完全関手
概要
完全関手（exact functor）とは、アーベル圏の間の加法関手であって、任意の短完全列を短完全列に送るもの、同値に左完全かつ右完全であるもののことをいう。核・余核・像を過不足なく保つ関手であり、完全関手のもとでは導来関手による「補正」が不要になる（高次の導来関手がすべて消える）という性質を持つ。
前提知識: 圏, アーベル圏, 核, 余核, 短完全列, 導来関手
定義
直感
左完全関手は短完全列の左側（単射性）だけを保存し、右完全関手は右側（全射性）だけを保存する。完全関手はその両方を同時に満たすので、短完全列を丸ごと短完全列へ送る——すなわち「完全性の情報を一切損なわない」関手である。この意味で完全関手は、核・余核という圏論的な構成そのものと相性がよく、実際、性質の節で見るように核・余核・像をすべて（自然同型を除いて）保存する。
導来関手の観点からは、完全関手は「導来による補正が不要な関手」として特徴づけられる。右完全関手 $F$ に対して $L_0F\cong F$ が常に成り立つが、$F$ がさらに完全であれば高次の左導来関手 $L_nF$（$n\ge1$）はすべて消える——完全関手はすでに「完全」なので、ホモロジー代数的に測定すべき欠損が最初から存在しないのである。
例
アーベル圏 $\mathcal A$ の対象 $X$ に対し、$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,-)\colon\mathcal A\to\mathbf{Ab}$ は常に左完全である（表現可能関手が極限を保つことの標準的な帰結、Mac98、本記事では証明を割愛する）。$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,-)$ がさらに右完全である——すなわち完全関手である——ことと、$X$ が入射対象・射影対象の意味で射影対象であることは同値である（射影対象の定義そのもの、入射対象・射影対象参照）。したがって、射影対象 $P$ に対する $\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(P,-)$ は完全関手の具体例を与える。
$X$ が射影対象でない場合、$\operatorname{Hom}_{\mathcal A}(X,-)$ は左完全ではあるが完全とは限らない。たとえば $\mathbf{Ab}$ において $X=\mathbb Z/2\mathbb Z$ は射影対象ではなく（自由加群の直和因子にならない）、短完全列 $0\to\mathbb Z\xrightarrow{\times2}\mathbb Z\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to0$ に $\operatorname{Hom}(\mathbb Z/2\mathbb Z,-)$ を適用すると右側の全射性が崩れる。この「崩れの度合い」を測るのが導来関手 $\operatorname{Ext}^1$ にほかならない。
性質
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手とする。$f\colon A\to B$ がモノ射であれば $F(f)$ はモノ射であり、$f$ がエピ射であれば $F(f)$ はエピ射である。
$f$ がモノ射であるとする。アーベル圏の性質により、これは $\ker f$ の定義域が零対象であることと同値であり、短完全列 $0\to0\to A\xrightarrow{f}\operatorname{im}f\to0$（あるいは単に完全列 $0\to A\xrightarrow{f}B$）が成り立つ。$F$ は左完全であるから、これに $F$ を適用した $0\to F(A)\xrightarrow{F(f)}F(B)$ も完全である。これはまさに $\ker F(f)$ の定義域が零対象であること、すなわち $F(f)$ がモノ射であることを意味する。
双対に、$f$ がエピ射であれば $\operatorname{coker}f$ の余定義域が零対象であり、完全列 $A\xrightarrow{f}B\to0$ が成り立つ。$F$ は右完全であるから $F(A)\xrightarrow{F(f)}F(B)\to0$ も完全であり、$F(f)$ はエピ射である。$\blacksquare$
$F\colon\mathcal A\to\mathcal B$ を完全関手とし、$f\colon A\to B$ をアーベル圏の射とする。$f$ の像への分解 $A\twoheadrightarrow\operatorname{im}f\hookrightarrow B$ に $F$ を適用した $F(A)\twoheadrightarrow F(\operatorname{im}f)\hookrightarrow F(B)$ は、$F(f)$ の像への分解と一致する。すなわち $F(\operatorname{im}f)\cong\operatorname{im}F(f)$（自然に）。
$f=\iota\circ\pi$（$\pi\colon A\twoheadrightarrow\operatorname{im}f$ はエピ射、$\iota\colon\operatorname{im}f\hookrightarrow B$ はモノ射）とする。prop-exact-functor-preserves-mono-epiにより、$F(\pi)$ はエピ射、$F(\iota)$ はモノ射である。関手性より $F(f)=F(\iota)\circ F(\pi)$ であるから、$F(A)\xrightarrow{F(\pi)}F(\operatorname{im}f)\xrightarrow{F(\iota)}F(B)$ は $F(f)$ をエピ射とモノ射の合成として分解している。
アーベル圏の性質（正則エピ-正則モノ分解の一意性）により、このような分解は同型を除いて一意である。ゆえに、この分解によって与えられる $F(\operatorname{im}f)$ は $F(f)$ の像 $\operatorname{im}F(f)$ に（この一意性を与える同型によって自然に）同型である。$\blacksquare$
関連項目
- 前提: 圏, アーベル圏, 核, 余核, 短完全列, 導来関手
- 発展: 表現可能関手, Grothendieck圏, Gabriel–Popescuの定理
