完全関手
概要
完全関手（exact functor）とは、アーベル圏の間の加法関手であって、任意の短完全列を短完全列に送るもの、同値に左完全（短完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ を完全列 $0\to F(A')\to F(A)\to F(A'')$ に送る）かつ右完全（$F(A')\to F(A)\to F(A'')\to0$ を完全にする）であるもののことをいう。核・余核・像を同型を除いて保つ関手であり、アーベル圏が十分な射影対象を持つとき、完全関手の高次の導来関手はすべて消える。
定義
アーベル圏の間の関手 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ は加法関手（加法圏の間の関手であって、各 Hom 集合のアーベル群の構造を保つもの）であるとする。$F$ が左完全（left exact）であるとは、任意の短完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ に対し
$$
0\to F(A')\to F(A)\to F(A'')
$$
が完全列になることをいい、右完全（right exact）であるとは、任意の短完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ に対し
$$
F(A')\to F(A)\to F(A'')\to0
$$
が完全列になることをいう。
アーベル圏の間の加法関手 $F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ が完全（exact）であるとは、$F$ が左完全かつ右完全であること、同値に、任意の短完全列 $0\to A\to B\to C\to0$ に対し
$$
0\to F(A)\to F(B)\to F(C)\to0
$$
が短完全列になることをいう。
直感
左完全関手は短完全列の左側（単射性）だけを保存し、右完全関手は右側（全射性）だけを保存する。完全関手はその両方を同時に満たすので、短完全列を丸ごと短完全列へ送る——すなわち「完全性の情報を一切損なわない」関手である。この意味で完全関手は、核・余核・像という圏論的な構成そのものと相性がよく、実際、性質の節で見るように核・余核・像をすべて（自然同型を除いて）保存する。
導来関手の観点からは、完全関手は「導来による補正が不要な関手」として特徴づけられる。$\mathcal A$ が十分な射影対象を持つとき、右完全関手 $F$ に対して $L_0F\cong F$ が成り立つが、$F$ がさらに完全であれば高次の左導来関手 $L_nF$（$n\ge1$）はすべて消える——完全関手はすでに「完全」なので、ホモロジー代数的に測定すべき欠損が最初から存在しないのである。
例
アーベル圏 $\mathcal A$ の対象 $X$ に対し、$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,-)\colon\mathcal A\to\mathbf{Ab}$（アーベル群の圏への表現可能関手）は常に左完全である。実際、短完全列 $0\to A'\xrightarrow{u}A\xrightarrow{v}A''\to0$ に対し $u_*:=\operatorname{Hom}(X,u)$、$v_*:=\operatorname{Hom}(X,v)$ とおく。$u$ がモノ射だから $u\circ a=0$ なら $a=0$ であり、$u_*$ は単射である。$v\circ u=0$ より $v_*\circ u_*=0$ である。逆に $b\colon X\to A$ が $v\circ b=0$ を満たすなら、短完全列において $u$ は $v$ の核を表す射である（完全列 の性質）から $b$ は $u$ を一意に経由し、$b=u_*(a)$ と書ける。ゆえに $\ker v_*=\operatorname{im}u_*$ であり、$0\to\operatorname{Hom}(X,A')\xrightarrow{u_*}\operatorname{Hom}(X,A)\xrightarrow{v_*}\operatorname{Hom}(X,A'')$ は完全である（Mac98 VIII。より一般に表現可能関手は極限(圏論)を保つ）。
$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,-)$ がさらに右完全である——すなわち完全関手である——ことと、$X$ が射影対象であることは同値である。これは射影対象の特徴づけ「任意のエピ射 $A\to A''$ に対し $\operatorname{Hom}(X,A)\to\operatorname{Hom}(X,A'')$ が全射である」にほかならない（入射対象・射影対象参照）。したがって、射影対象 $P$ に対する $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(P,-)$ は完全関手の具体例を与える。
環 $R$ と右 $R$ 加群 $M$ に対し、テンソル積関手 $M\otimes_R-\colon R\text{-}\mathbf{Mod}\to\mathbf{Ab}$ は右完全関手である。すなわち短完全列 $0\to A'\to A\to A''\to0$ に対し $M\otimes_RA'\to M\otimes_RA\to M\otimes_RA''\to0$ は完全である。一方、左完全とは限らない：$\mathbf{Ab}$ で $M=\mathbb Z/2\mathbb Z$ とし、短完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$ に $\mathbb Z/2\mathbb Z\otimes_{\mathbb Z}-$ を適用すると、左端の射は $\mathbb Z/2\mathbb Z\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z\cong\mathbb Z/2\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z/2\mathbb Z$、すなわち零射であり単射でない。右完全性の証明と、左完全性の欠損を測る $\operatorname{Tor}$ については 導来関手・Tor関手 に委ねる（Wei94 §2.6）。
$X$ が射影対象でない場合、$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,-)$ は左完全ではあるが完全とは限らない。たとえば $\mathbf{Ab}$ において $X=\mathbb Z/2\mathbb Z$ は射影対象ではない（自由加群の直和因子にならない。自由アーベル群の部分群は捩れを持たないからである）。短完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z\xrightarrow{\pi}\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$ に $\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,-)$ を適用する。$\mathbb Z$ には位数 $2$ の元がないので $\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,\mathbb Z)=0$ であり、$\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,\mathbb Z/2\mathbb Z)\cong\mathbb Z/2\mathbb Z$（生成元 $1$ の像で定まる）であるから、得られる列は
$$
0\to0\to0\to\mathbb Z/2\mathbb Z
$$
であり、右端の射 $0\to\mathbb Z/2\mathbb Z$ は全射でない。すなわち $\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,-)$ は「左完全である」という性質は満たすが「右完全である」という性質を満たさず、「左完全ならば完全である」という含意は成り立たない。この「崩れの度合い」を測るのが導来関手 $\operatorname{Ext}^1$（Ext関手）にほかならない。
性質
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手とする。$f\colon A\to B$ がモノ射であれば $F(f)$ はモノ射であり、$f$ がエピ射であれば $F(f)$ はエピ射である。
$f\colon A\to B$ をモノ射とする。アーベル圏の正規性により $f$ は自身の余核 $B\to\operatorname{coker}f$ の核であるから、$0\to A\xrightarrow{f}B\to\operatorname{coker}f\to0$ は短完全列である（$B$ における完全性が正規性 $\operatorname{im}f=\ker(\operatorname{coker}f)$ そのものであり、余核はエピ射である）。$F$ は左完全だから $0\to F(A)\xrightarrow{F(f)}F(B)\to F(\operatorname{coker}f)$ は完全であり、とくに $F(A)$ における完全性は $\ker F(f)=\operatorname{im}(0\to F(A))=0$ を意味する。アーベル圏の性質「モノ射であることと核の定義域が零対象であることは同値」により、$F(f)$ はモノ射である。
双対に、$f$ がエピ射なら余正規性により $f$ は自身の核の余核であり、$0\to\ker f\to A\xrightarrow{f}B\to0$ は短完全列である。$F$ は右完全だから $F(\ker f)\to F(A)\xrightarrow{F(f)}F(B)\to0$ は完全であり、$F(B)$ における完全性 $\operatorname{im}F(f)=\ker(F(B)\to0)=F(B)$ から、$\operatorname{coker}F(f)$ の余定義域は零対象、すなわち $F(f)$ はエピ射である。$\blacksquare$
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手、$f\colon A\to B$ を射とする。このとき $F(\ker f)\to F(A)$ は $F(f)$ の核であり、$F(B)\to F(\operatorname{coker}f)$ は $F(f)$ の余核である。すなわち $F(\ker f)\cong\ker F(f)$、$F(\operatorname{coker}f)\cong\operatorname{coker}F(f)$ が成り立つ。
$f$ の像への分解を $A\xrightarrow{\pi}\operatorname{im}f\xrightarrow{\iota}B$ とする。アーベル圏では余像 $\operatorname{coker}(\ker f)$ と像が一致するので、$\pi$ は $\ker f$ の余核であり、$\iota$ は $\operatorname{coker}f$ の核である。したがって $0\to\ker f\to A\xrightarrow{\pi}\operatorname{im}f\to0$ と $0\to\operatorname{im}f\xrightarrow{\iota}B\to\operatorname{coker}f\to0$ はいずれも短完全列である。
核について。$F$ の左完全性より $0\to F(\ker f)\to F(A)\xrightarrow{F(\pi)}F(\operatorname{im}f)$ は完全である。すなわち $F(\ker f)\to F(A)$ はモノ射で、その像は部分対象として $\ker F(\pi)$ に一致し、正規性によりモノ射は自身の像を表すから、$F(\ker f)\to F(A)$ は $F(\pi)$ の核である（完全列 の性質）。一方 prop-exact-functor-preserves-mono-epi により $F(\iota)$ はモノ射だから、$\ker F(f)=\ker(F(\iota)\circ F(\pi))=\ker F(\pi)$。ゆえに $F(\ker f)\to F(A)$ は $F(f)$ の核である。
余核について。$F$ の右完全性より $F(\operatorname{im}f)\xrightarrow{F(\iota)}F(B)\to F(\operatorname{coker}f)\to0$ は完全であり、双対の議論（余正規性）により $F(B)\to F(\operatorname{coker}f)$ は $F(\iota)$ の余核である。$F(\pi)$ はエピ射だから $\operatorname{coker}F(f)=\operatorname{coker}(F(\iota)\circ F(\pi))=\operatorname{coker}F(\iota)$ であり、よって $F(B)\to F(\operatorname{coker}f)$ は $F(f)$ の余核である。$\blacksquare$
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手とし、$f\colon A\to B$ をアーベル圏の射とする。$f$ の像への分解 $A\twoheadrightarrow\operatorname{im}f\hookrightarrow B$ に $F$ を適用した $F(A)\twoheadrightarrow F(\operatorname{im}f)\hookrightarrow F(B)$ は、$F(f)$ の像への分解と一致する。すなわち $F(\operatorname{im}f)\cong\operatorname{im}F(f)$（自然に）。
$f=\iota\circ\pi$（$\pi\colon A\twoheadrightarrow\operatorname{im}f$ はエピ射、$\iota\colon\operatorname{im}f\hookrightarrow B$ はモノ射）とする。prop-exact-functor-preserves-mono-epiにより、$F(\pi)$ はエピ射、$F(\iota)$ はモノ射である。関手性より $F(f)=F(\iota)\circ F(\pi)$ であるから、$F(A)\xrightarrow{F(\pi)}F(\operatorname{im}f)\xrightarrow{F(\iota)}F(B)$ は $F(f)$ をエピ射とモノ射の合成として分解している。
アーベル圏の性質（正則エピ-正則モノ分解の一意性。アーベル圏ではエピ射は正則エピ射、モノ射は正則モノ射である）により、このような分解は同型を除いて一意である。ゆえに、この分解によって与えられる $F(\operatorname{im}f)$ は $F(f)$ の像 $\operatorname{im}F(f)$ に（この一意性を与える同型によって自然に）同型である。$\blacksquare$
関連項目
- 前提: 圏, アーベル圏, 核, 余核, 短完全列
- 発展: 導来関手, 表現可能関手, Grothendieck圏, Gabriel–Popescuの定理
参考文献
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