毛玉の定理

零点のない連続な接ベクトル場 $v$ があるとする。$u(x):=v(x)/\|v(x)\|$ とおくと、$u$ は連続で、$x$ と $u(x)$ は直交する単位ベクトルである。
$$ H(x,t):=\cos(\pi t)\,x+\sin(\pi t)\,u(x)\qquad(x\in S^n,\ 0\le t\le1) $$
とおくと、$\|H(x,t)\|^2=\cos^2(\pi t)+\sin^2(\pi t)=1$ なので $H$ は $S^n\times[0,1]$ から $S^n$ への連続写像であり、$H(\cdot,0)=\mathrm{id}$、$H(\cdot,1)=-\mathrm{id}$ である。よって恒等写像と対蹠写像はホモトピックで、写像度 の記事の命題「写像度の基本性質」(i)(ii) と命題「直交変換の写像度」により
$$ 1=\deg\mathrm{id}=\deg(-\mathrm{id})=(-1)^{n+1} $$
となる。したがって $n$ は奇数である。
逆に $n=2k-1$ なら、
$$ v(x_1,x_2,\dots,x_{2k-1},x_{2k}):=(-x_2,x_1,\dots,-x_{2k},x_{2k-1}) $$
は連続で、$\langle v(x),x\rangle=\sum_{j=1}^k(-x_{2j}x_{2j-1}+x_{2j-1}x_{2j})=0$、$\|v(x)\|=\|x\|=1$ を満たすので、零点のない連続な接ベクトル場である。$\square$

$S^n$ 上に零点のない連続な接ベクトル場 $v$ があるとし、$u:=v/\|v\|$ とおく。$g:=u\colon S^n\to S^n$ は、$u(x)\perp x$ なので $u(x)\ne x$ であり、不動点をもたない。一方 $H(x,t):=\cos(\pi t/2)\,x+\sin(\pi t/2)\,u(x)$ は恒等写像から $g$ へのホモトピーである。$S^n$ はコンパクト多様体なので Lefschetz不動点定理 の記事の定理「Lefschetz の不動点定理」が当てはまり、$g$ は不動点をもたないので $L(g)=0$ である。Lefschetz 数はホモトピーで変わらないので（同じ記事の系「Lefschetz 数の整数性とホモトピー不変性」）$L(\mathrm{id})=0$ である。Lefschetz不動点定理 の記事の例「球面の恒等写像と対蹠写像」により $L(\mathrm{id}_{S^n})=1+(-1)^n$ なので、$n$ は奇数である。$\square$

$TS^{2k}$ が自明なら、ベクトル束 の記事の命題「自明性の判定」により大域的な枠があり、その 1 つは零点のない連続な接ベクトル場になって thm-hb-main に反する。$S^{2k}$ に Lie 群の構造があれば、単位元 $e$ の $0$ でない接ベクトル $X$ を左移動 $L_g\colon h\mapsto gh$ の微分で運んだ $g\mapsto d(L_g)_e X$ は、群の乗法が滑らかなので連続な接ベクトル場であり、$d(L_g)_e$ は線形同型なので零点をもたず、やはり thm-hb-main に反する（Lie群）。最後の主張は ベクトル束 の記事の命題「球面の接束は安定的に自明」である。$\square$

不動点がなければ $\deg f=(-1)^{n+1}\ne0$、$f(y)=-y$ となる点がなければ $\deg f=1\ne0$ であり、どちらも $\deg f=0$ に反する（写像度 の記事の定理「不動点と対蹠点」）。$\square$

$n=1$ のとき、$D^1=[-1,1]$ 上の実数値連続関数 $F$ は $0$ にならないので、中間値の定理 により符号が一定である。$F>0$ なら $x=1$ で $F(1)=F(1)\cdot1$ は外向き、$y=-1$ で $F(-1)=-F(-1)\cdot(-1)$ は内向きであり、$F<0$ なら役割が入れ替わる。
$n\ge2$ のとき、$f\colon S^{n-1}\to S^{n-1}$、$f(x):=F(x)/\|F(x)\|$ とおく。
$$ K(x,t):=\frac{F((1-t)x)}{\|F((1-t)x)\|}\qquad(x\in S^{n-1},\ 0\le t\le1) $$
は $F$ が $D^n$ 上で $0$ にならないので連続であり、$f$ から定値写像 $F(0)/\|F(0)\|$ へのホモトピーである。定値写像の写像度は $0$ なので（写像度 の記事の命題「写像度の基本性質」(v)）$\deg f=0$ であり、$n-1\ge1$ なので prop-hb-degree-zero により $f(x)=x$、$f(y)=-y$ となる点がある。$\lambda:=\|F(x)\|$、$\mu:=\|F(y)\|$ とすればよい。$\square$

$F(x):=x-g(x)$ とおく。$x\in S^{n-1}$ について $\langle F(x),x\rangle=1-\langle g(x),x\rangle\ge1-\|g(x)\|\ge0$ である（Cauchy–Schwarz の不等式）。$F(y)=-\mu y$（$\mu>0$）となる $y\in S^{n-1}$ があれば $\langle F(y),y\rangle=-\mu<0$ となり矛盾するので、$F$ は境界上で内向きの法線方向を向かない。cor-hb-disk により $F$ は $D^n$ のどこかで $0$ になり、そこで $g(x)=x$ である。$\square$

$k=0$ なら $\mathbb{R}\mathrm{P}^0$ は 1 点である。$k\ge1$ とし、$p\colon S^{2k}\to\mathbb{R}\mathrm{P}^{2k}$ を $x\mapsto[x]$ とする。$p$ は 2 重の被覆写像であり（被覆空間 の記事の例「球面から実射影空間へ」）、$S^{2k}$ は単連結（単連結空間 の記事の命題「球面の単連結性」、$2k\ge2$）かつ局所弧状連結なので、持ち上げの判定法（Hat02 Proposition 1.33、p. 61）により、$g\circ p$ は連続写像 $f\colon S^{2k}\to S^{2k}$ で $p\circ f=g\circ p$ を満たすものに持ち上がる。写像度 の記事の定理「不動点と対蹠点」により $f(x)=x$ または $f(x)=-x$ となる $x$ があり、どちらの場合も $g(p(x))=p(f(x))=p(\pm x)=p(x)$ である。
$\mathbb{R}\mathrm{P}^{2k-1}$ については、$J(x_1,x_2,\dots,x_{2k-1},x_{2k}):=(-x_2,x_1,\dots,-x_{2k},x_{2k-1})$ とおく。$J$ は線形同型で $J^2=-1$ なので、実固有値 $\lambda$ をもてば $\lambda^2=-1$ となり、実の固有ベクトルをもたない。$J$ は原点を通る直線を直線に移すので、$h([x]):=[Jx]$ は矛盾なく定まり、$h\circ p=p\circ J$ が連続で $p$ は商写像なので $h$ は連続である。$h([x])=[x]$ なら $Jx=\lambda x$（$\lambda\in\mathbb{R}$）となり矛盾するので、$h$ は不動点をもたない。$\square$