil}\mathfrak b$ であり、$\mathfrak b$ は $\mathfrak r$ の可解なイデアルなので lem-ai-derivation の 2 により $\operatorname{nil}\mathfrak b$ は $\mathfrak r$ の冪零なイデアル、したがって $\operatorname{nil}\mathfrak b\subset\mathfrak n$ である。よって $\operatorname{nil}\mathfrak g_i=\operatorname{nil}\mathfrak g_{i-1}=\mathfrak n$ である。

延長：$\sigma_0$ を可換な $\mathfrak c$ の忠実な表現で、すべての元が冪零に働くもの（ex-ai-small の 1）とする。$\operatorname{nil}\mathfrak c=\mathfrak c$ なので $\sigma_0$ は nil 表現である。$i=1,\dots,q$ について prop-ai-extend-rep を $\mathfrak g_i=\mathfrak g_{i-1}\oplus\mathfrak h_i$ と $\sigma_{i-1}$ に当て、上の確認により nil 表現 $\sigma_i$ で $\ker\sigma_i\cap\mathfrak g_{i-1}\subset\ker\sigma_{i-1}$ となるものを得る。帰納的に $\ker\sigma_i\cap\mathfrak c\subset\ker\sigma_{i-1}\cap\mathfrak c=\dots=\ker\sigma_0=0$ である。

最後の段：Levi 部分環 $\mathfrak s$ をとり $\mathfrak g=\mathfrak r\oplus\mathfrak s$ とする（Levi分解 の定理「Levi の定理」。標数 $0$ の任意の体の上では Wei94 Levi's Theorem 7.8.13、pp. 246–247）。$\operatorname{nil}\mathfrak g=\mathfrak n=\operatorname{nil}\mathfrak r$ なので、prop-ai-extend-rep を $\sigma_q$ に当てると $\mathfrak g$ の nil 表現 $\rho_1$ で $\ker\rho_1\cap\mathfrak c\subset\ker\sigma_q\cap\mathfrak c=0$ となるものがある。prop-ai-center により $\rho:=\rho_1\oplus\operatorname{ad}$ は忠実であり、$\mathfrak c=0$ の場合と同じく $x\in\mathfrak n$ の $\operatorname{ad}x$ は冪零なので、$\rho$ は nil 表現である。$\square$

PBW の定理により $y^bx^a$（$a,b\ge0$）は $U(\mathfrak g)$ の基底である。$\operatorname{ad}x$ は $U(\mathfrak g)$ の導分なので $[x,y^b]=\sum_{l}y^{l}[x,y]y^{b-1-l}=by^b$、したがって $[x,y^bx^a]=by^bx^a$ である。中心の元 $u=\sum c_{b,a}y^bx^a$ について $0=[x,u]=\sum bc_{b,a}y^bx^a$ なので、標数 $0$ では $b\ge1$ の係数はすべて $0$ で、$u=g(x)$ は $x$ の多項式である。次に $yx=xy-[x,y]=(x-1)y$ から $yg(x)=g(x-1)y$ となり、$0=[y,u]=(g(x-1)-g(x))y$ である。普遍包絡環 の系「PBW の定理の帰結」の 3 により $U(\mathfrak g)$ は零因子をもたず、$x$ の多項式の全体は $U(\mathfrak g)$ の中で多項式環として入っているので、$g(t-1)=g(t)$ が多項式として成り立つ。$g$ の次数を $d\ge1$、最高次の係数を $c$ とすると $g(t)-g(t-1)$ の $t^{d-1}$ の係数は $dc\ne0$（標数 $0$）なので、$g$ は定数である。$\square$