Dedekindの独立性定理(指標)
概要
Dedekindの独立性定理(指標)（Dedekind's theorem on linear independence of characters）とは、モノイド $H$ から体 $K$ の乗法群 $K^\times$ への相異なる準同型（指標）$\chi_1,\dots,\chi_n$ が、$H$ 上の関数として $K$ 上線形独立であるという定理である。とくに体 $L$ から体 $M$ への相異なる準同型は $M$ 上線形独立であり、$K$ 上の準同型 $L\to M$ が $[L:K]$ 個以下であること、ちょうど $[L:K]$ 個あれば基底での値の行列式が $0$ でないことが従う。Galois 理論の基本的な不等式や Hilbert の定理 90 の証明の出発点になる。
Dedekindの独立性定理(指標)（Dedekind's theorem on linear independence of characters）とは、群（より一般にモノイド）$H$ から体 $K$ の乗法群 $K^\times$ への相異なる準同型 $\chi_1,\dots,\chi_n$ が、$H$ 上の $K$ 値関数として $K$ 上線形独立であるという定理である。すなわち、$c_1,\dots,c_n\in K$ がすべての $h\in H$ で $c_1\chi_1(h)+\cdots+c_n\chi_n(h)=0$ を満たすなら、$c_1=\cdots=c_n=0$ である。
とくに、体 $L$ から体 $M$ への相異なる準同型（埋め込み）は、$L$ 上の関数として $M$ 上線形独立である。Galois 理論では、これが「有限次拡大 $L/K$ の $K$ 上の自己同型は $[L:K]$ 個以下」「有限群 $G$ の固定体 $L^G$ について $[L:L^G]\le\lvert G\rvert$」という不等式の出発点になり、Hilbertの定理90 や 正規底定理 の証明でも使われる。証明は、最も短い一次関係をとり、変数をずらしてより短い関係を作るという一行の議論である。
| 結果 | 内容 |
|---|---|
| thm-ded-main | 相異なる指標は線形独立 |
| cor-ded-embeddings | 相異なる体の準同型は線形独立 |
| cor-ded-count | $K$ 上の準同型 $L\to M$ は $[L:K]$ 個以下 |
| cor-ded-determinant | $[L:K]$ 個の準同型と基底の行列式は $0$ でない |
定義
モノイドとは、結合的な積と単位元 $1$ をもつ集合のことであり、群はモノイドである。体 $K$ の $0$ でない元の全体 $K^\times$ は積についてモノイド（群）である。
$H$ をモノイド、$K$ を体とする。
- モノイドの準同型 $\chi\colon H\to K^\times$、すなわち $\chi(1)=1$、$\chi(xy)=\chi(x)\chi(y)$（$x,y\in H$）を満たす写像を、$H$ の $K$ に値をとる指標（character）という。
- 写像 $f_1,\dots,f_n\colon H\to K$ が $K$ 上線形独立であるとは、$c_1,\dots,c_n\in K$ がすべての $h\in H$ で $\sum_ic_if_i(h)=0$ を満たすなら $c_1=\cdots=c_n=0$ となることをいう。これは $f_i$ が、点ごとの和とスカラー倍で $K$ ベクトル空間になる写像の空間 $K^H$ の元として線形独立であることと同じである。
有限群の表現論では、表現の跡として定まる類関数も「指標」と呼ぶ（群の指標）。1 次元の表現の指標は上の意味の指標であるが、2 次元以上の表現の指標は準同型ではない。この記事の指標はすべて 1 次元のものである。
体の準同型 $\sigma\colon L\to M$（環の準同型で $\sigma(1)=1$ を満たすもの）は単射であり、$L^\times$ を $M^\times$ に写すので、制限 $\sigma|_{L^\times}$ は $L^\times$ の $M$ に値をとる指標である。$\sigma(0)=0$ なので、$\sigma$ の値は $\sigma|_{L^\times}$ で決まる。
主定理
$H$ をモノイド、$K$ を体とし、$\chi_1,\dots,\chi_n\colon H\to K^\times$ を相異なる指標とする。このとき $\chi_1,\dots,\chi_n$ は $K$ 上線形独立である。
結論が成り立たないとし、自明でない関係 $\sum_ic_i\chi_i=0$（$H$ 上の関数として）のうち、$0$ でない係数の個数 $r$ が最小のものをとる。番号を付け替えて $c_1,\dots,c_r$ がすべて $0$ でなく、ほかの係数は $0$ であるとする。$r=1$ なら $h=1$ を代入して $c_1=c_1\chi_1(1)=0$ となり矛盾するので、$r\ge2$ である。
$\chi_1\neq\chi_2$ なので、$\chi_1(z)\neq\chi_2(z)$ となる $z\in H$ がある。関係式の $h$ を $zh$ に替えると、$\chi_i(zh)=\chi_i(z)\chi_i(h)$ から、すべての $h$ について
$$
\sum_{i=1}^rc_i\chi_i(z)\chi_i(h)=0
$$
である。もとの関係式に $\chi_1(z)$ を掛けて引くと、すべての $h$ について
$$
\sum_{i=2}^rc_i\bigl(\chi_i(z)-\chi_1(z)\bigr)\chi_i(h)=0
$$
となる。$\chi_2$ の係数 $c_2(\chi_2(z)-\chi_1(z))$ は $0$ でないので、これは $0$ でない係数が高々 $r-1$ 個の自明でない関係であり、$r$ の最小性に反する。$\square$
証明で値が $K^\times$ に入ることを使ったのは、$r=1$ の場合の $\chi_1(1)\neq0$ だけである。積を保つ写像 $\chi\colon H\to K$ について、$\chi(1)=0$ なら $\chi(h)=\chi(h)\chi(1)=0$ がすべての $h$ で成り立つ。したがって、積を保ち恒等的に $0$ でない相異なる写像 $H\to K$ も、同じ証明で線形独立である（$\chi(1)^2=\chi(1)\neq0$ から $\chi(1)=1$ となる）。
$H$ の $K$ に値をとる相異なる指標の全体は、$K^H$ の線形独立な部分集合である。とくに、$H$ が有限なら、相異なる指標は高々 $\lvert H\rvert$ 個である。
線形独立性は有限個の元についての条件なので、thm-ded-main から従う。$H$ が有限なら $\dim_KK^H=\lvert H\rvert$ である。$\square$
有限群では、自明な指標 $\mathbf 1$（値がつねに $1$）との関係がもう少し具体的に分かる。
$H$ を有限群、$\chi\colon H\to K^\times$ を自明でない指標とすると、$\sum_{h\in H}\chi(h)=0$ である。とくに、$H$ 上の関数 $\varphi$ に $\sum_h\varphi(h)$ を対応させる線形形式は、$\mathbf 1$ では $\lvert H\rvert$、ほかの指標では $0$ をとる。
$\chi(z)\neq1$ となる $z\in H$ をとり、$S:=\sum_h\chi(h)$ とおく。$h\mapsto zh$ は $H$ の全単射なので $S=\sum_h\chi(zh)=\chi(z)S$ であり、$(1-\chi(z))S=0$ から $S=0$ である。$\square$
$\lvert H\rvert$ が $K$ の標数で割り切れなければ、この線形形式は関係 $\sum_ic_i\chi_i=0$ から $\mathbf 1$ の係数を取り出す。$\chi_i\bar\chi_j$（$\bar\chi_j(h):=\chi_j(h)^{-1}$）に当てはめれば、各係数 $c_j$ を取り出せるので、有限群でこの標数の条件があるときは thm-ded-main の別証明になる。thm-ded-main の証明はこの条件も $H$ の有限性も使わない。
体の準同型への応用
$L,M$ を体、$\sigma_1,\dots,\sigma_n\colon L\to M$ を相異なる体の準同型とする。$c_1,\dots,c_n\in M$ がすべての $x\in L$ で $\sum_ic_i\sigma_i(x)=0$ を満たすなら、$c_1=\cdots=c_n=0$ である。
$\sigma_i$ は $0$ を $0$ に写すので、$\sigma_i$ が相異なることは $\sigma_i|_{L^\times}$ が相異なることと同じである。関係式を $L^\times$ に制限し、thm-ded-main を $H=L^\times$、値の体 $M$ に当てはめればよい。$\square$
$K\subset L$、$K\subset M$ を体の拡大とし、$K$ の元を動かさない体の準同型 $L\to M$ を $K$ 準同型という。
$L/K$ を $n=[L:K]$ 次の有限次拡大、$M$ を $K$ の拡大体とする。$K$ 準同型 $L\to M$ は高々 $n$ 個である。とくに、$L$ の $K$ 上の自己同型は高々 $n$ 個である。
$e_1,\dots,e_n$ を $L$ の $K$ 上の基底とし、相異なる $K$ 準同型 $\sigma_1,\dots,\sigma_m$ があって $m>n$ であると仮定する。$M^n$ の $m$ 個のベクトル $(\sigma_i(e_1),\dots,\sigma_i(e_n))$ は線形従属なので、すべては $0$ でない $c_1,\dots,c_m\in M$ で $\sum_ic_i\sigma_i(e_j)=0$（すべての $j$）となるものがある。$x=\sum_ja_je_j$（$a_j\in K$）について、$\sigma_i(a_j)=a_j$ から $\sum_ic_i\sigma_i(x)=\sum_ja_j\sum_ic_i\sigma_i(e_j)=0$ となり、cor-ded-embeddings に反する。$\square$
自己同型についての主張は Galois拡大 の補題「自己同型の個数の上界」でもあり、同じ記事の「Artinの不等式」「Artinの定理」（有限群 $G\subset\operatorname{Aut}(L)$ について $[L:L^G]=\lvert G\rvert$）も、この線形独立性から導かれる。
$L/K$ を $n=[L:K]$ 次の有限次拡大、$M$ を $K$ の拡大体とし、相異なる $K$ 準同型 $\sigma_1,\dots,\sigma_n\colon L\to M$ がちょうど $n$ 個あるとする。$L$ の $K$ 上の基底 $e_1,\dots,e_n$ について、$n$ 次正方行列 $\bigl(\sigma_i(e_j)\bigr)_{i,j}$ の行列式は $0$ でない。
行列式が $0$ なら行は $M$ 上線形従属であり、すべては $0$ でない $c_1,\dots,c_n\in M$ で $\sum_ic_i\sigma_i(e_j)=0$（すべての $j$）となるものがある。cor-ded-count の証明と同じ計算で $\sum_ic_i\sigma_i=0$ が $L$ 全体で成り立ち、cor-ded-embeddings に反する。$\square$
$L/K$ が有限次の分離拡大なら、$K$ の代数閉包 $M$ への $K$ 準同型 $\sigma_1,\dots,\sigma_n$ はちょうど $n=[L:K]$ 個あり、トレースは $\operatorname{Tr}_{L/K}=\sum_i\sigma_i$ である（体のノルムとトレース の定理「埋め込みによる表示」）。$A:=\bigl(\sigma_i(e_j)\bigr)$ とおくと ${}^tA\,A=\bigl(\sum_i\sigma_i(e_je_k)\bigr)_{j,k}=\bigl(\operatorname{Tr}_{L/K}(e_je_k)\bigr)_{j,k}$ なので、$(\det A)^2$ は基底の判別式に等しい。こうしてトレース形式が非退化であることが従う（体のノルムとトレース の定理「分離性とトレース形式」）。Dedekind はもともとこの行列式の形で定理を扱い、指標の線形独立性という形と上の短い証明は Artin による（Lan02 Chapter VI §4、p. 284）。
例
- $a_1,\dots,a_n\in K^\times$ を相異なる元とする。加法のモノイド $\mathbb{Z}_{\ge0}$ の指標 $\nu\mapsto a_i^\nu$ に thm-ded-main を当てはめると、すべての $\nu\ge0$ で $\sum_ic_ia_i^\nu=0$ なら $c_1=\cdots=c_n=0$ である（Lan02 Chapter VI, Corollary 4.2、p. 284）。$\nu=0,\dots,n-1$ だけを使えば Vandermondeの行列式 からも出る主張であり、thm-ded-main はそれを行列式を計算せずに与える。
- 相異なる $a_1,\dots,a_n\in\mathbb{C}$ について、$x\mapsto e^{a_ix}$ は加法群 $\mathbb{R}$ の $\mathbb{C}$ に値をとる指標である。$x=0$ での微分係数が $a_i$ なので、これらは相異なる。よって関数 $e^{a_1x},\dots,e^{a_nx}$ は $\mathbb{C}$ 上線形独立である。これは定数係数の線形常微分方程式の解の基本系が一次独立であることの一部である。
$N\ge1$ について、群 $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ の $\mathbb{C}$ に値をとる指標（Dirichlet指標 を $(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times$ 上の関数とみたもの）は、cor-ded-infinite により線形独立で、個数は $\varphi(N)=\lvert(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})^\times\rvert$ 以下である。有限アーベル群の指標の直交関係（巡回群の指標と直交関係）を使うと、ちょうど $\varphi(N)$ 個で基底をなすことまで分かるが、線形独立性だけなら直交関係を使わずに出る。
$L=\mathbb{Q}(\alpha)$、$\alpha=\sqrt[3]{2}$ とし、$\omega=e^{2\pi i/3}$ とする。$\mathbb{Q}$ 準同型 $L\to\mathbb{C}$ は $\alpha$ を $x^3-2$ の根 $\alpha,\omega\alpha,\omega^2\alpha$ のどれかに写す 3 つ $\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3$ である。基底 $1,\alpha,\alpha^2$ について $\bigl(\sigma_i(\alpha^{j-1})\bigr)$ は根 $\alpha_i:=\sigma_i(\alpha)$ の Vandermonde 行列で、行列式 $\prod_{i< j}(\alpha_j-\alpha_i)$ は $0$ でない。これは cor-ded-determinant の具体例である。一方、$L$ の $\mathbb{Q}$ 上の自己同型は、$L\subset\mathbb{R}$ に入る根が $\alpha$ だけなので恒等写像だけで、cor-ded-count の上界 $3$ に達しない。
$q=p^n$ とし、$\phi(x)=x^p$ を有限体 $\mathbb{F}_q$ の Frobenius 自己同型とする。$\mathrm{id},\phi,\dots,\phi^{n-1}$ は相異なる自己同型なので、cor-ded-embeddings により $\mathbb{F}_q$ 上線形独立である。これは直接にも確かめられる。$\sum_{i< n}c_ix^{p^i}$ が $\mathbb{F}_q$ のすべての元で $0$ なら、次数が $p^{n-1}< q$ 以下の多項式が $q$ 個の根をもつので、多項式として $0$、すなわち $c_i=0$ である。
反例：仮定を外すと崩れること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 相異なる | $\chi_1=\chi_2$ | $\chi_1-\chi_2=0$ は自明でない関係 |
| 積を保つ | $\mathbb{Z}\to\mathbb{Q}$、$f_1(m)=m$、$f_2(m)=2m$ | 加法の準同型どうしで $2f_1-f_2=0$ |
| 恒等的に $0$ でない | 積を保つ写像 $\chi\equiv0\colon H\to K$ | $1\cdot\chi=0$ |
| 値が体 | $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ から環 $R=\mathbb{Q}\times\mathbb{Q}$ の単元群への 2 つの準同型 | 係数 $(0,1)$、$(0,-1)$ の関係がある |
2 行目。 $f_1,f_2$ は加法群 $\mathbb{Z}$ から加法群 $\mathbb{Q}$ への相異なる準同型で、乗法群への準同型ではない。$2f_1(m)-f_2(m)=0$ がすべての $m$ で成り立つ。
3 行目。 $\chi\equiv0$ は $\chi(xy)=\chi(x)\chi(y)$ を満たすが、$\chi(1)=0$ で、値は $K^\times$ に入らない。thm-ded-main の証明の $r=1$ の段がここで崩れる。
4 行目。 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}=\{0,g\}$ とし、$\chi_1\equiv(1,1)$、$\chi_2(0)=(1,1)$、$\chi_2(g)=(-1,1)$ とおく。どちらも $R^\times$ への準同型で、相異なる。$c_1=(0,1)$、$c_2=(0,-1)$ とすると、$c_1\chi_1+c_2\chi_2$ は $0$ で $(0,1)-(0,1)=0$、$g$ で $(0,1)-(0,1)=0$ である。$R$ は零因子 $(1,0)(0,1)=0$ をもつ環で、証明の最後の「$c_2(\chi_2(z)-\chi_1(z))\neq0$」が成り立たない（$c_2(\chi_2(g)-\chi_1(g))=(0,-1)(-2,0)=0$）。$\square$
補足
thm-ded-main が述べるのは線形独立性であり、多項式の関係までは排除しない。ex-ded-frobenius の $\mathbb{F}_{p^2}$ では $\phi(x)=\mathrm{id}(x)^p$ なので、$\mathrm{id}$ と $\phi$ は線形独立だが、多項式 $Y-X^p$ の関係をもつ。一方、無限体 $K$ の有限な自己同型群の相異なる元は、$K$ 上代数的に独立である（Lan02 Chapter VI, Theorem 12.2、p. 311。この記事では証明しない）。
- Hilbertの定理90 の証明では、Galois 群の元を係数付きで足した写像 $\sum_\sigma x_\sigma\sigma$（$x_\sigma\in L^\times$）やトレース $\sum_\sigma\sigma$ が恒等的に $0$ でないことを、この線形独立性から得る（Galoisコホモロジー の証明も同じ）。正規底定理 と Kummer理論 でも同じ線形独立性が使われる。
- 群の場合の定理と体の準同型の場合の系は DF04 §14.2 の Theorem 7（p. 569）と Corollary 8（p. 570）、モノイドの場合は Lan02 Chapter VI の Theorem 4.1（p. 283）にある。
関連項目
- 前提: 体, 線形独立, 群, 体の拡大
- 道具: Vandermondeの行列式, 分離拡大
- 例: Dirichlet指標, 巡回群の指標と直交関係, 有限体, 指数関数
- 比較: 群の指標, 体のノルムとトレース
- 発展: Galois拡大, Hilbertの定理90, 正規底定理, Kummer理論
参考文献
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