Laplace作用素

積の微分法を 2 回使うと $\partial_j^2(uv)=u\,\partial_j^2v+2\,\partial_ju\,\partial_jv+v\,\partial_j^2u$ であり、$j$ について足せば第 1 式である。合成関数の微分法から $\partial_j(\phi\circ u)=\phi'(u)\,\partial_ju$、$\partial_j^2(\phi\circ u)=\phi''(u)(\partial_ju)^2+\phi'(u)\,\partial_j^2u$ であり、$j$ について足せば第 2 式である。$\square$

1 と 2 は合成関数の微分法から $\partial_j^2u_y(x)=(\partial_j^2u)(x-y)$、$\partial_j^2u^{(r)}(x)=r^2(\partial_j^2u)(rx)$ となることによる。
3．$T=(t_{pj})$ とすると $(Tx)_p=\sum_jt_{pj}x_j$ なので、合成関数の微分法から
$$ \partial_j(u\circ T)=\sum_pt_{pj}\,(\partial_pu)\circ T,\qquad\partial_j^2(u\circ T)=\sum_{p,q}t_{pj}t_{qj}\,(\partial_q\partial_pu)\circ T $$
である。$j$ について足すと、$\sum_jt_{pj}t_{qj}=(TT^{\mathsf T})_{pq}=\delta_{pq}$（$T$ は直交行列）から $\Delta(u\circ T)=\sum_p(\partial_p^2u)\circ T=(\Delta u)\circ T$ である。$\square$

段 1．thm-lap-invariance の 3 の証明と同じ計算で、$\partial_j\partial_k(u\circ T)=\sum_{p,q}t_{pj}t_{qk}(\partial_p\partial_qu)\circ T$ なので
$$ L_A(u\circ T)=\sum_{p,q}\Bigl(\sum_{j,k}t_{pj}a_{jk}t_{qk}\Bigr)(\partial_p\partial_qu)\circ T=\bigl(L_{TAT^{\mathsf T}}u\bigr)\circ T $$
である（$TAT^{\mathsf T}$ も対称行列）。
段 2．対称行列 $C=(c_{pq})$ は作用素 $L_C$ で決まる：$u=\frac12x_p^2$ なら $L_Cu=c_{pp}$、$p\ne q$ で $u=x_px_q$ なら $L_Cu=c_{pq}+c_{qp}=2c_{pq}$ である。仮定と段 1 から $L_{TAT^{\mathsf T}}u=L_Au$ がすべての $u$ で成り立つ（$T$ は全単射）ので、$TAT^{\mathsf T}=A$、右から $T$ を掛けて $TA=AT$ である。
段 3．$e_j$ を標準基底とし、$e_j$ に垂直な超平面に関する鏡映 $R_j:=I-2e_je_j^{\mathsf T}$（直交行列）をとる。$R_jA=AR_j$ から $e_je_j^{\mathsf T}A=Ae_je_j^{\mathsf T}$ であり、両辺を $e_j$ に掛けると $Ae_j=a_{jj}e_j$ を得る。よって $A$ は対角行列である。次に $i\ne j$ について、$e_i$ と $e_j$ を入れ替える置換行列 $T$（直交行列）をとると、$TAT^{\mathsf T}=A$ の $(i,i)$ 成分を比べて $a_{jj}=a_{ii}$ を得る。したがって $A=cI$ である。$\square$

$x\ne0$ で $\partial_j|x|=x_j/r$ なので $\partial_ju=\phi'(r)\,x_j/r$ であり、もう一度微分すると
$$ \partial_j^2u=\phi''(r)\frac{x_j^2}{r^2}+\phi'(r)\Bigl(\frac1r-\frac{x_j^2}{r^3}\Bigr) $$
である。$\sum_jx_j^2=r^2$ を使って $j$ について足すと $\phi''(r)+\phi'(r)(n-1)/r$ になる。最後の等号は $\bigl(r^{n-1}\phi'\bigr)'=r^{n-1}\phi''+(n-1)r^{n-2}\phi'$ による。$\square$

$u$ が調和なら、$u$ は $C^2$ 級なので $\phi(r)=u(re_1)$ も $C^2$ 級であり、prop-lap-radial から $(r^{n-1}\phi')'=0$、すなわち $r^{n-1}\phi'(r)=C$（定数）である。$\phi'(r)=Cr^{1-n}$ を積分すると、$n\ge3$ なら $\phi=c_1+\frac{C}{2-n}r^{2-n}$、$n=2$ なら $\phi=c_1+C\log r$ である。逆にこの形の関数は、同じ式を逆にたどれば調和である。球 $B(0,b)$ の上の動径の調和関数は、$0< |x|< b$ で上の形をとり、原点で連続なので、$|x|\to0$ で発散する項の係数 $c_2$ は $0$ である。$\square$

球面上の積分．$\int_S\zeta_j\,d\sigma=0$、$\int_S\zeta_j\zeta_k\,d\sigma=\delta_{jk}/n$ を示す。第 $j$ 座標の符号を変える鏡映は直交変換で $\sigma$ を保ち、$\zeta_j$ と（$k\ne j$ について）$\zeta_j\zeta_k$ の符号を変えるので、これらの積分は $0$ である。2 つの座標を入れ替える直交変換で $\int_S\zeta_j^2\,d\sigma$ はすべての $j$ で等しく、和は $\int_S|\zeta|^2\,d\sigma=1$ なので、どれも $1/n$ である。
Taylor の定理．$\overline B(a,r_0)\subset\Omega$ とする。$|h|\le r_0$ について、Taylorの定理 から
$$ u(a+h)=u(a)+\nabla u(a)\cdot h+\frac12\sum_{j,k}\partial_j\partial_ku(a)\,h_jh_k+R(h),\qquad|R(h)|\le\frac n2\,\omega(|h|)\,|h|^2 $$
が成り立つ。ここで $\omega(\rho):=\max_{j,k}\sup_{|y-a|\le\rho}|\partial_j\partial_ku(y)-\partial_j\partial_ku(a)|$ であり、2 階偏導関数の連続性から $\rho\to0$ で $\omega(\rho)\to0$ である（剰余を積分の形 $R(h)=\int_0^1(1-t)\sum_{j,k}\bigl(\partial_j\partial_ku(a+th)-\partial_j\partial_ku(a)\bigr)h_jh_k\,dt$ で書き（$u$ が複素数値でもよい）、2 階偏導関数の差を $\omega$ で押さえ、$\sum_{j,k}|h_jh_k|\le n|h|^2$ を使う）。
$h=r\zeta$ を代入して $\sigma$ で積分すると、1 次の項は消え、2 次の項は $\frac{r^2}2\sum_j\partial_j^2u(a)\cdot\frac1n=\frac{r^2}{2n}\Delta u(a)$ になるので
$$ \Bigl|\int_Su(a+r\zeta)\,d\sigma(\zeta)-u(a)-\frac{r^2}{2n}\Delta u(a)\Bigr|\le\frac n2\,\omega(r)\,r^2 $$
である。両辺に $2n/r^2$ を掛けて $r\to0$ とすればよい。$\square$

$w:=v\,\partial_ju$ を $\Omega$ の外で $0$ と延ばすと、$\mathbb{R}^n$ 上の台がコンパクトな $C^1$ 級関数である。Fubiniの定理 で $x_j$ について先に積分すると、微積分学の基本定理 から $\int\partial_jw\,dx=0$ である。$\partial_jw=\partial_jv\,\partial_ju+v\,\partial_j^2u$ を $j$ について足せば第 1 の等号を得る。$u$ と $v$ の役割を入れ替えた同じ計算（今度は $u\,\partial_jv$ の台がコンパクト）で $\int u\,\Delta v=-\int\nabla u\cdot\nabla v$ となり、第 2 の等号を得る。後半は第 1 の等号で $v=\overline u$ とおけばよい（$\nabla u\cdot\nabla\overline u=|\nabla u|^2$）。等号が成り立てば $\nabla u\equiv0$ で、$u$ を $0$ で延ばした台がコンパクトな関数は定数、すなわち $0$ である。$\square$