幾何化予想
概要
幾何化予想（geometrization conjecture）とは、向き付け可能な 3 次元閉多様体は、素分解したうえで非圧縮なトーラスに沿って切り開くと、各部品が $S^3$、$\mathbb{H}^3$、$\mathrm{Sol}$ などの 8 つの幾何のどれかを局所的にもつ、という Thurston の主張である。Thurston が非圧縮な曲面を含む場合を示し、一般の場合は Perelman が Ricci 流で解決したので、幾何化定理とも呼ばれる。閉じた幾何多様体の基本群が有限なのは幾何が $S^3$ のときに限るので、基本群が有限な閉多様体は $S^3$ の有限群による商になり、Poincaré 予想はその特別な場合である。
幾何化予想（geometrization conjecture）とは、向き付け可能な 3 次元の閉多様体は、2 次元球面に沿った連結和への分解と、非圧縮なトーラスに沿った切り開きによって、8 種類の幾何のどれかを局所的にもつ部品に分かれる、という Thurston の主張である。1980 年代のはじめに Thurston が提唱し、非圧縮な曲面を含む多様体については自ら証明した。一般の場合は Perelman が Ricci 流を使って解決し、Morgan–Tian などが詳細を書き下した（MT08 Introduction、p. 1、AFW15 p. 12）。現在は 幾何化定理 とも呼ばれる。
2 次元では、閉曲面は球面・Euclid 平面・双曲平面のどれかの幾何をもつ（一意化定理(Riemann面)）。3 次元では 1 つの幾何で多様体全体を覆えるとは限らないので、まず標準的に切り分け、部品ごとに幾何を与える。幾何化予想は Poincaré予想 を特別な場合として含む。
この記事では、分解の定理と 8 つの幾何を述べ、主張を正確に書いたうえで、記事の中で次を証明する。
- 閉じた幾何多様体の基本群が有限であるのは、幾何が $S^3$ のときに限る（prop-gc-compact-model）。
- 幾何化定理から、基本群が有限な閉多様体は $S^3$ を有限群で割ったものであること、とくに Poincaré 予想が従う（cor-gc-elliptization）。
- Anosov 行列の写像トーラスは Sol 幾何をもつ（prop-gc-sol）。
幾何化定理そのものと、それを支える分解の定理は引用にとどめる。
分解の定理
この記事で 3 次元多様体 は滑らかで連結な 3 次元多様体とし、閉 はコンパクトで境界をもたないことを表す。
- 3 次元多様体 $M$ が 素（prime）であるとは、$M\cong P\#Q$ ならば $P$ か $Q$ が $S^3$ と微分同相であることをいう。$S^3$ 自身も素である。
- $M$ が 既約（irreducible）であるとは、$M$ に埋め込まれたどの 2 次元球面も $M$ の中の 3 次元球体の境界になることをいう。
- 向き付け可能な $M$ に埋め込まれたトーラスまたは Klein の壺 $T$ が 非圧縮（incompressible）であるとは、包含の誘導する準同型 $\pi_1(T)\to\pi_1(M)$ が単射であることをいう。
既約なら素である。向き付け可能な素な 3 次元閉多様体で既約でないものは $S^1\times S^2$ だけである（Hat3M Proposition 1.4、p. 6）。トーラスについての 3 の条件は、$T$ の中で縮まない単純閉曲線が $M$ の中の円板の境界にならないという円板による定義と同値である（Hat3M p. 13 の (1) と Corollary 3.3、p. 59）。向き付け可能な $M$ の中の Klein の壺は片側の曲面で、片側の曲面では 2 つの条件は一般に同値でなく、$\pi_1$ の単射のほうが強い（Hat3M p. 13）。この記事の非圧縮は 3 の $\pi_1$ の単射の意味である。文献によっては素の定義から $S^3$ を除く（MT08 p. 1）。
向き付け可能な 3 次元閉多様体 $M$ は、素な多様体の連結和 $M\cong P_1\#\cdots\#P_r$ に分解され、分解は $S^3$ の項の出し入れと順序を除いて一意である。基本群は自由積 $\pi_1(M)\cong\pi_1(P_1)*\cdots*\pi_1(P_r)$ になる。
素な多様体は、さらに非圧縮なトーラスで切り開かれる。その部品の一方の典型が Seifert 多様体である。3 次元多様体を互いに交わらない単純閉曲線（ファイバー）に分け、各ファイバーが「円板の回転の写像トーラス」とファイバーを保って同相な近傍をもつようにしたものを Seifert ファイバー構造 といい、それをもつ多様体を Seifert 多様体 という（AFW15 p. 9、Hat3M p. 18）。曲面の上の円周束の一般化であり、2 次元の軌道体の上の円周束とみなせる。
$M$ を向き付け可能で既約な 3 次元閉多様体とする。互いに交わらない非圧縮なトーラスの有限集合 $\mathcal{T}$ で、$M$ を $\mathcal{T}$ に沿って切り開いた各成分が、非圧縮なトーラスを境界に平行なものしか含まない（アトロイダル）か Seifert 多様体であるものがある。このような $\mathcal{T}$ で極小なものはイソトピーを除いて一意である。
8 つの幾何
3 次元の幾何 とは、単連結な 3 次元多様体 $X$ と、$X$ に滑らかに推移的に作用し各点の固定部分群がコンパクトな Lie 群 $G$ の組 $(X,G)$ で、$G$ が同じ性質をもつ群のなかで極大であり、$X$ を $G$ の離散部分群で割ったコンパクトな多様体があるものをいう。3 次元多様体 $N$ の $X$ 構造 とは、$N$ の内部から $X/\Gamma$ への微分同相写像のことである。ここで $\Gamma$ は $G$ の離散部分群で $X$ に自由に作用するものとする。$X$ 構造をもつ多様体を $X$ 多様体、何かの幾何の構造をもつものを 幾何多様体 という（AFW15 §1.6、p. 14）。
$X$ に $G$ 不変な Riemann 計量を入れれば（固定部分群がコンパクトなので入る）、$X$ 構造は $N$ の内部に、$X$ と局所的に等長な完備な計量を与える。このような計量は局所等質的である。
コンパクトな 3 次元多様体を模型とする 3 次元の幾何は、同値を除いて次の 8 つである：$S^3$、$\mathbb{E}^3$、$\mathbb{H}^3$、$S^2\times\mathbb{R}$、$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$、$\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$、$\mathrm{Nil}$、$\mathrm{Sol}$。
この定理はこの記事では証明しない（AFW15 §1.6、p. 14）。
最初の 3 つは定曲率の空間（球面・Euclid 空間・双曲空間。空間形）で、次の 2 つは積の計量である。残りの 3 つは 3 次元の Lie 群 $X$ に左不変な計量を入れたものである（Bianchi分類 の 3 次元 Lie 環に対応する群）。$\mathrm{Nil}$ は Heisenberg群 で、座標 $(x,y,z)\in\mathbb{R}^3$、積 $(x,y,z)(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z'+xy')$ と計量 $dx^2+dy^2+(dz-x\,dy)^2$ で与えられる。$\mathrm{Sol}$ は積
$$
(x,y,z)(x',y',z')=(x+e^{-z}x',\ y+e^{z}y',\ z+z')
$$
をもつ $\mathbb{R}^3$ に計量 $e^{2z}dx^2+e^{-2z}dy^2+dz^2$ を入れたものである。どちらも、左からの積 $L_{(a,b,c)}$ で計量の各項が保たれることを直接確かめられる（$\mathrm{Sol}$ なら $L_{(a,b,c)}(x,y,z)=(a+e^{-c}x,\ b+e^{c}y,\ c+z)$ で、$e^{2(c+z)}(e^{-c}dx)^2=e^{2z}dx^2$ などとなる）。$\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ は $\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ の普遍被覆群に左不変な計量を入れたものである。
| 幾何 | 閉多様体の例 | Seifert 多様体か | 底の軌道体の Euler 標数 $\chi$ | Euler 数 $e$ |
|---|---|---|---|---|
| $S^3$ | レンズ空間、Poincaré ホモロジー球面 | はい | 正 | $0$ でない |
| $S^2\times\mathbb{R}$ | $S^2\times S^1$ | はい | 正 | $0$ |
| $\mathbb{E}^3$ | 3 次元トーラス $T^3$ | はい | $0$ | $0$ |
| $\mathrm{Nil}$ | モノドロミー $\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$ のトーラス束 | はい | $0$ | $0$ でない |
| $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ | $\Sigma_g\times S^1$（$\Sigma_g$ は種数 $g\ge2$ の閉曲面） | はい | 負 | $0$ |
| $\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$ | 双曲曲面の単位接束 | はい | 負 | $0$ でない |
| $\mathrm{Sol}$ | Anosov なモノドロミーのトーラス束（prop-gc-sol） | いいえ | — | — |
| $\mathbb{H}^3$ | 閉じた 双曲多様体 | いいえ | — | — |
表は AFW15 Table 1（p. 18）と Theorem 1.17（p. 15）による。$\chi$ は底の軌道体の Euler 標数で、底の曲面を $B$、錐点の位数を $\alpha_1,\dots,\alpha_s$ とすると $\chi=\chi(B)-\sum_i(1-1/\alpha_i)$ である。$e$ は Seifert ファイバー構造の Euler 数で、特異ファイバーのない円周束では通常の Euler 数であり、一般の場合は Seifert 不変量から有理数として定まる。どちらもこの表の読み取りにだけ使う。AFW15 Theorem 1.17 により、境界がないか境界がトーラスであるコンパクトな向き付け可能な 3 次元多様体は、いくつかの例外を除いて、Seifert 多様体であることと、6 つの幾何 $S^3$、$\mathbb{E}^3$、$S^2\times\mathbb{R}$、$\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$、$\widetilde{\mathrm{SL}}(2,\mathbb{R})$、$\mathrm{Nil}$ のどれかの構造をもつことが同値である（例外は $S^1\times D^2$、$T^2\times[0,1]$、Klein の壺の上のねじれた区間束で、どれも境界をもつ）。
閉じた幾何多様体の基本群
$X$ を 8 つの幾何のどれかとし、$N$ を $X$ 構造をもつ 3 次元閉多様体、$N\cong X/\Gamma$ とする。
- $\Gamma\cong\pi_1(N)$ である。
- $\pi_1(N)$ が有限であることと、$X=S^3$ であることは同値である。
要点：$X\to N$ は普遍被覆で、ファイバーが $\Gamma$ と同じ濃度の離散集合になる。8 つのうちコンパクトなのは $S^3$ だけである。
証明を開く
1：$G$ の作用は固定部分群がコンパクトなので固有であり、離散部分群 $\Gamma$ は $X$ に真性不連続に作用する。作用は自由なので、商写像 $X\to X/\Gamma\cong N$ は被覆写像で、$\Gamma$ は被覆変換群として各ファイバーに単純推移的に働く。$X$ は単連結なのでこれは普遍被覆で、$\Gamma\cong\pi_1(N)$ である（普遍被覆空間）。
2：$X$ がコンパクトなら、各ファイバーはコンパクトな $X$ の離散な閉集合なので有限で、$\Gamma$ は有限である。逆に $\Gamma$ が有限なら、$N$ の各点に均等に被覆される近傍の中のコンパクトな近傍をとって有限個で $N$ を覆うと、$X$ はそれらの逆像（それぞれ有限個のコンパクト集合の和）の和なのでコンパクトである。8 つの幾何のうち $S^3$ はコンパクトである。$\mathbb{E}^3$、$\mathbb{H}^3$（球体模型）、$\mathrm{Nil}$、$\mathrm{Sol}$ は $\mathbb{R}^3$ と微分同相で、$S^2\times\mathbb{R}$ と $\mathbb{H}^2\times\mathbb{R}$ は因子 $\mathbb{R}$ をもち、$\mathrm{SL}(2,\mathbb{R})$ は極分解により $S^1\times\mathbb{R}^2$ と微分同相なのでその普遍被覆は $\mathbb{R}^3$ と微分同相である。よって $S^3$ 以外はコンパクトでない。以上と 1 から 2 が従う。$\square$
$S^3$ 以外の 7 つの幾何をもつ閉多様体の基本群は無限である。とくに閉じた双曲多様体の基本群は無限であり、$S^3$ と同相な閉多様体は $S^3$ 幾何以外をもたない。
例：レンズ空間と Sol 多様体
$p\ge2$ と $p$ と互いに素な $q$ について、レンズ空間 $L(p;q)$ は $S^3\subset\mathbb{C}^2$ を $(z_1,z_2)\mapsto(\zeta_pz_1,\zeta_p^qz_2)$（$\zeta_p=e^{2\pi i/p}$）の生成する巡回群 $\Gamma\cong\mathbb{Z}/p$ で割ったものである（レンズ空間 の定義「3 次元レンズ空間」）。この変換は $\mathbb{C}^2=\mathbb{R}^4$ のユニタリ変換なので $S^3$ の等長変換であり、作用は自由である（レンズ空間 の命題「自由な等長作用と多様体構造」）。よって $L(p;q)$ は $S^3$ 多様体で、prop-gc-compact-model の 1 から $\pi_1(L(p;q))\cong\mathbb{Z}/p$ である（レンズ空間 の命題「基本群の計算」と一致する）。
次の例は、モノドロミーが Anosov 行列（$\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ の元で相異なる 2 つの実固有値をもつもの。ここでは固有値が正の場合を扱う）のトーラス束が Sol 幾何をもつことを、構成で確かめる。
$A\in\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ が $\operatorname{tr}A>2$ を満たすとし、$f_A\colon T^2\to T^2$ を $A$ が $T^2=\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2$ に誘導する微分同相写像、$T_{f_A}$ をその 写像トーラス とする。このとき $T_{f_A}$ は $\mathrm{Sol}$ 構造をもつ閉多様体で、$\pi_1(T_{f_A})\cong\mathbb{Z}^2\rtimes_A\mathbb{Z}$（$\mathbb{Z}$ の生成元が $\mathbb{Z}^2$ に $A$ で作用する半直積）である。たとえば $A=\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$ に当てはまる。
要点：固有ベクトルの座標で $A$ を対角行列 $\operatorname{diag}(\mu,\mu^{-1})$ にすると、その作用と $z$ 方向のずらしを組み合わせた写像が $\mathrm{Sol}$ の左からの積になる。
証明を開く
固有値を $\mu,\mu^{-1}$ とすると $\mu+\mu^{-1}=\operatorname{tr}A>2$、$\mu\mu^{-1}=1$ なので、$\mu>1>\mu^{-1}>0$ は相異なる実数である。固有ベクトル $v_+$、$v_-$（$Av_\pm=\mu^{\pm1}v_\pm$）は $\mathbb{R}^2$ の基底なので、線形同型 $L(sv_++rv_-):=(s,r)$ が定まり、$LAL^{-1}=D:=\operatorname{diag}(\mu,\mu^{-1})$ である。$\Lambda:=L(\mathbb{Z}^2)$ は格子で、$A\mathbb{Z}^2=\mathbb{Z}^2$（$\det A=1$）から $D\Lambda=\Lambda$ である。
$c:=\log\mu>0$ とおき、$\mathrm{Sol}$ の左からの積として $\tau_\lambda:=L_{(\lambda_1,\lambda_2,0)}$（$\lambda\in\Lambda$）と $\sigma:=L_{(0,0,-c)}$ を考える。式で書けば $\tau_\lambda(x,y,z)=(x+\lambda_1,y+\lambda_2,z)$、$\sigma(x,y,z)=(\mu x,\mu^{-1}y,z-c)$ で、どちらも $\mathrm{Sol}$ の等長変換である。直接の計算で $\sigma\tau_\lambda\sigma^{-1}=\tau_{D\lambda}$ となる。よって $\Gamma:=\{\sigma^k\tau_\lambda\mid k\in\mathbb{Z},\lambda\in\Lambda\}$ は $\mathrm{Sol}$ の部分群で、$\lambda\mapsto L^{-1}\lambda$ により $\Gamma\cong\mathbb{Z}^2\rtimes_A\mathbb{Z}$ である。群の元としては $\sigma^k\tau_\lambda=(\mu^k\lambda_1,\mu^{-k}\lambda_2,-kc)$ なので、$D^k\Lambda=\Lambda$ から $\Gamma$ は集合として $\Lambda\times c\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}^3$ に等しく、離散部分群である。
$\{\tau_\lambda\}$ による商は $(\mathbb{R}^2/\Lambda)\times\mathbb{R}$ で、$\sigma$ はそこに $(p,z)\mapsto(\bar Dp,z-c)$（$\bar D$ は $D$ の誘導する写像）として働く。これは $z$ を $c$ ずらすので、生成する $\mathbb{Z}$ の作用は自由で真性不連続であり、商はコンパクト（$(\mathbb{R}^2/\Lambda)\times[0,c]$ の像）である。よって $\Gamma$ は $\mathrm{Sol}$ に自由かつ真性不連続に作用し、$N:=\mathrm{Sol}/\Gamma$ は $\mathrm{Sol}$ 構造をもつ閉多様体で、prop-gc-compact-model の 1 により $\pi_1(N)\cong\Gamma$ である。
最後に $N$ を写像トーラスと同一視する。$\Phi(p,t):=[p,ct]$ は $(\mathbb{R}^2/\Lambda)\times[0,1]$ から $N$ への全射で、$\Phi(p,1)=[p,c]=[\sigma(p,c)]=[\bar Dp,0]=\Phi(\bar Dp,0)$ を満たし、ほかの点は同一視しない。よって $\Phi$ は $T_{\bar D}$ から $N$ への全単射を誘導する。貼り合わせに沿った局所座標では $z=ct$ の座標変換にすぎないので、これは微分同相写像である。$L$ が誘導する $h\colon\mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2\to\mathbb{R}^2/\Lambda$ は $hf_A=\bar Dh$ を満たすので、$[x,t]\mapsto[h(x),t]$ は $T_{f_A}$ から $T_{\bar D}$ への微分同相写像である。$\square$
$T_{f_A}$ のファイバーのトーラスは非圧縮で、thm-gc-jsj の分解はこのトーラス 1 枚からなる（切り開くと $T^2\times[0,1]$ になる）。それでも $T_{f_A}$ 全体は 1 つの幾何 $\mathrm{Sol}$ をもつ（AFW15 Theorem 1.18、p. 15 と p. 16 の注意）。トーラス分解の部品と幾何の部品は、この点で少しずれる。
幾何化定理
$M$ を向き付け可能で既約な 3 次元閉多様体とする。
- 互いに交わらない非圧縮なトーラス $T_1,\dots,T_k$（$k=0$ も許す）で、$M$ を $T_1\cup\cdots\cup T_k$ に沿って切り開いた各成分が、内部に体積有限の完備な双曲計量をもつか Seifert 多様体であるものがある。このような組で個数が最小のものはイソトピーを除いて一意である。
- 互いに交わらない非圧縮なトーラスと Klein の壺 $S_1,\dots,S_l$ で、$M$ を $S_1\cup\cdots\cup S_l$ に沿って切り開いた各成分が幾何多様体であるもの（各成分の内部が 8 つの幾何のどれかの構造をもつもの）がある。
thm-gc-prime-decomposition と合わせると、向き付け可能な 3 次元閉多様体はすべて次のように理解される：素分解し、既約でない素因子 $S^1\times S^2$（$S^2\times\mathbb{R}$ 多様体）を除いた各因子を、非圧縮なトーラスで双曲的な部品と Seifert 多様体に切り分ける。
主張 1 は、thm-gc-jsj に次の 2 つの定理を合わせたものである（AFW15 Theorem 1.12・1.13 と p. 13 の説明）。
- 楕円化定理：向き付け可能な 3 次元閉多様体で基本群が有限なものは、正の定曲率の計量をもつ。
- 双曲化定理：向き付け可能で既約なコンパクト 3 次元多様体で、境界が空かトーラスの和であり、基本群が無限で、次の意味でアトロイダルなものは、$S^1\times D^2$、$T^2\times[0,1]$、Klein の壺の上のねじれた区間束の 3 つを除いて、内部に体積有限の完備な双曲計量をもつ。ここでのアトロイダルは、トーラスからの写像で基本群に単射を誘導するものがどれも境界へホモトープできることをいう（AFW15 p. 9、Theorem 1.13、p. 13）。thm-gc-jsj の埋め込まれたトーラスだけを見る条件より強く、差が出るのは底が種数 $0$ で境界成分と錐点が合わせて 3 個の Seifert 多様体の一部に限られる（同 p. 9）。除いた 3 つとこれらの多様体は、主張 1 では Seifert 多様体の部品に入る。双曲化定理の与える双曲構造は Mostowの剛性定理 により等長を除いて一意である（AFW15 Theorem 1.10、p. 11）。
歴史：Thurston は 1980 年代のはじめにこの予想を述べ、非圧縮な曲面を含む既約な多様体（Haken 多様体）について双曲化を証明した。一般の場合は Perelman が 2002–2003 年のプレプリントで Hamilton の Ricci流 を使って解いた（AFW15 p. 12、MT08 p. 1）。手術つきの Ricci 流を全時刻で走らせると、時間が十分たったとき、多様体は双曲計量に近い「厚い部分」と、崩壊した「薄い部分」に分かれ、薄い部分はグラフ多様体（Seifert 多様体を非圧縮なトーラスで貼り合わせたもの）になる。両者の境界は非圧縮なトーラスで、これが主張の分解を与える（MT08 Introduction、pp. 5–7、p. 9）。
帰結：基本群が有限な閉多様体
幾何化定理の主張 1 から、基本群が有限な場合の分類と Poincaré 予想を導く。主張 1 は上で述べたように楕円化定理と双曲化定理を合わせて得られる定理なので、ここでの導き方は楕円化定理の独立な証明ではない。楕円化定理も双曲化定理も Perelman の証明が与えるものであり（AFW15 p. 12）、ここで確かめるのは、主張 1 の結論（双曲的か Seifert 多様体）が、基本群が有限な場合には $S^3$ の商しか残さないこと、すなわち主張 1 が楕円化の結論を含んでいることである。証明に使うのは thm-gc-prime-decomposition、thm-gc-main の 1、Seifert 多様体と 6 つの幾何の対応（AFW15 Theorem 1.17）、prop-gc-compact-model である。
群 $G_1,\dots,G_r$ の自由積 $G_1*\cdots*G_r$ が有限なら、自明でない $G_i$ は高々 1 つである。
要点：異なる因子の自明でない元の積の冪はすべて異なる。
証明を開く
$G_i$ と $G_j$（$i\ne j$）がともに自明でないとし、$1\ne a\in G_i$、$1\ne b\in G_j$ をとる。$n\ge1$ について $(ab)^n=abab\cdots ab$ は、隣り合う文字が異なる因子に属する自明でない元の列なので、自由積の正規形の定理により長さ $2n$ の既約な語であり、$n$ ごとに異なる元を表す。よって自由積は無限である。$\square$
$M$ を向き付け可能な 3 次元閉多様体とし、$\pi_1(M)$ が有限であるとする。このとき $M$ は $S^3/\Gamma$（$\Gamma$ は $S^3$ の等長変換群 $\mathrm{O}(4)$ の有限部分群で、$S^3$ に自由に作用し、$\Gamma\cong\pi_1(M)$）と微分同相である。とくに $M$ が単連結なら $M$ は $S^3$ と微分同相である。
要点：素因子のうち基本群が自明でないものは高々 1 つで、基本群が有限な素な閉多様体は非圧縮なトーラスを含まないので、それ自身が双曲的か Seifert 多様体である。双曲的なら基本群は無限なので Seifert 多様体で、幾何は $S^3$ しかない。
証明を開く
段 1（基本群が有限な素な閉多様体）．$P$ を向き付け可能な素な 3 次元閉多様体で $\pi_1(P)$ が有限なものとする。$\pi_1(S^1\times S^2)\cong\mathbb{Z}$ は無限なので $P\ne S^1\times S^2$ で、$P$ は既約である（Hat3M Proposition 1.4、p. 6）。$P$ に thm-gc-main の 1 を当てる。非圧縮なトーラス $T$ があれば $\mathbb{Z}^2\cong\pi_1(T)$ が有限群 $\pi_1(P)$ に単射で入るので、トーラスはない（$k=0$）。よって $P$ 自身が双曲的か Seifert 多様体である。$P$ が双曲的なら、$P$ の普遍被覆は $\mathbb{H}^3$ と等長で $P$ は $\mathbb{H}^3$ 多様体なので（双曲多様体 の定理「双曲多様体の構造」、AFW15 p. 14）、prop-gc-compact-model の 2 により $\pi_1(P)$ は無限になり、矛盾する。よって $P$ は Seifert 多様体で、閉なので AFW15 Theorem 1.17 の例外に当たらず、6 つの幾何のどれか $X$ の構造をもつ。prop-gc-compact-model の 2 により $X=S^3$ で、1 により $P\cong S^3/\Gamma$、$\Gamma\cong\pi_1(P)$ である。$\Gamma$ が自明なら $P\cong S^3$ である。
段 2（素分解）．thm-gc-prime-decomposition により $M\cong P_1\#\cdots\#P_r$、$\pi_1(M)\cong\pi_1(P_1)*\cdots*\pi_1(P_r)$ である。各 $\pi_1(P_i)$ は有限群 $\pi_1(M)$ の部分群と同型なので有限であり、lem-gc-free-product により自明でないものは高々 1 つである。段 1 により基本群が自明な $P_i$ は $S^3$ と微分同相で、$S^3$ は連結和の単位元なので取り除ける。自明でないものがなければ $M\cong S^3$ で、あれば $M$ はその因子 $P_i\cong S^3/\Gamma$ と微分同相で $\Gamma\cong\pi_1(P_i)\cong\pi_1(M)$ である。どちらの場合も主張が成り立つ。$\square$
単連結な場合が Poincaré予想 であり、その記事は単連結な 3 次元閉多様体がホモトピー球面であることを示したうえで、Perelman の定理を直接引用している。ここでの導き方は、幾何化定理の特別な場合として Poincaré 予想を得る道筋である（AFW15 p. 12）。
単連結・閉・基本群が有限の仮定は外せない（向き付け可能の仮定は、閉で基本群が有限なら自動的に満たされる。AFW15 p. 13）。
| 外す・弱める条件 | 例・反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 単連結（基本群が有限、に弱める） | レンズ空間 $L(p;q)$（$p\ge2$） | $S^3$ と同相（ex-gc-elliptization-counter の 1） |
| 閉 | $\mathbb{R}^3$（単連結な $\mathbb{E}^3$ 多様体） | $S^3/\Gamma$ と同相（$\mathbb{R}^3$ はコンパクトでない） |
| 基本群が有限（各素因子の基本群が有限、に弱める） | $\mathbb{RP}^3\#\mathbb{RP}^3$ | $S^3/\Gamma$ と微分同相（基本群が無限になる。ex-gc-elliptization-counter の 2） |
- レンズ空間 $L(p;q)$（$p\ge2$）は閉で向き付け可能で、基本群 $\mathbb{Z}/p$ は有限だが自明でない（ex-gc-lens）。$S^3$ は単連結なので $L(p;q)$ は $S^3$ と同相でない。したがって「基本群が有限な 3 次元閉多様体は $S^3$ と同相」は成り立たず、cor-gc-elliptization の結論は $S^3/\Gamma$ までである。
- $\mathbb{RP}^3=L(2;1)$ の 2 つの連結和 $\mathbb{RP}^3\#\mathbb{RP}^3$ では、各因子の基本群 $\mathbb{Z}/2$ は有限だが、thm-gc-prime-decomposition により基本群は $\mathbb{Z}/2*\mathbb{Z}/2$ で、lem-gc-free-product により無限である。よって「基本群が有限な多様体の連結和は基本群が有限」は成り立たない。この多様体は素でないが、幾何 $S^2\times\mathbb{R}$ をもつ Seifert 多様体である（AFW15 p. 10 の注意 (1)、Theorem 1.17、Table 1）。幾何多様体が素とは限らないこと、そして素分解のあとで幾何を考える理由をこの例は示している。
関連項目
- 前提: 連結和, 基本群, 普遍被覆空間
- 比較: Poincaré予想, 一意化定理(Riemann面)
- 例: レンズ空間, 写像トーラス, Heisenberg群, 双曲多様体
- 発展: Ricci流, Mostowの剛性定理, Bianchi分類
参考文献
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