三角関数の加法定理（高校数学）

方針：図 1 の三角形 $\mathrm{ABC}$ を作る。C での角は $\alpha+\beta$ である。面積を「底辺 × 高さ ÷ 2」と「2 辺と間の角の正弦」の 2 通りに計算して (A3) を、辺 $\mathrm{AB}$ の長さを「2 つの線分の和」と「余弦定理」の 2 通りに計算して (A2) を得る。
段 1（三角形を作る）。長さ $1$ の線分 $\mathrm{CH}$ を引き、$\mathrm H$ を通って $\mathrm{CH}$ に垂直な直線 $\ell$ を引く。直線 $\mathrm{CH}$ の左側で $\ell$ の上に点 $\mathrm A$ を、$\angle\mathrm{HCA}=\alpha$ となるようにとる。$\alpha$ は鋭角なので、C から出て $\mathrm{CH}$ と角 $\alpha$ をなす半直線は $\ell$ と交わり、そのような点がある。同じく右側で $\ell$ の上に $\mathrm B$ を、$\angle\mathrm{HCB}=\beta$ となるようにとる。$\mathrm A$ と $\mathrm B$ は直線 $\mathrm{CH}$ の反対側にあるので、$\angle\mathrm{ACB}=\alpha+\beta$ である。$\alpha+\beta<\pi$ なので、$\mathrm{ABC}$ は C での角が $\alpha+\beta$ の三角形である。
段 2（辺の長さ）。三角形 $\mathrm{AHC}$ は H で直角で、C での角が $\alpha$、C の隣の辺が $\mathrm{CH}=1$ である。三角比の定義から
$$ \mathrm{AH}=\mathrm{CH}\tan\alpha=\tan\alpha,\qquad \mathrm{CA}=\frac{\mathrm{CH}}{\cos\alpha}=\frac1{\cos\alpha} $$
である。同じく三角形 $\mathrm{BHC}$ から $\mathrm{BH}=\tan\beta$、$\mathrm{CB}=\dfrac1{\cos\beta}$ である。H は A と B の間にあるので $\mathrm{AB}=\mathrm{AH}+\mathrm{HB}=\tan\alpha+\tan\beta$ である。
段 3（面積を 2 通りに計算して (A3) を得る）。底辺を $\mathrm{AB}$、高さを $\mathrm{CH}=1$ とみると、面積は $S=\dfrac12(\tan\alpha+\tan\beta)$ である。一方、2 辺 $\mathrm{CA}$、$\mathrm{CB}$ と間の角 $\alpha+\beta$ を使うと
$$ S=\frac12\cdot\mathrm{CA}\cdot\mathrm{CB}\cdot\sin(\alpha+\beta)=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{2\cos\alpha\cos\beta} $$
である。2 つの $S$ を等しいとおき、両辺に $2\cos\alpha\cos\beta$ を掛けると
$$ \sin(\alpha+\beta)=(\tan\alpha+\tan\beta)\cos\alpha\cos\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta $$
となる。最後の等号では $\tan\alpha\cos\alpha=\sin\alpha$、$\tan\beta\cos\beta=\sin\beta$ を使った。これが (A3) である。
段 4（辺 $\mathrm{AB}$ を 2 通りに計算して (A2) を得る）。三角形 $\mathrm{ABC}$ に余弦定理を使うと
$$ \mathrm{AB}^2=\mathrm{CA}^2+\mathrm{CB}^2-2\cdot\mathrm{CA}\cdot\mathrm{CB}\cdot\cos(\alpha+\beta) $$
である。段 2 の長さを代入し、$\dfrac1{\cos^2\alpha}=1+\tan^2\alpha$（$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ を $\cos^2\alpha$ で割った式）と、$\beta$ についての同じ式を使うと
$$ \tan^2\alpha+2\tan\alpha\tan\beta+\tan^2\beta=(1+\tan^2\alpha)+(1+\tan^2\beta)-\frac{2\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} $$
となる。左辺は $(\tan\alpha+\tan\beta)^2$ を展開したものである。両辺から $\tan^2\alpha+\tan^2\beta$ を引いて $2$ で割ると
$$ \tan\alpha\tan\beta=1-\frac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha\cos\beta} $$
である。これを $\cos(\alpha+\beta)$ について解き、$\tan\alpha\tan\beta\cos\alpha\cos\beta=\sin\alpha\sin\beta$ を使うと
$$ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta\,(1-\tan\alpha\tan\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$
となる。これが (A2) である。$\square$

加法定理から2倍角・半角・3倍角の公式を導く の命題「対称移動から出る関係」は、加法定理を使わずに、単位円を $x$ 軸と直線 $y=x$ で折り返して、すべての実数 $\theta$ について
$$ \cos(-\theta)=\cos\theta,\quad \sin(-\theta)=-\sin\theta,\quad \cos\Bigl(\frac\pi2-\theta\Bigr)=\sin\theta,\quad \sin\Bigl(\frac\pi2-\theta\Bigr)=\cos\theta $$
を示している。$\theta+\frac\pi2=\frac\pi2-(-\theta)$ なので、3 つ目と 1 つ目・2 つ目を順に使うと
$$ \cos\Bigl(\theta+\frac\pi2\Bigr)=\cos\Bigl(\frac\pi2-(-\theta)\Bigr)=\sin(-\theta)=-\sin\theta $$
である。同じく 4 つ目と 1 つ目を使うと $\sin\bigl(\theta+\frac\pi2\bigr)=\sin\bigl(\frac\pi2-(-\theta)\bigr)=\cos(-\theta)=\cos\theta$ である。$\square$

方針：(A2) と (A3) が両方成り立つことを「$(\alpha,\beta)$ で加法定理が成り立つ」と言う。$\alpha$ や $\beta$ を $\frac\pi2$ ずらしても、成り立つかどうかは変わらないことを示し、鋭角の組（または $0$ を含む組）に戻して prop-tah-acute に帰着させる。
段 1（$\alpha$ を $\frac\pi2$ ずらす）。実数 $\alpha,\beta$ を固定し、$\alpha'=\alpha+\frac\pi2$ とおく。lem-tah-shift を角 $\alpha$ と角 $\alpha+\beta$ に使うと
$$ \cos\alpha'=-\sin\alpha,\quad \sin\alpha'=\cos\alpha,\quad \cos(\alpha'+\beta)=-\sin(\alpha+\beta),\quad \sin(\alpha'+\beta)=\cos(\alpha+\beta) $$
である（$\alpha'+\beta=(\alpha+\beta)+\frac\pi2$ に注意）。これを $(\alpha',\beta)$ の (A2) に代入すると、左辺は $-\sin(\alpha+\beta)$、右辺は
$$ \cos\alpha'\cos\beta-\sin\alpha'\sin\beta=-\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta $$
である。よって「$(\alpha',\beta)$ で (A2) が成り立つ」は、両辺に $-1$ を掛けて「$(\alpha,\beta)$ で (A3) が成り立つ」と同値である。同じく $(\alpha',\beta)$ の (A3) は、左辺が $\cos(\alpha+\beta)$、右辺が
$$ \sin\alpha'\cos\beta+\cos\alpha'\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta $$
なので、「$(\alpha,\beta)$ で (A2) が成り立つ」と同値である。2 つを合わせて、
（＊）$(\alpha,\beta)$ で加法定理が成り立つ $\iff$ $(\alpha+\frac\pi2,\beta)$ で加法定理が成り立つ
が分かった。
段 2（$\beta$ をずらす）。(A2) と (A3) の右辺は、$\alpha$ と $\beta$ を入れかえても変わらない（(A3) では 2 つの項が入れかわるだけである）。左辺も $\alpha+\beta=\beta+\alpha$ なので変わらない。したがって、段 1 で $\alpha$ と $\beta$ の役割を入れかえた同値
（＊＊）$(\alpha,\beta)$ で加法定理が成り立つ $\iff$ $(\alpha,\beta+\frac\pi2)$ で加法定理が成り立つ
も成り立つ。
段 3（鋭角の組まで戻す）。実数 $\alpha$ に対し、$k=\Bigl\lfloor\dfrac{\alpha}{\pi/2}\Bigr\rfloor$（$\dfrac{\alpha}{\pi/2}$ 以下の最大の整数）とおくと、$\alpha_0=\alpha-k\cdot\frac\pi2$ は $0\le\alpha_0<\frac\pi2$ を満たす。同じく $\beta=\beta_0+l\cdot\frac\pi2$（$l$ は整数、$0\le\beta_0<\frac\pi2$）と書ける。（＊）を $|k|$ 回、（＊＊）を $|l|$ 回使うと（$k$ や $l$ が負なら、（＊）や（＊＊）を右から左へ使う）、「$(\alpha,\beta)$ で加法定理が成り立つ」は「$(\alpha_0,\beta_0)$ で加法定理が成り立つ」と同値になる。
段 4（代表の組で確かめる）。$\alpha_0$ も $\beta_0$ も $0$ でなければ、どちらも鋭角なので prop-tah-acute により成り立つ。$\beta_0=0$ なら、$\cos0=1$、$\sin0=0$ より (A2) の右辺は $\cos\alpha_0$、(A3) の右辺は $\sin\alpha_0$ で、左辺 $\cos\alpha_0$、$\sin\alpha_0$ と一致する。$\alpha_0=0$ の場合も同じである。
段 3 と段 4 から、すべての実数 $\alpha,\beta$ で (A2) と (A3) が成り立つ。(A1)・(A4) はそこから $\beta$ を $-\beta$ に置き換えて得られる（rem-tah-plan）。$\square$