射影錐

要点：$IS'$ の元は $x_{n+1}$ を含まない方程式で生成されるので、点の条件は最初の $n+1$ 座標だけで決まる。斉次座標環 $S(Y)[x_{n+1}]$ の次数 $l$ の部分の次元は $\psi_Y(0)+\dots+\psi_Y(l)$ で、この和の主要項から次元と次数が読める。

要点：$U_i$ の座標環は斉次座標環の $x_i$ による局所化の次数 $0$ の部分で、$x_{n+1}$ の冪を $t_i$ の冪に書き換える。

1：$\overline{X}$ は射影多様体なので Noether・整・分離的である。頂点 $P$ の余次元は $\dim\overline{X}=\dim V+1\ge2$ だから、余次元 $1$ の点はある $U_i\cong V_i\times\mathbb{A}^1$ にあり、$V_i$ が $(*)$ をみたすので $V_i\times\mathbb{A}^1$ も $(*)$ をみたす（Har77 Proposition II.6.6、p. 134）。$X$ は $\overline{X}$ の開集合である。
2：$\overline{X}\setminus\{P\}$ の素因子 $Z$ を、$\pi(Z)$ が $V$ で稠密なもの（水平）とそうでないもの（垂直）に分ける。
垂直な素因子：$V$ の素因子 $W$ について $\pi^{-1}(W)=\overline{C}(W)\setminus\{P\}$ は既約で次元 $\dim W+1=\dim V$ だから素因子である（prop-projective-cone-structure を $W$ に使う）。逆に $\pi(Z)$ の閉包 $W$ が $V$ と異なれば、$Z\subset\pi^{-1}(W)$ と $\dim Z=\dim V\ge\dim W+1=\dim\pi^{-1}(W)$ から $Z=\pi^{-1}(W)$ で、$W$ は素因子である。$\pi^{-1}(W)$ の生成点の局所環は、$W\cap V_i\ne\emptyset$ なる $i$ について $\mathcal{O}_{V,W}[t_i]$ をその極大イデアルの $t_i$ 係数への延長 $\mathfrak{m}_W[t_i]$ で局所化したものであり、$\mathcal{O}_{V,W}$ の素元がその素元になる。よって
$$ \operatorname{ord}_{\pi^{-1}(W)}(g)=\operatorname{ord}_W(g)\quad(g\in K^\times),\qquad\operatorname{ord}_{\pi^{-1}(W)}(t_i)=0 $$
である（$t_i\notin\mathfrak{m}_W[t_i]$）。
水平な素因子：生成点 $\eta_Z$ は $V$ の生成点に移るので $\eta_Z\in U_{i_0}$ であり、$\eta_Z$ は $A[t]$ の高さ $1$ の素イデアル $\mathfrak{q}$ で $\mathfrak{q}\cap A=0$ なるものに対応する。$A\setminus\{0\}$ で局所化すると、これは単項イデアル整域 $K[t]$ の $0$ でない素イデアル $(h)$（$h$ は既約多項式）と 1 対 1 に対応し、$\mathcal{O}_{\overline{X},Z}=K[t]_{(h)}$ である。したがって水平な素因子 $Z_h$ は $K[t]$ の既約多項式 $h$（$K^\times$ 倍を除く）と 1 対 1 に対応し、$\operatorname{ord}_{Z_h}$ は $h$ 進付値 $v_h$ である。$g\in K^\times$ はすべての $v_h$ で $0$ である。
以上から、$\pi^*\colon\operatorname{Div}(V)\to\operatorname{Div}(\overline{X}\setminus\{P\})$、$W\mapsto\pi^{-1}(W)$ は単射で、$g\in K^\times$ について $\pi^*\operatorname{div}_V(g)=\operatorname{div}(g)$ をみたす。

• 全射性：$D\in\operatorname{Div}(\overline{X}\setminus\{P\})$ の水平部分を $\sum_hn_hZ_h$ とし、$f:=\prod_hh^{n_h}$ とおくと、$D-\operatorname{div}(f)$ は水平部分をもたず、$\pi^*E$ の形である。
• 単射性：$\pi^*E=\operatorname{div}(f)$（$f\in K(t)^\times$）なら、すべての $v_h(f)=0$ だから、$K[t]$ の一意分解性により $f\in K^\times$ である。すると $\pi^*E=\pi^*\operatorname{div}_V(f)$ で、$\pi^*$ の単射性から $E=\operatorname{div}_V(f)$ である。
  ゆえに $\operatorname{Cl}(V)\cong\operatorname{Cl}(\overline{X}\setminus\{P\})$ である。$P$ の余次元は $2$ 以上なので、Weil因子 の定理「開集合への制限の完全列」により $\operatorname{Cl}(\overline{X})\cong\operatorname{Cl}(\overline{X}\setminus\{P\})$ であり、$\pi^{-1}(W)$ の閉包は $\overline{C}(W)$ である。
  3：$V_\infty:=\overline{X}\cap H_\infty$ は $U_{i_0}$ で $t=0$ と書ける水平な素因子 $Z_t$ で、$X=\overline{X}\setminus V_\infty$ である（prop-projective-cone-structure の 2）。定理「開集合への制限の完全列」により $\mathbb{Z}\to\operatorname{Cl}(\overline{X})\to\operatorname{Cl}(X)\to0$（$1\mapsto[V_\infty]$）は完全であり、$\overline{C}(W)\cap X=C(W)$ である。有理関数 $x_{n+1}/\ell=t_i\cdot(x_i/\ell)$ の因子を計算すると、水平部分は $v_h(t)$ だけから来て $V_\infty$、垂直部分は $\pi^{-1}(W)$ で $\operatorname{ord}_W(x_i/\ell)=-\operatorname{ord}_W(\ell/x_i)$ だから
  $$ \operatorname{div}(x_{n+1}/\ell)=V_\infty-\pi^*(V.H)\quad(\overline{X}\setminus\{P\}\ \text{の上で}) $$
  である。よって 2 の同型で $[V_\infty]$ は $[V.H]$ に対応し、3 の完全性が従う。
  4：$m>0$ について $m\,V.H=\operatorname{div}_V(g)$ と仮定して矛盾を導く。$\ell=x_{i_0}$ ととってよい。$\operatorname{div}(g)\ge0$ と正規性から $g$ は各 $V_i$ の正則関数（正規 Noether 整域は高さ $1$ の素イデアルでの局所化の共通部分。Mat86 Theorem 11.5 (ii)、p. 81）、したがって $g\in\Gamma(V,\mathcal{O}_V)=k$（射影多様体の大域正則関数は定数。Har77 Theorem I.3.4 (a)、p. 18）であり、$V.H=0$ となる。すると同じ理由で各 $x_{i_0}/x_i$ は $V_i$ の単元で、$x_{i_0}$ は $V$ のどの点でも $0$ にならず、$V\subset D_+(x_{i_0})$ である。このとき $x_j/x_{i_0}$ は $V$ の大域正則関数なので定数になり、$V$ は 1 点となって $\dim V\ge1$ に反する。$\square$

$S(V)$ はアフィン錐 $X$ の座標環だから、Weil因子 の命題「一意分解性と因子類群」により、$S(V)$ が一意分解整域であることは、$S(V)$ が整閉かつ $\operatorname{Cl}(X)=0$ であることと同値である。
$S(V)$ が整閉なら $V$ は正規である。実際、$K$ の元 $a$ が $A_i$ 上整なら、整閉整域の局所化 $S(V)[x_i^{-1}]$ 上整だから $a=F/x_i^m$（$F\in S(V)$）と書ける。一方 $a=G/G'$（$G,G'$ は同じ次数の斉次元、$G'\ne0$）だから $G'F=Gx_i^m$ であり、斉次成分を比べると $F$ は次数 $m$ の斉次元である。よって $a\in A_i$ である。
したがって 1 のもとで $V$ は正規であり、thm-projective-cone-class-group の 3 と 4 により、$\operatorname{Cl}(X)=0$ であることは $\mathbb{Z}\to\operatorname{Cl}(V)$（$1\mapsto[V.H]$）が同型であること、すなわち 2 と同値である。$S(V)$ が一意分解整域なら 1 が成り立つので、以上で両方向が示された。$\square$