極限(豊穣圏)
概要
極限(豊穣圏)（enriched conical limit）とは、通常の小圏を添字とする図式の錐を、Hom対象の同型によって普遍的に表す対象である。台の圏の極限より強く、射の順序や加法なども保つ。一般の重み付き極限の特殊な場合であり、集合による豊穣化では通常の極限と一致する。
定義
通常の極限(圏論)は、錐を一意にまとめる対象である。豊穣極限では錐の集合だけでなく、錐が持つ加法・順序・単体的構造などもHom対象によって表現する。
本記事で「極限」は、通常の小圏を添字とする conicalな豊穣極限を指す。一般の豊穣重みを用いる極限とは分けて定義する。基礎を局所小で完備・余完備な対称モノイダル閉圏 $(\mathcal V,\otimes,I)$ とする。これらは十分条件であり、個々の極限に必要な最小条件ではない。
$\mathcal V$-豊穣圏 $\mathcal C$ はHom対象 $\mathcal C(x,y)\in\mathcal V$、合成
$$
\mathcal C(y,z)\otimes\mathcal C(x,y)\to\mathcal C(x,z)
$$
と単位 $I\to\mathcal C(x,x)$ を持ち、結合律・単位律を満たす。台の通常圏の射集合は $\mathcal C_0(x,y)=\mathcal V(I,\mathcal C(x,y))$ である。閉性は内部Hom $[K,H]$ による自然な全単射 $\mathcal V(T\otimes K,H)\cong\mathcal V(T,[K,H])$ をいう。
$J$ を通常の小圏、$D:J\to\mathcal C_0$ を通常の関手とする。対象 $L$ を頂点とする錐は、射 $\lambda_j:L\to Dj$ の族で、各 $a:j\to k$ に対し $D(a)\circ\lambda_j=\lambda_k$ を満たすものとする。
$x\in\mathcal C$ に対し
$$
Q_D(x):=\lim_{j\in J}\mathcal C(x,Dj)
$$
を $\mathcal V$ の通常の極限として定める。射 $a:j\to k$ は $D(a)$ の後合成による射 $\mathcal C(x,Dj)\to\mathcal C(x,Dk)$ に作用する。具体的には、積(圏論)の間の等化子として
$$
Q_D(x)=\operatorname{Eq}\left(
\prod_j\mathcal C(x,Dj)
\rightrightarrows
\prod_{a:j\to k}\mathcal C(x,Dk)\right).
$$
二本の射の $a$ 成分は、それぞれ $j$ 成分への $D(a)$ の後合成と、$k$ 成分への射影である。
極限(豊穣圏)（enriched conical limit）は、錐 $(L,\lambda)$ で、すべての $x$ に対する指定比較射
$$
\chi_x:\mathcal C(x,L)\longrightarrow Q_D(x),
\qquad f\longmapsto(\lambda_j\circ f)_j
$$
が $\mathcal V$ の同型になるものである。
表示の $f$ は通常の射に対する効果であり、$\chi_x$ 自体は合成と極限の普遍性で作る $\mathcal V$ の射である。任意の $T\in\mathcal V$ から試験すれば、$T\to\mathcal C(x,L)$ と、$T\to\mathcal C(x,Dj)$ の整合族とが一意に対応する。$x$ に関する豊穣自然性は合成の結合律から従う。定義は Kel82 §3.8、式(3.49)–(3.53)に対応する。
直感と一般重みとの違い
通常の普遍性が試すのは $T=I$ による射の要素である。豊穣普遍性は任意の $T$ で試す。集合として同じ錐を持っていても、その順序や変換の構造が異なれば豊穣極限ではない。
$J$ の自由 $\mathcal V$-圏 $J_{\mathcal V}$ は同じ対象を持ち、
$$
J_{\mathcal V}(j,k)=\coprod_{a\in J(j,k)}I
$$
をHom対象とする。合成は $J$ の合成で添字を合成する。閉性によりテンソル積が余積を保つため、この合成を定義できる。
$D$ は豊穣関手 $\bar D:J_{\mathcal V}\to\mathcal C$ に一意に延長する。また通常の定値図式 $\Delta I:J\to\mathcal V$ は、豊穣関手 $W_J:J_{\mathcal V}\to\mathcal V$ に延長する。この重みでは $W_J(j)=I$ で、各通常の射が恒等写像として作用する。
自然変換対象 $[J_{\mathcal V},\mathcal V](W_J,G)$ は、任意の $T$ からの射が、$T\otimes W_J(j)\to G(j)$ の作用と整合する族に対応する対象である。閉性と完備性の下で、内部Homの積の等化子として構成できる。$G(j)=\mathcal C(x,Dj)$ とすれば $T\otimes I\cong T$ なので、この条件はちょうど $T$ を頂点とする錐の条件になる。したがって
$$
[J_{\mathcal V},\mathcal V](W_J,\mathcal C(x,\bar D(-)))
\cong Q_D(x).
$$
これにより本記事の極限は一般の重み付き極限（重み付き極限(豊穣圏)）の特殊な場合となる。自由豊穣化は Kel82 §2.5、式(2.39)–(2.40)、この比較は§3.8、式(3.50)による。
任意の豊穣添字圏 $\mathcal A$ 上に「定値 $I$」があるとは限らない。たとえば $\mathcal V=\mathbf{Ab}$、$\mathcal A$ が環 $\mathbb Z/2\mathbb Z$ の一対象豊穣圏なら、値を $I=\mathbb Z$ とする豊穣関手には $\mathbb Z$ 上の単位的な $\mathbb Z/2\mathbb Z$ 作用が必要だが、$2\operatorname{id}_{\mathbb Z}\ne0$ により存在しない。本記事が通常の $J$ から出発するのはこの問題を避けるためである。Kel82 §3.9。
例と反例
$\mathcal V=\mathbf{Set}$、$J$ を二対象の離散圏とすると
$$
Q_D(X)=\operatorname{Hom}(X,A)\times\operatorname{Hom}(X,B).
$$
射 $X\to A\times B$ を二つの射影と合成する対応の逆は、二射 $f,g$ を $x\mapsto(f(x),g(x))$ に送る。よって通常の直積が豊穣極限である。
$\mathbf{Pos}$ を点ごとの順序を持つ単調写像のHomで自己豊穣化する。$A\times B$ の順序を成分ごとに定めれば
$$
\mathbf{Pos}(X,A\times B)\cong
\mathbf{Pos}(X,A)\times\mathbf{Pos}(X,B)
$$
は順序同型である。二写像の大小は各成分の大小と同値だからである。したがって通常の順序集合の直積は豊穣積でもある。
四対象 $x,p,a,b$ の $\mathbf{Pos}$-豊穣圏を次のように作る。$E=\{0<1\}$、$S=\{u_{00},u_{01},u_{10},u_{11}\}$ は離散順序集合とする。
$$
\mathcal C(x,a)=\mathcal C(x,b)=E,\qquad
\mathcal C(x,p)=S,\qquad
\mathcal C(p,a)=\mathcal C(p,b)=\{*\}.
$$
各自己Homは一点とし、これ以外のHomは空とする。$p\to a,b$ を $\pi_a,\pi_b$ と書き、非自明な合成を $\pi_a u_{ij}=i$、$\pi_b u_{ij}=j$ と定める。始域 $S$ が離散なのでこれらは単調であり、残る合成は恒等射によるものだけなので結合律も満たす。
台の圏では $(p,\pi_a,\pi_b)$ は $a,b$ の積である。試験対象が $x$ なら四つの組と $S$ が全単射になり、$p$ なら両側一点、$a,b$ なら両側空になる。しかし豊穣比較
$$
S\longrightarrow E\times E,\qquad u_{ij}\longmapsto(i,j)
$$
は順序同型でない。右辺では $(0,0)<(0,1)$ だが、左辺の対応する二元は比較できない。よってこの通常の積は豊穣積ではない。
性質と証明
豊穣極限は台の圏の極限である。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ の場合には逆も成り立ち、両定義は一致する。
表現可能関手 $\mathcal V(I,-)$ は極限を保つ。したがって $\chi_x$ の同型から
$$
\mathcal C_0(x,L)\cong
\lim_j\mathcal C_0(x,Dj)
$$
を得る。この写像は元の錐との合成そのものなので通常の極限を表す。$\mathcal V=\mathbf{Set}$ ではHom対象と射集合が同じであり、通常の全単射はそのまま $\chi_x$ の同型となる。
二つの豊穣極限の間には、錐を保つ一意な同型が台の圏において存在する。
通常の極限性により、錐を保つ射 $f:L\to L'$ と $g:L'\to L$ が一意に存在する。合成 $gf$ と恒等射は同じ錐を与えるので等しく、$fg$ についても同様である。したがって $f,g$ は互いの逆になる。
台の圏で極限錐 $(L,\lambda)$ を取り、任意の $T,x$ を固定する。閉性とテンソルの定義から
$$
\mathcal V(T,\mathcal C(x,L))
\cong\mathcal C_0(T\odot x,L)
\cong\lim_j\mathcal C_0(T\odot x,Dj)
\cong\mathcal V(T,Q_D(x)).
$$
最初と最後では $\mathcal V(I,[T,H])\cong\mathcal V(T,H)$ と、$\mathcal V(T,-)$ が極限を保つことを用いた。自然性により、この全単射は $\mathcal V(T,\chi_x)$ である。全 $T$ で全単射なので $\chi_x$ は同型となる。実際、$T=Q_D(x)$ で右逆を取り、$T=\mathcal C(x,L)$ で単射性を使えば左逆性も従う。
空図式の豊穣極限は豊穣終対象（終対象(豊穣圏)）である。二対象離散図式では豊穣積、二本の平行射では豊穣等化子となる。ただし「conicalな極限がすべてある」と「すべての重み付き極限がある」は一般には違う。必要な余テンソルもすべてある場合に前者から後者を得る定理が Kel82 Theorem 3.73である。この一般存在定理はここでは引用する。
単体的豊穣化と∞圏
単体的集合による豊穣化では、$\chi_x$ は単体的集合の同型である。局所Kanな単体的圏からはホモトピー整合的脈体によって準圏を得るが、厳密な極限を取る操作がそのままホモトピー極限になるとは限らない。上の右辺は単体的集合の通常の極限であって、ホモトピー極限ではない。
∞圏の極限（極限(∞圏)）に対応させるには、写像空間（写像空間(∞圏)）によるホモトピー普遍性を確認する。豊穣表示で計算するときは、適切な重みや図式の置換が必要になる。各値がKan複体という条件だけで、図式・重みが関手圏で必要なcofibrant条件を満たすとは限らない。
局所Kanな単体的添字圏・値域と対応する錐に対するホモトピー極限の比較は、HTT09 Theorem 4.2.4.1の双対を用いる。局所Kan脈体とHom比較は Proposition 1.1.5.10、§2.2に依存する。単体的モデル圏のcofibrant–fibrant部分圏や、適切に置換された単体的局所化はそのための表示であり、一般の未置換の厳密極限を∞極限と呼ぶ根拠ではない。
関連項目
参考文献
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