Krein–Rutmanの定理

1：$a\in\operatorname{Int}P$ で $B(a,\delta)\subset P$ なら、$p\in P$ について $B(p+a,\delta)=p+B(a,\delta)\subset P$ である。$t>0$ 倍も同様である。2：$a\in\operatorname{Int}P$、$-a\in P$ なら 1 により $0=a+(-a)\in\operatorname{Int}P$ で、ある球 $B(0,\delta)$ が $P$ に入り、正の倍をとって $E=P$ となり矛盾する。3：$T0=0\in P$ である。$z\ne0$ で $z,-z\in P$ なら $Tz\in\operatorname{Int}P$ かつ $-Tz=T(-z)\in P$ となり、2 に反する。$\square$

$I:=\{t\ge0:a+tb\in P\}$ は $P$ が凸かつ閉なので閉区間で、$a$ が内点なので $0$ の近くを含む。$I$ が有界でなければ、$t\to\infty$ で $b+a/t\in P$ から $b\in P$ となり矛盾する。よって $I=[0,\tau]$、$0<\tau<\infty$ である。$a+sb\in\operatorname{Int}P$ なら、内部は開集合なので小さな $\eta>0$ で $a+(s+\eta)b\in P$ となり、$s+\eta\le\tau$ である。$\square$

$u\in\operatorname{Int}P$ を固定する。
(a) $r>0$ で $Tu-ru\in P$ となるものがある。実際 $u\ne0$（lem-kr-cone の 2）なので $Tu\in\operatorname{Int}P$ であり、$Tu$ を中心とする小さな球が $P$ に入る。
(b) $x\in P$、$\lambda\in\mathbb R$ が $T(x+u)=\lambda x$ を満たすなら $\lambda\ge r$ である。lem-kr-cone の 3 から $Tx\in P$ なので $\lambda x=Tx+Tu\ge Tu\ge ru$ である。$\lambda\le0$ なら $-\lambda x\in P$ と足して $-ru\in P$ となり、lem-kr-cone の 2 に反するので $\lambda>0$ である。$x\ge cu$（$c\ge0$）なら、$T$ が $\le$ を保つことから $\lambda x=Tx+Tu\ge cTu\ge cru$ で、$x\ge(cr/\lambda)u$ となる。$c=r/\lambda$ から始めて繰り返すと、すべての $n$ で $x\ge(r/\lambda)^nu$、すなわち $(\lambda/r)^nx-u\in P$ である。$\lambda< r$ なら $n\to\infty$ で $-u\in P$ となり矛盾するので、$\lambda\ge r$ である。
(c) $0<\varepsilon\le1$ について $\varepsilon u\in\operatorname{Int}P$ で $T(\varepsilon u)-r\varepsilon u\in P$ なので、(b) は $u$ を $\varepsilon u$ に替えても同じ $r$ で成り立つ。$x\in P$ なら $x+\varepsilon u\in\operatorname{Int}P$ だから $x+\varepsilon u\ne0$ であり、
$$ F_\varepsilon(x):=T\Bigl(\frac{x+\varepsilon u}{\|x+\varepsilon u\|}\Bigr)\qquad(x\in P) $$
は $P$ から $P$ への連続写像で、値は $T(B_E)$ に入るので値域の閉包はコンパクトである。lem-kr-schauder により $F_\varepsilon(x_\varepsilon)=x_\varepsilon$ となる $x_\varepsilon\in P$ があり、$\lambda_\varepsilon:=\|x_\varepsilon+\varepsilon u\|$ とおくと $T(x_\varepsilon+\varepsilon u)=\lambda_\varepsilon x_\varepsilon$、(b) により $\lambda_\varepsilon\ge r$ である。
(d) $\|x_\varepsilon\|=\|T(x_\varepsilon+\varepsilon u)\|/\lambda_\varepsilon\le\|T\|$ なので $r\le\lambda_\varepsilon\le\|T\|+\|u\|$ である。$\varepsilon_n\to0$ を、$\lambda_{\varepsilon_n}\to\mu_0\in[r,\|T\|+\|u\|]$ かつ $T(x_{\varepsilon_n}+\varepsilon_nu)\to y$ となるようにとる（後者は $T$ のコンパクト性による）。すると $x_{\varepsilon_n}=T(x_{\varepsilon_n}+\varepsilon_nu)/\lambda_{\varepsilon_n}\to x_0:=y/\mu_0\in P$ であり、$\|x_0\|=\lim\lambda_{\varepsilon_n}=\mu_0>0$ である。極限をとって $Tx_0=\mu_0x_0$ を得る。$x_0\ne0$ なので $x_0=\mu_0^{-1}Tx_0\in\operatorname{Int}P$ である。$\square$

2：$Tx\in\operatorname{Int}P$ なので $\mu x\in\operatorname{Int}P$、よって $\mu\ne0$ である。$\mu<0$ なら $-x\in\operatorname{Int}P$ と $x\in P$ が lem-kr-cone の 2 に反するので、$\mu>0$ かつ $x=\mu^{-1}Tx\in\operatorname{Int}P$ である。$x$ が $x_0$ の正の倍でないとする。$-x\notin P$ なので $\tau:=\tau(x_0,-x)$（lem-kr-tau）がとれ、$z:=x_0-\tau x\in P$ は $0$ でない（$0$ なら $x=x_0/\tau$）。よって
$$ Tz=\mu_0x_0-\tau\mu x\in\operatorname{Int}P,\qquad\text{すなわち}\qquad x_0-\frac{\tau\mu}{\mu_0}x\in\operatorname{Int}P $$
であり、lem-kr-tau から $\tau\mu/\mu_0<\tau$、つまり $\mu<\mu_0$ である。$x$ と $x_0$ の役割を入れ替えると（$x\in\operatorname{Int}P$ なので同じ議論ができる）$\mu_0<\mu$ となって矛盾する。よって $x=mx_0$ で、$x\in P\setminus\{0\}$ と lem-kr-cone の 2 から $m>0$、$\mu=\mu_0$ である。
3：$Tx=\mu x$、$x\ne0$、$\mu\ne\mu_0$ とする。$x\in P$ または $-x\in P$ なら 2 により $\mu=\mu_0$ となるので、$x\notin P$ かつ $-x\notin P$ である。$\mu=0$ なら明らかなので $\mu\ne0$ とする。$\tau_+:=\tau(x_0,x)$、$\tau_-:=\tau(x_0,-x)$ とおき、$z_\pm:=x_0\pm\tau_\pm x\in P$ を考える。$z_\pm\ne0$ である（$0$ なら $\mp x$ が $x_0$ の正の倍になり $P$ に入る）。

• $\mu>0$ なら $Tz_+=\mu_0\bigl(x_0+\tfrac{\tau_+\mu}{\mu_0}x\bigr)\in\operatorname{Int}P$ から $\tau_+\mu/\mu_0<\tau_+$、すなわち $\mu<\mu_0$ である。
• $\mu<0$ なら $Tz_+=\mu_0\bigl(x_0-\tfrac{\tau_+|\mu|}{\mu_0}x\bigr)\in\operatorname{Int}P$ から $\tau_+|\mu|/\mu_0<\tau_-$、同様に $Tz_-$ から $\tau_-|\mu|/\mu_0<\tau_+$ である。掛け合わせて $|\mu|^2<\mu_0^2$ を得る。
  4：$Tx=\mu_0x$、$x\ne0$ とする。$x\notin P$ かつ $-x\notin P$ なら、3 の証明（$\mu=\mu_0>0$ の場合）から $\mu_0<\mu_0$ となって矛盾する。よって $x$ か $-x$ が $P$ に入り、2 から $x\in\mathbb Rx_0$ である。つまり $\ker(T-\mu_0I)=\mathbb Rx_0$ である。次に $(T-\mu_0I)^2x=0$ とすると $(T-\mu_0I)x=cx_0$ である。$c\ne0$ と仮定し、$x$ を $x/c$ に替えて $c=1$ とする。$t$ を大きくとると $w:=x+tx_0=t(x_0+x/t)\in\operatorname{Int}P$ であり、$Tw=\mu_0w+x_0$ である。$s:=\sup\{s'\ge0:x_0-s'w\in P\}$ は lem-kr-tau により $0< s<\infty$ で、$y:=x_0-sw\in P$ である。$y=0$ なら $Tx_0=sTw=s(\mu_0w+x_0)=(\mu_0+s)x_0$ となり $s>0$ に反する。$y\ne0$ なので
  $$ Ty=\mu_0x_0-s(\mu_0w+x_0)=(\mu_0-s)x_0-\mu_0sw\in\operatorname{Int}P . $$
  $\mu_0-s\le0$ ならこの元は $-P$ に入り lem-kr-cone の 2 に反する。$\mu_0>s$ なら $x_0-\tfrac{\mu_0s}{\mu_0-s}w\in\operatorname{Int}P$ で、$\tfrac{\mu_0s}{\mu_0-s}>s$ が $s$ の定義に反する。よって $c=0$、$\ker(T-\mu_0I)^2=\mathbb Rx_0$ である。$k\ge3$ で $(T-\mu_0I)^kx=0$ なら、$(T-\mu_0I)^{k-2}x\in\ker(T-\mu_0I)^2=\ker(T-\mu_0I)$ なので $(T-\mu_0I)^{k-1}x=0$ となり、帰納法で結論を得る。
  5：コンパクト作用素 の記事の定理「コンパクト作用素のスペクトル」（実数の場合）により $\sigma(T)\setminus\{0\}$ は固有値からなるので、3 により $|\lambda|\le\mu_0$ で、$\mu_0\in\sigma(T)$ である。
  後半の $\mu_0=\nu(T)$ を示す。ここで $\nu(T):=\lim_{n\to\infty}\|T^n\|^{1/n}$ であり、極限が存在することは スペクトル半径 の命題「冪のノルムの根の極限」による。要点：$T^nx_0=\mu_0^nx_0$ から $\nu(T)\ge\mu_0$ である。$\nu(T)>\mu_0$ とすると、複素化した作用素に絶対値 $\nu(T)$ の固有値があり、それが実数なら 3 に反し、実数でなければ固有ベクトルの実部と虚部が錐の閉性と lem-kr-cone の 3 から $0$ になる。錐の正規性（$0\le x\le y$ から $\|x\|\le C\|y\|$ となること）は使わない。
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  (i) 下からの評価：$\|T^nx_0\|=\mu_0^n\|x_0\|$ かつ $x_0\ne0$ なので $\|T^n\|\ge\mu_0^n$ であり、$n$ 乗根の極限をとって $\nu(T)\ge\mu_0$ である。

  (ii) 複素化：$E_{\mathbb C}:=\{u+iv:u,v\in E\}$ に、$(a+ib)(u+iv):=(au-bv)+i(av+bu)$（$a,b\in\mathbb R$）で複素数倍を入れ、$N(u+iv):=\sup_{\theta\in\mathbb R}\|\cos\theta\,u+\sin\theta\,v\|$ とおく。$e^{i\varphi}(u+iv)=(\cos\varphi\,u-\sin\varphi\,v)+i(\sin\varphi\,u+\cos\varphi\,v)$ について上限の中身は $\|\cos(\theta-\varphi)u+\sin(\theta-\varphi)v\|$ になるので、$N(e^{i\varphi}w)=N(w)$ である。正の実数倍と三角不等式は明らかである。$\theta=0,\pi/2$ と三角不等式から $\max\{\|u\|,\|v\|\}\le N(u+iv)\le\|u\|+\|v\|$ であり、左の不等式から $N(w)=0$ なら $w=0$ なので、$N$ は複素ノルムである。この両側の評価から、$E_{\mathbb C}$ は複素 Banach 空間である。$T_{\mathbb C}(u+iv):=Tu+iTv$ は複素線形で、$T_{\mathbb C}^n=(T^n)_{\mathbb C}$ である。$N\bigl((T^n)_{\mathbb C}(u+iv)\bigr)=\sup_\theta\|T^n(\cos\theta\,u+\sin\theta\,v)\|\le\|T^n\|N(u+iv)$ であり、$x\in E$ について $N(x+i0)=\|x\|$ なので、$\|T_{\mathbb C}^n\|=\|T^n\|$ である。よって スペクトル半径 の定理「Gelfand のスペクトル半径公式」により、$T_{\mathbb C}$ のスペクトル半径は $\nu(T)$ に等しい。また $N(u+iv)\le1$ なら $\|u\|,\|v\|\le1$ なので、$T_{\mathbb C}$ は単位球を $\{a+ib:a,b\in K\}$（$K:=\overline{T(B_E)}$ はコンパクト）に写す。この集合は $K\times K$ の連続写像 $(a,b)\mapsto a+ib$ による像なのでコンパクトであり、$T_{\mathbb C}$ はコンパクト作用素である。

  (iii) $\nu:=\nu(T)>\mu_0$ と仮定する。$\nu>0$ であり、$T_{\mathbb C}$ のスペクトルには $|\lambda|=\nu$ となる $\lambda$ がある（スペクトル半径の定義）。コンパクト作用素 の記事の定理「コンパクト作用素のスペクトル」（複素数の場合）の 1 により $\lambda$ は固有値であり、$T_{\mathbb C}(u+iv)=\lambda(u+iv)$、$u+iv\ne0$ となる $u,v\in E$ がある。$\lambda=\nu e^{i\theta}$ と書く。

  $\lambda$ が実数のとき：実部と虚部を比べて $Tu=\lambda u$、$Tv=\lambda v$ であり、$u,v$ の $0$ でないほうは $T$ の固有ベクトルである。$|\lambda|=\nu>\mu_0$ なので $\lambda\ne\mu_0$ であり、3 から $|\lambda|<\mu_0$ となって矛盾する。

  $\lambda$ が実数でないとき：$e^{i\theta}\ne\pm1$ である。$T_{\mathbb C}^n(u+iv)=\nu^ne^{in\theta}(u+iv)$ の実部を比べると、$z_n:=\cos(n\theta)u-\sin(n\theta)v$ として $T^nu=\nu^nz_n$ である。$\delta>0$ を、$\|y-x_0\|\le\delta$ なら $y\in P$ となるようにとる（$x_0$ は内点で、$P$ は閉じている）。$c:=\|u\|/\delta$ とおくと $cx_0\pm u\in P$ である（$u=0$ なら明らかで、$u\ne0$ なら $x_0\pm u/c\in P$ に $c$ を掛ける）。lem-kr-cone の 3 により $T^n(P)\subset P$ なので、$T^n(cx_0\pm u)=c\mu_0^nx_0\pm\nu^nz_n\in P$ であり、$\nu^n$ で割って、すべての $n\ge1$ で $c(\mu_0/\nu)^nx_0\pm z_n\in P$ を得る。単位円周の点 $\omega$ で、狭義に増加するある列 $n_k$ について $e^{in_k\theta}\to\omega$ となるものの全体を $A$ とする。単位円周はコンパクトなので $A\ne\emptyset$ である。$e^{i\varphi}\in A$ とし、$n_k$ をそのような列とすると、$z_{n_k}\to\cos\varphi\,u-\sin\varphi\,v$、$(\mu_0/\nu)^{n_k}\to0$ である。$P$ は閉じているので $\pm(\cos\varphi\,u-\sin\varphi\,v)\in P$ であり、lem-kr-cone の 3 の $P\cap(-P)=\{0\}$ から $\cos\varphi\,u-\sin\varphi\,v=0$ である。また $e^{i(n_k+1)\theta}\to e^{i(\varphi+\theta)}$ なので $e^{i(\varphi+\theta)}\in A$ であり、同様に $\cos(\varphi+\theta)u-\sin(\varphi+\theta)v=0$ である。この 2 式を $u,v$ の連立 1 次方程式とみると、係数の行列式は $-\cos\varphi\sin(\varphi+\theta)+\sin\varphi\cos(\varphi+\theta)=-\sin\theta$ で、$e^{i\theta}\ne\pm1$ から $0$ でない。よって $u=v=0$ となり、$u+iv\ne0$ に反する。

  以上により $\nu(T)\le\mu_0$ であり、(i) と合わせて $\mu_0=\nu(T)$ である。$\square$