多重ポテンシャル論

同義語：pluripotential theory

概要

前提知識: 多重劣調和関数, 劣調和関数, 調和関数

多重ポテンシャル論（pluripotential theory）は、$\mathbb{C}^n$ や複素多様体の上の多重劣調和関数を、平面の古典的なポテンシャル論（劣調和関数と調和関数の理論）の多変数版として調べる理論である。1 変数で劣調和関数の Laplace 作用素 $\Delta u$ が果たす役割を、多変数では複素 Monge–Ampère 作用素 $\det\bigl(\partial^2u/\partial z_j\partial\bar z_k\bigr)$ が果たす。これは $n\ge2$ では非線形な作用素であり、そこから 1 変数にない現象と技術が生まれる。
中心になる対象は次の 3 つである。多重劣調和関数が $-\infty$ になる点の集合である多重極集合（pluripolar set）、複素 Monge–Ampère 作用素、そして調和関数の役割を引き継ぐ極大多重劣調和関数である。この記事では、これらを定義し、多重極集合の基本的な例と性質（解析的集合は多重極、多重極集合は測度 $0$、可算個の和、$\mathbb{R}^n$ は多重極でないこと）を証明する。主定理として、$C^2$ 級の関数についての Monge–Ampère 作用素の比較原理を証明し、極大性との関係を述べる。$C^2$ 級でない関数への Monge–Ampère 作用素の拡張（Bedford–Taylor）は所在を示して述べる。

1 変数との対応

古典的なポテンシャル論（$\mathbb{C}$）	多重ポテンシャル論（$\mathbb{C}^n$）
劣調和関数	多重劣調和関数
Laplace 作用素 $\partial^2u/\partial z\partial\bar z=\frac14\Delta u$（線形）	複素 Monge–Ampère 作用素 $\det\bigl(\partial^2u/\partial z_j\partial\bar z_k\bigr)$（非線形）
調和関数（$\Delta u=0$）	極大多重劣調和関数（$C^2$ 級なら $\det=0$）
極集合（劣調和関数の $-\infty$ の集合）	多重極集合
$\Delta\log\lvert z\rvert=2\pi\delta_0$	$(dd^c\log\lvert z\rvert)^n=\delta_0$
調和関数との比較原理	Monge–Ampère 作用素の比較原理

表の各行の多変数の側は、この記事の def-pp-pluripolar、def-pp-ma、def-pp-maximal、thm-pp-comparison と、rem-pp-bedford-taylor で扱う。

記号

$\mathbb{C}^n$ の座標を $z=(z_1,\dots,z_n)$ とし、$dV$ を $\mathbb{C}^n=\mathbb{R}^{2n}$ の Lebesgue 測度とする。開集合 $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ 上の多重劣調和関数の全体を $\mathrm{Psh}(\Omega)$ と書く（多重劣調和関数の定義「多重劣調和関数」。恒等的に $-\infty$ の関数も含む）。実数値 $C^2$ 級関数 $u$ について、Hermite 行列
$$ H_u(z):=\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial z_j\partial\bar z_k}(z)\Bigr)_{j,k=1}^n $$
を複素 Hessian という。$b\in\mathbb{C}^n$ について ${}^t b\,H_u(z)\,\bar b$ は多重劣調和関数の定義「Levi 形式」の $L_u(z;b)$ であり、多重劣調和関数の定理「$C^2$ 級の関数の多重劣調和性の判定」により、$u$ が多重劣調和であることと各点で $H_u\ge0$（半正定値）であることは同値である。Hermite 行列 $A,B$ について $A\ge B$ は $A-B\ge0$ を意味し、$A>0$ は正定値を意味する。

多重極集合

$\Omega\subset\mathbb{C}^n$ を開集合とする。部分集合 $A\subset\Omega$ が多重極であるとは、各点 $x\in\Omega$ に連結な開近傍 $W\subset\Omega$ と、恒等的に $-\infty$ でない $u\in\mathrm{Psh}(W)$ があり、$A\cap W\subset\{z\in W\mid u(z)=-\infty\}$ となることをいう。さらに $A\cap W=\{u=-\infty\}$ となる $u$ がとれるとき、$A$ を完全多重極という。$n=1$ では多重極集合を極集合という。

解析的集合

$g_1,\dots,g_N$ を連結な開集合 $W$ の上の正則関数とし、少なくとも 1 つは恒等的に $0$ でないとする。$u:=\log(|g_1|^2+\dots+|g_N|^2)$ は多重劣調和で（多重劣調和関数の例「正則関数の絶対値の 2 乗和の対数」）、共通零点の集合 $Z=\{g_1=\dots=g_N=0\}$ の上でちょうど $-\infty$ になる。$u$ は恒等的に $-\infty$ ではない。したがって、各点の連結な近傍の上で、恒等的に $0$ でない関数を含む有限個の正則関数の共通零点として書ける集合（解析集合(複素解析) の典型的な形）は完全多重極である。とくに複素超平面 $\{z_n=0\}$ は $\log|z_n|$ により完全多重極であり、1 点 $\{a\}$ は $\log|z-a|$ により完全多重極である。

多重極集合は測度 0

多重極集合は Lebesgue 測度 $0$ である。

$A\subset\Omega$ を多重極とし、$x\in\Omega$ について def-pp-pluripolar の $W$ と $u$ をとる。多重劣調和関数の定理「多重劣調和関数は劣調和」により $u$ は $\mathbb{R}^{2n}$ の連結な開集合 $W$ の上の劣調和関数で、恒等的に $-\infty$ でないので、多重劣調和関数の補題「劣調和関数の局所可積分性」により $W$ の上でほとんどいたるところ有限である。よって $A\cap W$ は測度 $0$ である。$\Omega$ はこのような $W$ の可算個で覆える（$\mathbb{R}^{2n}$ の開集合は第 2 可算）ので、$A$ は測度 $0$ である。$\square$

可算個の和

$\Omega\subset\mathbb{C}^n$ を連結な開集合とし、各 $j\ge1$ について恒等的に $-\infty$ でない $u_j\in\mathrm{Psh}(\Omega)$ が $\Omega$ の上で $u_j\le0$ を満たすとする。$E_j:=\{u_j=-\infty\}$ とおくと、恒等的に $-\infty$ でない $u\in\mathrm{Psh}(\Omega)$ で、$\bigcup_jE_j\subset\{u=-\infty\}$ となるものがある。

prop-pp-null の証明により各 $E_j$ は測度 $0$ なので、和 $\bigcup_jE_j$ も測度 $0$ であり、その外の点 $a\in\Omega$ がとれる。$u_j(a)>-\infty$ なので、$\varepsilon_j:=2^{-j}/(1+|u_j(a)|)>0$ とおき、$s_N:=\sum_{j=1}^N\varepsilon_ju_j$ とする。$s_N$ は多重劣調和で（多重劣調和関数の命題「和・最大値・上限・合成・減少極限」の 1）、$u_j\le0$ から $s_1\ge s_2\ge\cdots$ である。同じ命題の 5 により極限 $u:=\lim_Ns_N$ は多重劣調和である。$u(a)\ge-\sum_j2^{-j}=-1$ なので $u$ は恒等的に $-\infty$ でない。$z\in E_j$ なら $s_N(z)\le\varepsilon_ju_j(z)=-\infty$（$N\ge j$）なので $u(z)=-\infty$ である。$\square$

可算集合

$\{a_1,a_2,\dots\}$ を有界な開集合 $\Omega\subset\mathbb{C}^n$（連結とする）の点列とし、$R:=1+\sup_{z,w\in\Omega}|z-w|$ とおく。$u_j(z):=\log(|z-a_j|/R)$ は多重劣調和で、$\Omega$ の上で $u_j\le0$、$\{u_j=-\infty\}=\{a_j\}$ である。prop-pp-countable により、可算集合は多重極である。たとえば単位円板 $D(0,1)\subset\mathbb{C}$ の中の $\mathbb{Q}+i\mathbb{Q}$ の点の全体は、$D(0,1)$ で稠密な極集合である。多重極集合は測度 $0$ で「小さい」が、位相的に小さいとは限らない。

実の部分空間は多重極でない

多重極集合は測度 $0$ だが、逆は成り立たない。$\mathbb{R}^n\subset\mathbb{C}^n$ は測度 $0$ だが多重極でない。証明の要は 1 変数の次の補題である。

線分の上で $-\infty$ になる劣調和関数

$v$ を開円板 $D(0,2)\subset\mathbb{C}$ の上の劣調和関数とし、実軸の線分 $[-1,1]$ の上で $v=-\infty$ とする。このとき $D(0,2)$ の上で $v\equiv-\infty$ である。

要点：線分 $[-1,1]$ の補集合の Green 関数 $g$（線分の上で $0$、外で正の調和関数）を使い、$v\le M-c(m-g)$ を比較原理で示して $c\to\infty$ とする。

詳しい証明を開く

段 1（$g$ の構成）：$J(\zeta):=\frac12(\zeta+\zeta^{-1})$ とおく。$w\in\mathbb{C}$ について $J(\zeta)=w$ は $\zeta^2-2w\zeta+1=0$ と同値で、2 根の積は $1$ である。根 $\zeta$ が $|\zeta|=1$ なら $w=\frac12(\zeta+\bar\zeta)=\operatorname{Re}\zeta\in[-1,1]$ である。よって $w\notin[-1,1]$ なら根は単位円周の上になく、積が $1$ なのでちょうど 1 つが $|\zeta|>1$ を満たす。$w\in[-1,1]$ なら判別式 $w^2-1\le0$ から 2 根は $w\pm i\sqrt{1-w^2}$ で絶対値 $1$ である。したがって $J$ は $\{|\zeta|>1\}$ から $\mathbb{C}\setminus[-1,1]$ への全単射な正則関数で、開写像定理(複素解析) の系「単射な正則写像の逆写像」により逆写像 $\zeta(z)$ も正則である。$g(z):=\log|\zeta(z)|$（$z\notin[-1,1]$）、$g:=0$（$z\in[-1,1]$）とおく。$g$ は $\mathbb{C}\setminus[-1,1]$ の上で正で、零点のない正則関数の絶対値の対数なので多重調和（多重劣調和関数の例「基本的な例」の 3）、すなわち劣調和かつ優調和で、調和である（劣調和関数の系「調和関数は劣調和かつ優調和な関数である」）。$z_k\to x\in[-1,1]$（$z_k\notin[-1,1]$）なら $|\zeta(z_k)|\to1$ である：そうでなければ部分列で $\zeta(z_k)\to\infty$（このとき $z_k=J(\zeta(z_k))\to\infty$）か $\zeta(z_k)\to\zeta^*$、$|\zeta^*|>1$（このとき $J(\zeta^*)=x\in[-1,1]$）となり、どちらも起こらない。よって $g$ は $\mathbb{C}$ の上で連続である。

段 2（比較）：$v\not\equiv-\infty$ と仮定して矛盾を導く。$v$ は上半連続なので閉円板 $\overline D(0,3/2)$ の上で $v\le M$ となる実数 $M$ がある。$m:=\min_{|z|=3/2}g>0$ とし、$G:=D(0,3/2)\setminus[-1,1]$ とおく。$c>0$ について $h_c:=M+c(g-m)$ は $G$ の上の調和関数である。円周 $|z|=3/2$ の点 $\xi$ では $\limsup_{z\to\xi}(v-h_c)(z)\le M-\bigl(M+c(g(\xi)-m)\bigr)\le0$（$g\ge m$、$g$ は連続）、線分の点 $x$ では上半連続性から $\limsup_{z\to x}v(z)\le v(x)=-\infty$ で $h_c$ は有界なので $\limsup(v-h_c)=-\infty$ である。劣調和関数の定理「劣調和関数の比較原理」により $G$ の上で $v\le M-c(m-g)$ である。

段 3（結論）：$g$ は連続で線分の上で $0$ なので、$U:=\{z\in G\mid g(z)< m\}$ は空でない開集合である（たとえば十分小さい $\delta>0$ について $i\delta\in U$）。$U$ の点で $c\to\infty$ とすると $v=-\infty$ である。$v$ は空でない開集合の上で $-\infty$ になり、多重劣調和関数の補題「劣調和関数の局所可積分性」（$\mathbb{R}^2$ の連結な開集合 $D(0,2)$）に反する。$\square$

実の部分空間は多重極でない

$\Omega\subset\mathbb{C}^n$ を連結な開集合、$u\in\mathrm{Psh}(\Omega)$ とし、$\mathbb{C}^n$ の開集合 $V\subset\Omega$ で $V\cap\mathbb{R}^n\ne\emptyset$ となるものの上で、$V\cap\mathbb{R}^n$ において $u=-\infty$ とする。このとき $u\equiv-\infty$ である。とくに $\mathbb{R}^n$ の空でない開集合は $\mathbb{C}^n$ の多重極集合でない。

$x_0\in V\cap\mathbb{R}^n$ と $r>0$ を $B(x_0,3r)\subset V$ となるようにとる。$z=x+iy\in B(x_0,r)$（$x,y\in\mathbb{R}^n$）とする。$y=0$ なら $z\in V\cap\mathbb{R}^n$ で $u(z)=-\infty$ である。$y\ne0$ なら $e:=y/|y|\in\mathbb{R}^n$ とおき、$\zeta\in\mathbb{C}$ について $\lambda(\zeta):=x+\zeta e$ とする。$|\zeta|<2r$ なら $|\lambda(\zeta)-x_0|\le|z-x_0|+|\zeta|<3r$ なので、$v(\zeta):=u(\lambda(\zeta))$ は $D(0,2r)$ の上の劣調和関数である（多重劣調和関数の定義「多重劣調和関数」の 2）。$\zeta$ が実数なら $\lambda(\zeta)\in V\cap\mathbb{R}^n$ なので、$v$ は線分 $(-2r,2r)$ の上で $-\infty$ である。$\zeta\mapsto v(r\zeta)$ に lem-pp-segment を当てて $v\equiv-\infty$ であり、$|y|< r$ なので $u(z)=v(i|y|)=-\infty$ である。
よって $u$ は $B(x_0,r)$ の上で $-\infty$ であり、prop-pp-null の証明と同じく、恒等的に $-\infty$ でない多重劣調和関数はほとんどいたるところ有限なので、$u\equiv-\infty$ である。後半は、$\mathbb{R}^n$ の空でない開集合 $A$ の点 $x_0$ のまわりの連結な開近傍 $W$ と $u\in\mathrm{Psh}(W)$ で $A\cap W\subset\{u=-\infty\}$ となるものに前半を当てれば、$u\equiv-\infty$ となることから従う。$\square$

$\mathbb{R}^n$ は各点で接空間が $\mathbb{C}^n$ を複素数の係数で張る（完全実な）部分空間である。複素超平面 $\{z_n=0\}$ が多重極である（ex-pp-analytic）のと対照的に、複素方向をもたず実の次元が $n$ の部分空間 $\mathbb{R}^n$ は多重極でない（実の次元が $n$ より小さい部分空間は、$\mathbb{R}\times\{0\}\subset\{z_2=0\}\subset\mathbb{C}^2$ のように多重極になりうる）。

複素 Monge–Ampère 作用素

開集合 $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ の上の実数値 $C^2$ 級関数 $u$ について、
$$ \mathrm{MA}(u):=\det H_u=\det\Bigl(\frac{\partial^2u}{\partial z_j\partial\bar z_k}\Bigr)_{j,k} $$
を $u$ の複素 Monge–Ampère 作用素という。

$u$ が多重劣調和なら $H_u\ge0$ なので $\mathrm{MA}(u)\ge0$ である。$n=1$ では $\mathrm{MA}(u)=\frac14\Delta u$ で線形だが、$n\ge2$ では非線形である：$\mathbb{C}^2$ で $\mathrm{MA}(|z_1|^2)=\mathrm{MA}(|z_2|^2)=0$ だが $\mathrm{MA}(|z_1|^2+|z_2|^2)=1$ である。$dd^c=\frac{i}{\pi}\partial\bar\partial$ となるように $d^c$ を正規化すると、$C^2$ 級の $u$ について $n$ 次の外積は
$$ (dd^cu)^n=\frac{n!}{\pi^n}\,\mathrm{MA}(u)\;i\,dz_1\wedge d\bar z_1\wedge\cdots\wedge i\,dz_n\wedge d\bar z_n=\frac{2^nn!}{\pi^n}\,\mathrm{MA}(u)\,dV $$
である（Dem12 Ch. III §3 (3.2) の後、p. 145。$i\,dz\wedge d\bar z=2\,dx\wedge dy$ を使う）。多重ポテンシャル論では、この $(dd^cu)^n$ を正の測度として扱う。

対数関数

$\mathbb{C}^n\setminus\{0\}$ の上の $u(z)=\log|z|=\frac12\log(|z_1|^2+\dots+|z_n|^2)$ を考える。計算すると
$$ H_u(z)=\frac1{2|z|^2}\Bigl(\delta_{jk}-\frac{\bar z_jz_k}{|z|^2}\Bigr)_{j,k} $$
であり、括弧の中は $I$ から階数 $1$ の直交射影を引いたものなので、固有値は $0$（重複度 $1$）と $\frac1{2|z|^2}$（重複度 $n-1$）である。よって $\mathbb{C}^n\setminus\{0\}$ の上で $\mathrm{MA}(\log|z|)=0$ である。一方、原点まで含めると $(dd^c\log|z|)^n$ は原点の Dirac 測度 $\delta_0$ に等しい（Dem12 Ch. III (5.10)、p. 159。この記事では証明しない）。これは $\mathbb{C}$ での $\Delta\log|z|=2\pi\delta_0$ の多変数版にあたり（Dem12 p. 160 の冒頭）、$\log|z-a|$ は多重ポテンシャル論の基本解の役割を果たす。

主定理：比較原理

Hermite 行列の行列式の単調性

$A,B$ を $n$ 次の Hermite 行列とする。

$A\ge B>0$ なら $\det A\ge\det B$ である。
$B\ge0$、$\varepsilon>0$ なら $\det(B+\varepsilon I)>\det B$ である。

1：$B>0$ なので正定値の平方根 $B^{1/2}$ があり、$C:=B^{-1/2}AB^{-1/2}$ は $C-I=B^{-1/2}(A-B)B^{-1/2}\ge0$ を満たす。$C$ の固有値はすべて $1$ 以上なので $\det C\ge1$、すなわち $\det A=\det B\det C\ge\det B$ である。
2：$B$ の固有値を $\lambda_1,\dots,\lambda_n\ge0$ とすると $\det(B+\varepsilon I)=\prod_j(\lambda_j+\varepsilon)>\prod_j\lambda_j$ である。$\square$

$C^2$ 級の関数の比較原理

$\Omega\subset\mathbb{C}^n$ を有界な開集合とし、$u,v$ を $\Omega$ の上の実数値 $C^2$ 級関数で、$v$ は多重劣調和とする。$\Omega$ の上で $\mathrm{MA}(u)\le\mathrm{MA}(v)$ であり、すべての $\xi\in\partial\Omega$ について $\liminf_{z\to\xi,\ z\in\Omega}\bigl(u(z)-v(z)\bigr)\ge0$ なら、$\Omega$ の上で $u\ge v$ である。

ある $z_0\in\Omega$ で $u(z_0)< v(z_0)$ と仮定する。$\Omega\subset B(0,R)$ となる $R$ をとり、$\varepsilon>0$ について $v_\varepsilon(z):=v(z)+\varepsilon(|z|^2-R^2)$ とおく。$\Omega$ の上で $v_\varepsilon\le v$ であり、$\varepsilon$ を十分小さくとれば $u(z_0)< v_\varepsilon(z_0)$ である。
$w:=u-v_\varepsilon$ とおくと、$w(z_0)<0$ で、$w\ge u-v$ から境界の各点で $\liminf w\ge0$ である。$m:=\inf_\Omega w\in[-\infty,0)$ とし、$w(z_k)\to m$ となる点列をとる。$\Omega$ は有界なので部分列が $z^*\in\overline\Omega$ に収束する。$z^*\in\partial\Omega$ なら $\liminf w\ge0>m$ に反するので $z^*\in\Omega$ であり、連続性から $w(z^*)=m$（とくに $m$ は有限）である。$w$ は $z^*$ で最小値をとる $C^2$ 級関数なので、実の Hessian は $z^*$ で半正定値であり、$b\in\mathbb{C}^n$ について $\zeta\mapsto w(z^*+\zeta b)$ は $\zeta=0$ で最小なので、その Laplace 作用素 $4L_w(z^*;b)$（多重劣調和関数の補題「正則写像についての連鎖律」の 3）は $0$ 以上である。よって $H_w(z^*)\ge0$、すなわち
$$ H_u(z^*)\ge H_{v_\varepsilon}(z^*)=H_v(z^*)+\varepsilon I>0 $$
である（$H_{|z|^2}=I$、$H_v\ge0$）。lem-pp-det の 1 と 2 から
$$ \mathrm{MA}(u)(z^*)\ge\det\bigl(H_v(z^*)+\varepsilon I\bigr)>\det H_v(z^*)=\mathrm{MA}(v)(z^*) $$
となり、仮定 $\mathrm{MA}(u)\le\mathrm{MA}(v)$ に反する。$\square$

証明は、$v$ に強い多重劣調和関数 $\varepsilon|z|^2$ を少し足して不等式を狭義にし、最小点で複素 Hessian を比べるという、楕円型方程式の最大値原理と同じ型の議論である（最大値原理(楕円型偏微分方程式)）。$n=1$ では $\mathrm{MA}=\frac14\Delta$ なので、$\Delta u\le\Delta v$ のとき境界で $u\ge v$ なら内部でも $u\ge v$、という線形の比較原理になる。

Dirichlet 問題の解の一意性

$\Omega$ を有界な開集合とし、$u,v$ を $\overline\Omega$ の上で連続、$\Omega$ の上で $C^2$ 級の多重劣調和関数とする。$\Omega$ の上で $\mathrm{MA}(u)=\mathrm{MA}(v)$、$\partial\Omega$ の上で $u=v$ なら、$u=v$ である。

連続性から境界の各点で $\lim(u-v)=0$ なので、thm-pp-comparison を $(u,v)$ と $(v,u)$ に当てて $u\ge v$ と $v\ge u$ を得る。$\square$

極大多重劣調和関数

開集合 $\Omega\subset\mathbb{C}^n$ の上の $u\in\mathrm{Psh}(\Omega)$ が極大であるとは、閉包が $\Omega$ に含まれる有界な開集合 $G$ と、$\overline G$ の上で上半連続で $G$ の上で多重劣調和な関数 $v$ について、$\partial G$ の上で $v\le u$ ならば $G$ の上で $v\le u$ となることをいう。

$C^2$ 級の極大な関数

$C^2$ 級の極大多重劣調和関数 $u$ は $\mathrm{MA}(u)=0$ を満たす。
$n=1$ では、$C^2$ 級の劣調和関数が極大であることと調和であることは同値である。

1：ある $a\in\Omega$ で $\mathrm{MA}(u)(a)>0$ とする。$H_u(a)\ge0$ で行列式が正なので $H_u(a)>0$ であり、最小の固有値を $2c>0$ とすると、固有値の連続性から、閉包が $\Omega$ に含まれる球 $B(a,r)$ の上で $H_u\ge cI$ である。$0<\delta< c$ について $v(z):=u(z)+\delta(r^2-|z-a|^2)$ とおくと、$H_v=H_u-\delta I\ge0$ なので $v$ は $B(a,r)$ の上で多重劣調和で、$\overline B(a,r)$ の上で連続である。$|z-a|=r$ では $v=u$ だが、$v(a)=u(a)+\delta r^2>u(a)$ なので、$u$ は極大でない。
2：1 により、極大なら $\Delta u=4\,\mathrm{MA}(u)=0$ で調和である。逆に $u$ が調和なら、$v$ と $G$ を def-pp-maximal のとおりとすると、上半連続性から $\xi\in\partial G$ で $\limsup_{z\to\xi}(v-u)\le v(\xi)-u(\xi)\le0$ なので、劣調和関数の定理「劣調和関数の比較原理」により $G$ の上で $v\le u$ である。$\square$

$n\ge2$ では、$\mathbb{C}^n\setminus\{0\}$ の上の $\log|z|$（ex-pp-log）や、$\Delta h\not\equiv0$ の 1 変数の $C^2$ 級の劣調和関数 $h$（たとえば $h(\zeta)=\zeta\bar\zeta$）による $u(z)=h(z_1)$ のように、$\mathrm{MA}(u)=0$ でも調和でない多重劣調和関数が多くある。$C^2$ 級でない関数まで含めた極大性と $(dd^cu)^n=0$ の関係は、次の Bedford–Taylor の理論で扱われる。

有界な多重劣調和関数への拡張

局所有界な多重劣調和関数 $u$ について、Bedford–Taylor は $dd^cu\wedge T:=dd^c(uT)$（$T$ は閉正カレント、右辺は超関数の意味の微分）と定め、これを帰納的に使って $(dd^cu)^n$ を正の測度として定義した。$C^2$ 級なら上の $\frac{2^nn!}{\pi^n}\mathrm{MA}(u)\,dV$ と一致する（Dem12 Ch. III §3 (3.2)、p. 145。この記事では証明しない）。さらに、局所有界な多重劣調和関数の減少列 $u_k\downarrow u$ について $(dd^cu_k)^n$ は $(dd^cu)^n$ に弱収束する（Dem12 Ch. III Theorem (3.7)、p. 147。この記事では証明しない）。たとえば積 $dd^cu_1\wedge\dots\wedge dd^cu_q$ が $u_1,\dots,u_q$ について対称であることは、多重劣調和関数の定理「多重劣調和関数の平滑化」と同じ軟化 $u_j\ast\rho_{1/k}$ にこの連続性を当てて示される（Dem12 Ch. III Corollary (3.10)、p. 149）。$dd^cu$ 自体は正の $(1,1)$ カレントであり（カレント）、その点での集中の度合いを測るのが Lelong 数である（Dem12 Ch. III §5、pp. 158–159）。

仮定を外すと成り立たなくなること

外す条件	反例	成り立たなくなること
$v$ が多重劣調和（thm-pp-comparison）	単位球 $B\subset\mathbb{C}^2$ で $u=0$、$v=1-\lvert z\rvert^2$	$\mathrm{MA}(v)=1\ge0=\mathrm{MA}(u)$、境界で $u=v$ だが $v(0)>u(0)$
$\Omega$ が有界（thm-pp-comparison）	$\Omega=\mathbb{C}^2$、$u=0$、$v=\lvert z_1\rvert^2$	境界の条件はなく $\mathrm{MA}(u)=\mathrm{MA}(v)=0$ だが $u\ge v$ でない
可算個（prop-pp-countable）	$\mathbb{C}^n=\bigcup_a\{a\}$（非可算個の 1 点の和）	1 点は多重極だが、$\mathbb{C}^n$ は測度 $0$ でなく多重極でない
実の部分空間（thm-pp-real、複素超平面に替える）	$\{z_n=0\}\subset\mathbb{C}^n$	$\log\lvert z_n\rvert$ により多重極になる
多重極（prop-pp-null の逆）	$\mathbb{R}^n\subset\mathbb{C}^n$	測度 $0$ だが多重極でない

反例の確かめ

1 行目：$H_v=-I$ なので $n=2$ で $\mathrm{MA}(v)=\det(-I)=1$ だが、$H_v<0$ で $v$ は多重劣調和でない。$|z|=1$ で $v=0=u$ である。2 行目：$H_{|z_1|^2}=\mathrm{diag}(1,0)$ なので $\mathrm{MA}=0$ で、$v$ は多重劣調和である。$\partial\Omega=\emptyset$ なので境界の条件は空虚に成り立つ。3・4 行目は ex-pp-analytic、5 行目は thm-pp-real による。

補足

文献

def-pp-pluripolar の多重極集合は Dem12 Ch. I (5.22)（p. 44）、完全多重極集合は Ch. III (2.1)（p. 138）の定義に従う。Dem12 は同じ箇所で、多重極集合が測度 $0$ であること（p. 44）と、解析的集合が完全多重極であること（p. 138）を述べている。$C^2$ 級の Monge–Ampère 作用素と $(dd^cu)^n$ の関係は Dem12 p. 145 の式による。prop-pp-countable・lem-pp-segment・thm-pp-real・thm-pp-comparison・prop-pp-maximal の証明は、多重劣調和関数と劣調和関数の結果から組み立てたものである。