γフィルトレーション

1．$t\mapsto t/(1-t)$ の代入 $\sum a_kt^k\mapsto\sum a_kt^k(1-t)^{-k}$ は $R[\![t]\!]$ の環準同型なので、$\lambda_t(x+y)=\lambda_t(x)\lambda_t(y)$（λ環 の命題「全 $\lambda$ 類による言い換え」）を保つ。$t^0$、$t^1$ の係数は $\lambda^0(x)=1$、$\lambda^1(x)=x$ である。
2．$(1-t)^{-j}=\sum_{m\ge0}\binom{j+m-1}{m}t^m$ なので、$\gamma_t(x)$ の $t^k$ の係数は $\sum_{j=0}^k\lambda^j(x)\binom{k-1}{k-j}$ である。一方 $\lambda_t(k-1)=(1+t)^{k-1}$ から $\lambda^{k-j}(k-1)=\binom{k-1}{k-j}$ であり、$\lambda^k(x+k-1)=\sum_j\lambda^j(x)\lambda^{k-j}(k-1)$ は同じ値である。$\gamma_t(1)=1+\frac{t}{1-t}=\frac{1}{1-t}$ である。
3．1・2 により $\gamma_t(\ell-1)=\gamma_t(\ell)\gamma_t(1)^{-1}=\bigl(1+\frac{\ell t}{1-t}\bigr)(1-t)=1+(\ell-1)t$ である。
4．$f$ を係数ごとに施すと $\lambda_t(f(x))=f(\lambda_t(x))$ であり、代入 $t\mapsto t/(1-t)$ と可換である。$\square$

prop-gamma-basic の 1・2 により $\gamma_t(x-r)=\gamma_t(x)\gamma_t(1)^{-r}=(1-t)^r\sum_{k=0}^r\lambda^k(x)t^k(1-t)^{-k}$ であり、これが主張の式である。各項は $t$ の $r$ 次の多項式なので 1 が従う。$R[t]$ の等式に $t=1$ を代入すると、右辺では $k=r$ の項 $\lambda^r(x)$ だけが残り、左辺は $\sum_k\gamma^k(x-r)$ なので 2 が従う。3 は prop-gamma-basic の 1・3 から $\gamma_t(x-r)=\prod_{i=1}^r\bigl(1+(\ell_i-1)t\bigr)$ となることによる。$\square$

1．$\ker\varepsilon$ はイデアルで、$x\in\ker\varepsilon$ について $\varepsilon(\gamma^k(x))=\gamma^k(\varepsilon(x))=\gamma^k(0)=0$（prop-gamma-basic の 4）なので、生成元はすべて $\ker\varepsilon$ に入る。逆に $x=\gamma^1(x)$ なので $F^1=\ker\varepsilon$ である。生成元どうしの積は、$k_i$ の和を足し合わせた生成元なので $F^nF^m\subset F^{n+m}$（$n,m\ge1$）である。$y\in R$ は $y=\varepsilon(y)\cdot1+(y-\varepsilon(y)\cdot1)$ と書けて第 2 項は $F^1$ に入るので、$yF^n\subset F^n+F^{n+1}=F^n$ であり、$F^n$ はイデアルである。
2．定義と 1 から従う。
3．$f$ は γ演算と可換で（prop-gamma-basic の 4）、$f(\ker\varepsilon)\subset\ker\varepsilon'$ なので、生成元を生成元へ写す。
4．$(F^1)^n\subset F^n$ は 2 である。逆に $x=\sum_ac_a(\ell_a-1)\in F^1$（$c_a\in\mathbb{Z}$）とすると、prop-gamma-basic の 1・3 により
$$ \gamma_t(x)=\prod_a\bigl(1+(\ell_a-1)t\bigr)^{c_a}=\prod_a\sum_{j\ge0}\binom{c_a}{j}(\ell_a-1)^jt^j $$
である（$c_a<0$ でも二項級数は整数係数）。よって $\gamma^k(x)$ は $\ell_a-1$ の $k$ 個の積の整数係数一次結合であり、$\varepsilon(\ell_a-1)=0$ なので $(F^1)^k$ に入る。生成元 $\prod_i\gamma^{k_i}(x_i)$ は $(F^1)^{\sum k_i}\subset(F^1)^n$ に入る。$\square$

1．要点：$E'$、$E''$ の階数を $r'$、$r''$ とし、局所的に $s'\in\bigwedge^{r'}E'$、$s''\in\bigwedge^{r''}E''$ に対し $s'\wedge\tilde s''$（$\tilde s''$ は $s''$ の $E$ への持ち上げ）を対応させる。

準同型．$[L\otimes M]-1-([L]-1)-([M]-1)=([L]-1)([M]-1)\in F^2$（prop-gamma-filtration-basic の 1）。
全射．$F^1$ の元 $x=[E]-[E']$ は $\operatorname{rank}E=\operatorname{rank}E'=:r$ を満たすので、$x=([E]-r)-([E']-r)$ である。thm-gamma-dimension の 2 を $[E]$ に当てると $\sum_{k=0}^r\gamma^k([E]-r)=\lambda^r[E]=[\det E]$ なので、
$$ [\det E]-1-([E]-r)=\sum_{k\ge2}\gamma^k([E]-r)\in F^2 $$
である（prop-gamma-filtration-basic の 2）。よって $[E]-r\equiv\varphi(\det E)\pmod{F^2}$ であり、$\varphi$ は全射である。
$\det(F^2)$ は自明．$F^2$ の生成元 $g=\prod_i\gamma^{k_i}(x_i)$（$\sum k_i\ge2$、$x_i\in F^1$）をとる。各 $x_i$ は有限個のベクトル束 $E$ の $[E]-\operatorname{rank}E$ の整数係数一次結合である。lem-gamma-det の 2 の $f\colon X'\to X$ をそれらのベクトル束についてとると、$K_0(X')$ で $f^*([E]-\operatorname{rank}E)=\sum_j([L_j]-1)$（$L_j$ は直線束）となる。$f^*$ は λ演算、したがって γ演算と可換なので、prop-gamma-filtration-basic の 4 の証明と同じ計算により、$f^*g$ は $[L]-1$ の形の元を $2$ 個以上掛けた積の整数係数一次結合である。積の 3 個目以降を展開すると、$f^*g$ は $([L]-1)([M]-1)[N]$（$L,M,N$ は直線束）の整数係数一次結合になり、
$$ \det\bigl(([L]-1)([M]-1)[N]\bigr)=\det\bigl([LMN]-[LN]-[MN]+[N]\bigr)=LMN\otimes(LN)^{-1}\otimes(MN)^{-1}\otimes N\cong\mathcal{O} $$
である。よって $f^*\det g=\det f^*g\cong\mathcal{O}$ であり、$f^*$ は Pic の上で単射なので $\det g\cong\mathcal{O}$ である。
同型．$\det$ は $F^1$ 上の準同型で $F^2$ を消すので、準同型 $\overline{\det}\colon F^1/F^2\to\operatorname{Pic}X$ を引き起こす。$\overline{\det}\circ\varphi(L)=\det([L]-[\mathcal{O}])=L$ なので $\varphi$ は単射であり、全射とあわせて同型、逆写像は $\overline{\det}$ である。$\square$