表示可能∞圏

$B\subset A$ を部分集合とし、$B$ を離散的な（等号だけを順序とする）半順序集合とみて、包含が定める図式 $p\colon N(B)\to N(A)$ を考える。$A$ が小さいので $N(B)$ は小さい単体的集合であり、$N(A)$ は表示可能なので $p$ は余極限をもつ。余極限(∞圏) の命題「半順序集合の余極限は上限」により、頂点の像 $B$ は $A$ で上限をもつ。下限については、$B$ の下界全体の集合 $B^{\flat}$ の上限 $m=\sup B^{\flat}$ をとる。$B$ の各元 $b$ は $B^{\flat}$ の上界なので $m\le b$ であり、$m$ は $B$ の下界である。$B$ の下界 $\ell$ は $B^{\flat}$ に属するので $\ell\le m$ である。よって $m$ は $B$ の下限である。$\square$

段 1（置き換え）。 $G$ は充満忠実なので、その本質的像（$G$ の値と同値な対象のなす充満部分∞圏）$\mathcal D'\subset\mathcal C$ への圏同値を与える。余極限の存在と頂点は圏同値で移るので、$\mathcal D=\mathcal D'$ で $G$ は包含としてよい。このとき随伴の定義（随伴関手(∞圏) の定義「∞圏の随伴」）により、単位 $\eta_c\colon c\to Lc$ との合成が、すべての $c\in\mathcal C$、$y\in\mathcal D$ について空間の同値
$$ \eta_c^*\colon\operatorname{Map}_{\mathcal C}(Lc,y)\xrightarrow{\ \simeq\ }\operatorname{Map}_{\mathcal C}(c,y) $$
を与える。
段 2（余錐を送る）。 $q\colon K\to\mathcal D\subset\mathcal C$ とし、$\mathcal C$ での余極限の余錐 $\lambda\colon K^{\triangleright}\to\mathcal C$ をとり、その頂点を $Q$ とする。頂点への射影 $\mathcal C_{q/}\to\mathcal C$ は左ファイブレーションである（左ファイブレーションと右ファイブレーション の定理「スライスの射影は右ファイブレーション」）。左ホーン $\Lambda^1_0\subset\Delta^1$ に対する持ち上げにより、辺 $\eta_Q\colon Q\to LQ$ は、$\lambda$ を始点とする $\mathcal C_{q/}$ の辺 $\lambda\to\mu$ に持ち上がる。$\mu$ は頂点 $LQ$ の余錐で、その頂点はすべて $\mathcal D$ に属するので、$\mu$ は $\mathcal D$ の余錐である（充満部分∞圏は、頂点がすべて属する単体をすべて含む）。
段 3（判定）。 $y\in\mathcal D$ について、$\mu$ が誘導する写像 $\operatorname{Map}(LQ,y)\to\lim_{k\in K^{\mathrm{op}}}\operatorname{Map}(q(k),y)$ は、$\mu$ が $\lambda$ に $\eta_Q$ を合成した余錐であることから、段 1 の同値 $\eta_Q^*$ と、$\lambda$ が誘導する写像 $\operatorname{Map}(Q,y)\to\lim_k\operatorname{Map}(q(k),y)$ との合成にホモトピックである。後者は $\lambda$ が余極限なので同値である（余極限(∞圏) の命題「写像空間による判定」）。$\mathcal D$ の写像空間は $\mathcal C$ の写像空間と同じなので、同じ命題を $\mathcal D$ で使うと $\mu$ は $\mathcal D$ での $q$ の余極限である。$\square$

$\widehat{\mathcal P}(\mathcal C)=\operatorname{Fun}(\mathcal C^{\mathrm{op}},\widehat{\mathcal S})$ とし、米田埋め込み $j\colon\mathcal C\to\widehat{\mathcal P}(\mathcal C)$、$j(x)=\operatorname{Map}_{\mathcal C}(-,x)$ をとる。$j$ は充満忠実である（米田の補題(∞圏)。宇宙を $\mathbb V$ に上げて使う）。$\widehat{\mathcal P}(\mathcal C)$ は小さい極限をすべてもち、それは対象ごとに $\widehat{\mathcal S}$ で計算される（HTT09 Corollary 5.1.2.3 の双対、p. 319）。
$p\colon K\to\mathcal C$ を小さい図式とし、$F=\lim(j\circ p)$ とおく。$F(X)\simeq\lim_k\operatorname{Map}_{\mathcal C}(X,p(k))$ は小さい空間の小さい極限なので小さい空間と同値であり、$F$ は $\mathcal S$ に値をとるとみなせる。各 $j(p(k))$ は小さい極限を保ち、極限は極限と交換するので（同 Lemma 5.5.2.3 の双対、p. 463）、$F$ も小さい極限を保つ。thm-pres-representability により $F\simeq j(Y)$ となる $Y\in\mathcal C$ がある。
したがって、$j$ の本質的像 $\mathcal C'$ は、$\widehat{\mathcal P}(\mathcal C)$ の小さい極限で閉じている。

右随伴をもてば余極限を保つことは、随伴関手(∞圏) の命題「左随伴は余極限を保つ」である。
逆に $F$ が小さい余極限を保つとし、$\mathcal D$ は局所小とする。$d\in\mathcal D$ を固定し、$F_d=\operatorname{Map}_{\mathcal D}(F(-),d)\colon\mathcal C^{\mathrm{op}}\to\mathcal S$ とおく。$\mathcal C$ の余極限は $F$ で $\mathcal D$ の余極限に移り、$\operatorname{Map}_{\mathcal D}(-,d)$ は $\mathcal D$ の余極限を極限に送るので、$F_d$ は小さい極限を保つ。$\mathcal C$ は表示可能なので、thm-pres-representability により $F_d\simeq\operatorname{Map}_{\mathcal C}(-,c_d)$ となる $c_d\in\mathcal C$ がある。
最後に、すべての $d$ について $F_d$ が表現可能なら $F$ が右随伴 $d\mapsto c_d$ をもつことを確かめる。HTT09 Lemma 5.2.4.1 を $\mathcal D$ の各対象に当てた Proposition 5.2.4.2 の証明（pp. 350–351）により、$F$ が右随伴をもつことは、すべての $d$ について、右ファイブレーション $\mathcal D_{/d}\to\mathcal D$ の $F$ に沿った引き戻し $\mathcal C\times_{\mathcal D}\mathcal D_{/d}\to\mathcal C$ の全空間が終対象をもつことと同値である。

写像空間は空か一点なので局所小である。小さい図式 $p\colon K\to N(\mathrm{Ord}_{\mathbb U})$ の頂点の像は $\mathbb U$ に属する順序数の小さい集合であり、その和集合は $\mathbb U$ に属する順序数でその上限である（順序数 の命題「順序数の集まりの整列性と上限」の 3。宇宙は小さい族の和集合で閉じている）。よって 余極限(∞圏) の命題「半順序集合の余極限は上限」により $p$ は余極限をもつ。一方、終対象は最大元にあたるが（終対象(∞圏) の命題「通常の終対象との一致」）、各 $\alpha$ について $\alpha+1>\alpha$ も $\mathbb U$ に属する（順序数 の同じ命題の 4）ので最大元はない。$\Delta^0$ では写像空間がすべて一点なので、どの余錐も余極限であり、$\Delta^0$ への関手は余極限を保つ。右随伴 $G$ があれば、すべての $\alpha$ について $\operatorname{Map}(\alpha,G(*))\simeq\operatorname{Map}_{\Delta^0}(*,*)\simeq *$ となり、$G(*)$ が終対象になって矛盾する。$\Delta^0=\mathcal P(\emptyset)$ は表示可能なので、外れた条件は始域の到達可能性だけである。$\square$