Neukirch–内田の定理

同義語：Neukirch-内田の定理Neukirch–Uchidaの定理ノイキルヒ–内田の定理Neukirch–Uchida theorem

概要

前提知識: 絶対Galois群, 局所類体論, Chebotarevの密度定理, 分解群, 遠アーベル幾何

Neukirch–内田の定理（Neukirch–Uchida theorem）とは、代数体はその絶対Galois群で共役を除いて決まる、という定理である。正確には、代数体 $k_1,k_2$ の絶対 Galois 群の間の副有限群としての同型 $\sigma\colon G_{k_1}\to G_{k_2}$ は、$\bar{\mathbb{Q}}$ の自己同型 $\alpha$ で $\alpha(k_2)=k_1$ となるものの共役 $g\mapsto\alpha^{-1}g\alpha$ に一意に一致する。とくに体の同型の集合と群の外部同型の集合は 1 対 1 に対応し、
$$ \operatorname{Aut}(k)\;\cong\;\operatorname{Out}(G_k),\qquad \operatorname{Aut}(G_{\mathbb{Q}})=\operatorname{Inn}(G_{\mathbb{Q}}) $$
が成り立つ。
有限体の絶対 Galois 群はどれも $\hat{\mathbb{Z}}$ で体を決めないのに対し、代数体は抽象的な群から復元できる。遠アーベル幾何の出発点となった結果である。証明の鍵は、局所的な情報を群論の言葉で読み出すことである。すなわち、素点の分解群を群の中の部分群として特徴づけ、そこから素数と局所次数を読み取る。この記事では、局所体の不変量の復元と分解群の特徴づけから、主定理の証明の全体を述べる。証明の中で引用するのは局所類体論、Chebotarevの密度定理、局所体の分岐の群の特徴づけ、局所体の群を大域の群の中で見つける Neukirch の定理、分裂埋め込み問題の可解性である。

主張

$\bar{\mathbb{Q}}$ を $\mathbb{Q}$ の代数閉包とし、$\Gamma:=\operatorname{Aut}(\bar{\mathbb{Q}})=\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ とする。代数体はすべて $\bar{\mathbb{Q}}$ の部分体として扱う。$\mathbb{Q}$ 上有限次の体が代数体である。代数体 $k$ について $G_k:=\operatorname{Gal}(\bar{\mathbb{Q}}/k)\subset\Gamma$ とする。$\alpha\in\Gamma$ が $\alpha(k_2)=k_1$ をみたすとき、
$$ \alpha^*\colon G_{k_1}\longrightarrow G_{k_2},\qquad \alpha^*(g):=\alpha^{-1}g\alpha $$
は副有限群の同型である。

Neukirch–内田の定理

代数体 $k_1,k_2$ と副有限群の同型 $\sigma\colon G_{k_1}\to G_{k_2}$ について、$\alpha\in\Gamma$ で $\alpha(k_2)=k_1$ かつ $\sigma=\alpha^*$ となるものがただ 1 つある（NSW20 (12.2.1), p. 792）。

証明は節「主定理の証明」で述べる。代数閉包のとり方によらない形にするため、副有限群の同型の集合 $\operatorname{Iso}(G_1,G_2)$ を $G_2$ の内部自己同型の合成で割った集合を $\operatorname{OutIso}(G_1,G_2)$ と書く。$\operatorname{Out}(G):=\operatorname{OutIso}(G,G)$ である。

体の同型と外部同型の対応

代数体 $k_1,k_2$ について、$\beta\colon k_2\to k_1$ に $\beta$ の延長 $\alpha\in\Gamma$ の $\alpha^*$ の類を対応させる写像 $\operatorname{Iso}(k_2,k_1)\to\operatorname{OutIso}(G_{k_1},G_{k_2})$ は全単射である。
$\operatorname{Aut}(G_{\mathbb{Q}})=\operatorname{Inn}(G_{\mathbb{Q}})$ であり、共役による $G_{\mathbb{Q}}\to\operatorname{Aut}(G_{\mathbb{Q}})$ は同型である。

延長のとり方を調べる

1。$\beta$ の延長は $\alpha h$（$h\in G_{k_2}$）の形で尽くされ、$(\alpha h)^*=h^{-1}\alpha^*h$ なので、写像は矛盾なく定まる。全射性は thm-nu-main の存在から従う。$\alpha_1^*$ と $\alpha_2^*$ の類が等しいなら、ある $h\in G_{k_2}$ について $\alpha_2^*=(\alpha_1h)^*$ なので、一意性から $\alpha_2=\alpha_1h$ となり、$k_2$ への制限は等しい。
2。$\operatorname{Aut}(\mathbb{Q})=1$ と 1 から $\operatorname{Aut}(G_{\mathbb{Q}})=\operatorname{Inn}(G_{\mathbb{Q}})$ である。$G_{\mathbb{Q}}$ の中心は自明なので（遠アーベル幾何の系「大域体の絶対 Galois 群の中心は自明」）、共役の写像は単射である。$\square$

Neu77 Einleitung（p. 67）によると、経緯は次のとおりである。Neukirch は、$\mathbb{Q}$ 上正規な代数体 2 つの絶対 Galois 群が同型なら体は同型であることを示し、$G_{\mathbb{Q}}$ の自己同型はすべて内部自己同型だと予想した。内田興二（Kôji Uchida）は、任意の代数体について同型 $\sigma$ が $\Gamma$ の内部自己同型から来ることを示した。同じ頃に M. Ikeda が別の方法で予想を証明し、岩澤健吉（Kenkichi Iwasawa）も Ikeda の証明を大きく簡略化して同様の結果を得た。これらの証明はいずれも正規な体についての Neukirch の定理に基づく。以下の証明は NSW20 pp. 795–797 の形である。

局所体の群から読み取れるもの

$\kappa$ を $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大、$n:=[\kappa:\mathbb{Q}_p]$、剰余体の位数を $q=p^f$、分岐指数を $e$ とする（$n=ef$）。$G_\kappa$ を絶対 Galois 群とする。

局所体の不変量の復元

副有限群 $G_\kappa$ の同型類は $p,n,q,e,f$ を決める。

アーベル化を調べる

局所類体論の定理「局所相互法則」により、相互写像 $\kappa^\times\to G_\kappa^{\mathrm{ab}}$ は単射で像は稠密である。$\kappa^\times\cong\mathbb{Z}\times\mathcal{O}_\kappa^\times$ で $\mathcal{O}_\kappa^\times$ はコンパクトなので $G_\kappa^{\mathrm{ab}}\cong\hat{\mathbb{Z}}\times\mathcal{O}_\kappa^\times$ である。さらに $\mathcal{O}_\kappa^\times\cong\mu_{q-1}\times\mu_{p^a}\times\mathbb{Z}_p^n$（Neu99 II (5.7), p. 140。この記事では証明しない）である。
素数 $\ell$ について、連続準同型の空間 $\operatorname{Hom}(G_\kappa,\mathbb{Q}_\ell)$ の次元を数える。有限群からの準同型は $0$ で、$\ell\ne p$ なら $\mathbb{Z}_p$ からの準同型も $0$ である（像はコンパクトなので $\mathbb{Z}_\ell$ の定数倍に含まれ、pro-$p$ 群から pro-$\ell$ 群への準同型は $0$ である）。よって次元は $\ell\ne p$ で $1$、$\ell=p$ で $n+1\ge2$ である。これで $p$ と $n$ が決まる。$G_\kappa^{\mathrm{ab}}$ の捩れ部分は $\mu_{q-1}\times\mu_{p^a}$ で、その位数の $p$ と素な部分が $q-1$ である。これで $q$、$f$、$e=n/f$ が決まる。$\square$

$\kappa^{\mathrm{nr}}$ を最大不分岐拡大、$\kappa^{\mathrm{t}}$ を最大馴分岐拡大とし、$T_\kappa:=\operatorname{Gal}(\bar\kappa/\kappa^{\mathrm{nr}})$（惰性群）、$V_\kappa:=\operatorname{Gal}(\bar\kappa/\kappa^{\mathrm{t}})$ とする。$V_\kappa$ は正規な閉 pro-$p$ 部分群の最大元であり、$T_\kappa/V_\kappa$ は $G_\kappa/V_\kappa$ の正規な閉アーベル部分群の最大元である（NSW20 (7.5.7), p. 414、p. 789。この記事では証明しない）。したがって $V_\kappa$ と $T_\kappa$ も群だけから決まる。$F\in G_\kappa$ の $\operatorname{Gal}(\kappa^{\mathrm{nr}}/\kappa)$ への像が算術的 Frobenius であるとき、$F$ を Frobenius 持ち上げという。

Frobenius 持ち上げの判定

$F\in G_\kappa$ が Frobenius 持ち上げであるのは、すべての $t\in T_\kappa$ について $FtF^{-1}\equiv t^q\pmod{V_\kappa}$ であるとき、かつそのときに限る。とくに、Frobenius 持ち上げの集合は副有限群 $G_\kappa$ から決まる。

馴惰性への作用を計算する

要点：Frobenius 持ち上げの共役は $T_\kappa/V_\kappa$ に $q$ 乗で作用し、$\operatorname{Gal}(\kappa^{\mathrm{nr}}/\kappa)$ からの作用は単射である。

詳しい証明を開く

$\pi$ を $\kappa$ の素元、$m$ を $p$ と素な自然数、$x$ を $\pi$ の $m$ 乗根とする。$t\in T_\kappa$ に $\zeta(t):=t(x)/x\in\mu_m$ を対応させる写像は準同型で、$m$ について極限をとると同型 $T_\kappa/V_\kappa\cong\varprojlim_m\mu_m$ を与える。$F$ を Frobenius 持ち上げとすると、$F^{-1}(x)=cx$（$c\in\mu_m\subset\kappa^{\mathrm{nr}}$）であり、$t(c)=c$ と $F(cx)=x$ から $FtF^{-1}(x)=F(c\,\zeta(t)x)=F(\zeta(t))x=\zeta(t)^qx$ となる。よって $FtF^{-1}\equiv t^q$ である。逆に、$F$ の $\operatorname{Gal}(\kappa^{\mathrm{nr}}/\kappa)\cong\hat{\mathbb{Z}}$ での像を $a$ とすると、$F$ は $T_\kappa/V_\kappa$ に $q^a$ 倍で作用する。$\hat{\mathbb{Z}}\to\operatorname{Aut}(T_\kappa/V_\kappa)$ は単射なので（NSW20 (7.5.4)(ii), p. 412。この記事では証明しない）、$q^a=q$ から $a=1$ である。$\square$

lem-nu-local-inv は、$G_\kappa$ が $\kappa$ を決めることまでは言っていない。実際、局所体は同じ形の定理をもたない（ex-nu-counter）。

分解群の群論的な特徴づけ

$\bar{\mathbb{Q}}$ の素点とは、ここでは素数 $p$ の上の非 Archimedes 的な付値の、$\bar{\mathbb{Q}}$ への延長のこととする。$\tau\in\Gamma$ について $\tau P:=P\circ\tau^{-1}$ とおく。同じ $p$ の上の素点は $\Gamma$ で互いに移りあう。$D_P\subset\Gamma$ を $P$ の固定部分群とすると $D_{\tau P}=\tau D_P\tau^{-1}$ である。代数体 $k$ について $D_P(k):=D_P\cap G_k$ とおく。$\mathfrak{p}:=P\cap k$ として、$D_P(k)$ は完備化の絶対 Galois 群 $G_{k_{\mathfrak{p}}}$ と同型である（Neu99 II (9.6), p. 170。この記事では証明しない）。素点 $P\ne P'$ については $D_P(k)\cap D_{P'}(k)=1$ である（遠アーベル幾何の系「分解群は自明にしか交わらない」）。

Neukirch の局所群の定理

$k$ を代数体、$\kappa$ を $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大とし、$H\subset G_k$ を $G_\kappa$ と同型な閉部分群とする。このとき $H\subset D_P(k)$ となる $\bar{\mathbb{Q}}$ の素点 $P$ がただ 1 つあり、$P$ は $p$ の上にある。さらに $(D_P(k):H)$ は有限で、$\mathfrak{p}:=P\cap k$ について $[\kappa:\mathbb{Q}_p]\ge[k_{\mathfrak{p}}:\mathbb{Q}_p]$ である。
この定理はこの記事では証明しない。

これは NSW20 (12.1.9)（p. 789、証明は pp. 790–791）の代数体の場合である。証明の筋は次のとおりである。$K$ を $H$ の固定体とする。素数 $\ell$ を $p$ と異なる奇素数とし、開部分群に移って $\mu_\ell\subset k,\kappa$ としてよい。局所体の群では $H^2(-,\mathbb{F}_\ell)\cong\mathbb{F}_\ell$ である。大域の $H^2$ は局所の $H^2$ の積に単射で入るので、$H^2$ が消えない素点が $K$ にある。それがどの有限次拡大でも分解しないことが、$H^2$ の次元が $1$ であることから分かり、$H$ が $K$ の完備化の群と一致する。あとは Galois コホモロジーの次元と $H^1$ の大きさから、$P$ が $p$ の上にあることと指数の有限性を読み取る。

分解群は極大な局所群である

代数体 $k$ について、$G_k$ の閉部分群で、ある素数 $p$ の $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大の絶対 Galois 群と同型なものの全体を $\mathcal{L}(k)$ とする。閉部分群 $H\subset G_k$ が素点の分解群 $D_P(k)$ であるのは、$H$ が $\mathcal{L}(k)$ の極大元であるとき、かつそのときに限る。

2 つの分解群に挟む

$D_P(k)\in\mathcal{L}(k)$ である。$D_P(k)\subset H'\in\mathcal{L}(k)$ なら、thm-nu-detect により $H'\subset D_{P'}(k)$ となる素点 $P'$ があり、$D_P(k)\cap D_{P'}(k)\ne1$ なので $P=P'$、$H'=D_P(k)$ である。よって $D_P(k)$ は極大である。逆に $H$ が極大なら、$H\subset D_P(k)\in\mathcal{L}(k)$ なので $H=D_P(k)$ である。$\square$

この特徴づけは非 Archimedes 的な素点だけを扱う。複素素点の分解群は自明なので、群からは見えない。

局所対応

以下 $\sigma\colon G_{k_1}\to G_{k_2}$ を同型とする。$k_1\subset K_1$ が有限次のとき、$\sigma(G_{K_1})=G_{K_2}$ で定まる $k_2$ の有限次拡大 $K_2$ を、$K_1$ に対応する体という。

素点の対応

$\bar{\mathbb{Q}}$ の素点の全単射 $P\mapsto\sigma_*P$ で $\sigma(D_P(k_1))=D_{\sigma_*P}(k_2)$ となるものがただ 1 つある。
$K_1$ に $K_2$ が対応するとき、$\sigma_*$ は $K_1$ の非 Archimedes 的素点と $K_2$ の非 Archimedes 的素点の全単射を引き起こす。対応する素点は同じ素数 $p$ の上にあり、局所次数 $[K_{i,\mathfrak{p}_i}:\mathbb{Q}_p]$ も等しい。

共役で読み替える

1 は cor-nu-max で、極大元が $\sigma$ で移ることから従う。一意性は相異なる素点の分解群が異なることによる。
2。$\sigma(D_P(K_1))=\sigma(D_P(k_1)\cap G_{K_1})=D_{\sigma_*P}(K_2)$ である。素点 $P,Q$ が $K_1$ で同じ素点の上にあることは、$Q=\tau P$ となる $\tau\in G_{K_1}$ があることと同じであり、これは $D_Q(K_1)=\tau D_P(K_1)\tau^{-1}$ となる $\tau\in G_{K_1}$ があることと同値である。実際、後者なら $D_Q(K_1)\cap D_{\tau P}(K_1)\ne1$ なので $Q=\tau P$ である。この条件は $\sigma$ で $K_2$ 側の同じ条件に移るので、$\sigma_*$ は素点の全単射を引き起こす。$\mathfrak{p}_1,\mathfrak{p}_2$ が対応すると $\sigma$ は $G_{K_{1,\mathfrak{p}_1}}\cong G_{K_{2,\mathfrak{p}_2}}$ を与えるので、lem-nu-local-inv から素数と局所次数は等しい。$\square$

代数体 $K$ について、局所次数 $1$ の素点、すなわち $K_{\mathfrak{p}}=\mathbb{Q}_p$ となる素点 $\mathfrak{p}$ が $p$ の上にある素数 $p$ の全体を $S_1(K)$、$p$ の上のすべての素点がこの性質をもつ素数全体を $S_{\mathrm{c}}(K)$ とする。$S_{\mathrm{c}}(K)$ は $K$ で完全分解する素数の全体である。prop-nu-local の 2 から、対応する体について
$$ S_1(K_1)=S_1(K_2),\qquad S_{\mathrm{c}}(K_1)=S_{\mathrm{c}}(K_2) $$
である。

正規な体は群の中の位置で決まる

局所次数 $1$ の素数が体を比べる

$K/\mathbb{Q}$ を有限次 Galois 拡大、$L$ を代数体とする。$S_1(L)\subset S_{\mathrm{c}}(K)$ なら $K\subset L$ である。

密度 $1$ の素点の集合を使う

$KL/L$ は有限次 Galois 拡大である。$L$ の素点のうち、$\mathbb{Q}$ 上で局所次数 $1$ のものの Dirichlet 密度は $1$ である。そのような $\mathfrak{p}\mid p$ について、$p\in S_1(L)\subset S_{\mathrm{c}}(K)$ なので $K$ は $\mathbb{Q}_p=L_{\mathfrak{p}}$ に埋め込まれ、$\mathfrak{p}$ は $KL/L$ で完全分解する。Chebotarevの密度定理により完全分解する素点の密度は $1/[KL:L]$ なので、$KL=L$ である。$\square$

これは NSW20 (12.2.5)（p. 795）を局所次数 $1$ の素点で述べたものである。

正規な体についての Neukirch の定理

$K_1\supset k_1$ を $\mathbb{Q}$ 上有限次 Galois 拡大とし、$K_2$ をこれに対応する体とすると、$K_1=K_2$ である。したがって $\sigma(G_{K_1})=G_{K_1}$ である。とくに、$k_1,k_2$ がともに $\mathbb{Q}$ 上 Galois で $G_{k_1}\cong G_{k_2}$ なら $k_1=k_2$ である。

$S_1$ と $S_{\mathrm{c}}$ を比べる

$K_1/\mathbb{Q}$ が Galois なので $S_1(K_1)=S_{\mathrm{c}}(K_1)$ である。よって $S_1(K_2)=S_1(K_1)=S_{\mathrm{c}}(K_1)=S_{\mathrm{c}}(K_2)$ である。$K$ を $K_2$ の $\mathbb{Q}$ 上の Galois 閉包とすると、素数が $K_2$ で完全分解することと $K$ で完全分解することは同値なので、$S_1(K_2)\subset S_{\mathrm{c}}(K)$ となり、lem-nu-cheb から $K\subset K_2$ である。よって $K_2/\mathbb{Q}$ は Galois である。さらに $S_1(K_2)=S_{\mathrm{c}}(K_1)$ と lem-nu-cheb から $K_1\subset K_2$、対称に $K_2\subset K_1$ である。最後の主張は $K_1=k_1$ の場合である。$\square$

主定理の証明

主定理を Frobenius で構成する

要点：$\mathbb{Q}$ 上 Galois な有限次の体 $N\supset k_1k_2$ ごとに、$\sigma$ が $N$ の上で $\alpha^*$ に一致する $\alpha$ を見つければ、コンパクト性で主定理が従う。$N/k_2$ が巡回なら、局所次数 $1$ の素点の分解群の Frobenius 持ち上げを $\sigma$ で移して $\alpha$ を作る。一般の場合は、$N$ の上に $\mathbb{F}_\ell[\operatorname{Gal}(N/\mathbb{Q})]$ を Galois 群にもつ体 $M$ をとり、巡回の場合に帰着する。分裂埋め込み問題の可解性は引用である。

詳しい証明を開く

段 0（記号）。$N$ は $k_1k_2$ を含み $\mathbb{Q}$ 上有限次 Galois である体を表す。thm-nu-normal により $\sigma(G_N)=G_N$ なので、$\sigma$ は同型 $\sigma_N\colon\operatorname{Gal}(N/k_1)\to\operatorname{Gal}(N/k_2)$ を引き起こす。$\alpha\in\Gamma$ が $\alpha(k_2)=k_1$ をみたせば $\alpha(N)=N$ であり、$\alpha^*$ も同型 $\alpha^*_N\colon\operatorname{Gal}(N/k_1)\to\operatorname{Gal}(N/k_2)$ を引き起こす。

段 1（一意性）。$\alpha_1^*=\alpha_2^*$ とし、$\tau:=\alpha_2\alpha_1^{-1}$ とおくと、$\tau$ は $G_{k_1}$ の各元と可換である。素点 $P$ をとる。$D_P(k_1)$ は自明でないので $1\ne g\in D_P(k_1)$ があり、$g=\tau g\tau^{-1}\in D_{\tau P}$ である。$D_P\cap D_{\tau P}\ne1$ なので $\tau P=P$、すなわち $\tau\in D_P$ である。相異なる 2 つの素点 $P,P'$ について $\tau\in D_P\cap D_{P'}=1$ なので $\alpha_1=\alpha_2$ である。

段 2（コンパクト性）。$A_N:=\{\alpha\in\Gamma\mid\alpha(k_2)=k_1,\ \alpha^*_N=\sigma_N\}$ は、$\alpha|_N$ だけで決まる条件で定まるので閉集合である。$N\subset N'$ なら $A_{N'}\subset A_N$ である。すべての $N$ について $A_N\ne\emptyset$ なら、コンパクト群 $\Gamma$ の中で $\bigcap_NA_N\ne\emptyset$ であり、その元 $\alpha$ について、すべての $N$ で $\alpha^*_N=\sigma_N$ だから $\alpha^*=\sigma$ である。そこで $A_N\ne\emptyset$ を示す。

段 3（$N/k_2$ が巡回の場合）。$\operatorname{Gal}(N/k_2)$ の生成元 $F$ をとる。Chebotarevの密度定理により、$N/k_2$ で不分岐で Frobenius が $F$ である $k_2$ の素点の密度は正である。局所次数 $1$ の素点の密度は $1$ で、$N/\mathbb{Q}$ で分岐する素数は有限個なので、次の条件をみたす $k_2$ の素点 $\mathfrak{q}\mid p$ がある：$k_{2,\mathfrak{q}}=\mathbb{Q}_p$、$p$ は $N$ で不分岐、$\mathfrak{q}$ の $N/k_2$ の Frobenius は $F$。$\mathfrak{q}$ の上の素点 $P$ をとる。$k_{2,\mathfrak{q}}=\mathbb{Q}_p$ なので $D_P\subset G_{k_2}$、すなわち $D_P=D_P(k_2)$ である。$\tilde P:=\sigma_*^{-1}P$ とおく。prop-nu-local により $\tilde P$ も $p$ の上にあり、$k_1$ での局所次数は $1$ なので $D_{\tilde P}=D_{\tilde P}(k_1)=\sigma^{-1}(D_P)$ である。同じ $p$ の上の素点なので $\tilde P=\alpha P$ となる $\alpha\in\Gamma$ がある。

$F$ の取り方から $G_{k_2}=G_ND_P$ である。$\sigma^{-1}$ で移すと $G_{k_1}=G_ND_{\tilde P}$ となる。$\alpha^{-1}$ の共役で移すと、$\alpha^{-1}G_{k_1}\alpha=G_N\,\alpha^{-1}D_{\alpha P}\alpha=G_ND_P=G_{k_2}$ なので、$\alpha(k_2)=k_1$ である。

$F_0\in D_P$ を Frobenius 持ち上げとする。lem-nu-frob により、同型 $\sigma^{-1}\colon D_P\to D_{\tilde P}$ は Frobenius 持ち上げを Frobenius 持ち上げに移す。共役 $\alpha F_0\alpha^{-1}\in D_{\tilde P}$ も Frobenius 持ち上げである。$\tilde P$ は $N$ の上で不分岐なので、この 2 つは $N$ の上で等しい。その共通の値を $x\in\operatorname{Gal}(N/k_1)$ とすると、$\sigma_N(x)=F$、$\alpha^*_N(x)=F_0|_N=F$ である。$\operatorname{Gal}(N/k_2)$ は $F$ で生成されるので $x$ は $\operatorname{Gal}(N/k_1)$ を生成し、$\sigma_N=\alpha^*_N$ である。

段 4（一般の場合）。$\Delta:=\operatorname{Gal}(N/\mathbb{Q})$、$n:=\#\Delta$ とし、素数 $\ell\gt n$ をとる。$W:=\mathbb{F}_\ell[\Delta]$ に $\Delta$ を左掛け算で作用させ、$E:=W\rtimes\Delta$ とする。分裂埋め込み問題の可解性（NSW20 (9.2.9), p. 542。この記事では証明しない）により、$N$ を含む $\mathbb{Q}$ 上の Galois 拡大 $M$ で、$\operatorname{Gal}(M/\mathbb{Q})=E$、$\operatorname{Gal}(M/N)=W$ で、$E\to\Delta$ が $N$ への制限であるものがある。$M\supset k_1k_2$ なので段 0 が $M$ にも当てはまり、$\sigma_M$ は $W$ の自己同型 $s$ を引き起こす。$s$ は $\mathbb{F}_\ell$ 線形である。

$0\ne\lambda\in W$ をとり、$\langle\lambda\rangle$ の固定体を $L_1$、$\langle s(\lambda)\rangle$ の固定体を $L_2$ とする。$\sigma$ は $G_{L_1}\to G_{L_2}$ に制限され、$M/L_2$ は巡回である。段 3 を $(L_1,L_2,M)$ に当てると、$\alpha\in\Gamma$ で $\sigma_M=\alpha^*_M$ が $\operatorname{Gal}(M/L_1)=\langle\lambda\rangle$ の上で成り立つものがある。$E$ の中で $W$ の元への共役は $\Delta$ の像だけで決まるので、$h:=\alpha^{-1}|_N\in\Delta$ について $s(\lambda)=h\lambda$ である。

$U_h:=\{\lambda\in W\mid s(\lambda)=h\lambda\}$ は $W$ の部分空間で、$W=\bigcup_{h\in\Delta}U_h$ である。どの $U_h$ も $W$ と異なれば、$\#W\le n(\ell^{n-1}-1)+1< \ell^n=\#W$ となって矛盾する。よって、すべての $\lambda\in W$ について $s(\lambda)=h_0\lambda$ となる $h_0\in\Delta$ がある。

$g\in\operatorname{Gal}(N/k_1)$ をとり、$\tilde g\in\operatorname{Gal}(M/k_1)$ を延長とする。$\lambda\in W$ について $\tilde g\lambda\tilde g^{-1}=g\lambda$ である。これを $\sigma_M$ で移すと $s(g\lambda)=\sigma_N(g)s(\lambda)$ を得る。$\lambda=1\in\mathbb{F}_\ell[\Delta]$ とおくと $h_0g=\sigma_N(g)h_0$ であり、$\sigma_N(g)=h_0gh_0^{-1}$ である。$h_0^{-1}$ を $\Gamma$ の元 $\alpha$ に延長すると $\alpha^*_N=\sigma_N$ である。$\sigma_N$ の像が $\operatorname{Gal}(N/k_2)$ なので $h_0(k_1)=k_2$、すなわち $\alpha(k_2)=k_1$ である。よって $\alpha\in A_N$ である。$\square$

NSW20 p. 795 によると、証明の終わりの部分には H. W. Lenstra の簡略化が入っている。局所の情報を使うのは段 3 の Frobenius で、段 4 で使うのは埋め込み問題の解 $M$ の群の形である。

例

共役な体

$\omega$ を $1$ の原始 $3$ 乗根とし、$k_1:=\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$、$k_2:=\mathbb{Q}(\omega\sqrt[3]{2})$ とする。$\alpha\in\Gamma$ で $\alpha(\omega\sqrt[3]{2})=\sqrt[3]{2}$ となるものをとると、$\alpha^*\colon G_{k_1}\to G_{k_2}$ は同型である。$k_1\ne k_2$ なので、thm-nu-main の結論は $k_1=k_2$ ではなく $\alpha(k_2)=k_1$ でなければならない。また $\operatorname{Aut}(k_1)=1$ なので、cor-nu-outer により $G_{k_1}$ の自己同型はすべて内部自己同型である。一方 $\operatorname{Aut}(\mathbb{Q}(\sqrt{2}))$ は位数 $2$ なので $\operatorname{Out}(G_{\mathbb{Q}(\sqrt{2})})$ も位数 $2$ である。

群が素数の分解を見分ける

$k_1:=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$、$k_2:=\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ とする。$3^2\equiv2\pmod7$ なので $7$ は $k_1$ で分解し、局所次数 $1$ の素点の分解群は $G_{\mathbb{Q}_7}$ と同型である。法 $7$ の $0$ でない平方は $1,2,4$ なので $3$ は平方でなく、$7$ は $k_2$ で惰性し、局所次数は $2$ である。もし $G_{k_2}$ が $G_{\mathbb{Q}_7}$ と同型な閉部分群をもてば、thm-nu-detect から $1\ge2$ となって矛盾する。よって $G_{k_1}\not\cong G_{k_2}$ である。

同じ素数と次数をもつ局所体

$p$ を奇素数とする。$\mathbb{Q}_p(\sqrt{p})$ は $e=2$、$q=p$ であり、$\mathbb{Q}_p$ の不分岐 $2$ 次拡大は $e=1$、$q=p^2$ である。どちらも $n=2$ なので $\operatorname{Hom}(G_\kappa,\mathbb{Q}_\ell)$ の次元は等しいが、$G_\kappa^{\mathrm{ab}}$ の捩れ部分の $p$ と素な位数が $p-1$ と $p^2-1$ で異なるので、絶対 Galois 群は同型でない。

反例

thm-nu-main の「代数体」のもつ性質を 1 つずつ外す。確かめは表の下にある。

外す条件	反例	成り立たなくなること
$k_i$ は無限体	$\mathbb{F}_2$、$\mathbb{F}_3$	群の同型から体の同型が出る
$k_i$ は素体上有限生成	$\bar{\mathbb{Q}}$、$\mathbb{C}$	群の同型から体の同型が出る
$k_i$ は素体上有限生成	$k_1=k_2=\mathbb{Q}_p$	群の自己同型が体の自己同型から来る

反例の確かめ

1 行目：有限体の絶対 Galois 群はどれも $\hat{\mathbb{Z}}$ と同型だが（絶対Galois群の節「有限体と $\widehat{\mathbb{Z}}$」）、$\mathbb{F}_2\not\cong\mathbb{F}_3$ である。素体上有限生成な体でも、無限体という条件は外せない（NSW20 p. 798）。
2 行目：どちらも代数閉体なので絶対 Galois 群は自明だが、$\bar{\mathbb{Q}}$ は可算で $\mathbb{C}$ は非可算なので、体として同型でない。
3 行目：$\mathbb{Q}_p$ は非可算なので素体上有限生成でない。$\mathbb{Q}_p$ の自己同型は恒等写像だけだが、$G_{\mathbb{Q}_p}$ は内部自己同型でない自己同型をもつ（NSW20 p. 798、この記事では証明しない）。もし cor-nu-outer の形の定理が成り立てば $\operatorname{Out}(G_{\mathbb{Q}_p})=1$ となるので、$p$ 進体では成り立たない。lem-nu-local-inv で読み取れるのは不変量までである。

発展

内田は関数体についても、正標数で必要な小さな修正を加えて同じ定理を証明した。また、絶対 Galois 群を最大副可解商に替えても定理は成り立つ（NSW20 p. 798）。F. Pop は、素体上有限生成な無限体に定理を拡張した（同）。これらを含む全体像と、双曲曲線の基本群についての Grothendieck の予想は遠アーベル幾何で述べている。$\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大については、上付き番号の高次分岐群のフィルトレーションを保つ外部同型に限れば、$\mathbb{Q}_p$ 上の体の同型との 1 対 1 の対応が得られる（NSW20 (12.2.7), p. 798）。