Wallis積分からStirlingの公式へ

$I_0=\int_0^{\pi/2}1\,dx=\frac\pi2$、$I_1=\bigl[-\cos x\bigr]_0^{\pi/2}=1$ である。部分積分で指数を 2 つ下げると、$n\ge2$ で漸化式
$$ I_n=\frac{n-1}{n}\,I_{n-2} $$
が成り立つ（Wallis積分（高校数学））。これを使うと
$$ I_2=\frac12\cdot\frac\pi2=\frac\pi4,\qquad I_3=\frac23\cdot1=\frac23,\qquad I_4=\frac34\cdot\frac\pi4=\frac{3\pi}{16},\qquad I_5=\frac45\cdot\frac23=\frac8{15} $$
である。$I_2=\frac\pi4$ は、$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}2$ を使う高校の計算の答えと一致する。指数が偶数なら $\pi$ の有理数倍、奇数なら有理数になる。

$2\,I_2I_1=2\cdot\frac\pi4\cdot1=\frac\pi2$、$3\,I_3I_2=3\cdot\frac23\cdot\frac\pi4=\frac\pi2$、$4\,I_4I_3=4\cdot\frac{3\pi}{16}\cdot\frac23=\frac\pi2$ である。偶数番目と奇数番目は形が違うが、隣どうしを掛けて番号を掛けると、いつも $\frac\pi2$ になる。

$\sqrt n\,I_n$ を計算すると、$n=10$ で $1.2224\ldots$、$n=100$ で $1.25018\ldots$、$n=1000$ で $1.253000\ldots$ であり、$\sqrt{\frac\pi2}=1.25331\ldots$ に近づく。つまり $n$ が大きいとき、$I_n$ はおよそ $\sqrt{\frac\pi{2n}}$ である。

$10!=3628800$ に対して、$\sqrt{2\pi\cdot10}\,(10/e)^{10}=3598695.6\ldots$ であり、比は $1.0083\ldots$ である。この近似式 $\sqrt{2\pi n}\,(n/e)^n$ に現れる $\pi$ は、Wallis 積分の $I_0=\frac\pi2$ から来ている。

• 漸化式 $I_n=\frac{n-1}nI_{n-2}$ は $n\ge2$ でだけ使える。$n=1$ では右辺に現れる $I_{-1}=\int_0^{\pi/2}\frac{dx}{\sin x}$ が有限の値をもたないので、漸化式はそもそも意味をもたない。証明の部分積分（$f(x)=\sin^{n-1}x$、$g(x)=-\cos x$ とおく）をたどると、$n=1$ では境界の項が $0$ ではなく $1$ になる（$I_1=1$ はこの境界の項そのもの）。また、$n=1$ では $f(x)=\sin^0x=1$ は定数なので $f'=0$ であり、残りの項 $\int_0^{\pi/2}f'g\,dx$ は $0$ である（Wallis積分（高校数学））。
• $I_n\sim\sqrt{\frac\pi{2n}}$ の証明では、積の保存 $nI_nI_{n-1}=\frac\pi2$ に加えて、単調性 $I_n< I_{n-1}$ を使う。$a_0=a_1=1$ から同じ漸化式で作った数列は積の保存を満たすが単調でなく、隣り合う項の比 $\frac{a_{2m}}{a_{2m+1}}$ は $1$ ではなく $\frac2\pi=0.6366\ldots$ に近づく（Wallisの公式（高校数学））。
• $n!$ を $(n/e)^n$ だけで近似すると足りない。比 $\frac{n!}{(n/e)^n}$ は $n=10$ で $7.99\ldots$ であり、$\sqrt{2\pi n}$（$n=10$ で $7.92\ldots$）の程度で大きくなっていく（階乗の大きさの見積もり）。
• 「漸近的に等しい」は比が $1$ に近づくという意味で、差が小さくなるという意味ではない。$10!=3628800$ と $\sqrt{20\pi}\,(10/e)^{10}=3598695.6\ldots$ の差は約 $3.0\times10^4$ あり、この差は $n$ とともに大きくなる（階乗の大きさの見積もり）。