超積

同義語：ultraproduct

概要

前提知識: 超フィルター, 一階述語論理, 直積

超積（ultraproduct）とは、同じ一階言語の構造の族 $(\mathcal M_i)_{i\in I}$ と添字集合 $I$ 上の超フィルター $U$ から、直積 $\prod_{i\in I}M_i$ の元を「$U$ に属する添字の集合の上で一致するなら同じ」とみなして作る構造 $\prod_{i\in I}\mathcal M_i/U$ である。関数は成分ごとに計算し、関係は「成り立つ添字の集合が $U$ に属する」ときに成り立つと定める。すべての成分が同じ構造 $\mathcal A$ のときは超冪（ultrapower）といい、$\mathcal A^I/U$ と書く。
超フィルター $U$ に属する集合を「ほとんどすべての添字」と読むと、超積は成分の多数決で決まる構造である。成分の性質のうち一階の論理式で書けるものは、ほとんどすべての成分で成り立てば超積でも成り立つ。これが Łośの定理であり、コンパクト性定理(一階論理) の証明、無限大や無限小をもつ数の体系（超準解析）、集合論の初等埋め込みなどの基本的な道具になる。この記事では超積と超冪を定義し、定義が代表元によらないこと、主超フィルターでは何も新しくならないこと、元の個数と濃度、環や体の超積の見方を証明する。

結果	内容	仮定
lem-ultraproduct-well-defined	関数・関係の定義は代表元によらない	$U$ はフィルターでよい
prop-ultraproduct-principal	主超フィルターの超積は 1 つの成分と同型	$U$ が主超フィルター
prop-ultraproduct-diagonal	対角写像は埋め込み	超冪
prop-ultraproduct-size	超積の元の個数は「ほとんどすべての成分の元の個数」	成分の大きさの条件
prop-ultraproduct-cardinality	可算添字の非主超冪の濃度は連続体濃度以上	$I$ が可算無限、$U$ が非主、台集合が無限
prop-ultraproduct-rings	環の超積は直積環の剰余環、体の超積は体	可換環・体

定義

超フィルターの性質

この記事では選択公理を仮定する。$I$ を空でない集合とする。$I$ 上のフィルターとは、$I$ の部分集合の族 $\mathcal F$ で、(i) $I\in\mathcal F$、$\emptyset\notin\mathcal F$、(ii) $A,B\in\mathcal F$ なら $A\cap B\in\mathcal F$、(iii) $A\in\mathcal F$、$A\subset B\subset I$ なら $B\in\mathcal F$、を満たすものである。包含関係について極大なフィルターを超フィルターという。超フィルター $U$ は次の性質をもつ（超フィルターの記事の定理「超フィルターの特徴づけ」）。

任意の $A\subset I$ について、$A\in U$ と $I\setminus A\in U$ のちょうど一方が成り立つ。
$A_1\cup\cdots\cup A_k\in U$ なら、ある $j$ で $A_j\in U$ である（2 個の場合を繰り返し使う）。
$i_0\in I$ について $\{A\subset I\mid i_0\in A\}$ は超フィルターであり、$i_0$ で生成される主超フィルターという。主でない超フィルターを非主超フィルターという。超フィルターが有限集合を含めば主である（超フィルターの記事の命題「有限集合を含めば主」）。したがって非主超フィルター $U$ は有限集合を含まず、上の 1 つ目の性質により、補集合が有限な集合をすべて含む。無限集合の上の非主超フィルターは、補集合が有限な集合の全体を含む超フィルターとして存在する（同記事の定理「超フィルターへの拡張」）。とくに $I$ が有限なら、$I$ 自身が有限集合なので、$I$ 上の超フィルターはどれも主である。

超積

$L$ を一階言語、$(\mathcal M_i)_{i\in I}$ を $L$ 構造の族とし、$\mathcal M_i$ の台集合を $M_i$ と書く（一階述語論理の記事の定義「構造」。台集合は空でない）。直積 $\prod_{i\in I}M_i$ は、選択公理により空でない。その元 $f,g$ について
$$ \{f=g\}:=\{i\in I\mid f(i)=g(i)\} $$
とおき、$I$ 上のフィルター $\mathcal F$ について $f\sim_{\mathcal F}g:\iff\{f=g\}\in\mathcal F$ と定める。$\{f=f\}=I\in\mathcal F$ なので反射的、$\{f=g\}=\{g=f\}$ なので対称的であり、$\{f=g\}\cap\{g=h\}\subset\{f=h\}$ と (ii)・(iii) から推移的である。よって $\sim_{\mathcal F}$ は同値関係である。$f$ の同値類を $[f]$ と書く。$n$ 個の元の組 $\bar f=(f_1,\dots,f_n)$ について $[\bar f]:=([f_1],\dots,[f_n])$、$\bar f(i):=(f_1(i),\dots,f_n(i))$ と略記する。

超積と超冪

$U$ を $I$ 上の超フィルターとする。$L$ 構造 $\prod_{i\in I}\mathcal M_i/U$ を次で定め、$(\mathcal M_i)_{i\in I}$ の $U$ による超積という。

台集合は、$\prod_{i\in I}M_i$ の $\sim_U$ による同値類の全体 $\prod_{i\in I}M_i/U$ である。
定数記号 $c$ の解釈は $[\,(c^{\mathcal M_i})_{i\in I}\,]$ である。
$n$ 項関数記号 $F$ の解釈は $F([\bar f]):=[\,i\mapsto F^{\mathcal M_i}(\bar f(i))\,]$ である。
$n$ 項関係記号 $R$ の解釈は、$R([\bar f]):\iff\{i\in I\mid\bar f(i)\in R^{\mathcal M_i}\}\in U$ である。
すべての $i$ で $\mathcal M_i=\mathcal A$ のとき、超積を $\mathcal A^I/U$ と書き、$\mathcal A$ の $U$ による超冪という。超冪では、$a\in A$（$A$ は $\mathcal A$ の台集合）に定数関数 $c_a\colon i\mapsto a$ の同値類を対応させる写像
$$ d\colon A\to A^I/U,\qquad d(a):=[c_a] $$
を対角写像（自然な埋め込み）という。

定義の 3・4 が意味をもつには、右辺が代表元 $f_1,\dots,f_n$ の取り方によらないことを確かめる必要がある。次の補題はこれを、超フィルターに限らない一般のフィルターについて示す。

超積の定義は代表元によらない

$\mathcal F$ を $I$ 上のフィルターとし、$f_k\sim_{\mathcal F}g_k$（$k=1,\dots,n$）とする。このとき

$n$ 項関数記号 $F$ について、$i\mapsto F^{\mathcal M_i}(\bar f(i))$ と $i\mapsto F^{\mathcal M_i}(\bar g(i))$ は $\sim_{\mathcal F}$ で同値である。
$n$ 項関係記号 $R$ について、$\{i\mid\bar f(i)\in R^{\mathcal M_i}\}\in\mathcal F\iff\{i\mid\bar g(i)\in R^{\mathcal M_i}\}\in\mathcal F$ である。

$E:=\{f_1=g_1\}\cap\cdots\cap\{f_n=g_n\}$ とおく。各 $\{f_k=g_k\}$ は $\mathcal F$ に属するので、(ii) を繰り返し使って $E\in\mathcal F$ である。
1：$i\in E$ なら $\bar f(i)=\bar g(i)$ なので $F^{\mathcal M_i}(\bar f(i))=F^{\mathcal M_i}(\bar g(i))$ である。よって 2 つの関数が一致する添字の集合は $E$ を含み、(iii) により $\mathcal F$ に属する。
2：$A:=\{i\mid\bar f(i)\in R^{\mathcal M_i}\}$、$B:=\{i\mid\bar g(i)\in R^{\mathcal M_i}\}$ とおく。$i\in E$ では $\bar f(i)=\bar g(i)$ なので、$A\cap E=B\cap E$ である。$A\in\mathcal F$ なら $B\supset A\cap E\in\mathcal F$ なので $B\in\mathcal F$ であり、逆も同じである。$\square$

フィルター $\mathcal F$ で同じ構成をしたものを $\prod_{i\in I}\mathcal M_i/\mathcal F$ と書き、縮約積（reduced product）という。超積は、フィルターとして超フィルターを選んだ縮約積である（BS12 Chapter V, Definition 2.3, p. 206 と Definition 2.8, p. 210）。後の ex-ultraproduct-counterexamples で見るように、超フィルターでないフィルターでは、成分の性質が縮約積に移らないことがある。

直感

超積の元は「成分ごとの値の列」であり、2 つの列は、ほとんどすべての添字で値が一致すれば同じとみなす。関係が成り立つかどうかも、成り立つ添字の集合が「ほとんどすべて」かどうかで決める。超フィルターは、どの部分集合についても「ほとんどすべて」か「ほとんどない」かを決め切っているので、どんな性質についても多数決が必ず決着する。例えば $\{1,-1,1,-1,\dots\}$ という列は、偶数の集合と奇数の集合のどちらが $U$ に属するかに応じて、$1$ か $-1$ のどちらかの値をもつ元になる。
非主超フィルターでは、有限個の添字を変えても元は変わらない。そのため、成分ごとには標準的な値をとるのに、どの標準的な値とも一致しない元（列 $0,1,2,\dots$ が表す「無限大の自然数」など）が現れる。この新しい元が、超積を使う理由の大部分である。

基本性質

主超フィルターの超積

$U$ が $i_0\in I$ で生成される主超フィルターなら、$[f]\mapsto f(i_0)$ は $\prod_{i\in I}\mathcal M_i/U$ から $\mathcal M_{i_0}$ への同型である。とくに $I$ が有限なら、どの超フィルター $U$ についても、超積はある成分 $\mathcal M_{i_0}$ と同型である。

$A\in U\iff i_0\in A$ なので、$f\sim_Ug\iff i_0\in\{f=g\}\iff f(i_0)=g(i_0)$ である。よって $\pi([f]):=f(i_0)$ は代表元によらずに定まり、単射である。$a\in M_{i_0}$ について、$f(i_0)=a$ となる $f\in\prod_iM_i$ がとれる（$i\ne i_0$ の成分は任意の元にする）ので、$\pi$ は全射である。
定数記号 $c$ について $\pi(c^{\prod\mathcal M_i/U})=c^{\mathcal M_{i_0}}$ である。関数記号 $F$ について $\pi(F([\bar f]))=F^{\mathcal M_{i_0}}(\bar f(i_0))=F^{\mathcal M_{i_0}}(\pi[\bar f])$ である。関係記号 $R$ について、$R([\bar f])\iff i_0\in\{i\mid\bar f(i)\in R^{\mathcal M_i}\}\iff\pi[\bar f]\in R^{\mathcal M_{i_0}}$ である。よって $\pi$ は同型である。
$I$ が有限なら、定義の節で見たとおり $U$ は主であり、前半から従う。$\square$

したがって超積が新しい構造を生むのは、$I$ が無限で $U$ が非主のときに限る。以下の例では、主に $I=\mathbb N$ 上の非主超フィルターを使う。

対角写像は埋め込み

$\mathcal A$ を $L$ 構造とし、$U$ を $I$ 上の超フィルターとする。対角写像 $d\colon A\to A^I/U$ は単射で、定数・関数・関係を保つ。すなわち $d(c^{\mathcal A})=c^{\mathcal A^I/U}$、$d(F^{\mathcal A}(\bar a))=F(d(\bar a))$ であり、$\bar a\in R^{\mathcal A}\iff R(d(\bar a))$ が成り立つ。

$a\ne b$ なら $\{c_a=c_b\}=\emptyset\notin U$ なので $d(a)\ne d(b)$ である。定数記号 $c$ の超冪での解釈は、定義の 2 により定数関数 $c_{c^{\mathcal A}}$ の類である。関数記号 $F$ について、$F(d(\bar a))=[\,i\mapsto F^{\mathcal A}(\bar a)\,]=d(F^{\mathcal A}(\bar a))$ である。関係記号 $R$ について、$\{i\mid\bar a\in R^{\mathcal A}\}$ は $\bar a\in R^{\mathcal A}$ なら $I$、そうでなければ $\emptyset$ である。$I\in U$、$\emptyset\notin U$ なので、$R(d(\bar a))\iff\bar a\in R^{\mathcal A}$ である。$\square$

対角写像は、量化記号を含む論理式の真偽まで保つ（初等埋め込みである）。これは Łośの定理の帰結であり、BS12 Theorem 2.11（p. 211）にある。$U$ が非主なら、対角写像は一般に全射ではない（ex-ultraproduct-naturals）。

元の個数と濃度

以下、集合 $X$ の元の個数（濃度）を $\# X$ と書く。

超積の元の個数

$U$ を $I$ 上の超フィルターとする。

正の整数 $k$ について $\{i\in I\mid\# M_i=k\}\in U$ なら、$\prod_{i\in I}M_i/U$ はちょうど $k$ 個の元をもつ。
すべての正の整数 $k$ について $\{i\in I\mid\# M_i\ge k\}\in U$ なら、$\prod_{i\in I}M_i/U$ は無限集合である。

2 から示す。$k$ を固定し、$A:=\{i\mid\# M_i\ge k\}\in U$ とする。各 $i\in A$ について $M_i$ の相異なる $k$ 個の元 $b_1(i),\dots,b_k(i)$ を選び、$i\notin A$ では $b_j(i)\in M_i$ を任意に選ぶ。$j\ne l$ なら $\{i\mid b_j(i)\ne b_l(i)\}\supset A\in U$ なので、超フィルターの性質から $\{b_j=b_l\}\notin U$、すなわち $[b_j]\ne[b_l]$ である。よって超積は $k$ 個以上の元をもつ。$k$ は任意なので、超積は無限集合である。
1：$A:=\{i\mid\# M_i=k\}\in U$ とし、各 $i\in A$ について $M_i=\{b_1(i),\dots,b_k(i)\}$ と相異なる元で書き、$i\notin A$ では $b_j(i)$ を任意に選ぶ。上と同じ議論で $[b_1],\dots,[b_k]$ は相異なる。任意の $[f]$ をとると、$i\in A$ では $f(i)$ はある $b_j(i)$ に等しいので、
$$ A\subset\{f=b_1\}\cup\cdots\cup\{f=b_k\} $$
である。右辺は $U$ に属するので、超フィルターの性質から、ある $j$ で $\{f=b_j\}\in U$、すなわち $[f]=[b_j]$ である。よって超積の元は $[b_1],\dots,[b_k]$ のちょうど $k$ 個である。$\square$

1 は、有限個の有限構造の超積がそのうちの 1 つと同型であるという結果（代数系について BS12 Chapter IV, Lemma 6.5, p. 146）の、元の個数の部分にあたる。同型であることまでは Łośの定理の記事で示す。

可算添字の非主超冪の濃度

$I$ を可算無限集合、$U$ を $I$ 上の非主超フィルター、$A$ を無限集合とする。このとき $\# (A^I/U)\ge2^{\aleph_0}$ である。さらに $\# A\le2^{\aleph_0}$ なら $\# (A^I/U)=2^{\aleph_0}$ である。

有限の 0-1 列で番号を付ける

全単射 $e\colon\mathbb N\to I$ をとる。$A$ は無限集合なので単射 $h\colon\mathbb N\to A$ がある。有限の長さの 0-1 列の全体は可算無限なので、全単射 $c$ でそれを $\mathbb N$ に移す。無限の 0-1 列 $x=(x_0,x_1,\dots)\in\{0,1\}^{\mathbb N}$ と $n\in\mathbb N$ について $x|n:=(x_0,\dots,x_{n-1})$ とおき、
$$ f_x\colon I\to A,\qquad f_x(e(n)):=h\bigl(c(x|n)\bigr) $$
と定める。$x\ne y$ とし、$x_m\ne y_m$ となる最小の $m$ をとる。$n>m$ なら $x|n\ne y|n$ なので、$h$ と $c$ の単射性から $f_x(e(n))\ne f_y(e(n))$ である。よって $\{f_x=f_y\}\subset\{e(0),\dots,e(m)\}$ は有限集合であり、非主超フィルターは有限集合を含まないので $\{f_x=f_y\}\notin U$、すなわち $[f_x]\ne[f_y]$ である。したがって $x\mapsto[f_x]$ は $\{0,1\}^{\mathbb N}$ から $A^I/U$ への単射であり、$\# (A^I/U)\ge2^{\aleph_0}$ である。
$\# A\le2^{\aleph_0}$ なら、$A^I/U$ は $A^I$ の商集合なので $\# (A^I/U)\le\# A^I\le(2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0}$ である。2 つの不等式を合わせて等号を得る。$\square$

例えば $\mathbb N$、$\mathbb Q$、$\mathbb R$、$\mathbb C$ の $\mathbb N$ 上の非主超フィルターによる超冪は、どれも連続体濃度 $2^{\aleph_0}$ をもつ。可算な構造の超冪が非可算になることから、対角写像は全射でない。

環と体の超積

可換環は、言語 $\{+,-,\cdot,0,1\}$ の構造として扱う。

環と体の超積

$(R_i)_{i\in I}$ を零環でない可換環の族、$U$ を $I$ 上の超フィルターとし、直積環 $P:=\prod_{i\in I}R_i$ の部分集合
$$ \mathfrak m_U:=\{f\in P\mid\{i\mid f(i)=0\}\in U\} $$
を考える。

$\mathfrak m_U$ は $P$ のイデアルで $1\notin\mathfrak m_U$ であり、$[f]\mapsto f+\mathfrak m_U$ は超積 $\prod_iR_i/U$ から剰余環 $P/\mathfrak m_U$ への環の同型である。
すべての $R_i$ が体なら、超積は体であり、$\mathfrak m_U$ は $P$ の極大イデアルである。

1：$f,g\in\mathfrak m_U$、$h\in P$ なら $\{f+g=0\}\supset\{f=0\}\cap\{g=0\}\in U$、$\{hf=0\}\supset\{f=0\}\in U$ なので、$f+g$、$hf\in\mathfrak m_U$ である。$0\in\mathfrak m_U$ も明らかで、$\{1=0\}=\emptyset\notin U$（どの $R_i$ も零環でない）なので $1\notin\mathfrak m_U$ である。$\{f=g\}=\{f-g=0\}$ なので、$f\sim_Ug\iff f-g\in\mathfrak m_U$ である。よって $[f]\mapsto f+\mathfrak m_U$ は代表元によらずに定まる全単射である。超積の演算は成分ごとの演算の類であり、剰余環の演算も代表元の成分ごとの演算から定まるので、この全単射は和・積・$0$・$1$ を保つ。
2：超積で $[f]\ne0$ とすると、$A:=\{i\mid f(i)\ne0\}=I\setminus\{f=0\}\in U$ である。$g(i):=f(i)^{-1}$（$i\in A$）、$g(i):=0$（$i\notin A$）とおくと $\{fg=1\}\supset A\in U$ なので $[f][g]=1$ である。また 1 により $1\ne0$ である。よって超積は体であり、同型な剰余環 $P/\mathfrak m_U$ も体なので、$\mathfrak m_U$ は極大イデアルである。$\square$

例

自然数の超冪と無限大の元

言語 $\{0,S,+,\cdot,<\}$ の構造 $\mathcal N=(\mathbb N,0,S,+,\cdot,<)$（$S$ は $n\mapsto n+1$）と、$\mathbb N$ 上の非主超フィルター $U$ をとる。恒等関数 $\iota(n)=n$ の類 $\omega:=[\iota]$ を考える。各 $m\in\mathbb N$ について $\{n\mid m< n\}$ は補集合が有限なので $U$ に属し、$d(m)< \omega$ である。$\omega$ は対角写像の像のどの元よりも大きく、とくに像に入らない。同様に $[\,n\mapsto n^2\,]=\omega\cdot\omega$ や $[\,n\mapsto 2^n\,]$ も、像のどの元よりも大きい。$\{n\mid n< n^2\}$ は $\{0,1\}$ 以外のすべてなので $\omega< \omega\cdot\omega$ でもある。

実数体の超冪と無限小

$\mathbb R$ を言語 $\{+,-,\cdot,0,1,<\}$ の構造とみて、$\mathbb N$ 上の非主超フィルター $U$ による超冪 ${}^*\mathbb R:=\mathbb R^{\mathbb N}/U$ を考える。prop-ultraproduct-rings により ${}^*\mathbb R$ は体である。$[a],[b]\in{}^*\mathbb R$ について、3 つの集合 $\{a< b\}$、$\{a=b\}$、$\{b< a\}$ は $\mathbb N$ を分割するので、超フィルターの性質からちょうど 1 つが $U$ に属し、$[a]< [b]$、$[a]=[b]$、$[b]< [a]$ のちょうど 1 つが成り立つ。
$\varepsilon:=[\,n\mapsto 1/(n+1)\,]$ とおく。正の実数 $r$ について $\{n\mid 0< 1/(n+1)< r\}$ は補集合が有限なので、$0< \varepsilon< d(r)$ である。$\varepsilon$ は正だが、どの正の実数よりも小さい（無限小）。${}^*\mathbb R$ が順序体であることは Łośの定理から従い、無限小を使った解析は超準解析で扱う（Kei22 §1G, Theorem 1.55, pp. 26–27 も同じ超冪を構成している）。

有限体の超積

$P$ を素数の全体、$U$ を $P$ 上の非主超フィルターとし、$K:=\prod_{p\in P}\mathbb F_p/U$ とおく（$\mathbb F_p$ は $p$ 元体）。prop-ultraproduct-rings により $K$ は体である。素数 $q$ について、$K$ での $q\cdot1$ は $[\,p\mapsto q\bmod p\,]$ であり、$\{p\in P\mid q\not\equiv0\pmod p\}=P\setminus\{q\}$ は $U$ に属するので $q\cdot1\ne0$ である。正の整数 $n$ は素数の積なので、体には零因子がないことから $n\cdot1\ne0$ であり、$K$ の標数は $0$ である。また $k$ を固定すると $\{p\mid p\ge k\}$ は補集合が有限なので、prop-ultraproduct-size の 2 により $K$ は無限体である。各成分は正標数の有限体なのに、超積は標数 $0$ の無限体になる。

反例：条件を外すと成り立たない

超積が成分の性質を受け継ぐには、フィルターが超フィルターであることが要る。また、受け継がれるのは一階の論理式で書ける性質であり、「有限である」のように一階の論理式 1 つで書けない性質や、成分ごとに変わる値は受け継がれない。

外す条件	反例	成り立たなくなること
超フィルター（補有限フィルターにする）	縮約積 $\mathbb R^{\mathbb N}/\mathcal F_0$	体であること（零因子がある）
超フィルター（補有限フィルターにする）	縮約積 $\mathbb R^{\mathbb N}/\mathcal F_0$	順序の三分律
非主	主超フィルターによる超冪	新しい元が現れること
一階の論理式で書ける性質	有限体の超積 $\prod_p\mathbb F_p/U$	成分が有限なら超積も有限、成分の標数が正なら超積の標数も正

反例の確認

$\mathcal F_0$ を $\mathbb N$ の部分集合で補集合が有限なものの全体とする。$\mathcal F_0$ はフィルターだが、偶数の集合も奇数の集合も含まないので超フィルターではない。
零因子。 $e:=(1,0,1,0,\dots)$、$o:=(0,1,0,1,\dots)$ とおくと、成分ごとの積は $0$ なので縮約積 $\mathbb R^{\mathbb N}/\mathcal F_0$ で $[e][o]=0$ である。一方 $\{e=0\}$ は奇数の集合で補集合が有限でないので $[e]\ne0$、同様に $[o]\ne0$ である。零因子をもつので体ではない。各成分 $\mathbb R$ は体であるから、prop-ultraproduct-rings の 2 は超フィルターの仮定なしには成り立たない。
三分律。 $a:=((-1)^n)_n$ と $0$ を比べると、$\{a< 0\}$ は奇数の集合、$\{a=0\}=\emptyset$、$\{0< a\}$ は偶数の集合で、どれも $\mathcal F_0$ に属さない。よって縮約積では $[a]< 0$、$[a]=0$、$0< [a]$ のどれも成り立たない。超フィルターなら 3 つのうちちょうど 1 つが成り立つ（ex-ultraproduct-reals）。
主超フィルター。 prop-ultraproduct-principal により、主超フィルターによる超冪は元の構造と同型で、対角写像は全射である。ex-ultraproduct-naturals の $\omega$ のような元は現れない。
有限性と標数。 ex-ultraproduct-finite-fields で、各成分 $\mathbb F_p$ は有限で標数 $p>0$ だが、超積 $K$ は無限で標数 $0$ である。「標数が $q$ である」（$q\cdot1=0$）は 1 つの素数 $q$ について 1 つの成分 $\mathbb F_q$ でしか成り立たず、その添字の集合 $\{q\}$ は非主超フィルターに属さない。「元が $k$ 個以下である」は各 $k$ について一階の文で書けるが、「有限である」はそのような文 1 つでは書けない（コンパクト性定理(一階論理) の記事の系「有限性は一階の文で書けない」）。

補足

選択公理の使い方。 超積の構成と上の証明では、選択公理を次の箇所で使った：直積 $\prod_iM_i$ が空でないこと、非主超フィルターの存在、prop-ultraproduct-size で各成分から元を選ぶこと。$\mathbb N$ 上の非主超フィルターは具体的に書き下せないので、超積の個々の元の性質（例えば $[(1,-1,1,-1,\dots)]$ が $1$ か $-1$ か）は $U$ の選び方による。
歴史。 Kei22 §1G（p. 23）によれば、超冪は Skolem（1934 年）が自然数に、Hewitt（1948 年）が実数体に用い、Łoś（1955 年）が任意の構造に適用した。超積も Łoś が 1955 年に導入した構成である（BS12 Chapter IV §6, p. 145）。成分の多数決で一階の論理式の真偽が決まるという Łośの定理も Łoś による（同書 Chapter V, Theorem 2.9, p. 210）。
Łoś の定理との関係。 この記事の証明は、原子論理式（等式と関係）と成分ごとの計算だけを使い、量化記号を含む性質には触れていない。例えば ex-ultraproduct-reals で ${}^*\mathbb R$ が順序体であることや、ex-ultraproduct-finite-fields の $K$ の方程式の解の個数などは、量化記号を含む性質なので、Łośの定理で一括して扱う。