作用素ノルム
概要
作用素ノルム（operator norm）とは、ノルム空間 $V$ から $W$ への線形写像 $T$ に対し、長さ $1$ 以下のベクトルの像の長さの上限 $\|T\|=\sup_{\|x\|\le1}\|Tx\|$ として定める量であり、有限のときは $\|Tx\|\le C\|x\|$ がすべての $x$ で成り立つ最小の $C$ に等しい。値が有限な線形写像の全体はこれによりノルム空間になり、合成について $\|ST\|\le\|S\|\,\|T\|$ が成り立つ。行列では、$\ell^1$・$\ell^\infty$ ノルムに関する作用素ノルムは列和・行和の最大値、Euclid ノルムに関するものは $A^*A$ の最大固有値の平方根になる。上限は有限次元では達成されるが、無限次元では達成されないことがある。
作用素ノルム（operator norm）とは、ノルム空間 $V$ からノルム空間 $W$ への線形写像 $T$ に対して
$$
\|T\|=\sup\{\|Tx\|\mid x\in V,\ \|x\|\le1\}
$$
で定める量である。長さ $1$ 以下のベクトルが $T$ で写ったあとの長さの上限、つまり $T$ がベクトルを最大で何倍に伸ばすかを測る。この値が有限な線形写像（有界線形作用素）の全体はこの量によってノルム空間になり、合成について $\|S\circ T\|\le\|S\|\,\|T\|$ が成り立つ。
行列 $A$ を線形写像 $x\mapsto Ax$ とみると、数ベクトル空間に入れるノルムを 1 つ選ぶごとに作用素ノルムが 1 つ決まる。$\ell^1$ ノルムと $\ell^\infty$ ノルムでは列和・行和の最大値という明示式があり、Euclid ノルムでは $A^*A$ の最大固有値の平方根になる（thm-opn-matrix）。作用素ノルムは、級数 $\sum_kT^k$ や行列の指数関数 $\sum_kA^k/k!$ の収束の評価、作用素の列の収束、線形方程式の誤差の評価に使う基本の物差しである。
定義
以下、係数体 $\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ とする（ノルム空間 の記事の $F$ にあたる）。
$V,W$ を $\mathbb{K}$ 上のノルム空間、$T\colon V\to W$ を線形写像とする。
$$
\|T\|:=\sup\{\|Tx\|\mid x\in V,\ \|x\|\le1\}\in[0,\infty]
$$
を $T$ の作用素ノルムという。$\|T\|< \infty$ のとき $T$ は有界であるといい、$V$ から $W$ への有界な線形写像の全体を $B(V,W)$、$B(V):=B(V,V)$ と書く。
右辺の $\|x\|$ は $V$ のノルム、$\|Tx\|$ は $W$ のノルムで、左辺はそれらから作る新しい量である。同じ記号を 3 つの意味で使うが、何に付いているかで区別できる。閉単位球 $\{x\mid\|x\|\le1\}$ はつねに $0$ を含むので、上限は $[0,\infty]$ の値として必ず定まる（$V=\{0\}$ なら $\|T\|=0$）。$V$ や $W$ のノルムを取り替えると作用素ノルムも変わるので、どのノルムに関するものかを示す必要があるときは $\|T\|_{V\to W}$ のように書く。定義と記号は Axl20 Definition 6.43（p. 167）、Bre11 §2.2 の Notation（p. 32。Brezis は $B(V,W)$ を筆記体の $L$ で書く）による。
作用素ノルムが有限であることは $T$ が連続であることと同値である（有界線形作用素 の定理「有界性と連続性の同値」）。図形でいえば、有限のときの $\|T\|$ は閉単位球の像 $T(\{\|x\|\le1\})$ を中心 $0$ の閉球で囲むときの最小の半径である。
4 つの言い換え
定義の上限は、単位球面の上でとっても、比 $\|Tx\|/\|x\|$ でとっても同じ値になる。とくに 4 の形「$\|Tx\|\le C\|x\|$ を満たす最小の $C$」が、計算でいちばんよく使われる（Axl20 Exercises 6C の 16（p. 171）。有限次元の内積空間では Axl24 7.88（p. 282））。
$V\ne\{0\}$ をノルム空間、$T\colon V\to W$ を線形写像とする。次の 4 つの量はすべて $\|T\|$ に等しい（値 $\infty$ も込めて）。
- $\sup\{\|Tx\|\mid x\in V,\ \|x\|=1\}$
- $\sup\{\|Tx\|\mid x\in V,\ \|x\|< 1\}$
- $\sup\{\|Tx\|/\|x\|\mid x\in V,\ x\ne0\}$
- $\inf\{C\ge0\mid \text{すべての } x\in V \text{ について } \|Tx\|\le C\|x\|\}$（そのような $C$ がないときは $\infty$）
さらに $\|T\|< \infty$ なら、4 の下限は最小値であり、すべての $x\in V$ について
$$ \|Tx\|\le\|T\|\,\|x\| $$
が成り立つ。
1〜4 の量を $a_1,\dots,a_4$、$a:=\|T\|$ とおく。
$a_3=a_1$：$x\ne0$ なら $u:=x/\|x\|$ は $\|u\|=1$ で、線形性から $\|Tx\|/\|x\|=\|Tu\|$ である。逆に $\|u\|=1$ のベクトル $u$ は $u\ne0$ で $\|Tu\|/\|u\|=\|Tu\|$ である。よって 2 つの上限は同じ集合の上限である。
$a=a_1$：単位球面は閉単位球に含まれるので $a_1\le a$ である。逆に $\|x\|\le1$ とする。$x=0$ なら $\|Tx\|=0\le a_1$ である（$V\ne\{0\}$ なので単位球面は空でなく、$a_1\ge0$）。$x\ne0$ なら $\|Tx\|=\|x\|\,\|T(x/\|x\|)\|\le\|x\|\,a_1\le a_1$ である（$a_1=\infty$ なら自明）。上限をとって $a\le a_1$ を得る。
$a=a_2$：開単位球は閉単位球に含まれるので $a_2\le a$ である。逆に $\|x\|\le1$ と $0< s< 1$ をとると $\|sx\|< 1$ なので $s\|Tx\|=\|T(sx)\|\le a_2$ であり、$s\to1$ として $\|Tx\|\le a_2$、上限をとって $a\le a_2$ を得る。
$a=a_4$：$C$ が 4 の条件を満たせば、$\|x\|\le1$ のとき $\|Tx\|\le C$ なので $a\le C$ である。よって $a\le a_4$ である。$a=\infty$ なら条件を満たす $C$ はなく、$a_4=\infty=a$ である。$a< \infty$ なら、$a_3=a$ から $x\ne0$ について $\|Tx\|\le a\|x\|$、$x=0$ でも両辺は $0$ なので、$C=a$ が条件を満たす。よって $a_4\le a$ で、下限 $a_4=a$ は $C=a$ で達成される。$\square$
$V\ne\{0\}$ を仮定するのは、$V=\{0\}$ では 1 の単位球面も 3 の $0$ でないベクトルの集合も空になり、上限が意味をもたなくなるからである（$V=\{0\}$ なら $\|T\|=0$ であり、2 と 4 と最後の不等式 $\|Tx\|\le\|T\|\,\|x\|$ はそのまま成り立つ）。
ノルムとしての性質
作用素ノルムは $B(V,W)$ の上のノルムであり、合成と両立する（Axl20 6.46（p. 168）と Exercises 6C の 17（p. 171）、Axl24 7.87（p. 281））。
$U,V,W$ を $\mathbb{K}$ 上のノルム空間とする。
- $B(V,W)$ は $V$ から $W$ への線形写像全体のなすベクトル空間の部分空間であり、作用素ノルムは $B(V,W)$ 上のノルムである。
- （劣乗法性）$T\in B(U,V)$、$S\in B(V,W)$ なら $S\circ T\in B(U,W)$ であり、$\|S\circ T\|\le\|S\|\,\|T\|$ である。とくに $T\in B(V)$ と $k\ge1$ について $\|T^k\|\le\|T\|^k$ である。
- $V\ne\{0\}$ なら、恒等写像 $I_V$ について $\|I_V\|=1$ である。
$V=\{0\}$ なら $B(V,W)$ は零写像だけからなり、1 は明らかである。以下 1 では $V\ne\{0\}$ とする。
1：$S,T\in B(V,W)$、$c\in\mathbb{K}$、$\|x\|\le1$ とすると
$$
\|(S+T)x\|\le\|Sx\|+\|Tx\|\le\|S\|+\|T\|,\qquad \|(cT)x\|=|c|\,\|Tx\|
$$
である。上限をとると $\|S+T\|\le\|S\|+\|T\|$ と $\|cT\|=|c|\,\|T\|$ を得る（$|c|$ 倍は上限と交換する）。とくに $B(V,W)$ は和とスカラー倍で閉じ、零写像を含むので部分空間である。$\|T\|=0$ なら prop-opn-formulas の最後の不等式から、すべての $x$ で $\|Tx\|\le0$、すなわち $T=0$ である。$\|T\|\ge0$ は定義から明らかなので、ノルムの 3 条件が成り立つ。
2：$U=\{0\}$ なら両辺は $0$ である。$U\ne\{0\}$ なら、prop-opn-formulas の最後の不等式を 2 回使うと
$$
\|S(Tx)\|\le\|S\|\,\|Tx\|\le\|S\|\,\|T\|\,\|x\|\qquad(x\in U)
$$
であり、同命題の 4 により $\|S\circ T\|\le\|S\|\,\|T\|$ である。冪については $k$ についての帰納法で $\|T^{k+1}\|=\|T\circ T^k\|\le\|T\|\,\|T^k\|\le\|T\|^{k+1}$ となる。
3：$\|I_Vx\|=\|x\|$ なので $\|I_V\|\le1$ であり、$x\ne0$ について $u=x/\|x\|$ とおけば $\|I_Vu\|=1$ なので $\|I_V\|=1$ である。$\square$
$W$ が完備なら $B(V,W)$ は作用素ノルムについて完備である（Banach空間 の定理「有界線形写像の空間の完備性」）。したがって $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ で $V\ne\{0\}$ が Banach空間 なら、$B(V)$ は合成を積とし恒等写像 $I_V$ を単位元として Banach代数 になる（$\|I_V\|=1$ は thm-opn-basic の 3）。劣乗法性 2 は、作用素の冪や級数を評価するときの基本の道具である。たとえば正方行列 $A$ について、各部分和が $\bigl\|\sum_{k=0}^N A^k/k!\bigr\|\le\sum_{k=0}^N\|A\|^k/k!$ を満たすので、極限をとって
$$
\|e^A\|\le e^{\|A\|}
$$
を得る（行列の指数関数）。同じ評価から、$V$ が Banach 空間で $\|T\|< 1$ なら級数 $\sum_{k\ge0}T^k$ が $B(V)$ で収束して $I-T$ の逆写像を与え、$\|(I-T)^{-1}\|\le1/(1-\|T\|)$ となる（Neumann級数）。
行列の作用素ノルム
$\mathbb{K}^n$ のベクトル $x=(x_1,\dots,x_n)$ に、次の 3 つのノルムを考える。
$$
\|x\|_1:=\sum_{j=1}^n|x_j|,\qquad \|x\|_2:=\Bigl(\sum_{j=1}^n|x_j|^2\Bigr)^{1/2},\qquad \|x\|_\infty:=\max_{1\le j\le n}|x_j|.
$$
$\mathbb{K}$ の元を成分とする $m\times n$ 行列 $A=(a_{ij})$ を線形写像 $\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}^m$、$x\mapsto Ax$ とみて、定義域と終域に同じ種類のノルム $\|\cdot\|_p$（$p=1,2,\infty$）を入れたときの作用素ノルムを $\|A\|_p$ と書く。有限次元の空間からの線形写像はつねに有界なので（ノルム空間 の系「有限次元ノルム空間の性質」の 2）、これらは有限の値である。
$A=(a_{ij})$ を $\mathbb{K}$ の元を成分とする $m\times n$ 行列とする（$m,n\ge1$）。
- $\|A\|_1=\max_{1\le j\le n}\sum_{i=1}^m|a_{ij}|$（列の絶対値の和の最大値）。
- $\|A\|_\infty=\max_{1\le i\le m}\sum_{j=1}^n|a_{ij}|$（行の絶対値の和の最大値）。
- $A^*$ を $A$ の共役転置（$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ なら転置）とすると、$n$ 次正方行列 $A^*A$ の固有値はすべて $0$ 以上の実数であり、その最大値を $\lambda_{\max}$ とすれば $\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}}$ である。
1：$c:=\max_j\sum_i|a_{ij}|$ とおく。三角不等式と和の順序の交換により
$$
\|Ax\|_1=\sum_{i=1}^m\Bigl|\sum_{j=1}^na_{ij}x_j\Bigr|\le\sum_{j=1}^n|x_j|\sum_{i=1}^m|a_{ij}|\le c\,\|x\|_1
$$
なので $\|A\|_1\le c$ である。最大値を与える列を $j_0$ とし、標準基底のベクトル $e_{j_0}$ をとると、$\|e_{j_0}\|_1=1$ で $\|Ae_{j_0}\|_1=\sum_i|a_{ij_0}|=c$ だから $\|A\|_1\ge c$ である。
2：$r:=\max_i\sum_j|a_{ij}|$ とおく。$\|x\|_\infty\le1$ なら各 $i$ で $|(Ax)_i|\le\sum_j|a_{ij}|\,|x_j|\le r$ なので $\|A\|_\infty\le r$ である。最大値を与える行を $i_0$ とし、$a_{i_0j}\ne0$ なら $x_j:=\overline{a_{i_0j}}/|a_{i_0j}|$、$a_{i_0j}=0$ なら $x_j:=1$ とおく。$\|x\|_\infty=1$ であり、$(Ax)_{i_0}=\sum_j|a_{i_0j}|=r$ なので $\|Ax\|_\infty\ge r$、よって $\|A\|_\infty\ge r$ である。
3：まず $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ とし、$\mathbb{C}^n$ に標準内積 $\langle x,y\rangle:=\sum_jx_j\overline{y_j}$ を入れる。$B:=A^*A$ は $B^*=B$ を満たすので、スペクトル定理 の定理「有限次元の自己共役スペクトル定理」により、$B$ の固有ベクトルからなる $\mathbb{C}^n$ の正規直交基底 $u_1,\dots,u_n$ と実数 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ で $Bu_k=\lambda_ku_k$ となるものがある。$\lambda_k=\langle Bu_k,u_k\rangle=\langle Au_k,Au_k\rangle=\|Au_k\|_2^2\ge0$ である。$x=\sum_kc_ku_k$ と展開すると $\|x\|_2^2=\sum_k|c_k|^2$ であり、
$$
\|Ax\|_2^2=\langle Ax,Ax\rangle=\langle Bx,x\rangle=\sum_{k=1}^n\lambda_k|c_k|^2\le\lambda_{\max}\|x\|_2^2
$$
である。よって $\|A\|_2\le\sqrt{\lambda_{\max}}$ で、$\lambda_k=\lambda_{\max}$ となる $u_k$ では等号が成り立つから $\|A\|_2=\sqrt{\lambda_{\max}}$ である。
$\mathbb{K}=\mathbb{R}$ のときは、$A$ を複素行列とみたときの作用素ノルムが、実のベクトルだけで測った $\|A\|_2$ と等しいことを示せば、上の結果に帰着する（$A^*A=A^{\mathsf T}A$ はどちらの見方でも同じ行列である）。
実数の場合の確かめを開く
実のベクトルは複素ベクトルでもあるので、複素の作用素ノルムは実のもの以上である。逆に $z=x+iy$（$x,y\in\mathbb{R}^n$）とすると、$A$ が実行列なので $Az=Ax+iAy$ であり、$\|Az\|_2^2=\|Ax\|_2^2+\|Ay\|_2^2\le\|A\|_2^2(\|x\|_2^2+\|y\|_2^2)=\|A\|_2^2\|z\|_2^2$ となる。$\square$
3 の $\sqrt{\lambda_{\max}}$ は $A$ の最大の特異値である（特異値分解。Axl24 7.85（p. 280）・7.88 (a)（p. 282））。$\|A\|_1$ と $\|A\|_\infty$ は成分から直接求まるが、$\|A\|_2$ は固有値問題を解かないと求まらない。$A^*$ は $\|A^*\|_1=\|A\|_\infty$ を満たす（列和と行和が入れ替わる）。
$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$ とする。列の絶対値の和は $4$ と $6$、行の絶対値の和は $3$ と $7$ なので、$\|A\|_1=6$、$\|A\|_\infty=7$ である。$A^{\mathsf T}A=\begin{pmatrix}10&14\\14&20\end{pmatrix}$ の固有値は、跡 $30$ と行列式 $4$ から $\lambda^2-30\lambda+4=0$ の解 $15\pm\sqrt{221}$ であり、
$$
\|A\|_2=\sqrt{15+\sqrt{221}}\approx5.465
$$
である。同じ行列でも、ベクトルの長さの測り方を替えると作用素ノルムは変わる。
固有値との関係
$V$ を $\mathbb{K}$ 上のノルム空間、$T\in B(V)$ とし、$\lambda\in\mathbb{K}$ と $v\ne0$ が $Tv=\lambda v$ を満たすとする。このとき $|\lambda|^k\le\|T^k\|\le\|T\|^k$（$k\ge1$）である。とくに $\mathbb{C}^n$ にどのノルムを入れても、複素正方行列 $A$ の固有値はすべて $|\lambda|\le\|A\|$ を満たす。
$T^kv=\lambda^kv$ なので、$|\lambda|^k\|v\|=\|T^kv\|\le\|T^k\|\,\|v\|$ であり、$\|v\|>0$ で割ればよい。右の不等式は thm-opn-basic の 2 である。$\square$
$k$ を大きくしてから $k$ 乗根をとると、固有値の絶対値の最大値（スペクトル半径）が $\|A^k\|^{1/k}$ の極限で表されることが分かる（スペクトル半径 の定理「Gelfand のスペクトル半径公式」）。一方、作用素ノルムそのものは固有値だけでは決まらない。
$N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ の固有値は $0$ だけだが、$Ne_2=e_1$ なので $\|N\|_1=\|N\|_2=\|N\|_\infty=1$ である（thm-opn-matrix でも確かめられる）。prop-opn-eigenvalue の不等式は等号になるとは限らない。
これに対して、$A$ が Hermite 行列（$A^*=A$）なら $\|A\|_2$ は固有値の絶対値の最大値に等しい。実際、$A$ の正規直交な固有基底 $u_k$（固有値 $\lambda_k$ は実数。スペクトル定理 の定理「有限次元の自己共役スペクトル定理」）について $A^*Au_k=A^2u_k=\lambda_k^2u_k$ なので、$A^*A$ の固有値は $\lambda_k^2$ であり、thm-opn-matrix の 3 から $\|A\|_2=\max_k|\lambda_k|$ となる（固有ベクトルからなる正規直交基底をもつ作用素について Axl24 7.90（p. 283））。上の $N$ は $N^*\ne N$ であり、この等式の仮定を満たさない。
$n$ 次正方行列の Frobenius ノルム を $\|A\|_F:=\bigl(\sum_{i,j}|a_{ij}|^2\bigr)^{1/2}$ と定める。これは $\mathbb{K}^{n\times n}$ を $\mathbb{K}^{n^2}$ とみたときの Euclid ノルムなので行列の空間の上のノルムであり、次を満たす。
$$
\|A\|_2\le\|A\|_F\le\sqrt n\,\|A\|_2,\qquad \|AB\|_F\le\|A\|_F\,\|B\|_F.
$$
しかし $n\ge2$ なら、$\mathbb{K}^n$ のどのノルムから作った作用素ノルムとも一致しない。どの作用素ノルムでも単位行列 $I$ は $\|I\|=1$ を満たす（thm-opn-basic の 3）のに、$\|I\|_F=\sqrt n>1$ だからである。劣乗法的な行列のノルムがすべて作用素ノルムになるわけではない。
不等式の確かめを開く
$A$ の第 $i$ 行と $x$ に Cauchy–Schwarz の不等式を使うと $|(Ax)_i|^2\le\bigl(\sum_j|a_{ij}|^2\bigr)\|x\|_2^2$ で、$i$ について足すと $\|Ax\|_2\le\|A\|_F\|x\|_2$、よって $\|A\|_2\le\|A\|_F$ である。$A$ の第 $j$ 列は $Ae_j$ なので $\|A\|_F^2=\sum_j\|Ae_j\|_2^2\le n\|A\|_2^2$ である。$B$ の第 $j$ 列を $b_j$ とすると $AB$ の第 $j$ 列は $Ab_j$ なので、$\|AB\|_F^2=\sum_j\|Ab_j\|_2^2\le\|A\|_2^2\sum_j\|b_j\|_2^2\le\|A\|_F^2\|B\|_F^2$ である。
関数空間の上の作用素
無限次元の空間では、作用素ノルムの計算に関数の性質が入ってくる。次の例は、上限を与える関数が空間の中にないとき、近似によって下からの評価を作る典型である。
$C([0,1])$ に上限ノルム $\|f\|_\infty=\max_{[0,1]}|f|$ を入れる。$k\colon[0,1]^2\to\mathbb{K}$ を連続関数とし、
$$
(Kf)(x):=\int_0^1k(x,y)f(y)\,dy
$$
と定めると、$K$ は $C([0,1])$ から自分自身への線形写像で
$$
\|K\|=\max_{0\le x\le1}\int_0^1|k(x,y)|\,dy
$$
である。上からの評価は $|(Kf)(x)|\le\int_0^1|k(x,y)|\,dy\,\|f\|_\infty$ から直ちに出る。下からの評価では、最大値をとる $x_0$ で $k(x_0,y)$ の偏角を打ち消す関数 $\overline{k(x_0,y)}/|k(x_0,y)|$ を使いたいが、これは $k(x_0,y)=0$ となる所で連続とは限らないので、$0$ の近くで切り詰めた連続関数で近似する。
確かめを開く
$k$ は $[0,1]^2$ 上で一様連続なので $Kf$ は連続であり、$g(x):=\int_0^1|k(x,y)|\,dy$ も連続である。$g$ の最大値を $M=g(x_0)$ とする。上からの評価は $|(Kf)(x)|\le g(x)\|f\|_\infty\le M\|f\|_\infty$ である。下からの評価のために、$\varepsilon>0$ について $f_\varepsilon(y):=\overline{k(x_0,y)}/\max\{|k(x_0,y)|,\varepsilon\}$ とおく。$f_\varepsilon$ は連続で $|f_\varepsilon|\le1$ である。各 $y$ で $|k(x_0,y)|^2/\max\{|k(x_0,y)|,\varepsilon\}\ge|k(x_0,y)|-\varepsilon$ が成り立つ（$|k(x_0,y)|\ge\varepsilon$ なら左辺は $|k(x_0,y)|$、そうでなければ左辺は $0$ 以上で右辺は負）。よって
$$\|K\|\ge|(Kf_\varepsilon)(x_0)|=\int_0^1\frac{|k(x_0,y)|^2}{\max\{|k(x_0,y)|,\varepsilon\}}\,dy\ge M-\varepsilon$$
であり、$\varepsilon\to0$ として $\|K\|\ge M$ を得る。
Banach空間 $C([0,1])$ の上で $M< 1$ なら、Neumann 級数により、積分方程式 $f-Kf=h$ は任意の $h\in C([0,1])$ に対してただ 1 つの連続な解 $f=\sum_{j\ge0}K^jh$ をもつ。作用素ノルムの値が、解の存在と一意性の判定にそのまま使える。
上限は達成されるか
定義の上限は、有限次元では最大値になるが、無限次元では達成されないことがある。
$V\ne\{0\}$ を有限次元のノルム空間、$W$ をノルム空間とする。任意の線形写像 $T\colon V\to W$ について、$\|x_0\|=1$ かつ $\|Tx_0\|=\|T\|$ となる $x_0\in V$ が存在する。
ノルム空間 の系「有限次元ノルム空間の性質」の 2 により $T$ は有界、したがって連続であり、$x\mapsto\|Tx\|$ は連続関数である。単位球面 $S=\{x\mid\|x\|=1\}$ は連続関数 $x\mapsto\|x\|$ による閉集合 $\{1\}$ の逆像なので閉集合で、有界であり、同じ系の 3 によりコンパクトである。$V\ne\{0\}$ なので $S$ は空でない。コンパクト集合上の連続関数は最大値をとるので、$S$ 上で $\|Tx\|$ が最大となる $x_0$ があり、prop-opn-formulas の 1 によりその値は $\|T\|$ である。$\square$
平方総和可能な数列の空間 $\ell^2$（ℓp空間。ノルム $\|x\|_2=(\sum_{n\ge1}|x_n|^2)^{1/2}$）の上で、
$$
Dx:=\Bigl(\bigl(1-\tfrac1n\bigr)x_n\Bigr)_{n\ge1}
$$
と定める。$\|Dx\|_2^2=\sum_n(1-\frac1n)^2|x_n|^2\le\|x\|_2^2$ なので $\|D\|\le1$ であり、第 $n$ 成分だけが $1$ の数列 $e_n$ について $\|De_n\|_2=1-\frac1n\to1$ なので $\|D\|=1$ である。しかし $x\ne0$ ならある $n$ で $x_n\ne0$ であり、その項で $(1-\frac1n)^2< 1$ だから $\|Dx\|_2< \|x\|_2$ である。よって $\|x\|=1$ かつ $\|Dx\|=1$ となる $x$ はない。有限次元という仮定（単位球面のコンパクト性）を外すと、prop-opn-attained は成り立たない。
作用素の列の収束
$B(V,W)$ の列 $T_k$ が作用素ノルムについて $T$ に収束する（$\|T_k-T\|\to0$）ことをノルム収束という。定義から、これは $T_kx\to Tx$ が閉単位球の上で一様に起こることと同じである。各 $x$ ごとに $T_kx\to Tx$ となることを各点収束（強収束）という。
$T_k,T\in B(V,W)$ が $\|T_k-T\|\to0$ を満たせば、すべての $x\in V$ について $\|T_kx-Tx\|\le\|T_k-T\|\,\|x\|\to0$ である。
$V\ne\{0\}$ なら prop-opn-formulas の最後の不等式を $T_k-T$ に使えばよい。$V=\{0\}$ なら両辺は $0$ である。$\square$
$\ell^2$ の上で、最初の $N$ 項を残して残りを $0$ にする写像を $P_Nx:=(x_1,\dots,x_N,0,0,\dots)$ とする。各 $x\in\ell^2$ について $\|x-P_Nx\|_2^2=\sum_{n>N}|x_n|^2$ は収束する級数の残りなので $0$ に収束し、$P_N$ は恒等写像 $I$ に各点収束する。しかし $\|(I-P_N)x\|_2\le\|x\|_2$ と $(I-P_N)e_{N+1}=e_{N+1}$ から $\|I-P_N\|=1$ であり、ノルム収束しない。
定義域 $V$ が有限次元なら、各点収束とノルム収束は一致する。$V$ の基底 $e_1,\dots,e_n$ をとると、$x=\sum_ja_je_j$ について $\|(T_k-T)x\|\le\max_j\|(T_k-T)e_j\|\sum_j|a_j|$ であり、有限次元ではすべてのノルムが同値なので（ノルム空間 の定理「有限次元ではすべてのノルムが同値」）、$\sum_j|a_j|\le C\|x\|$ となる定数 $C$ があるからである。違いが現れるのは無限次元の場合である。
仮定を外すと成り立たなくなること
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 有限次元（prop-opn-attained） | $\ell^2$ 上の $D$（ex-opn-not-attained） | 単位球面の上で上限が達成される |
| ノルム収束（各点収束だけにする） | $\ell^2$ 上の $P_N$（ex-opn-strong-not-norm） | $\Vert P_N-I\Vert\to0$ |
| 作用素ノルムであること（行列のノルムを Frobenius ノルムに替える） | $n\ge2$ の単位行列（ex-opn-frobenius） | 単位行列のノルムは $1$ |
| Hermite 行列であること | $N=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$（ex-opn-nilpotent） | $\Vert A\Vert_2$ は固有値の絶対値の最大値 |
| ベクトルの長さの測り方を 1 つにそろえること | $A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$（ex-opn-matrix-values） | 作用素ノルムの値が測り方によらず 1 つに決まる |
関連項目
参考文献
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