ゲージ理論

同義語：gauge theory

概要

ゲージ理論（gauge theory）とは、ベクトル束や主束の接続とそれに付随する切断についての偏微分方程式で、束の自己同型（ゲージ変換）で保たれるものを調べ、解をゲージ変換で割ったモジュライ空間から多様体の幾何や位相の情報を引き出す数学の分野である。閉多様体の上で Yang–Mills 汎関数の臨界点は Yang–Mills 方程式の解で、4 次元では反自己双対接続がその解になる。3 次元の Chern–Simons 汎関数の臨界点は平坦な接続である。4 次元の Donaldson 理論と Seiberg–Witten 理論、3 次元の Casson 不変量と Floer ホモロジーが代表的な成果である。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 接続, 曲率形式, 主束の接続, Hodgeのスター作用素

ゲージ理論（gauge theory）は、ベクトル束や主束の接続と、それに付随する切断についての偏微分方程式で、ゲージ変換（束の自己同型）で保たれるものを調べ、その解をゲージ変換で割った空間（モジュライ空間）から多様体の幾何や位相の情報を引き出す数学の分野である。起源は理論物理の Yang–Mills 理論で、1982 年以来、その反自己双対方程式（インスタントン）が $4$ 次元多様体の研究に使われ（Donaldson理論）、1994 年の終わりには Seiberg–Witten 方程式が加わった（Don96 p. 45）。$3$ 次元では平坦な接続が Chern–Simons 汎関数の臨界点として現れ、Casson 不変量や Floer ホモロジーを与える（Mar88 pp. 152, 160）。
この記事では、まずゲージ変換とモジュライ空間を定義し、ゲージ理論に現れる主な方程式を次元ごとに一覧にして、それぞれを扱う記事を示す。続いて、どの理論にも共通する 2 つの変分の計算、すなわち Yang–Mills 汎関数の臨界点が Yang–Mills 方程式で特徴づけられること（$4$ 次元では反自己双対接続がその解になること）と、Chern–Simons 汎関数の臨界点がちょうど平坦な接続であることを完全に証明する。最後に、学ぶ順に記事を並べた道筋を示す。
凸集合の Minkowski 汎関数を「ゲージ」と呼ぶことがある（ゲージ(凸集合)）が、この記事のゲージ変換とは関係がない。

設定と定義

$M$ を向き付けられた閉 Riemann 多様体、$n:=\dim M$ とする。$E\to M$ を Hermite 計量をもつ階数 $r$ の複素ベクトル束とし、計量を保つ接続（ユニタリ接続）$\nabla$ を考える（接続）。$\nabla$ は $E$ に値をとる微分形式の上の共変外微分 $d_\nabla\colon\Omega^p(E)\to\Omega^{p+1}(E)$ に延び、曲率は $F_\nabla:=d_\nabla\circ d_\nabla$ で、歪 Hermite な自己準同型の束 $\mathfrak u(E)$ に値をとる $2$ 次形式である（曲率形式 の命題「同伴ベクトル束の曲率」）。
$\mathfrak u(E)$ に値をとる形式 $\alpha\in\Omega^p(\mathfrak u(E))$、$\beta\in\Omega^q(\mathfrak u(E))$ について、自己準同型の合成と外積を組み合わせた $\alpha\wedge\beta$ と、その跡 $\operatorname{tr}(\alpha\wedge\beta)\in\Omega^{p+q}(M)$ を考える。局所的に成分を比べると
$$ \operatorname{tr}(\alpha\wedge\beta)=(-1)^{pq}\operatorname{tr}(\beta\wedge\alpha)\qquad(1) $$
である。$\mathfrak u(E)$ の各ファイバーに内積 $\langle\xi,\eta\rangle:=-\operatorname{tr}(\xi\eta)$ を入れる。歪 Hermite な $\xi$ では $-\operatorname{tr}(\xi^2)=\operatorname{tr}(\xi\xi^*)$ は成分の絶対値の 2 乗和なので正定値で、ユニタリな $u$ による共役 $\xi\mapsto u\xi u^{-1}$ で保たれる。これと $M$ の計量から $\mathfrak u(E)$ 値の $p$ 次形式の内積が定まり、Hodge のスター作用素 $*$（Hodgeのスター作用素）を使うと
$$ \langle\alpha,\beta\rangle\,\mathrm{vol}=-\operatorname{tr}(\alpha\wedge*\beta)\qquad(\alpha,\beta\in\Omega^p(\mathfrak u(E)))\qquad(2) $$
と書ける（スカラーの形式の等式 $\alpha\wedge*\beta=\langle\alpha,\beta\rangle\mathrm{vol}$ を成分ごとに使う）。

ゲージ変換とモジュライ空間
  1. $E$ のユニタリな自己同型（各ファイバーでユニタリな束の自己同型）をゲージ変換といい、その群を $\mathcal G(E)$ と書いてゲージ群という。
  2. ゲージ変換 $u$ はユニタリ接続 $\nabla$ を $u\cdot\nabla:=u\circ\nabla\circ u^{-1}$ に移す。$u\cdot\nabla=\nabla'$ となる $u$ があるとき、$\nabla$ と $\nabla'$ はゲージ同値であるという。
  3. 接続（と切断）についての方程式で、解をゲージ変換で解に移すものをゲージ不変な方程式という。その解のゲージ同値類の全体を、その方程式のモジュライ空間という。
  4. $u\cdot\nabla=\nabla$ となるゲージ変換の群を $\nabla$ の安定化群という。

ゲージ理論とは、ゲージ不変な方程式とそのモジュライ空間を研究し、そこから底空間 $M$ の不変量や性質を引き出す数学の分野である。主束の言葉では、ゲージ変換は主 $G$ 束の $G$ 同変な自己同型で、局所接続形式は 主束の接続 の例「自明束のゲージ場」の式で変わる（Nic26 Remark 8.1.6、p. 339）。この記事ではベクトル束の言葉で書く。

ゲージ変換の基本性質

$u\in\mathcal G(E)$、$\nabla$ をユニタリ接続とする。

  1. $u\cdot\nabla$ はユニタリ接続で、$u\cdot\nabla=\nabla-(\nabla u)u^{-1}$ である。ここで $\nabla u$ は $\nabla$ が $\operatorname{End}E$ に誘導する接続による $u$ の共変微分である。
  2. $F_{u\cdot\nabla}=uF_\nabla u^{-1}$ である。とくに $\lvert F_{u\cdot\nabla}\rvert=\lvert F_\nabla\rvert$ で、平坦（$F=0$）であることはゲージ変換で保たれる。
ゲージ変換の基本性質

1． 切断 $s$ について、$\operatorname{End}E$ の誘導接続の定義 $(\nabla u)s=\nabla(us)-u\nabla s$ を $u^{-1}$ に使うと、$uu^{-1}=1$ から $(\nabla u^{-1})=-u^{-1}(\nabla u)u^{-1}$ である。よって
$$ u\nabla(u^{-1}s)=u\bigl((\nabla u^{-1})s+u^{-1}\nabla s\bigr)=\nabla s-(\nabla u)u^{-1}s $$
で、$u\cdot\nabla$ は接続（$\nabla$ との差が $\operatorname{End}E$ 値 $1$ 次形式）である。ユニタリであることは、$u$ が計量を保つことと $\nabla$ がユニタリであることから
$$ d\langle s,t\rangle=d\langle u^{-1}s,u^{-1}t\rangle=\langle\nabla u^{-1}s,u^{-1}t\rangle+\langle u^{-1}s,\nabla u^{-1}t\rangle=\langle u\nabla u^{-1}s,t\rangle+\langle s,u\nabla u^{-1}t\rangle $$
となることによる。
2． $u$ は $\Omega^p(E)$ に $p$ 次形式の部分を変えずに作用し、$d_{u\cdot\nabla}=u\circ d_\nabla\circ u^{-1}$ である（両辺は $p=0$ で一致し、どちらも Leibniz 則 $d(\omega\wedge s)=d\omega\wedge s+(-1)^p\omega\wedge d s$ をみたすので、すべての次数で一致する）。よって $F_{u\cdot\nabla}=u\circ d_\nabla\circ d_\nabla\circ u^{-1}=uF_\nabla u^{-1}$ である。内積は共役で保たれるので $\lvert F_{u\cdot\nabla}\rvert=\lvert F_\nabla\rvert$ である。$\square$

ゲージ理論の主な方程式

ゲージ理論で調べる方程式を、底空間の次元ごとに並べる。どれも上の意味でゲージ不変である。

次元方程式（未知）何が分かるか記事
任意Yang–Mills 方程式 $d_\nabla(*F_\nabla)=0$（接続）Yang–Mills 汎関数の臨界点（下の thm-gt-ym）この記事
$2$平坦な接続、Yang–Mills 方程式（Riemann 面上の接続）Atiyah–Bott は Morse 理論と Yang–Mills 方程式を使い、曲線の上の階数 $2$ で行列式を固定し次数が $1$ の安定なベクトル束のモジュライ空間のコホモロジーを求めた（Mar88 p. 159）曲率形式（平坦な接続）
$3$平坦な接続（$\mathrm{SU}(2)$ 接続）Chern–Simons 汎関数の臨界点（下の thm-gt-cs）。ゲージ同値類は基本群の $\mathrm{SU}(2)$ 表現の共役類にあたり、これを数えると Casson 不変量、臨界点から作る複体のホモロジーが Floer のインスタントン Floer ホモロジーである（Mar88 pp. 152, 160）Casson不変量, Floer理論
$4$反自己双対方程式 $F_\nabla^+=0$（$\mathrm{SU}(2)$ 接続）Donaldson の定理（定値な交叉形式の対角化）と Donaldson 不変量Donaldson理論, Donaldsonの定理
$4$Seiberg–Witten 方程式（$\mathrm{U}(1)$ 接続とスピノル）Seiberg–Witten 不変量。モジュライ空間がコンパクトで、Thom 予想などが解かれた（Don96 pp. 50, 66–67）Seiberg–Witten方程式

$4$ 次元の $2$ 次形式は Hodge のスター作用素で自己双対部分と反自己双対部分に分かれ、曲率も $F=F^++F^-$ と分かれる（Donaldson理論 の補題「$2$ 次形式の分解」）。$F^+=0$ が反自己双対方程式である。このほか、Riemann 面の上の接続と切断の組についての渦糸方程式や、Hitchin の方程式も、同じ形のゲージ不変な方程式として研究されている（Don96 p. 55）。

モジュライ空間から不変量を作る手順

ゲージ理論で不変量を作るときの共通の手順は次のとおりである（Don96 pp. 48–49）。

  1. 方程式をゲージ変換で割ったうえで線形化すると楕円型作用素になり、その指数がモジュライ空間の「期待される次元」を与える（Fredholm作用素, Atiyah–Singerの指数定理）。計量などを一般の位置にとると、モジュライ空間はその次元の多様体になる。
  2. モジュライ空間がコンパクトであること、またはそれに代わるコンパクト化を示す。
  3. モジュライ空間に向きを入れる。
  4. 安定化群の大きい解（可約な解）が、一般の位置の $1$ 径数族に現れないことを示す。
    これらがそろうと、モジュライ空間の基本類と、その上のコホモロジー類の積の値として、計量のとり方によらない不変量が得られる。反自己双対方程式では 2 のコンパクト性が成り立たず、Uhlenbeck のコンパクト化が必要になる。Seiberg–Witten 方程式では 2 が無条件に成り立つ（Don96 p. 50）。

Yang–Mills 汎関数

Yang–Mills 汎関数と Yang–Mills 方程式

ユニタリ接続 $\nabla$ の Yang–Mills 汎関数を
$$ \mathrm{YM}(\nabla):=\int_M\lvert F_\nabla\rvert^2\,\mathrm{vol} $$
と定める。方程式 $d_\nabla(*F_\nabla)=0$ を Yang–Mills 方程式といい、その解を Yang–Mills 接続という。ここで $d_\nabla$ は $\operatorname{End}E$ の誘導接続による $\mathfrak u(E)$ 値形式の共変外微分である。

prop-gt-gauge の 2 により $\mathrm{YM}$ はゲージ変換で変わらない。また $\mathrm{End}E$ 値形式の共変外微分は $d_\nabla\beta=d_\nabla\circ\beta-(-1)^q\beta\circ d_\nabla$（$\beta$ は $q$ 次形式で、右辺は $\Omega^\bullet(E)$ の上の作用素）で与えられ、跡と組み合わせると次の Leibniz 則をみたす。局所枠では $d_\nabla\beta=d\beta+B\wedge\beta-(-1)^q\beta\wedge B$（$B$ は接続行列）で、交換子の部分は (1) により跡をとると消えるので
$$ d\operatorname{tr}(\alpha\wedge\beta)=\operatorname{tr}(d_\nabla\alpha\wedge\beta)+(-1)^p\operatorname{tr}(\alpha\wedge d_\nabla\beta)\qquad(3) $$
である（$\alpha$ は $p$ 次形式）。とくに $F_\nabla$ について $d_\nabla F_\nabla=d_\nabla\circ d_\nabla\circ d_\nabla-d_\nabla\circ d_\nabla\circ d_\nabla=0$ である（Bianchi の恒等式。曲率形式 の定理「Bianchi の恒等式」）。

Yang–Mills 方程式は臨界点の方程式
  1. $a\in\Omega^1(\mathfrak u(E))$ について
    $$ \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\mathrm{YM}(\nabla+ta)=-2\int_M\operatorname{tr}\bigl(a\wedge d_\nabla(*F_\nabla)\bigr) $$
    である。
  2. $\nabla$ がすべての $a$ について $\frac{d}{dt}\big|_{t=0}\mathrm{YM}(\nabla+ta)=0$ をみたす（$\mathrm{YM}$ の臨界点である）ことと、$\nabla$ が Yang–Mills 方程式 $d_\nabla(*F_\nabla)=0$ をみたすことは同値である。
  3. $n=4$ とする。$F_\nabla^+=0$（反自己双対）または $F_\nabla^-=0$（自己双対）なら、$\nabla$ は Yang–Mills 接続である。
Yang–Mills 方程式

曲率の展開。 $a$ は $\mathfrak u(E)$ 値なので $\nabla+ta$ もユニタリ接続である。$\Omega^\bullet(E)$ の上で $d_{\nabla+ta}=d_\nabla+ta$（$a$ は外積と自己準同型の作用で働く）なので
$$ F_{\nabla+ta}=(d_\nabla+ta)^2=F_\nabla+t(d_\nabla\circ a+a\circ d_\nabla)+t^2a\wedge a=F_\nabla+t\,d_\nabla a+t^2a\wedge a $$
である（$a$ は $1$ 次形式なので $d_\nabla a=d_\nabla\circ a+a\circ d_\nabla$）。
1． 内積は実双線形で対称なので、$\lvert F_{\nabla+ta}\rvert^2=\lvert F_\nabla\rvert^2+2t\langle d_\nabla a,F_\nabla\rangle+O(t^2)$ であり、$M$ はコンパクトなので
$$ \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\mathrm{YM}(\nabla+ta)=2\int_M\langle d_\nabla a,F_\nabla\rangle\mathrm{vol}=-2\int_M\operatorname{tr}(d_\nabla a\wedge*F_\nabla) $$
である（(2)）。(3) を $\alpha=a$（$p=1$）、$\beta=*F_\nabla$ に使うと $d\operatorname{tr}(a\wedge*F_\nabla)=\operatorname{tr}(d_\nabla a\wedge*F_\nabla)-\operatorname{tr}(a\wedge d_\nabla*F_\nabla)$ で、$M$ は境界のない閉多様体なので Stokes の定理により左辺の積分は $0$ である。よって $\int\operatorname{tr}(d_\nabla a\wedge*F_\nabla)=\int\operatorname{tr}(a\wedge d_\nabla*F_\nabla)$ で、1 が従う。
2． Yang–Mills 方程式が成り立てば 1 により臨界点である。逆に臨界点とし、$\beta:=d_\nabla(*F_\nabla)\in\Omega^{n-1}(\mathfrak u(E))$ とおく。$a:=*\beta\in\Omega^1(\mathfrak u(E))$ をとると、$*$ を $2$ 回施すと $\pm1$ 倍なので $\beta=\varepsilon*a$（$\varepsilon=\pm1$）で、(2) により
$$ 0=-2\int_M\operatorname{tr}(a\wedge\beta)=-2\varepsilon\int_M\operatorname{tr}(a\wedge*a)=2\varepsilon\int_M\lvert a\rvert^2\mathrm{vol} $$
である。よって $a=0$、したがって $\beta=0$ である。
3． $F_\nabla^+=0$ なら $*F_\nabla=-F_\nabla$、$F_\nabla^-=0$ なら $*F_\nabla=F_\nabla$ である。どちらの場合も Bianchi の恒等式により $d_\nabla(*F_\nabla)=\mp d_\nabla F_\nabla=0$ である。$\square$

3 の接続は臨界点であるだけでなく、$\mathrm{SU}(2)$ 束では $\mathrm{YM}$ の最小値をとる。実際、$\mathrm{YM}(\nabla)$ は第 $2$ Chern 数の $8\pi^2$ 倍以上で、等号は反自己双対接続でちょうど成り立つ（Donaldson理論 の定理「エネルギーの等式」）。同じ等式から、第 $2$ Chern 数を $k$ として $\mathrm{YM}(\nabla)=-8\pi^2k+2\int_M\lvert F_\nabla^-\rvert^2\mathrm{vol}\ge-8\pi^2k$ も従い、自己双対接続はこの等号をみたすので、やはり最小値をとる。
構造群が可換な $\mathrm{U}(1)$ の場合には、Yang–Mills 方程式は調和形式の方程式になり、最小値まで計算できる。

直線束の Yang–Mills 方程式

$L\to M$ を Hermite 直線束とする。$\mathfrak u(L)$ は自明な束 $M\times i\mathbb{R}$ で、曲率 $F_\nabla$ は純虚数値の閉 $2$ 次形式であり（Bianchi の恒等式。可換なので $d_\nabla$ は通常の外微分 $d$）、$\frac{i}{2\pi}F_\nabla$ は $c_1(L)$ の実係数の像を表す（Nic26 §8.2.2、p. 350）。$h$ をこの de Rham 類の調和代表元とする（Hodgeの定理 の 3）。このとき次が成り立つ。

  1. $\nabla$ が Yang–Mills 接続であることと、$\frac{i}{2\pi}F_\nabla=h$ であることは同値である。
  2. $\mathrm{YM}(\nabla)\ge4\pi^2\|h\|_{L^2}^2$ で、等号は $\nabla$ が Yang–Mills 接続のときに成り立ち、そのような $\nabla$ は存在する。
    確かめを開く

    $\omega:=\frac{i}{2\pi}F_\nabla$ は実の閉形式で、$\lvert F_\nabla\rvert=2\pi\lvert\omega\rvert$ である。

    1：Yang–Mills 方程式は $d*\omega=0$ で、余微分 $d^*$ は $\pm*d*$ なので、これは $d^*\omega=0$ と同じである。$d\omega=0$ と合わせると $\omega$ は調和形式である（Laplace–de Rham作用素 の定理「閉多様体上の調和形式の特徴づけ」）。調和代表元は類にただ 1 つなので $\omega=h$ である。逆に $\omega=h$ なら $d*\omega=0$ である。

    2：Hodgeの定理 の系「閉形式と余閉形式の分解」により $\omega=h+d\alpha$ と書け、$h$ と $d\alpha$ は $L^2$ 直交するので $\|\omega\|^2=\|h\|^2+\|d\alpha\|^2\ge\|h\|^2$ で、$\mathrm{YM}(\nabla)=4\pi^2\|\omega\|^2$ である。等号は $d\alpha=0$、すなわち $\omega=h$ のときである。存在：任意のユニタリ接続 $\nabla_0$ をとり、$\frac{i}{2\pi}F_{\nabla_0}=h+d\alpha$ と書く。$\nabla:=\nabla_0+2\pi i\alpha$ はユニタリ接続で、prf-gt-ym の曲率の展開（可換なので $a\wedge a=0$）により $F_\nabla=F_{\nabla_0}+2\pi i\,d\alpha$、すなわち $\frac{i}{2\pi}F_\nabla=h+d\alpha-d\alpha=h$ である。

Chern–Simons 汎関数

$3$ 次元では、平坦な接続が別の汎関数の臨界点として現れる。$Y$ を向き付けられた閉 $3$ 次元多様体、$E=Y\times\mathbb{C}^2$ を自明な $\mathrm{SU}(2)$ 束とする。$\mathrm{SU}(2)$ 接続は $d+A$（$A\in\Omega^1(Y;\mathfrak{su}(2))$）と書け、曲率は $F_A=dA+A\wedge A$ である（接続 の命題「接続行列と曲率行列」）。

Chern–Simons 汎関数

$A\in\Omega^1(Y;\mathfrak{su}(2))$ について
$$ \mathrm{CS}(A):=\int_Y\operatorname{tr}\Bigl(A\wedge dA+\frac23A\wedge A\wedge A\Bigr) $$
を Chern–Simons 汎関数という。

正規化の定数を除いて、これはゲージ変換で整数倍の定数だけ変わり、$\mathbb{R}/\mathbb{Z}$ に値をとる関数として接続のゲージ同値類の空間の上で定まる（Mar88 p. 160、Chern–Simons の 1974 年の論文による）。この記事ではこの事実を使わず、臨界点だけを調べる。

Chern–Simons 汎関数の臨界点
  1. $a\in\Omega^1(Y;\mathfrak{su}(2))$ について $\dfrac{d}{dt}\Big|_{t=0}\mathrm{CS}(A+ta)=2\displaystyle\int_Y\operatorname{tr}(a\wedge F_A)$ である。
  2. $A$ が $\mathrm{CS}$ の臨界点であることと、$d+A$ が平坦（$F_A=0$）であることは同値である。
Chern–Simons 汎関数の臨界点

1． $t$ について $1$ 次の項を集める。$A\wedge dA$ からは $a\wedge dA+A\wedge da$、$A\wedge A\wedge A$ からは $a\wedge A\wedge A+A\wedge a\wedge A+A\wedge A\wedge a$ が出る。(1)（自明束なので $\operatorname{tr}$ は行列の跡）により、$1$ 次形式 $A$ を $2$ 次形式 $a\wedge A$ と入れ替えると $\operatorname{tr}(A\wedge a\wedge A)=(-1)^{2}\operatorname{tr}(a\wedge A\wedge A)$、$2$ 次形式 $A\wedge A$ と $a$ を入れ替えると $\operatorname{tr}(A\wedge A\wedge a)=\operatorname{tr}(a\wedge A\wedge A)$ である。また $\operatorname{tr}(A\wedge da)=\operatorname{tr}(da\wedge A)$ で、$d\operatorname{tr}(a\wedge A)=\operatorname{tr}(da\wedge A)-\operatorname{tr}(a\wedge dA)$ と Stokes の定理から $\int\operatorname{tr}(da\wedge A)=\int\operatorname{tr}(a\wedge dA)$ である。よって
$$ \frac{d}{dt}\Big|_{t=0}\mathrm{CS}(A+ta)=\int_Y\Bigl(2\operatorname{tr}(a\wedge dA)+\frac23\cdot3\operatorname{tr}(a\wedge A\wedge A)\Bigr)=2\int_Y\operatorname{tr}(a\wedge F_A) $$
である。
2． $F_A=0$ なら 1 により臨界点である。逆に臨界点とし、$Y$ に Riemann 計量を 1 つとって $a:=*F_A\in\Omega^1(Y;\mathfrak{su}(2))$ とおく。$3$ 次元の $2$ 次形式では $**=1$ なので $F_A=*a$ で、(2) により
$$ 0=2\int_Y\operatorname{tr}(a\wedge*a)=-2\int_Y\lvert a\rvert^2\mathrm{vol} $$
である。よって $a=0$、すなわち $F_A=0$ である。$\square$

平坦な接続は、閉路に沿う平行移動（ホロノミー）によって基本群の表現 $\pi_1(Y)\to\mathrm{SU}(2)$ を定める（接続 の注意「平行移動・ホロノミー・関連する接続概念」）。平坦な接続のゲージ同値類は、こうして表現の共役類と対応する（Mar88 p. 152）。$Y$ がホモロジー $3$ 球面のとき、既約な表現の共役類を符号付きで数えたものが Casson不変量 であり、Taubes はこれを、接続のゲージ同値類がなす無限次元の空間の上で、曲率をその余接束の切断と見たときの Euler 類として読み直した（Mar88 p. 152）。Floer は $\mathrm{CS}$ の臨界点を生成元とし、勾配の流れ線を数えて境界作用素とする複体からインスタントン Floer ホモロジーを作り、その Euler 標数が Casson 不変量の $2$ 倍になることを示した（Mar88 p. 160）。勾配の流れ線は $Y\times\mathbb{R}$ の上の反自己双対接続にあたる（Mar88 pp. 160–161）ので、$3$ 次元と $4$ 次元のゲージ理論はここでつながる。

反例

外す条件反例成り立たなくなること
$M$ に境界がない（thm-gt-ym の 2）閉円板 $D^2\subset\mathbb{R}^2$ の上の自明な直線束の接続 $d+\frac{ic}2(x\,dy-y\,dx)$（$c\ne0$）Yang–Mills 方程式の解は $\mathrm{YM}$ の臨界点である
反例の確認
確かめを開く

$A:=\frac{ic}2(x\,dy-y\,dx)$ とおくと $F=dA=ic\,dx\wedge dy$ で、$*F=ic$ は定数なので $d*F=0$ であり、Yang–Mills 方程式は成り立つ。一方 $a:=ix\,dy$ について、可換なので $F_{A+ta}=F+t\,da=i(c+t)\,dx\wedge dy$ で、$\lvert F_{A+ta}\rvert^2=(c+t)^2$ だから $\mathrm{YM}(A+ta)=\pi(c+t)^2$ である。その $t=0$ での微分は $2\pi c\ne0$ で、$A$ は臨界点でない。prf-gt-ym の Stokes の定理の段で、境界の積分 $\int_{\partial D^2}\operatorname{tr}(a\wedge*F)$ が残ることが原因で、破れる条件は「$M$ に境界がない」である。

学ぶ順

  1. 接続と曲率：接続、主束、主束の接続、曲率形式。ゲージ変換による局所接続形式の変化と、曲率の共役による変換（prop-gt-gauge）。
  2. 特性類と調和形式：Chern類、Hodgeのスター作用素、Hodgeの定理。曲率から特性類が得られ、直線束では Yang–Mills 接続が調和形式で決まる（ex-gt-line）。
  3. 楕円型の解析：Fredholm作用素、Atiyah–Singerの指数定理。モジュライ空間の次元を指数で数える。
  4. $4$ 次元の位相：符号数(多様体)、Rokhlinの定理、Freedmanの定理。ゲージ理論の結果は、位相的な分類とくらべて初めて意味がわかる。
  5. $4$ 次元のゲージ理論：Donaldson理論、Donaldsonの定理、Seiberg–Witten方程式、エキゾチックR⁴。
  6. $3$ 次元のゲージ理論：Casson不変量、Floer理論、三角形分割予想とManolescuの定理（Seiberg–Witten 方程式から作る Floer ホモロジーの応用）。

関連項目

参考文献

[1]
Simon K. Donaldson, The Seiberg–Witten equations and 4-manifold topology, Bulletin of the American Mathematical Society (N.S.), Bull. Amer. Math. Soc. 33 (1996), 45–70 のうち、p. 45（1982 年以来のインスタントンの利用と Seiberg–Witten 方程式の導入）、pp. 48–49（偏微分方程式の解から不変量を作る手順：Fredholm 性・コンパクト性・向き・可約な解）、p. 50（Seiberg–Witten のモジュライ空間のコンパクト性）、p. 55（渦糸方程式と Hitchin の方程式）、pp. 66–67（Thom 予想）
[2]
Alexis Marin, Un nouvel invariant pour les sphères d'homologie de dimension trois [d'après Casson], Séminaire Bourbaki, Vol. 1987/88, Exposé no. 693, Astérisque 161–162, Astérisque 161–162 (1988), pp. 151–164 のうち、p. 152（平坦な接続のゲージ同値類と基本群の SU(2) 表現の共役類、Taubes による Euler 類としての解釈）、p. 159（Atiyah–Bott による Yang–Mills 方程式を使ったモジュライ空間のコホモロジーの計算）、p. 160（Chern–Simons 汎関数とその臨界点、Floer の複体と λ(H)=½Σ(−1)^iβ_i）、pp. 160–161（勾配の流れ線と反自己双対方程式）

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