Ischebeckの補題

$r\ge0$ について、次の主張 $T(r)$ を $r$ についての帰納法で示す：「$\dim N\le r$ をみたすすべての非零な有限加群 $N$ について、$i< d-r$ なら $\operatorname{Ext}^i(N,M)=0$」。$\dim N=r$ の場合が定理である。
素イデアルによる剰余への帰着。 $N$ の有限素因子列の各因子 $A/\mathfrak p_j$ は $\dim A/\mathfrak p_j\le\dim N\le r$ をみたす。各因子について $T(r)$ の結論が成り立てば、長完全列を列に沿って順に使って $N$ についても成り立つ。したがって $N=A/\mathfrak p$（$\mathfrak p$ は素イデアル、$\dim A/\mathfrak p\le r$）の場合を示せばよい。$\dim A/\mathfrak p< r$ なら（このとき $r\ge1$）、$T(r-1)$ により $i< d-r+1$ で、とくに $i< d-r$ で消える。よって $\dim A/\mathfrak p=r$ としてよい。
$r=0$ の場合。 $\dim A/\mathfrak p=0$ なので $\mathfrak p=\mathfrak m$、$N=k$ であり、$i< d$ で $\operatorname{Ext}^i(k,M)=0$ は深さの Ext による特徴づけそのものである。
$r\ge1$ の場合。 $\dim A/\mathfrak p=r\ge1$ なので $\mathfrak p\ne\mathfrak m$ であり、$x\in\mathfrak m\setminus\mathfrak p$ がとれる。$A/\mathfrak p$ は整域で $x$ の像は $0$ でないので、
$$ 0\to A/\mathfrak p\xrightarrow{\ x\ }A/\mathfrak p\to N'\to0,\qquad N'=A/(\mathfrak p+xA) $$
は完全である。$\mathfrak p+xA\subset\mathfrak m$ なので $N'\ne0$ である。$\mathfrak p+xA$ を含む素イデアルの鎖 $\mathfrak q_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak q_t$ の前に $\mathfrak p$ を置くと（$x\in\mathfrak q_0\setminus\mathfrak p$ なので $\mathfrak p\subsetneq\mathfrak q_0$）、$A/\mathfrak p$ の長さ $t+1$ の鎖ができるので、$t+1\le r$、つまり $\dim N'\le r-1$ である。帰納法の仮定 $T(r-1)$ から、$j< d-r+1$ で $\operatorname{Ext}^j(N',M)=0$ である。長完全列
$$ \operatorname{Ext}^i(A/\mathfrak p,M)\xrightarrow{\ x\ }\operatorname{Ext}^i(A/\mathfrak p,M)\to\operatorname{Ext}^{i+1}(N',M) $$
で $i< d-r$ なら $i+1< d-r+1$ なので右端は $0$ であり、$E=\operatorname{Ext}^i(A/\mathfrak p,M)$ について $xE=E$ となる。$E$ は有限加群で $x\in\mathfrak m$ なので、Nakayamaの補題 により $E=0$ である。$\square$

1：$\mathfrak p\in\operatorname{Ass}M$ なら、$\mathfrak p$ を零化イデアルにもつ元 $u\in M$ により単射 $A/\mathfrak p\to M$、$a\mapsto au$ があり、$\operatorname{Hom}(A/\mathfrak p,M)=\operatorname{Ext}^0(A/\mathfrak p,M)\ne0$ である。$\dim A/\mathfrak p< \operatorname{depth}M$ なら $0< \operatorname{depth}M-\dim A/\mathfrak p$ なので、thm-isch-main によりこれは $0$ になり矛盾する。2：$\operatorname{Ass}M$ は空でなく（随伴素イデアル の定理「随伴素の存在」）、$\operatorname{Ass}M\subset\operatorname{Supp}M$ なので、1 から $\operatorname{depth}M\le\dim A/\mathfrak p\le\dim M$ である。$\square$

cor-isch-ass の 1 と $\mathfrak p\in\operatorname{Supp}M$ から $\operatorname{depth}M\le\dim A/\mathfrak p\le\dim M=\operatorname{depth}M$ である。$\mathfrak q\subsetneq\mathfrak p$ となる $\mathfrak q\in\operatorname{Supp}M$ があれば、$A/\mathfrak p$ の素イデアルの鎖の前に $\mathfrak q$ を置いて $\dim A/\mathfrak q\ge\dim A/\mathfrak p+1=\dim M+1$ となり、$\dim A/\mathfrak q\le\dim M$ に反する。よって $\mathfrak p$ は $\operatorname{Supp}M$ の極小元である（逆に $\operatorname{Supp}M$ の極小元は随伴素である。随伴素イデアル の命題「支持と随伴素の極小元」）。$\square$

$d=\operatorname{depth}M$ とする。$i< d$ での消滅は thm-isch-main（$r=0$）である。$\operatorname{Ext}^d(N,M)\ne0$ を示す。$N\ne0$ は有限の長さなので $\mathfrak mN\ne N$（Nakayamaの補題）であり、$N/\mathfrak mN$ は $0$ でない $k$ ベクトル空間だから全射 $N\to k$ がある。その核を $N_1$ とすると、長完全列
$$ \operatorname{Ext}^{d-1}(N_1,M)\to\operatorname{Ext}^d(k,M)\to\operatorname{Ext}^d(N,M) $$
で、$N_1$ は $0$ か有限の長さなので左端は $0$ であり（$d=0$ なら左端の項はない）、中央の $\operatorname{Ext}^d(k,M)\ne0$ が右へ単射に入る。$\square$

$f\in S$ について、$xf\in(xy,xz)=x\cdot(y,z)$ は、$S$ が整域なので $f\in(y,z)$ と同値である。よって $A$ における $x$ の像の零化イデアルは $(y,z)A$ であり、$A/(y,z)A\cong k[\![x]\!]$ は整域なので $(y,z)A$ は素イデアル、すなわち $\operatorname{Ass}A$ の元である。$k[\![x]\!]$ の素イデアルは $0$ と $(x)$ だけなので $\dim A/(y,z)A=1$ であり、cor-isch-ass の 1 から $\operatorname{depth}A\le1$ である。一方 $A$ には素イデアルの鎖 $(x)\subsetneq(x,y)\subsetneq(x,y,z)$（の像）があるので $\dim A\ge2$ である。よって $\operatorname{depth}A< \dim A$ で、$A$ は Cohen–Macaulay でない。$\square$