モノイダル圏

同義語：monoidal category

概要

モノイダル圏は、対象を掛け合わせる双関手 $\otimes$、単位対象 $I$、結合律と単位律を表す自然同型を備えた圏である。ベクトル空間のテンソル積のように、$(X\otimes Y)\otimes Z$ と $X\otimes(Y\otimes Z)$ は通常は等しくないため、自然同型で結び、その同型どうしに五角形公理と三角形公理を課す。集合の直積、ベクトル空間のテンソル積、自己関手の合成を同じ形式で扱え、モノイド対象・豊穣圏・組紐付き圏の基礎になる。

定義

圏 $\mathcal C$ 上の 双関手とは、積圏からの関手
$$ \otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\longrightarrow\mathcal C $$
である。対象 $(X,Y)$ の像を $X\otimes Y$、射 $(f,g)$ の像を $f\otimes g$ と書く。

モノイダル圏

モノイダル圏（monoidal category）は、次のデータからなる。

圏 $\mathcal C$。
双関手 $\otimes\colon\mathcal C\times\mathcal C\to\mathcal C$。
単位対象 $I\in\mathcal C$。
結合同型と左右の単位同型
$$ \alpha_{X,Y,Z}\colon(X\otimes Y)\otimes Z\xrightarrow{\sim}X\otimes(Y\otimes Z), $$
$$ \lambda_X\colon I\otimes X\xrightarrow{\sim}X, \qquad \rho_X\colon X\otimes I\xrightarrow{\sim}X, $$
からなる自然同型族。
これらは、任意の $W,X,Y,Z$ に対する 五角形公理
$$ \alpha_{W,X,Y\otimes Z}\circ\alpha_{W\otimes X,Y,Z} =(\operatorname{id}_W\otimes\alpha_{X,Y,Z}) \circ\alpha_{W,X\otimes Y,Z} \circ(\alpha_{W,X,Y}\otimes\operatorname{id}_Z) $$
と、任意の $X,Y$ に対する 三角形公理
$$ (\operatorname{id}_X\otimes\lambda_Y)\circ\alpha_{X,I,Y} =\rho_X\otimes\operatorname{id}_Y $$
を満たす。組 $(\mathcal C,\otimes,I,\alpha,\lambda,\rho)$ を、文脈上混乱がなければ単に $\mathcal C$ と書く。

厳格モノイダル圏

モノイダル圏が厳格（strict）であるとは、対象について
$$ (X\otimes Y)\otimes Z=X\otimes(Y\otimes Z),\qquad I\otimes X=X=X\otimes I $$
が文字どおり等しく、$\alpha,\lambda,\rho$ が恒等射であることをいう。

一般のモノイダル圏ではこれらは等式ではなく指定された同型である。「自然に同型だから同じ」と略記するときも、背後では整合性公理が働いている。

直感

通常のモノイドでは積 $(xy)z=x(yz)$ と単位元 $1x=x=x1$ は等式として成り立つ。圏の対象を掛け合わせると、括弧の異なる二つの対象は同型でも、構成上は同じ対象でないことが多い。そこで等式を自然同型 $\alpha,\lambda,\rho$ に弱める。
ただし同型を無秩序に選ぶだけでは、四つ以上の対象の括弧を付け替える経路によって異なる射が生じる。五角形公理と三角形公理はこの不定性を除く最小の整合条件である。Mac Laneのコヒーレンス定理により、これらの公理から、結合・単位同型だけで作るすべての正準的な図式の可換性が従う MacL98 Chapter VII。

例と反例

集合の直積

集合の圏 $\mathbf{Set}$ は、直積 $X\times Y$ と一点集合 $\{*\}$ により対称モノイダル圏になる。結合同型は $((x,y),z)\mapsto(x,(y,z))$、単位同型は $(*,x)\mapsto x$ と $(x,*)\mapsto x$ である。これらは自然だが、通常の順序対の構成では等式ではないので、このモノイダル圏は厳格ではない。

ベクトル空間のテンソル積

可換環 $k$ 上の加群の圏 $\mathsf{Mod}(k)$ は、テンソル積 $\otimes_k$ と単位対象 $k$ により対称モノイダル圏になる。特に $k$ が体ならベクトル空間の圏 $\mathsf{Vect}_k$ を得る。結合同型と単位同型は純テンソル上で
$$ (u\otimes v)\otimes w\longmapsto u\otimes(v\otimes w),\qquad a\otimes v\longmapsto av $$
と定まる。

自己関手の合成

圏 $\mathcal C$ の自己関手と自然変換からなる圏 $[\mathcal C,\mathcal C]$ は、関手の合成をテンソル積、恒等関手を単位対象として厳格モノイダル圏になる。関手の合成は対象・射への作用として厳密に結合的であり、恒等関手との合成も厳密に元の関手に等しい。

反例：結合的な双関手だけでは足りない

空でない集合と写像の圏 $\mathbf{Set}_{\ne\emptyset}$ 上で非交和 $\sqcup$ を考える。非交和には自然な結合同型がある。しかし単位対象になるべき空集合はこの圏の対象でない。実際、空でない $I$ なら $I\sqcup\{*\}$ は少なくとも2元を持ち、$\{*\}$ と同型でない。したがって単位対象が存在せず、$(\mathbf{Set}_{\ne\emptyset},\sqcup)$ はモノイダル圏でない。これは双関手と結合性だけでは定義を満たさないことを示す。

双関手から従う性質

テンソル積の交換法則

射
$$ X\xrightarrow{f}X'\xrightarrow{f'}X'',\qquad Y\xrightarrow{g}Y'\xrightarrow{g'}Y'' $$
に対して
$$ (f'\circ f)\otimes(g'\circ g) =(f'\otimes g')\circ(f\otimes g),\qquad \operatorname{id}_X\otimes\operatorname{id}_Y=\operatorname{id}_{X\otimes Y} $$
が成り立つ。

テンソル積の交換法則の証明

$\otimes$ は積圏 $\mathcal C\times\mathcal C$ から $\mathcal C$ への関手である。積圏での合成は
$$ (f',g')\circ(f,g)=(f'\circ f,g'\circ g) $$
であり、恒等射は $(\operatorname{id}_X,\operatorname{id}_Y)$ である。関手が合成と恒等射を保存することをこの二つに適用すれば、主張の二式を得る。

テンソル積は同型を保つ

$f\colon X\to X'$ と $g\colon Y\to Y'$ が同型射なら、$f\otimes g\colon X\otimes Y\to X'\otimes Y'$ も同型射であり、逆射は $f^{-1}\otimes g^{-1}$ である。

テンソル積が同型を保つことの証明

前命題により
$$ (f^{-1}\otimes g^{-1})\circ(f\otimes g) =(f^{-1}\circ f)\otimes(g^{-1}\circ g) =\operatorname{id}_{X\otimes Y}. $$
逆順の合成も同様に $\operatorname{id}_{X'\otimes Y'}$ になる。よって $f^{-1}\otimes g^{-1}$ は $f\otimes g$ の逆射である。

左右のテンソルは関手である

対象 $A\in\mathcal C$ を固定すると、対応
$$ A\otimes-\colon\mathcal C\to\mathcal C,\qquad -\otimes A\colon\mathcal C\to\mathcal C $$
は関手を定める。

左右のテンソルが関手であることの証明

$A\otimes-$ は対象 $X$ を $A\otimes X$、射 $f$ を $\operatorname{id}_A\otimes f$ に送る。前命題を $A$ 側の恒等射に適用すると
$$ (\operatorname{id}_A\otimes g)\circ(\operatorname{id}_A\otimes f) =\operatorname{id}_A\otimes(g\circ f) $$
となり、恒等射も保存される。したがって関手である。$-\otimes A$ も同様である。

モノイダル関手

強モノイダル関手

モノイダル圏 $\mathcal C,\mathcal D$ の間の 強モノイダル関手（strong monoidal functor）は、関手 $F\colon\mathcal C\to\mathcal D$ と自然同型
$$ \phi_{X,Y}\colon F(X)\otimes F(Y)\xrightarrow{\sim}F(X\otimes Y),\qquad \phi_0\colon I_{\mathcal D}\xrightarrow{\sim}F(I_{\mathcal C}) $$
からなり、$\phi$ が両圏の結合同型・左右の単位同型と整合するものをいう。具体的には、三つの対象に対する二つの合成
$$ (F(X)\otimes F(Y))\otimes F(Z)\longrightarrow F(X\otimes(Y\otimes Z)) $$
が一致し、$I_{\mathcal D}\otimes F(X)$ と $F(X)\otimes I_{\mathcal D}$ から $F(X)$ への合成が単位同型に一致することを要求する。

$\phi_{X,Y}$ と $\phi_0$ を同型でなく一般の射として同じ向きに持つものを lax monoidal functor、逆向きの射を持つものを oplax monoidal functor という。本記事で単にモノイダル関手というときは強モノイダル関手を指す。

モノイド対象

モノイダル圏 $(\mathcal C,\otimes,I)$ の モノイド対象（monoid object）は、対象 $M$、乗法 $\mu\colon M\otimes M\to M$、単位 $\eta\colon I\to M$ からなり、
$$ \mu\circ(\mu\otimes\operatorname{id}_M) =\mu\circ(\operatorname{id}_M\otimes\mu)\circ\alpha_{M,M,M}, $$
$$ \mu\circ(\eta\otimes\operatorname{id}_M)=\lambda_M,\qquad \mu\circ(\operatorname{id}_M\otimes\eta)=\rho_M $$
を満たすものをいう。

集合のモノイド対象

直積モノイダル圏 $(\mathbf{Set},\times,\{*\})$ のモノイド対象を与えることは、通常の単位的モノイドを与えることと同じである。

集合のモノイド対象の証明

写像 $\mu\colon M\times M\to M$ を二項演算 $(x,y)\mapsto xy$ と読む。結合同型 $((x,y),z)\mapsto(x,(y,z))$ のもとでモノイド対象の結合図式を元 $(x,y,z)$ に適用すると $(xy)z=x(yz)$ を得る。写像 $\eta\colon\{*\}\to M$ は元 $e:=\eta(*)$ の指定と同じであり、左右の単位図式は $ex=x$ と $xe=x$ になる。逆に通常のモノイド $(M,\cdot,e)$ からこの $\mu,\eta$ を定めれば、結合律と単位律によりモノイド対象の三つの図式が可換になる。

同様に $(\mathsf{Mod}(k),\otimes_k,k)$ のモノイド対象は単位的結合的 $k$-代数である。自己関手の合成モノイダル圏のモノイド対象はモナドになる。このように、同じ図式が異なる基礎圏で異なる代数構造を表す。

組紐・対称性・厳格化

組紐付きモノイダル圏と対称モノイダル圏

モノイダル圏 $\mathcal C$ が 組紐付き（braided）であるとは、自然同型
$$ \beta_{X,Y}\colon X\otimes Y\xrightarrow{\sim}Y\otimes X $$
を備え、$\alpha$ と $\beta$ に関する二つの六角形公理を満たすことをいう。さらに
$$ \beta_{Y,X}\circ\beta_{X,Y}=\operatorname{id}_{X\otimes Y} $$
が成り立つとき 対称モノイダル圏（symmetric monoidal category）という。

組紐は単なる「各 $X,Y$ について何らかの同型がある」という条件ではなく、自然性と六角形公理を含む追加構造である。例えば $\mathbf{Set}$ の直積や $\mathsf{Mod}(k)$ のテンソル積は因子交換によって対称である一方、組紐付きだが対称でない例も量子群の表現圏などに現れる。

Mac Laneの厳格化定理

任意のモノイダル圏は、ある厳格モノイダル圏と強モノイダル同値である MacL98 Chapter VII。

厳格化定理の意味

厳格化定理は、もとの圏で $(X\otimes Y)\otimes Z$ と $X\otimes(Y\otimes Z)$ が等しいと主張するのではない。別の厳格モノイダル圏へ強モノイダル同値で移せるという主張である。また、追加構造を持つ高次圏などでは同じ形の厳格化が常に成り立つわけではない。