Gaussの補題(多項式)

要点：すべて指数 $v_p$ の最小値の計算である。

1：lem-gauss-lemma-content-basic の 2 により $P=c(P)P_1$、$Q=c(Q)Q_1$（$P_1,Q_1$ は原始多項式）と書くと、$PQ=c(P)c(Q)\,P_1Q_1$ である。同補題の 1 により、$P_1Q_1$ が原始多項式であることを示せばよい。
$P_1Q_1\in A[X]$ なので、その内容は $A$ の元である。これが単元でないとすると、それを割り切る素元 $p\in\mathcal{P}$ がある。$p$ は $P_1Q_1$ のすべての係数を割り切る。環の準同型 $\pi\colon A[X]\to(A/pA)[X]$（係数を $A/pA$ に送る）を考えると $\pi(P_1)\pi(Q_1)=\pi(P_1Q_1)=0$ である。$p$ は素元なので $A/pA$ は整域であり、整域上の多項式環 $(A/pA)[X]$ も整域である（多項式環 の命題「次数の公式と整域性」）。よって $\pi(P_1)=0$ または $\pi(Q_1)=0$、すなわち $p$ が $P_1$ か $Q_1$ のすべての係数を割り切る。これは $P_1,Q_1$ が原始多項式であることに反する。
2：$P\neq0$ なので $G,H\neq0$ である。$G=c(G)G_1$、$H=c(H)H_1$（$G_1,H_1$ は原始多項式）と書くと $P=c(G)c(H)\,G_1H_1$ で、1 により $G_1H_1$ は原始多項式である。lem-gauss-lemma-content-basic の 4 により $c(G)c(H)\doteq c(P)$ であり、$P\in A[X]$ なので同補題の 3 により $c(P)\in A$、したがって $c(G)c(H)\in A$ である。$\lambda:=c(H)$ とおくと
$$ \lambda G=c(G)c(H)\,G_1\in A[X],\qquad \lambda^{-1}H=H_1\in A[X] $$
であり、$(\lambda G)(\lambda^{-1}H)=P$ である。$\lambda\neq0$ なので次数は変わらない。
3：$P$ が $A[X]$ の既約元で $\deg P\ge1$ とする。$P=c(P)P_1$ で $\deg P_1=\deg P\ge1$ なので $P_1$ は単元でなく、既約性から $c(P)$ は $A$ の単元である。すなわち $P$ は原始多項式である。$P$ が $K[X]$ で $P=GH$（$\deg G,\deg H\ge1$）と分解したとすると、2 により $P$ は $A[X]$ で次数 $\deg G\ge1$ と $\deg H\ge1$ の多項式の積になる。次数 $1$ 以上の多項式は $A[X]$ の単元でない（$A[X]$ の単元は $A$ の単元である。多項式環 の命題「次数の公式と整域性」）ので、既約性に反する。
逆に $P$ が原始多項式で $K[X]$ において既約とし、$P=GH$（$G,H\in A[X]$）とする。$K[X]$ での既約性により $G,H$ の一方、たとえば $G$ は $K[X]$ の単元、すなわち $0$ でない定数 $g\in A$ である。$g$ は $P=gH$ の係数すべてを割り切るので $g\mid c(P)$ であり、$P$ が原始多項式なので $g$ は $A$ の単元である。よって $P$ は $A[X]$ の既約元である。$\square$

1：$p$ が $A$ の素元なら $A[X]/pA[X]\cong(A/pA)[X]$ は整域なので、$pA[X]$ は素イデアルであり、$p$ は $A[X]$ の素元である。
次に $P$ を $K[X]$ で既約な原始多項式とし、$G,H\in A[X]$ について $P\mid GH$（$A[X]$ で）とする。既約多項式 の命題「体上の多項式環における既約性の言い換え」により $K[X]$ の既約元は素元なので、$P$ は $K[X]$ で $G$ か $H$ を割り切る。$G=PS$（$S\in K[X]$）としてよい。$G=0$ なら $P\mid G$ は明らかなので $G\neq0$ とする。thm-gauss-lemma-polynomial の 1 により $c(G)\doteq c(P)c(S)\doteq c(S)$ であり、$c(G)\in A$ なので $c(S)\in A$、lem-gauss-lemma-content-basic の 3 により $S\in A[X]$ である。よって $P$ は $A[X]$ で $G$ を割り切る。$P$ は次数 $1$ 以上なので $0$ でも単元でもなく、$A[X]$ の素元である。
2：$0$ でも単元でもない $F\in A[X]$ が、1 の素元の有限個の積に書けることを示す。そうすれば 一意分解整域 の定理「一意分解整域の特徴づけ」（3 ⇒ 1）により $A[X]$ は一意分解整域である。$F=c(F)F_1$（$F_1$ は原始多項式）と書く。$c(F)\in A$ は、単元でなければ $A$ の素元の積である。$\deg F_1=0$ なら $F_1$ は $A$ の単元なので、$F$ は単元倍を除いて $c(F)$ の素元分解に一致する。$\deg F_1\ge1$ なら、$K[X]$ は一意分解整域なので（多項式環 の定理「体上の一意分解」） $F_1=G_1\cdots G_r$（$G_i$ は $K[X]$ の既約元）と書ける。thm-gauss-lemma-polynomial の 2 を $r-1$ 回使い、$K^\times$ の元を掛け替えて $F_1=H_1\cdots H_r$（$H_i\in A[X]$、$H_i$ は $G_i$ の $K^\times$ 倍）とできる。$F_1$ が原始多項式なので、1 の乗法性により各 $H_i$ も原始多項式であり（$c(H_1)\cdots c(H_r)\doteq1$ で各 $c(H_i)\in A$）、$K[X]$ で既約である。よって $F$ は 1 の素元の積である。
逆に $A[X]$ の素元 $F$ をとる。素元は既約元なので、次数 $0$ なら $A$ の既約元、すなわち $A$ の素元である。次数 $1$ 以上なら thm-gauss-lemma-polynomial の 3 により $K[X]$ で既約な原始多項式である。
3：$A[X_1,\dots,X_n]=A[X_1,\dots,X_{n-1}][X_n]$ なので、2 を $n$ 回使えばよい。体は一意分解整域であり、$\mathbb{Z}$ も一意分解整域である。$\square$