楕円（高校数学）

方針：1 ⇒ 2 は、根号を 1 つ移項して 2 乗し、残った根号を 1 つにしてもう一度 2 乗する。2 ⇒ 1 は、恒等式 $(\ast)$ で $PF$ を $x$ の 1 次式に直し、根号を外すときの符号を $|x|\le a$ で確かめる。
段 1（1 ⇒ 2：1 回目の 2 乗）。$PF'=2a-PF$ の両辺を 2 乗すると $PF'^2=4a^2-4a\cdot PF+PF^2$ である。$PF'^2-PF^2=(x+c)^2-(x-c)^2=4cx$ なので、$4cx=4a^2-4a\cdot PF$、つまり
$$ a\cdot PF=a^2-cx $$
である。
段 2（1 ⇒ 2：2 回目の 2 乗）。段 1 の両辺を 2 乗すると $a^2PF^2=(a^2-cx)^2$ で、$(\ast)$ の左辺が $0$ になる。よって $b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2$ で、両辺を $a^2b^2>0$ で割ると 2 を得る。
段 3（2 ⇒ 1：$PF$ を求める）。2 を仮定すると $(\ast)$ の右辺は $0$ なので、$a^2PF^2=(a^2-cx)^2$ である。両辺の正の平方根をとると $a\cdot PF=|a^2-cx|$ である。
段 4（2 ⇒ 1：符号を決める）。2 から $\frac{x^2}{a^2}=1-\frac{y^2}{b^2}\le1$ なので $|x|\le a$ である。$0< c< a$ なので $cx\le c|x|\le ca< a^2$ で、$a^2-cx>0$ である。よって $a\cdot PF=a^2-cx$、つまり $PF=a-\frac cax$ である。同じように $(\ast)$ の $PF'$ 版から $a\cdot PF'=|a^2+cx|=a^2+cx$ で、$PF'=a+\frac cax$ である。
段 5（2 ⇒ 1：まとめる）。足すと $PF+PF'=2a$ で、1 が成り立つ。最後に、$c>0$ から $b^2=a^2-c^2< a^2$ で $b< a$、$c< a$ から $b^2>0$ で $b>0$ である。また $c^2=a^2-b^2$ から $c=\sqrt{a^2-b^2}$ である。$\square$

方針：座標を入れかえる操作が距離を変えないことを使って、thm-ell-standard に帰着させる。
段 1（入れかえは距離を変えない）。点 $(x,y)$ に点 $(y,x)$ を対応させる。2 点 $(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$ の距離 $\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ は、入れかえた 2 点 $(y_1,x_1)$、$(y_2,x_2)$ の距離と等しい（2 つの 2 乗の順番が変わるだけ）。
段 2（帰着させる）。$c=\sqrt{b^2-a^2}>0$ とおく。点 $P(x,y)$ に対し $Q(y,x)$ とおくと、$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ は「$Q$ の座標 $(X,Y)=(y,x)$ が $\frac{X^2}{b^2}+\frac{Y^2}{a^2}=1$ を満たす」と同じである。$b>a$ なので thm-ell-standard（$a$ と $b$ の役を入れかえたもの）から、これは $QG+QG'=2b$（$G(c,0)$、$G'(-c,0)$）と同値である。
段 3（戻す）。$G$、$G'$ を入れかえた点は $F(0,c)$、$F'(0,-c)$ で、段 1 から $QG=PF$、$QG'=PF'$ である。よって $P$ が方程式を満たすことは $PF+PF'=2b$ と同値である。後半の $p=q$ の場合は、両辺に $p^2$ を掛けると $x^2+y^2=p^2$ になるので円である（円の方程式）。$\square$

1：方程式は $x^2$ と $y^2$ だけを含むので、$(x,y)$ が満たせば $(x,-y)$、$(-x,y)$、$(-x,-y)$ も満たす。
2：$\frac{x^2}{a^2}=1-\frac{y^2}{b^2}\le1$ から $x^2\le a^2$、同じく $y^2\le b^2$ である。
3：楕円上では $y^2=b^2\left(1-\frac{x^2}{a^2}\right)$ なので
$$ OP^2=x^2+y^2=b^2+\Bigl(1-\frac{b^2}{a^2}\Bigr)x^2 $$
である。$a>b$ から $1-\frac{b^2}{a^2}>0$ で、2 から $0\le x^2\le a^2$ である。よって $OP^2$ は $x^2=0$ のとき最小値 $b^2$、$x^2=a^2$ のとき最大値 $b^2+a^2-b^2=a^2$ をとり、それ以外の $x$ では $b^2$ と $a^2$ の間の値である。$x^2=0$ の点は $(0,\pm b)$、$x^2=a^2$ の点は $(\pm a,0)$ である。$\square$

方針：移した点が楕円の上にあることと、逆向きの対応で戻せることを示す。
段 1（円の点は楕円に移る）。$(x,y)$ が $x^2+y^2=a^2$ を満たすとし、$(X,Y)=\varphi(x,y)=\left(x,\frac bay\right)$ とおく。
$$ \frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{b^2y^2}{a^2b^2}=\frac{x^2+y^2}{a^2}=1 $$
なので、$(X,Y)$ は楕円の上にある。
段 2（逆向き）。楕円上の点 $(X,Y)$ に $\left(X,\frac abY\right)$ を対応させると、同じ計算を逆にたどって、これは円の上の点で、$\varphi$ で $(X,Y)$ に移る。$\varphi$ は異なる 2 点を異なる 2 点に移す（$y$ 座標を $0$ でない数倍するだけ）ので、対応は 1 対 1 である。$\square$

楕円の内部は、$-a\le x\le a$ の範囲で、曲線 $y=\frac ba\sqrt{a^2-x^2}$ と $y=-\frac ba\sqrt{a^2-x^2}$ にはさまれた部分である（$\frac{y^2}{b^2}\le1-\frac{x^2}{a^2}$ を $y$ について解いた）。よって面積は
$$ \int_{-a}^{a}2\cdot\frac ba\sqrt{a^2-x^2}\,dx=\frac ba\int_{-a}^{a}2\sqrt{a^2-x^2}\,dx $$
である。右の積分 $\int_{-a}^{a}2\sqrt{a^2-x^2}\,dx$ は、同じように考えて半径 $a$ の円の内部の面積 $\pi a^2$ に等しい（定積分と面積）。したがって面積は $\frac ba\cdot\pi a^2=\pi ab$ である。$\square$