Arzelà–Ascoliの定理
概要
Arzelà–Ascoliの定理（Arzelà–Ascoli theorem）とは、コンパクトな距離空間 $K$ 上の連続関数の列 $(f_n)$ が各点で有界かつ同程度連続（任意の $\varepsilon>0$ に対し、$n$ によらない $\delta>0$ があって $d(x,y)<\delta$ ならすべての $n$ で $\lvert f_n(x)-f_n(y)\rvert<\varepsilon$）ならば、一様収束する部分列をもつという定理である。言い換えると、上限距離を入れた連続関数の空間 $C(K)$ の部分集合がコンパクトであるのは、閉・有界・同程度連続であるときに限る。有限次元の Heine–Borel の定理の関数空間版にあたり、Peano の存在定理やコンパクト作用素の議論で近似の列から極限をとり出す道具になる。
Arzelà–Ascoli の定理（Arzelà–Ascoli theorem）は、コンパクトな距離空間 $K$ 上の連続関数の列が一様収束する部分列をもつための条件を与える定理である。実数の有界な数列は収束する部分列をもつ（Bolzano–Weierstrassの定理）が、関数の列では有界なだけでは足りない。たとえば $[0,1]$ 上の $x^n$ は値がすべて $[0,1]$ に入るのに、一様収束する部分列をもたない。足りないのは、関数たちが「そろって」連続であること、すなわち同程度連続性である。定理は、各点で有界かつ同程度連続な連続関数の列は一様収束する部分列をもつと述べ、言い換えると、連続関数の空間 $C(K)$ のコンパクト集合を「閉・有界・同程度連続」として特徴づける。有限次元の Heine–Borel の定理（有界閉集合はコンパクト）の、関数空間での代わりになる定理であり、常微分方程式の解の存在（Peanoの存在定理）、正則関数の族の議論、積分作用素のコンパクト性などで、「近似解の列から極限をとり出す」ための標準の道具である。
設定と記号
以下、$(K,d)$ は空でない距離空間、$m\geq1$ は整数とし、$\mathbb{R}^m$ のベクトルの長さを $\lvert v\rvert$（Euclid ノルム）で表す。複素数値の関数は $\mathbb{C}=\mathbb{R}^2$ とみなせばこの枠に入る。$K$ 上の連続写像 $f\colon K\to\mathbb{R}^m$ の全体を $C(K,\mathbb{R}^m)$ と書く。$K$ がコンパクトなら、各 $f\in C(K,\mathbb{R}^m)$ について $\lvert f\rvert$ は最大値をもつ（コンパクト空間の記事の定理「最大値・最小値の存在」）ので、
$$
\|f\|_\infty:=\max_{x\in K}\lvert f(x)\rvert,\qquad d_\infty(f,g):=\|f-g\|_\infty
$$
とおく。$d_\infty$ は距離であり、$d_\infty(f_n,f)\to0$ は $f_n\to f$ が $K$ 上で一様収束することにほかならない（一様収束の記事の命題「差の上限による言い換え」を成分ごとに使う）。以下、$C(K,\mathbb{R}^m)$ にはいつもこの距離を入れる。
$K$ がコンパクトなら、$(C(K,\mathbb{R}^m),d_\infty)$ は完備である。すなわち、一様 Cauchy 列（任意の $\varepsilon>0$ に対し $N$ があって $k,l\geq N$ なら $\|f_k-f_l\|_\infty<\varepsilon$ となる列）は、ある $f\in C(K,\mathbb{R}^m)$ に一様収束する。
$f=(f^{(1)},\dots,f^{(m)})$ と成分に分けると、$\lvert f^{(j)}(x)\rvert\leq\lvert f(x)\rvert\leq\sum_j\lvert f^{(j)}(x)\rvert$ なので、$(f_k)$ が一様 Cauchy であることと各成分 $(f_k^{(j)})$ が一様 Cauchy であることは同値であり、一様収束についても同じである。各成分は $K$ 上の有界な実数値連続関数なので、完備距離空間の記事の命題「有界関数と有界連続関数の空間の完備性」の 2 により、ある有界連続関数 $f^{(j)}$ に一様収束する。$f:=(f^{(1)},\dots,f^{(m)})$ とおけばよい。$\square$
同程度連続性
写像 $f\colon K\to\mathbb{R}^m$ の族 $\mathcal{F}$ が各点有界（pointwise bounded）であるとは、各 $x\in K$ について $\{\lvert f(x)\rvert\mid f\in\mathcal{F}\}$ が有界であることをいう。$\mathcal{F}$ が一様有界（uniformly bounded）であるとは、$M\geq0$ があって、すべての $f\in\mathcal{F}$ と $x\in K$ について $\lvert f(x)\rvert\leq M$ となることをいう。列 $(f_n)$ については、族 $\{f_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ について同じ言葉を使う。
一様有界なら各点有界である。$K$ がコンパクトで $\mathcal{F}\subset C(K,\mathbb{R}^m)$ のとき、一様有界であることは $\mathcal{F}$ が距離空間 $C(K,\mathbb{R}^m)$ の有界集合であることと同じである。
$\mathcal{F}$ を写像 $f\colon K\to\mathbb{R}^m$ の族とする。
- $\mathcal{F}$ が点 $x\in K$ で同程度連続（equicontinuous）であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta>0$ があり、$d(x,y)< \delta$ ならばすべての $f\in\mathcal{F}$ について $\lvert f(x)-f(y)\rvert<\varepsilon$ となることをいう。$K$ のすべての点で同程度連続なとき、$\mathcal{F}$ は $K$ 上で同程度連続であるという。
- $\mathcal{F}$ が一様同程度連続（uniformly equicontinuous）であるとは、任意の $\varepsilon>0$ に対して $\delta>0$ があり、$d(x,y)< \delta$ ならばすべての $f\in\mathcal{F}$ について $\lvert f(x)-f(y)\rvert<\varepsilon$ となることをいう。
連続性・一様連続性（一様連続）の定義との違いは、$\delta$ が関数 $f$ によらずに選べることだけである。したがって同程度連続な族の各元は連続であり、一様同程度連続な族の各元は一様連続である。有限個の連続関数の族は各点で同程度連続である（各関数の $\delta$ の最小値をとればよい）。
| 条件 | $\delta$ がよってよいもの |
|---|---|
| 各 $f$ が連続 | $f$、点 $x$、$\varepsilon$ |
| 各 $f$ が一様連続 | $f$、$\varepsilon$ |
| $\mathcal{F}$ が同程度連続 | 点 $x$、$\varepsilon$ |
| $\mathcal{F}$ が一様同程度連続 | $\varepsilon$ だけ |
$L\geq0$ を定数とし、$\mathcal{F}$ を $\lvert f(x)-f(y)\rvert\leq L\,d(x,y)$（$x,y\in K$）をみたす写像 $f$ 全体とする。$\varepsilon>0$ に対して $\delta:=\varepsilon/(L+1)$ とおけば、$d(x,y)< \delta$ のときすべての $f\in\mathcal{F}$ について $\lvert f(x)-f(y)\rvert\leq L\delta<\varepsilon$ なので、$\mathcal{F}$ は一様同程度連続である。同じく $0<\alpha\leq1$ と $C\geq0$ について $\lvert f(x)-f(y)\rvert\leq C\,d(x,y)^\alpha$ をみたす写像の族（Hölder 条件を共通の定数でみたす族）も、$\delta:=(\varepsilon/(C+1))^{1/\alpha}$ として一様同程度連続である。
とくに、区間 $[a,b]$ 上の微分可能な関数 $f_n$ の導関数が一様有界（$\lvert f_n'\rvert\leq L$）なら、平均値の定理により $\lvert f_n(x)-f_n(y)\rvert\leq L\lvert x-y\rvert$ なので、$\{f_n\}$ は一様同程度連続である。
$[0,1]$ 上の $f_n(x):=x^n$ を考える。各 $f_n$ は連続で、族は一様有界（$0\leq f_n\leq1$）である（満たす性質）。しかし点 $1$ で同程度連続でない（満たさない性質）。実際、$\varepsilon:=1/2$ とすると、どんな $\delta>0$ についても $y\in(1-\delta,1)$ を 1 つとれば $y^n\to0$ なので、十分大きな $n$ で $\lvert f_n(1)-f_n(y)\rvert=1-y^n>1/2$ となる。$0\leq x<1$ の各点では同程度連続である（$x< y_0<1$ となる $y_0$ をとれば、$[0,y_0]$ 上で $\lvert f_n'\rvert\leq ny_0^{n-1}$ は $n$ について有界なので、ex-aa-lipschitz の議論が $[0,y_0]$ の上で使える）。同程度連続性は、族全体が 1 点の近くで「急に変化しない」ことを求めており、$x^n$ は $1$ の近くで $n$ とともにいくらでも急になる。
コンパクトな空間の上では、各点での同程度連続性から一様同程度連続性が従う。これは連続関数がコンパクト集合上で一様連続になること（一様連続の記事の定理「Heine–Cantorの定理」）の、族の版である。
$K$ がコンパクトで、族 $\mathcal{F}$ が $K$ 上で同程度連続なら、$\mathcal{F}$ は一様同程度連続である。
一様同程度連続でないとすると、ある $\varepsilon>0$ について、各 $n\geq1$ に $x_n,y_n\in K$ と $g_n\in\mathcal{F}$ で $d(x_n,y_n)<1/n$ かつ $\lvert g_n(x_n)-g_n(y_n)\rvert\geq\varepsilon$ となるものがある。コンパクトな距離空間は点列コンパクトである（点列コンパクト空間の記事の定理「距離空間における同値性」）ので、部分列 $x_{n_k}$ はある $x\in K$ に収束し、$d(y_{n_k},x)\leq d(y_{n_k},x_{n_k})+d(x_{n_k},x)\to0$ より $y_{n_k}\to x$ でもある。点 $x$ での同程度連続性から $\delta>0$ を、$d(x,z)< \delta$ ならすべての $f\in\mathcal{F}$ で $\lvert f(z)-f(x)\rvert<\varepsilon/2$ となるようにとる。$k$ が大きければ $d(x_{n_k},x)< \delta$ かつ $d(y_{n_k},x)< \delta$ なので
$$
\lvert g_{n_k}(x_{n_k})-g_{n_k}(y_{n_k})\rvert\leq\lvert g_{n_k}(x_{n_k})-g_{n_k}(x)\rvert+\lvert g_{n_k}(x)-g_{n_k}(y_{n_k})\rvert<\varepsilon
$$
となり、選び方に反する。$\square$
以下、コンパクトな $K$ の上では「同程度連続」と「一様同程度連続」を区別しない。
$K$ がコンパクトで、族 $\mathcal{F}$ が各点有界かつ同程度連続なら、$\mathcal{F}$ は一様有界である。
prop-aa-uniform により、$\delta>0$ を、$d(x,y)< \delta$ ならすべての $f\in\mathcal{F}$ で $\lvert f(x)-f(y)\rvert<1$ となるようにとれる。開球 $B(p,\delta)$（$p\in K$）は $K$ を覆うので、コンパクト性から有限個の中心 $p_1,\dots,p_r$ で $K=\bigcup_{i}B(p_i,\delta)$ となる。各点有界性から $M_i:=\sup_{f\in\mathcal{F}}\lvert f(p_i)\rvert<\infty$ である。$x\in K$ は、ある $i$ について $d(x,p_i)< \delta$ をみたすので、すべての $f\in\mathcal{F}$ について $\lvert f(x)\rvert\leq\lvert f(p_i)\rvert+1\leq\max_iM_i+1$ である。$\square$
$K$ がコンパクトで、$f_n\in C(K,\mathbb{R}^m)$ の列が一様収束するなら、$\{f_n\}$ は同程度連続である。
$\varepsilon>0$ をとる。一様収束する列は一様 Cauchy なので、$N$ があって $n\geq N$ なら $\|f_n-f_N\|_\infty<\varepsilon/3$ である。有限個の関数 $f_1,\dots,f_N$ はコンパクトな $K$ 上で一様連続（一様連続の記事の定理「Heine–Cantorの定理」を成分ごとに使う）なので、共通の $\delta>0$ があって $d(x,y)< \delta$ なら $\lvert f_j(x)-f_j(y)\rvert<\varepsilon/3$（$j\leq N$）である。$n>N$ と $d(x,y)< \delta$ について
$$
\lvert f_n(x)-f_n(y)\rvert\leq\lvert f_n(x)-f_N(x)\rvert+\lvert f_N(x)-f_N(y)\rvert+\lvert f_N(y)-f_n(y)\rvert<\varepsilon
$$
である。$\square$
この命題により、同程度連続性は一様収束する部分列をもつための必要条件に近いものだとわかる。次の定理は、各点有界性と合わせればそれが十分でもあることを述べる。
定理の主張と証明
$(K,d)$ をコンパクトな距離空間とし、$f_n\in C(K,\mathbb{R}^m)$（$n\in\mathbb{N}$）を各点有界かつ同程度連続な列とする。このとき $(f_n)$ は一様有界であり、$K$ 上で一様収束する部分列 $(f_{n_k})_{k\in\mathbb{N}}$ をもつ。その極限は $C(K,\mathbb{R}^m)$ に属する。
証明は 3 段からなる。まず可算個の点だけで収束する部分列を対角線論法でとり、次に同程度連続性を使って、その可算個の点での収束を $K$ 全体の一様な収束へ広げる。可算個の点は $K$ の中で稠密にとる必要があり、ここでコンパクト性が効く。
一様有界であることは prop-aa-uniformly-bounded である。
段 1（可算稠密集合）．コンパクトな距離空間は完備かつ全有界であり（全有界の記事の定理「コンパクト性との関係」）、全有界な距離空間は可分である（同じ記事の命題「全有界な距離空間は可分」）。よって $K$ は高々可算な稠密部分集合 $D=\{p_0,p_1,p_2,\dots\}$ をもつ（$D$ が有限なら、番号を繰り返して無限列にしておく）。
段 2（対角線論法）．各 $i\in\mathbb{N}$ と成分 $j=1,\dots,m$ について、実数列 $\bigl(f_n^{(j)}(p_i)\bigr)_{n\in\mathbb{N}}$ は各点有界性により有界である。対 $(i,j)$ は可算個なので、部分列の記事の定理「対角線論法による共通の部分列」により、狭義単調増加な番号の列 $n_0< n_1< \cdots$ で、すべての $i,j$ について $\bigl(f_{n_k}^{(j)}(p_i)\bigr)_k$ が収束するものがある。$g_k:=f_{n_k}$ とおくと、各 $p\in D$ で $(g_k(p))_k$ は $\mathbb{R}^m$ の中で収束し、とくに Cauchy 列である。
段 3（一様 Cauchy 性）．$\varepsilon>0$ をとる。prop-aa-uniform により、$\delta>0$ を、$d(x,y)< \delta$ ならすべての $n$ で $\lvert f_n(x)-f_n(y)\rvert<\varepsilon/3$ となるようにとれる。$D$ は稠密なので、開球 $B(p,\delta)$（$p\in D$）は $K$ を覆う。コンパクト性から、有限個の $q_1,\dots,q_r\in D$ で $K=\bigcup_{s=1}^rB(q_s,\delta)$ となる。有限個の点 $q_s$ での収束から、$N$ があって $k,l\geq N$ ならすべての $s$ について $\lvert g_k(q_s)-g_l(q_s)\rvert<\varepsilon/3$ である。任意の $x\in K$ はある $B(q_s,\delta)$ に属するので、$k,l\geq N$ なら
$$
\lvert g_k(x)-g_l(x)\rvert\leq\underbrace{\lvert g_k(x)-g_k(q_s)\rvert}_{<\varepsilon/3}+\underbrace{\lvert g_k(q_s)-g_l(q_s)\rvert}_{<\varepsilon/3}+\underbrace{\lvert g_l(q_s)-g_l(x)\rvert}_{<\varepsilon/3}<\varepsilon
$$
である。$N$ は $x$ によらないので $\|g_k-g_l\|_\infty\leq\varepsilon$（$k,l\geq N$）であり、$(g_k)$ は一様 Cauchy 列である。prop-aa-complete により、$(g_k)$ はある $g\in C(K,\mathbb{R}^m)$ に一様収束する。$\square$
段 3 で、稠密な $D$ の点を中心にした球で $K$ を覆うところに、同程度連続性の $\delta$ が $n$ によらないことが本質的に使われている。$\delta$ が $n$ に依存すると、有限個の中心 $q_s$ が $n$ ごとに変わり、有限個の点での収束から全体の評価を引き出せない。
コンパクト集合の特徴づけ
定理は、関数空間 $C(K,\mathbb{R}^m)$ のどの部分集合がコンパクトかという問いに完全に答える形に言い換えられる。$\mathbb{R}^m$ では「有界閉集合 $\Leftrightarrow$ コンパクト」だったが、$C(K,\mathbb{R}^m)$ では有界閉集合はコンパクトとは限らず（ex-aa-not-equicontinuous の列を含む閉球がそうである）、同程度連続性を加える必要がある。
$(K,d)$ をコンパクトな距離空間とし、$S\subset C(K,\mathbb{R}^m)$ とする。次は同値である。
- $S$ は（距離 $d_\infty$ について）コンパクトである。
- $S$ は閉集合で、有界で、同程度連続である。
- $S$ は閉集合で、各点有界で、同程度連続である。
(2)⇒(3)：有界なら各点有界である。
(3)⇒(1)：距離空間ではコンパクト性と点列コンパクト性は同値である（点列コンパクト空間の記事の定理「距離空間における同値性」）ので、$S$ の任意の列 $(f_n)$ が $S$ の点に収束する部分列をもつことを示せばよい。$(f_n)$ は各点有界かつ同程度連続なので、thm-aa-main により $d_\infty$ について収束する部分列をもち、$S$ は閉集合なのでその極限は $S$ に属する。
(1)⇒(2)：コンパクト集合は閉集合で有界である（距離空間のコンパクト部分集合は閉で、有限個の半径 $1$ の球で覆える）。同程度連続でないと仮定する。一様同程度連続な族は同程度連続なので、$S$ は一様同程度連続でもなく、ある $\varepsilon>0$ と、$d(x_n,y_n)<1/n$ をみたす $x_n,y_n\in K$ と $h_n\in S$ で $\lvert h_n(x_n)-h_n(y_n)\rvert\geq\varepsilon$ となるものがある。$S$ は点列コンパクトなので、部分列 $(h_{n_k})$ は $d_\infty$ について収束する。prop-aa-convergent-equicontinuous により $\{h_{n_k}\}$ は同程度連続であり、prop-aa-uniform により一様同程度連続である。$\delta>0$ を、$d(x,y)< \delta$ ならすべての $k$ で $\lvert h_{n_k}(x)-h_{n_k}(y)\rvert<\varepsilon$ となるようにとり、$1/n_k< \delta$ となる $k$ を選ぶと $\lvert h_{n_k}(x_{n_k})-h_{n_k}(y_{n_k})\rvert<\varepsilon$ となって矛盾する。$\square$
閉集合の条件を外した形は、閉包のコンパクト性（相対コンパクト性）の判定になる。
$K$ がコンパクトな距離空間で、$S\subset C(K,\mathbb{R}^m)$ が各点有界かつ同程度連続なら、$S$ の閉包 $\overline{S}$ はコンパクトである。
thm-aa-characterization の (3) を $\overline{S}$ について確かめればよい。$f\in\overline{S}$ なら $f$ に一様収束する $S$ の列 $(f_n)$ がある。$\varepsilon>0$ に対し、$S$ の同程度連続性（prop-aa-uniform で一様にとる）の $\delta$ をとると、$d(x,y)< \delta$ のとき $\lvert f_n(x)-f_n(y)\rvert<\varepsilon$ がすべての $n$ で成り立ち、$n\to\infty$ として $\lvert f(x)-f(y)\rvert\leq\varepsilon$ を得る。$\varepsilon$ を取り替えれば $\overline{S}$ は同程度連続である。同様に $\lvert f(x)\rvert=\lim_n\lvert f_n(x)\rvert\leq\sup_{h\in S}\lvert h(x)\rvert$ なので各点有界である。$\square$
各点収束から一様収束へ
同程度連続性は、各点収束を一様収束に格上げする条件としても働く。ここで列 $(f_n)$ が $f$ に各点収束するとは、各 $x\in K$ で $f_n(x)\to f(x)$ となることをいう（一様収束の記事の定義「関数列の各点収束」を $\mathbb{R}^m$ 値に広げたもの）。
$K$ をコンパクトな距離空間、$f_n\in C(K,\mathbb{R}^m)$ を同程度連続な列とし、$(f_n)$ が写像 $f\colon K\to\mathbb{R}^m$ に各点収束するとする。このとき $f$ は連続で、$(f_n)$ は $f$ に一様収束する。
各点収束する列は各点有界である。$(f_n)$ の任意の部分列 $(f_{n_k})$ も各点有界かつ同程度連続なので、thm-aa-main によりさらに一様収束する部分列 $(f_{n_{k_j}})_j$ をもつ。その一様極限 $g\in C(K,\mathbb{R}^m)$ は各点極限でもあるので $g=f$ である。とくに $f$ は連続である。こうして $(f_n)$ の任意の部分列が、$d_\infty$ について $f$ に収束する部分列をもつので、部分列の記事の定理「部分列の部分列による収束の判定」を距離空間 $C(K,\mathbb{R}^m)$ の点列 $(f_n)$ に当てて、$f_n\to f$（$d_\infty$）を得る。$\square$
ex-aa-not-equicontinuous の $x^n$ は $[0,1]$ 上で各点収束するが、極限は $x=1$ で $1$、それ以外で $0$ という不連続な関数であり、一様収束しない。この命題の結論が成り立たないのは、同程度連続性が点 $1$ で破れているからである。
例
$f_n\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ を微分可能な関数の列とし、$\lvert f_n'\rvert\leq L$（すべての $n$ と $x$）、さらにある点 $x_0\in[a,b]$ で $(f_n(x_0))$ が有界（$\lvert f_n(x_0)\rvert\leq M_0$）であるとする。ex-aa-lipschitz により $\{f_n\}$ は同程度連続であり、
$$
\lvert f_n(x)\rvert\leq\lvert f_n(x_0)\rvert+L\lvert x-x_0\rvert\leq M_0+L(b-a)
$$
なので一様有界である。よって thm-aa-main により $(f_n)$ は一様収束する部分列をもつ。導関数の有界性は「値の変化の速さ」をそろえる条件で、同程度連続性を確かめる最も手軽な方法である。Peanoの存在定理の証明では、Euler 法の折れ線の傾きが右辺の上界で抑えられることから、この形で部分列をとり出す。
$f_n\colon[a,b]\to\mathbb{R}$ を Riemann 積分可能な関数の列で $\lvert f_n\rvert\leq M$ をみたすものとし、$F_n(x):=\int_a^xf_n(t)\,dt$ とおく。$f_n$ 自身は連続とも収束するとも限らないが、$x< y$ なら Riemann積分の記事の定理「区間についての加法性」と命題「積分の単調性と絶対値の評価」により
$$
\lvert F_n(y)-F_n(x)\rvert=\Bigl\lvert\int_x^yf_n(t)\,dt\Bigr\rvert\leq M(y-x),\qquad\lvert F_n(x)\rvert\leq M(b-a)
$$
である。よって $\{F_n\}$ は共通の Lipschitz 定数 $M$ をもつ一様有界な連続関数の族であり、$(F_n)$ は一様収束する部分列をもつ。積分は関数を「なめらかにする」ので、有界な関数の列から同程度連続な列が得られる。
$k\colon[0,1]\times[0,1]\to\mathbb{R}$ を連続関数とし、$f\in C([0,1],\mathbb{R})$ に対して
$$
(Tf)(x):=\int_0^1k(x,t)f(t)\,dt
$$
とおく。$\|f\|_\infty\leq1$ をみたす $f$ 全体を $B$ とすると、$T(B)$ の閉包はコンパクトである。実際、$k$ はコンパクトな正方形の上で一様連続なので、$\varepsilon>0$ に対し $\delta>0$ があって $\lvert x-y\rvert< \delta$ ならすべての $t$ で $\lvert k(x,t)-k(y,t)\rvert<\varepsilon$ となる。すると $f\in B$ について
$$
\lvert(Tf)(x)-(Tf)(y)\rvert\leq\int_0^1\lvert k(x,t)-k(y,t)\rvert\,\lvert f(t)\rvert\,dt\leq\varepsilon
$$
であり（とくに $Tf$ は連続）、$T(B)$ は同程度連続で、$\lvert(Tf)(x)\rvert\leq\max\lvert k\rvert$ から一様有界である。cor-aa-relatively-compact により $\overline{T(B)}$ はコンパクトである。有界集合の像の閉包がコンパクトになる線形写像をコンパクト作用素といい、この例はその最も基本的なものである。
$0<\alpha\leq1$、$C\geq0$ とし、コンパクトな距離空間 $K$ 上の実数値関数で
$$
\lvert f(x)\rvert\leq1,\qquad\lvert f(x)-f(y)\rvert\leq C\,d(x,y)^\alpha\qquad(x,y\in K)
$$
をみたすもの全体を $S$ とする。$S$ は $C(K,\mathbb{R})$ の中でコンパクトである。実際、$S$ は有界で、ex-aa-lipschitz により同程度連続である。$S$ の列が $f$ に一様収束すれば、2 つの不等式は各点ごとの極限で保たれるので $f\in S$ であり、$S$ は閉集合である。よって thm-aa-characterization の (2) が成り立つ。Hölder空間の記事の定理「Hölder指数を下げるコンパクト埋め込み」は、この事実を各階の導関数に当て、Hölder 半ノルムの補間評価と組み合わせて得られる。
反例：条件を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 同程度連続性 | $K=[0,1]$、$f_n(x)=x^n$ | 一様収束する部分列の存在 |
| 各点有界性 | $K=[0,1]$、$f_n(x)=n$（定数関数） | 一様収束する部分列の存在 |
| $K$ のコンパクト性 | $K=\mathbb{R}$、$f_n(x)=\max\{0,\,1-\lvert x-n\rvert\}$ | 一様収束する部分列の存在 |
1 行目：$f_n$ は連続で $0\leq f_n\leq1$ なので各点有界であり、コンパクトな $K$ の上にある（満たす性質）。同程度連続でないことは ex-aa-not-equicontinuous で見た（満たさない性質）。部分列 $(f_{n_k})$ が一様収束したとすると、その極限は prop-aa-complete により連続であり、しかも各点極限 $\lim_kx^{n_k}$ に等しい。各点極限は $x< 1$ で $0$、$x=1$ で $1$ であり連続でないので矛盾する。破れる含意は「コンパクト空間上の各点有界な連続関数の列は一様収束する部分列をもつ」である。
2 行目：定数関数の族は同程度連続である（$\lvert f_n(x)-f_n(y)\rvert=0$）が、各点有界でない。どの部分列も各点で $\infty$ に発散するので、一様にも各点でも収束しない。
3 行目：各 $f_n$ は高さ $1$ の三角形の山で、$\lvert f_n(x)-f_n(y)\rvert\leq\lvert x-y\rvert$ なので族は一様同程度連続であり、$0\leq f_n\leq1$ なので一様有界である（満たす性質）。定義域 $\mathbb{R}$ はコンパクトでない（満たさない性質）。各 $x$ について $n>\lvert x\rvert+1$ なら $f_n(x)=0$ なので、$(f_n)$ は $0$ に各点収束する。部分列が一様収束すれば極限は各点極限の $0$ でなければならないが、$\sup_{x}\lvert f_{n_k}(x)\rvert=f_{n_k}(n_k)=1$ なので一様収束しない。山が無限の彼方へ逃げていくことが、コンパクトでない定義域で起きる現象である。ただし、どの有界閉区間 $[-R,R]$ の上でも、$n>R+1$ なら $f_n=0$ なので一様収束は成り立つ。
補足
- 位相空間の上の形：$K$ がコンパクトな位相空間でも、同程度連続性を「各点 $x$ と $\varepsilon>0$ に対し $x$ の近傍 $U$ があって、$y\in U$ ならすべての $f\in\mathcal{F}$ で $\lvert f(x)-f(y)\rvert<\varepsilon$」と定めれば、$\mathcal{F}\subset C(K,\mathbb{R}^m)$ の閉包がコンパクトであることは $\mathcal{F}$ が同程度連続かつ各点有界であることと同値である（Mun00 Theorem 45.4、p. 278。この記事では証明しない）。さらに $K$ が局所コンパクト Hausdorff 空間なら、コンパクト集合上の一様収束（広義一様収束）の位相について同様の特徴づけが成り立つ（Mun00 Theorem 47.1、p. 290。この記事では証明しない）。3 行目の反例は、$\mathbb{R}$ 上では一様収束ではなく広義一様収束で考えるべきことを示している。
- 出典：同程度連続性の定義は Rud76 Definition 7.22（p. 156）、一様収束する列の同程度連続性は Theorem 7.24（p. 157）、主定理は Theorem 7.25（p. 158）にある。Leb26b では Theorem 11.6.9（p. 174）が主定理、Corollary 11.6.10（p. 175）が閉・有界・同程度連続な集合のコンパクト性、Corollary 11.6.11（p. 175）が ex-aa-derivative である。各点収束と同程度連続性から一様収束を導く prop-aa-pointwise-to-uniform は Rud76 第 7 章の演習 16（p. 168）、ex-aa-integrals は演習 18、thm-aa-characterization は演習 19（同頁）として扱われている。常微分方程式の教科書では、区間上の形が Tes12 Theorem 2.18（p. 55）にある。
- 応用：Peanoの存在定理（右辺が連続なだけで初期値問題の解が存在する）、Montelの定理（局所一様有界な正則関数の族は正規族）、コンパクト作用素の基本的な例（ex-aa-integral-operator）がこの定理から得られる。
関連項目
- 前提: 一様収束, コンパクト空間, 完備距離空間, 全有界
- 比較: Bolzano–Weierstrassの定理, 一様連続
- 直後に読む: Peanoの存在定理
- 発展: Montelの定理, コンパクト作用素, Hölder空間
参考文献
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