ベクトル方程式（直線と円）

同義語：直線のベクトル方程式円のベクトル方程式vector equations of lines and circles

概要

前提知識: ベクトルの内積（高校数学）, 位置ベクトルと内分点

高校での出発点：同じ直線を 2 通りに書く

平面に基準の点 $O$ を決め、点 $P$ を位置ベクトル $\vec p=\overrightarrow{OP}$ で表す（位置ベクトルと内分点）。図形を「その図形の上の点 $P$ の位置ベクトル $\vec p$ が満たす式」で表したものを、その図形の ベクトル方程式 という。まず、同じ 1 本の直線を 2 通りのベクトル方程式で書いてみる。

点と向きで直線を書く

点 $A(1,2)$ を通り、ベクトル $\vec d=(2,1)$ の向きに伸びる直線を考える。$A$ から $\vec d$ の $t$ 倍だけ進んだ点は
$$ \vec p=\vec a+t\vec d=(1,2)+t(2,1)=(1+2t,\ 2+t) $$
である。$t=0$ で $A(1,2)$、$t=1$ で $(3,3)$、$t=2$ で $(5,4)$、$t=-1$ で $(-1,1)$ となる（図 1）。$x=1+2t$、$y=2+t$ から $t$ を消すと、$t=y-2$ を $x=1+2t$ に代入して $x=1+2(y-2)$、つまり
$$ x-2y+3=0 $$
を得る。4 つの点はどれもこの式を満たす（たとえば $(5,4)$ では $5-8+3=0$）。

点と垂直な向きで直線を書く

同じ点 $A(1,2)$ を通り、ベクトル $\vec n=(1,-2)$ に垂直な直線を考える。点 $P$ がこの直線の上にあることは、$\overrightarrow{AP}=\vec p-\vec a$ が $\vec 0$ であるか $\vec n$ に垂直であることで、どちらの場合も内積で
$$ \vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0 $$
と書ける（ベクトルの内積（高校数学）の「垂直の条件」）。$\vec p=(x,y)$ として成分で計算すると
$$ 1\cdot(x-1)+(-2)\cdot(y-2)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x-2y+3=0 $$
であり、ex-vel-start-param と同じ式になる（図 2）。

直線 x-2y+3=0 を、点 A(1,2) と方向ベクトル d=(2,1) で表す。t=-1、0、1、2 の点が直線に等間隔に並ぶ

同じ直線を、点 A(1,2) と法線ベクトル n=(1,-2) で表す。直線の上の点 P では、A から P へのベクトルが n に垂直になる

2 つの例で使ったベクトル $\vec d=(2,1)$ と $\vec n=(1,-2)$ は、$\vec n\cdot\vec d=2-2=0$ で垂直である。同じ直線が、「向き」で書いても「垂直な向き」で書いても表せた。円も同じように書ける。

中心からの距離で円を書く

中心 $C(1,2)$、半径 $5$ の円は、中心からの距離が $5$ の点の全体なので、$\lvert\vec p-\vec c\rvert=5$ と書ける。両辺を 2 乗して成分で書くと $(x-1)^2+(y-2)^2=25$ である。点 $(4,6)$ は $(4-1)^2+(6-2)^2=9+16=25$ を満たすので、この円の上にある。

この記事では、次の問いに答える。

「向き」で書いた直線と「垂直な向き」で書いた直線は、いつ同じ直線になるか。→ thm-vel-line
一方の形からもう一方の形へ、どう書き換えるか。→ lem-vel-perp、ex-vel-convert
円の上の点での接線は、ベクトル方程式でどう書けるか。→ thm-vel-tangent

どの条件を外すと、式が直線や円を表さなくなるか。→ ex-vel-zero-d、ex-vel-zero-n、ex-vel-not-perp

高校の式	ベクトル方程式	この記事のボックス
$x=x_0+lt$、$y=y_0+mt$	$\vec p=\vec a+t\vec d$（媒介変数の形）	def-vel-line
$a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$	$\vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0$（法線の形）	def-vel-line
方向ベクトル $(l,m)$ と法線ベクトル $(m,-l)$	2 つの形の書き換え	lem-vel-perp、thm-vel-line
$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$	$\lvert\vec p-\vec c\rvert=r$	def-vel-circle
接線 $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$	$(\vec p_0-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2$	thm-vel-tangent

ベクトル方程式とは

図形のベクトル方程式

平面の図形 $F$（点の集まり）と、位置ベクトル $\vec p$ についての条件が与えられていて、
$$ P\text{ が }F\text{ の上にある}\quad\Longleftrightarrow\quad \vec p\text{ がその条件を満たす} $$
がすべての点 $P$ で成り立つとき、その条件を $F$ の ベクトル方程式 という。条件が「実数 $t$ を使って $\vec p=\dots$ と書ける」の形のとき、$t$ を 媒介変数（パラメータ）という。

ベクトル方程式は「$\Longleftrightarrow$」の両向きが大事である。$F$ の点がすべて条件を満たすだけでなく、条件を満たす点がすべて $F$ の上にあることまで確かめて、はじめて $F$ のベクトル方程式といえる。

直線のベクトル方程式

点 $A(\vec a)$ と、$\vec 0$ でないベクトル $\vec d$、$\vec n$ について、次のように定める。

媒介変数の形：$\vec p=\vec a+t\vec d$（$t$ は実数）と書ける点 $P$ の全体を、$A$ を通り 方向ベクトル $\vec d$ の直線という。
法線の形：$\vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0$ を満たす点 $P$ の全体を、$A$ を通り 法線ベクトル $\vec n$ の直線という。

媒介変数の形は「点の作り方」を与える式で、$t$ に値を入れるたびに直線の上の点が 1 つできる。法線の形は「点の判定法」を与える式で、点を代入して $0$ になるかどうかで直線の上にあるかが分かる。

2 点を通る直線

$A(\vec a)$、$B(\vec b)$ が異なる 2 点なら、$\vec d=\vec b-\vec a$ を方向ベクトルにとれて、直線 $AB$ は
$$ \vec p=\vec a+t(\vec b-\vec a)=(1-t)\vec a+t\vec b $$
と書ける。$A(1,2)$、$B(3,3)$ なら $\vec b-\vec a=(2,1)$ で、ex-vel-start-param の式になる。係数の和が $1$ の形 $s\vec a+t\vec b$（$s+t=1$）で直線を表すことは位置ベクトルと内分点の主定理「直線上にある条件」で扱っている。

主定理 1：2 つの形は同じ直線を表す

2 つの形を行き来するには、「ある向きに垂直な向き」を具体的に書ければよい。平面では、それは成分を入れかえて片方の符号を変えたベクトルである。

垂直なベクトルを作る

$\vec d=(2,1)$ に対して $\vec e=(-1,2)$ とすると、$\vec e\cdot\vec d=-2+2=0$ である。$\vec n=(1,-2)=-\vec e$ も $\vec d$ に垂直である。
$\vec d=(3,-1)$ に対して $\vec e=(1,3)$ とすると、$\vec e\cdot\vec d=3-3=0$ である。$(2,6)$ や $(-1,-3)$ のような $\vec e$ の実数倍も $\vec d$ に垂直である。

例で挙げた垂直なベクトルは、どれも $\vec e$ の実数倍だった。これがいつも成り立つことを示す。

平面で垂直なベクトルはすべて実数倍

平面のベクトル $\vec d=(d_1,d_2)\ne\vec 0$ に対して $\vec e=(-d_2,d_1)$ とおく。このとき $\vec e\ne\vec 0$、$\vec e\cdot\vec d=0$ であり、ベクトル $\vec v$ について
$$ \vec v\cdot\vec d=0\quad\Longleftrightarrow\quad \vec v=k\vec e\ \text{となる実数}\ k\ \text{がある} $$
が成り立つ。このときの $k$ は $k=\dfrac{\vec v\cdot\vec e}{\lvert\vec d\rvert^2}$ である。

成分で差を計算する

要点：$\vec e\cdot\vec d=0$ と $\lvert\vec e\rvert=\lvert\vec d\rvert>0$ は成分で確かめられる。$\vec v\cdot\vec d=0$ のとき、ベクトル $\lvert\vec d\rvert^2\vec v-(\vec v\cdot\vec e)\vec e$ の 2 つの成分がどちらも $d_1v_1+d_2v_2$ の倍数になり、したがって $0$ になることから、$\vec v$ が $\vec e$ の実数倍だと分かる。

詳しい証明を開く

方針：$\vec v\cdot\vec d=0$ のとき、$\lvert\vec d\rvert^2\vec v-(\vec v\cdot\vec e)\vec e$ の成分を計算して $\vec 0$ になることを示す。

段 1（$\vec e$ の性質）。$\lvert\vec e\rvert^2=d_2^2+d_1^2=\lvert\vec d\rvert^2>0$ なので $\vec e\ne\vec 0$ である。$\vec e\cdot\vec d=-d_2d_1+d_1d_2=0$ である。

段 2（$\Longleftarrow$）。$\vec v=k\vec e$ なら、内積の計算規則から $\vec v\cdot\vec d=k(\vec e\cdot\vec d)=0$ である。

段 3（$\Longrightarrow$）。$\vec v=(v_1,v_2)$ が $\vec v\cdot\vec d=v_1d_1+v_2d_2=0$ を満たすとする。$\vec v\cdot\vec e=-v_1d_2+v_2d_1$ なので、$\vec w=\lvert\vec d\rvert^2\vec v-(\vec v\cdot\vec e)\vec e$ の第 1 成分は$$(d_1^2+d_2^2)v_1-(-v_1d_2+v_2d_1)(-d_2)=d_1^2v_1+d_2^2v_1-v_1d_2^2+v_2d_1d_2=d_1(d_1v_1+d_2v_2)=0$$であり、第 2 成分は$$(d_1^2+d_2^2)v_2-(-v_1d_2+v_2d_1)d_1=d_1^2v_2+d_2^2v_2+v_1d_1d_2-v_2d_1^2=d_2(d_1v_1+d_2v_2)=0$$である。よって $\vec w=\vec 0$ で、$\lvert\vec d\rvert^2\ne0$ で割ると $\vec v=\dfrac{\vec v\cdot\vec e}{\lvert\vec d\rvert^2}\vec e$ となる。$\square$

この補題から、媒介変数の形と法線の形が同じ直線を表すことが出る。

媒介変数の形と法線の形

平面の点 $A(\vec a)$ と、$\vec 0$ でないベクトル $\vec d$、$\vec n$ が $\vec n\cdot\vec d=0$ を満たすとする。このとき
$$ \{\,P\mid \vec p=\vec a+t\vec d\ \text{となる実数}\ t\ \text{がある}\,\}=\{\,P\mid \vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0\,\} $$
である。さらに、左辺の点 $P$ に対する $t$ はただ 1 つである。

両方の向きの包含を示す

方針：左辺の点が右辺の式を満たすこと（段 1）と、右辺の式を満たす点が左辺の形に書けること（段 2）を別々に示す。段 2 で lem-vel-perp を使う。
段 1（左辺 $\subset$ 右辺）。$\vec p=\vec a+t\vec d$ とすると $\vec p-\vec a=t\vec d$ なので、$\vec n\cdot(\vec p-\vec a)=t\,(\vec n\cdot\vec d)=t\cdot0=0$ である。
段 2（右辺 $\subset$ 左辺）。$\vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0$ とし、$\vec w=\vec p-\vec a$ とおく。$\vec n=(n_1,n_2)\ne\vec 0$ に lem-vel-perp を使い、$\vec e=(-n_2,n_1)$ とする。$\vec w\cdot\vec n=0$ なので $\vec w=\alpha\vec e$ となる実数 $\alpha$ があり、$\vec d\cdot\vec n=0$ なので $\vec d=\beta\vec e$ となる実数 $\beta$ がある。$\vec d\ne\vec 0$ なので $\beta\ne0$ である。よって
$$ \vec w=\alpha\vec e=\frac{\alpha}{\beta}\,\beta\vec e=\frac{\alpha}{\beta}\,\vec d $$
で、$t=\dfrac\alpha\beta$ とおくと $\vec p=\vec a+t\vec d$ である。
段 3（$t$ はただ 1 つ）。$\vec a+t\vec d=\vec a+t'\vec d$ なら $(t-t')\vec d=\vec 0$ で、$\vec d\ne\vec 0$ なので $t=t'$ である。$\square$

lem-vel-perp により、どちらの形からも他方の形へ書き換えられる。方向ベクトル $\vec d=(d_1,d_2)$ が分かっていれば法線ベクトルに $(-d_2,d_1)$ をとればよく、法線ベクトル $\vec n=(n_1,n_2)$ が分かっていれば方向ベクトルに $(-n_2,n_1)$ をとればよい。

形を書き換える

点 $(2,5)$ を通り方向ベクトル $(3,-1)$ の直線。法線ベクトルに $(1,3)$ をとると（ex-vel-perp の (2)）、法線の形は $(1,3)\cdot\bigl((x,y)-(2,5)\bigr)=0$ で、成分で書くと
$$ (x-2)+3(y-5)=0\quad\Longleftrightarrow\quad x+3y=17 $$
である。
直線 $4x-3y+10=0$。係数から法線ベクトル $(4,-3)$ が読める。点 $(-1,2)$ は $-4-6+10=0$ なので直線の上にある。方向ベクトルに $(3,4)$ をとると（$(4,-3)\cdot(3,4)=12-12=0$）、媒介変数の形は
$$ \vec p=(-1,2)+t(3,4)=(-1+3t,\ 2+4t) $$
である。$t=1$ の点 $(2,6)$ は $8-18+10=0$ を満たす。

成分で書いた法線の形 $n_1(x-x_0)+n_2(y-y_0)=0$ は、高校で習う直線の方程式 $ax+by+c=0$ そのものである。係数 $(a,b)$ が法線ベクトルになること（thm-vel-line を成分で書いた形とその証明を含む）、2 直線の平行・垂直の条件、点と直線の距離の公式は直線の方程式と点と直線の距離で扱う。媒介変数の形は、直線の上を動く点を $t$ 1 つで追えるので、次の例のように「直線の上でいちばん近い点」を探すのに向く。

垂線の足を媒介変数で求める

点 $Q(5,-1)$ から直線 $\vec p=(1,2)+t(2,1)$ に下ろした垂線の足 $H$ を求める。$H$ は直線の上の点で、$\overrightarrow{QH}$ が方向ベクトル $(2,1)$ に垂直である。$\vec h=(1+2t,\ 2+t)$ とおくと $\vec h-\vec q=(-4+2t,\ 3+t)$ なので
$$ (\vec h-\vec q)\cdot(2,1)=2(-4+2t)+(3+t)=5t-5=0 $$
から $t=1$、$H(3,3)$ である。$\overrightarrow{QH}=(-2,4)$ で、距離は $QH=\sqrt{4+16}=2\sqrt5$ である。点と直線の距離の公式で $x-2y+3=0$ との距離を計算しても $\dfrac{\lvert5+2+3\rvert}{\sqrt{1+4}}=\dfrac{10}{\sqrt5}=2\sqrt5$ で、一致する。

円のベクトル方程式

点 $C(\vec c)$ と正の数 $r$ について、$C$ からの距離が $r$ の点の全体を、中心 $C$、半径 $r$ の円という。点 $P$ が円の上にあることは
$$ \lvert\vec p-\vec c\rvert=r\qquad\text{あるいは同じことだが}\qquad (\vec p-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2 $$
と書ける。これを円のベクトル方程式という。

2 つの式が同じ条件であるのは、$\lvert\vec p-\vec c\rvert\ge0$、$r>0$ なので $\lvert\vec p-\vec c\rvert=r$ と $\lvert\vec p-\vec c\rvert^2=r^2$ が同値であり、$\lvert\vec v\rvert^2=\vec v\cdot\vec v$ だからである。

内積を展開して成分の式にする

ex-vel-start-circle の円（$\vec c=(1,2)$、$r=5$）で、内積の計算規則を使って $(\vec p-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=25$ を展開すると
$$ \lvert\vec p\rvert^2-2\,\vec c\cdot\vec p+\lvert\vec c\rvert^2=25 $$
である。$\vec p=(x,y)$ とすると $\lvert\vec p\rvert^2=x^2+y^2$、$\vec c\cdot\vec p=x+2y$、$\lvert\vec c\rvert^2=5$ なので
$$ x^2+y^2-2x-4y+5=25\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+y^2-2x-4y-20=0 $$
である。$x^2+y^2$ の係数がそろい、1 次の項の係数が $-2\vec c$ の成分になっている。

円は媒介変数の形にも書ける。$\vec p-\vec c$ は長さ $r$ のベクトルなので、$x$ 軸の正の向きとなす角を $\theta$ とすると $\vec p-\vec c=r(\cos\theta,\sin\theta)$ である。

円の媒介変数の形

ex-vel-start-circle の円は $\vec p=(1,2)+5(\cos\theta,\sin\theta)$ と書ける。$\cos\theta=\dfrac35$、$\sin\theta=\dfrac45$ となる $\theta$ では $\vec p=(1+3,\ 2+4)=(4,6)$ で、ex-vel-start-circle で確かめた点になる。楕円・双曲線も含めた媒介変数の形は 2次曲線の媒介変数表示で扱う。

直径の両端 $A$、$B$ から円を書く式 $(\vec p-\vec a)\cdot(\vec p-\vec b)=0$ もよく使う。この式が $AB$ を直径とする円を表すこと、つまり直径を直角に見込む点の全体が円になることは直径に対する円周角の定理「内積による表示」で扱う。

主定理 2：円の接線のベクトル方程式

円と直線が 1 点だけを共有するとき、直線は円に 接する といい、その直線を接線、共有点を接点という。接線は、接点と中心を結ぶ半径に垂直な直線である。ベクトル方程式を使うと、このことと接線の式が一度に示せる。

円の接線

中心 $C(\vec c)$、半径 $r$ の円の上の点 $P_0(\vec p_0)$ をとる。

$P_0$ を通り方向ベクトル $\vec d\ne\vec 0$ の直線が、円と $P_0$ だけを共有するのは、$\vec d\cdot(\vec p_0-\vec c)=0$ のとき、つまり直線が半径 $CP_0$ に垂直なときであり、そのときに限る。
$P_0$ における接線のベクトル方程式は
$$ (\vec p_0-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2 $$
である。

直線の上の点の、中心からの距離を $t$ で書く

方針：直線の上の点 $\vec p=\vec p_0+t\vec d$ について $\lvert\vec p-\vec c\rvert^2$ を $t$ の 2 次式で書き、それが $r^2$ になる $t$ を調べる。
段 1（2 次式にする）。$\vec u=\vec p_0-\vec c$ とおくと、$P_0$ は円の上にあるので $\lvert\vec u\rvert^2=r^2$ である。$\vec p-\vec c=\vec u+t\vec d$ なので、内積の計算規則から
$$ \lvert\vec p-\vec c\rvert^2=\lvert\vec u\rvert^2+2t\,(\vec d\cdot\vec u)+t^2\lvert\vec d\rvert^2=r^2+t\bigl(2\,\vec d\cdot\vec u+t\lvert\vec d\rvert^2\bigr) $$
である。
段 2（共有点の $t$）。直線の点 $\vec p_0+t\vec d$ が円の上にあるのは、段 1 の式が $r^2$ に等しいとき、つまり
$$ t\bigl(2\,\vec d\cdot\vec u+t\lvert\vec d\rvert^2\bigr)=0 $$
のときである。解は $t=0$（点 $P_0$）と $t=-\dfrac{2\,\vec d\cdot\vec u}{\lvert\vec d\rvert^2}$ である。
段 3（1 を示す）。$\vec d\cdot\vec u=0$ なら、段 2 の 2 つの解はどちらも $0$ で、共有点は $P_0$ だけである。$\vec d\cdot\vec u\ne0$ なら、2 つ目の解は $0$ でなく、prf-vel-line の段 3 と同じ理由で $t$ が違えば点も違うので、$P_0$ と異なる共有点がもう 1 つある。これで 1 が示せた。
段 4（2 を示す）。1 から、接線は $P_0$ を通り $\vec u$ に垂直な直線、つまり $P_0$ を通り法線ベクトル $\vec u$ の直線である（$\vec u\ne\vec 0$ は $\lvert\vec u\rvert=r>0$ から分かる）。thm-vel-line により、そのベクトル方程式は $\vec u\cdot(\vec p-\vec p_0)=0$ である。$\vec p-\vec p_0=(\vec p-\vec c)-\vec u$ なので
$$ \vec u\cdot(\vec p-\vec p_0)=\vec u\cdot(\vec p-\vec c)-\lvert\vec u\rvert^2=(\vec p_0-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)-r^2 $$
であり、これが $0$ であることは $(\vec p_0-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2$ と同じである。$\square$

接線の式は、円の式 $(\vec p-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2$ の 2 つの $\vec p$ の片方を $\vec p_0$ に替えた形をしている。成分で書くと、中心 $(a,b)$、接点 $(x_0,y_0)$ のとき $(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$ である。
中心 C(1,2)、半径 5 の円と、点 P0(4,6) での接線 3x+4y=36（赤）。P0 を通っても半径に垂直でない方向 (1,1) の直線（点線）は、もう 1 点 (-3,-1) で円と交わる

接線と、接線でない直線

ex-vel-start-circle の円（$\vec c=(1,2)$、$r=5$）と点 $P_0(4,6)$ で考える（図 3）。$\vec p_0-\vec c=(3,4)$ である。
(1) 接線は $(3,4)\cdot(x-1,\ y-2)=25$、つまり $3(x-1)+4(y-2)=25$ で、整理すると
$$ 3x+4y=36 $$
である。$P_0$ では $12+24=36$ を満たす。接線の上の点 $(0,9)$ では、中心からの距離の 2 乗は $1+49=50$ で、$r^2=25$ より大きい。実際、prf-vel-tangent の段 1 で $\vec d\cdot\vec u=0$ とすると $\lvert\vec p-\vec c\rvert^2=r^2+t^2\lvert\vec d\rvert^2$ となり、接線の上の $P_0$ 以外の点は円の外にある。
(2) $P_0$ を通り方向ベクトル $\vec d=(1,1)$ の直線では、$\vec d\cdot(\vec p_0-\vec c)=3+4=7\ne0$ である。prf-vel-tangent の段 2 の 2 つ目の解は $t=-\dfrac{2\cdot7}{2}=-7$ で、点 $(4,6)-7(1,1)=(-3,-1)$ が得られる。$(-3-1)^2+(-1-2)^2=16+9=25$ なので、確かに円の上にある。

中心が原点の円 $x^2+y^2=r^2$ では、接線は $x_0x+y_0y=r^2$ になる。円の外の点 $(x_1,y_1)$ に対して同じ形の式 $x_1x+y_1y=r^2$ が表す直線（極線）は、その点から引いた 2 本の接線の接点を結ぶ直線であり、円の接線と極線で扱う。直線と円の共有点の個数を、中心と直線の距離で判定する方法は円と直線の位置関係で扱う。

2 つの形を比べる

直線の 2 つの形は、同じ直線を表していても得意なことが違う。

観点	媒介変数の形 $\vec p=\vec a+t\vec d$	法線の形 $\vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0$
決めるもの	1 点と方向ベクトル	1 点と法線ベクトル
得意なこと	直線の上の点を作る・動かす（ex-vel-foot）	点が直線の上にあるかを代入して判定する
成分で書くと	$x=x_0+d_1t$、$y=y_0+d_2t$	$n_1x+n_2y=c$
線分・半直線	$t$ の範囲を制限すれば表せる（ex-vel-range）	不等式を加えないと表せない
空間で同じ式を使うと	直線を表す	平面を表す（ex-vel-space）

最後の行が、空間で直線を扱うときの分かれ目になる。空間では法線の形の式 1 本では直線にならず、1 次方程式が 2 本要る。これは空間の直線の方程式で扱う。

例と反例

thm-vel-line と def-vel-line の仮定を 1 つずつ外すと、次のように崩れる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$\vec d\ne\vec 0$	$\vec d=\vec 0$（ex-vel-zero-d）	媒介変数の形が直線を表す（1 点になる）
$\vec n\ne\vec 0$	$\vec n=\vec 0$（ex-vel-zero-n）	法線の形が直線を表す（平面全体か、点が 1 つもない）
$\vec n\cdot\vec d=0$	$\vec d=(2,1)$、$\vec n=(1,1)$（ex-vel-not-perp）	2 つの形が同じ直線を表す（$A$ で交わる別の直線になる）
$t$ がすべての実数を動く	$0\le t\le1$、$t\ge0$（ex-vel-range）	媒介変数の形が直線全体を表す（線分・半直線になる）
平面の中で考える	空間の $\vec n\cdot(\vec p-\vec a)=0$（ex-vel-space）	法線の形が直線を表す（平面になる）

反例：方向ベクトルが $\vec 0$

$\vec d=\vec 0$ とすると、$\vec p=\vec a+t\vec 0=\vec a$ で、どの $t$ でも同じ点 $A$ になる。媒介変数の形が表すのは 1 点 $A$ だけで、直線ではない。thm-vel-line の段 3 の「$t$ はただ 1 つ」も崩れる（どの $t$ でも同じ点を表す）。

反例：法線ベクトルが $\vec 0$

$\vec n=\vec 0$ とすると、$\vec 0\cdot(\vec p-\vec a)=0$ はすべての点 $P$ で成り立ち、式が表すのは平面全体である。成分で書いた $0x+0y=c$ の形では、$c=0$ なら平面全体、$c\ne0$ なら $0=c$ を満たす点がないので空集合（点が 1 つもない）になる。

反例：垂直でない 2 つのベクトル

$A(1,2)$、$\vec d=(2,1)$、$\vec n=(1,1)$ とすると、$\vec n\cdot\vec d=3\ne0$ である。媒介変数の形 $\vec p=(1,2)+t(2,1)$ は直線 $x-2y+3=0$（ex-vel-start-param）、法線の形 $(1,1)\cdot(x-1,\ y-2)=0$ は直線 $x+y=3$ で、別の直線である。連立して解くと $x=1$、$y=2$ で、2 本は $A$ だけで交わる。たとえば $t=1$ の点 $(3,3)$ は $3+3=6\ne3$ なので、法線の形の直線の上にない。prf-vel-line の段 1 で使った $\vec n\cdot\vec d=0$ が崩れている。

媒介変数 t の範囲を 0 以上 1 以下に制限すると線分 AB になる（左）。t を 0 以上に制限すると A から出る半直線になる（右）

反例：$t$ の範囲を制限する

$A(1,2)$、$B(3,3)$ とし、$\vec p=\vec a+t(\vec b-\vec a)=(1+2t,\ 2+t)$ とする（図 4）。

$0\le t\le1$ に制限すると、表すのは線分 $AB$ である（$t=\dfrac12$ で中点 $(2,\ \dfrac52)$）。
$t\ge0$ に制限すると、表すのは $A$ から $B$ の向きに出る半直線である（$t=2$ の $(5,4)$ は入るが、$t=-1$ の $(-1,1)$ は入らない）。
どちらも直線全体ではない。点の範囲を $t$ の範囲で指定できるのは媒介変数の形の利点で、点が線分や三角形の上を動くときの範囲は点の存在範囲と凸結合で扱う。

反例：空間では法線の形は平面になる

空間で、原点 $O$ を通り $\vec n=(0,0,1)$ に垂直な点の全体 $\vec n\cdot\vec p=0$ を考える。$\vec p=(x,y,z)$ とすると、式は $z=0$ で、これは $xy$ 平面全体である。$(1,0,0)$ の向きの直線も $(0,1,0)$ の向きの直線もこの中に入っている。空間では「ある向きに垂直な向き」が 1 つに決まらないので、lem-vel-perp が成り立たず、法線の形の式 1 本は直線でなく平面を表す（空間の平面と法線ベクトル）。

演習

法線の形から媒介変数の形へ

点 $(-1,3)$ を通り、法線ベクトルが $(2,5)$ の直線を、成分の式と媒介変数の形の 2 通りで書け。

解答を開く

法線の形は $2(x+1)+5(y-3)=0$、つまり $2x+5y=13$ である。lem-vel-perp により方向ベクトルに $(-5,2)$ をとれる（$(2,5)\cdot(-5,2)=-10+10=0$）ので、媒介変数の形は $\vec p=(-1,3)+t(-5,2)$ である。$t=1$ の点 $(-6,5)$ は $-12+25=13$ を満たす。

原点が中心の円の接線

円 $x^2+y^2=25$ の上の点 $(-3,4)$ における接線の方程式を求めよ。

解答を開く

thm-vel-tangent で $\vec c=\vec 0$、$\vec p_0=(-3,4)$ とすると、接線は $(-3,4)\cdot(x,y)=25$、つまり $-3x+4y=25$ である。$(-3,4)$ では $9+16=25$ を満たす。

直線と円の共有点

直線 $\vec p=(0,-5)+t(1,1)$ と円 $x^2+y^2=25$ の共有点を求めよ。

解答を開く

$\vec p=(t,\ t-5)$ を $\lvert\vec p\rvert^2=25$ に代入すると $t^2+(t-5)^2=25$、つまり $2t^2-10t=0$ で、$t=0,\ 5$ である。共有点は $(0,-5)$ と $(5,0)$ である。$(0,-5)$ での円の接線は thm-vel-tangent により $-5y=25$、つまり $y=-5$ で、方向ベクトル $(1,1)$ はこれと平行でないので、2 つ目の共有点があることと合っている。

大学数学で見る：アフィン部分空間の 2 つの表し方

像による表示と方程式による表示

直線 $\{\vec a+t\vec d\}$ は、原点を通る直線 $\{t\vec d\}$（1 次元の部分空間）を $\vec a$ だけ平行移動したものである。大学では、部分空間を平行移動した集合を アフィン部分空間 という。この記事の 2 つの形は、アフィン部分空間の 2 つの表し方、つまり「写像 $t\mapsto\vec a+t\vec d$ の像」としての表し方（媒介変数の形）と、「1 次関数 $\vec p\mapsto\vec n\cdot\vec p$ の値が一定の点の集まり」としての表し方（法線の形）の、いちばん簡単な場合である。

次元の数え方と、一般の次元の場合を開く

$n$ 次元の空間 $\mathbb{R}^n$ の $k$ 次元のアフィン部分空間は、媒介変数 $k$ 個を使った形 $\vec p=\vec a+t_1\vec d_1+\dots+t_k\vec d_k$（$\vec d_1,\dots,\vec d_k$ は 1 次独立）で書け、また $n-k$ 本の 1 次方程式の連立の解の全体としても書ける。「媒介変数の個数 $+$ 方程式の本数 $=n$」という数え方になる。

平面（$n=2$）の直線（$k=1$）：媒介変数 1 個、方程式 1 本。この記事の場合である。
空間（$n=3$）の直線（$k=1$）：媒介変数 1 個、方程式 2 本（空間の直線の方程式）。
空間の平面（$k=2$）：媒介変数 2 個、方程式 1 本（空間の平面と法線ベクトル）。

方程式 1 本 $\vec a\cdot\vec x=b$（$\vec a\ne\vec 0$）の解の全体を $\mathbb{R}^n$ の 超平面 といい、$\vec a$ をその法線ベクトルとみなせる。超平面は $\{\vec x\mid\vec a\cdot(\vec x-\vec x_0)=0\}$（$\vec x_0$ は超平面の 1 点）とも書け、これはこの記事の法線の形そのものである（BV04 の §2.2.1）。また、2 点を通る直線を $\theta\vec x_1+(1-\theta)\vec x_2$ と書く見方と、連立 1 次方程式の解の全体がアフィン部分空間になること、逆にどのアフィン部分空間も連立 1 次方程式の解の全体として書けることが BV04 の §2.1.1・§2.1.2（例 2.1）にある（この記事では一般の場合を証明しない）。

さらに先へ

同じ 2 つの形を空間で使うと、媒介変数の形は直線を、法線の形は平面を表す。空間の直線は空間の直線の方程式、空間の平面は空間の平面と法線ベクトルで扱う。
円のベクトル方程式 $\lvert\vec p-\vec c\rvert=r$ は、空間ではそのまま球面を表す。球面と平面・球面どうしの交わりは空間座標と球面の方程式で扱う。接線の式 $(\vec p_0-\vec c)\cdot(\vec p-\vec c)=r^2$ も、空間では接平面の式になる。
楕円・双曲線・放物線の接線と、その光学的性質は 2次曲線の接線と光学的性質で扱う。