Quillen同値

1 と 2 の同値、および 1 と「導来随伴 $\mathbf LF\dashv\mathbf RG$ の単位と余単位がどちらも同型射であること」の同値は、Quillen随伴 の定理「Quillen 同値の判定」である（Hov99 Proposition 1.3.13）。そこで、一般の随伴 $L\colon\mathcal A\rightleftarrows\mathcal B\colon R$（単位 $\eta'$、余単位 $\varepsilon'$）について、「$\eta'$ と $\varepsilon'$ が自然同型」と「$L$ が圏同値」が同値であることを示せばよい。前者なら $R$ が擬逆関手なので $L$ は圏同値である（圏同値 の定義）。

1 ⇒ 2。 後半は thm-qe-derived の 2 である。$h\colon X\to X'$ をコファイブラントな対象の間の射とし、$F(h)$ が弱同値であるとする。$QX=X$、$QX'=X'$、$q_X=q_{X'}=\mathrm{id}$ なので $u=h$ がとれ、$\mathbf LF(\gamma h)=\gamma F(h)$ は同型射である。thm-qe-derived により $\mathbf LF$ は圏同値で、とくに充満忠実である。充満忠実な関手は同型射を反映する（$\mathbf LF(a)$ の逆射は充満性により $\mathbf LF(c)$ と書け、$\mathbf LF(ca)=\mathrm{id}$、$\mathbf LF(ac)=\mathrm{id}$ から忠実性により $ca=\mathrm{id}$、$ac=\mathrm{id}$）。よって $\gamma h$ は同型射であり、モデル圏のホモトピー圏 の系「弱同値の飽和」により $h$ は弱同値である。
2 ⇒ 1。 $X\in\mathcal M$ をコファイブラント、$Y\in\mathcal N$ をファイブラントとし、$f\colon FX\to Y$ をとる。$\emptyset\to X$ はコファイブレーション、$q_{GY}\colon QGY\to GY$ は自明ファイブレーションなので、持ち上げ公理により $q_{GY}\circ g=\Phi(f)$ を満たす $g\colon X\to QGY$ がある。$\Phi^{-1}(k)=\varepsilon_Y\circ F(k)$ に $k=\Phi(f)=q_{GY}\circ g$ を入れると
$$ f=\varepsilon_Y\circ F(q_{GY})\circ F(g) $$
である。仮定により $w:=\varepsilon_Y\circ F(q_{GY})$ は弱同値なので、2 out of 3 により「$f$ が弱同値 $\iff$ $F(g)$ が弱同値」である。$X$ と $QGY$ はコファイブラントなので、$g$ が弱同値なら $F(g)$ も弱同値であり（Quillen随伴 の命題「左 Quillen 関手が保つもの」）、逆は反映の仮定による。よって「$F(g)$ が弱同値 $\iff$ $g$ が弱同値」である。最後に $q_{GY}$ は弱同値なので、2 out of 3 により「$g$ が弱同値 $\iff$ $q_{GY}\circ g=\Phi(f)$ が弱同値」である。以上をつなげて「$f$ が弱同値 $\iff$ $\Phi(f)$ が弱同値」を得る。
1 ⇔ 3。 双対である。1 ⇒ 3 の反映は、ファイブラントな対象の間の射 $k$ について $\mathbf RG(\gamma k)=\gamma G(k)$ となることを使って同じように示す。3 ⇒ 1 では、$r_{FX}\colon FX\to RFX$ は自明コファイブレーション、$Y\to *$ はファイブレーションなので、$k\circ r_{FX}=f$ を満たす $k\colon RFX\to Y$ がある。$\Phi(f)=G(f)\circ\eta_X=G(k)\circ G(r_{FX})\circ\eta_X$ であり、$G(r_{FX})\circ\eta_X$ は仮定により弱同値である。$RFX$ と $Y$ はファイブラントなので、2 と同じく「$\Phi(f)$ が弱同値 $\iff$ $G(k)$ が弱同値 $\iff$ $k$ が弱同値 $\iff$ $f=k\circ r_{FX}$ が弱同値」となる。$\square$

$F'F\dashv GG'$ は随伴であり（随伴関手 の命題「随伴の合成」）、$F'F$ はコファイブレーションと自明コファイブレーションを保つので Quillen 随伴である。対象については、$FQX$ はコファイブラントなので（Quillen随伴 の命題「左 Quillen 関手が保つもの」）$Q(FQX)=FQX$ であり、$\mathbf LF'(\mathbf LF(X))=F'FQX=\mathbf L(F'F)(X)$ である。$\mathcal M$ の射 $f\colon X\to X'$ について $q_{X'}u=fq_X$ となる $u$ をとると、$\mathbf LF(\gamma f)=\gamma F(u)$ である。$F(u)$ はコファイブラントな対象の間の射なので、$\mathbf LF'$ でこれを計算するときの持ち上げとして $F(u)$ 自身がとれ、$\mathbf LF'(\gamma F(u))=\gamma F'F(u)=\mathbf L(F'F)(\gamma f)$ である。$\operatorname{Ho}\mathcal M$ の射は $\gamma$ の像と弱同値の $\gamma$ による像の逆射の合成なので（モデル圏のホモトピー圏 の定理「ホモトピー圏の計算」の 1）、二つの関手は一致する。$\square$

thm-qe-derived と lem-qe-composition により、関手 $L\colon\mathcal A\to\mathcal B$、$L'\colon\mathcal B\to\mathcal C$ について $L$、$L'$、$L'L$ のうち二つが圏同値なら残りも圏同値であることを示せばよい。要点：擬逆関手を合成し、圏同値に自然同型な関手は圏同値であることを使う。

恒等関手はコファイブレーションを $\mathcal C\subset\mathcal C'$ により、自明コファイブレーションを $\mathcal C\cap\mathcal W\subset\mathcal C'\cap\mathcal W$ により保つので、Quillen 随伴である。随伴の対応 $\Phi$ は恒等写像で、射 $f$ が一方のモデル構造の弱同値であることと他方の弱同値であることは、どちらも $f\in\mathcal W$ を意味する。$\square$

射影的モデル構造のファイブレーションは正の次数で全射な鎖写像なので、$Y\to0$ はつねにファイブレーションであり、すべての対象はファイブラントである。したがって $RY=Y$、$r_Y=\mathrm{id}$ である。単位は次数ごとに $\eta_M\colon M\to S\otimes_RM$、$m\mapsto1\otimes m$ である。
$\varphi$ が同型でないとする。$R$ を次数 $0$ に置いた複体 $R\langle0\rangle$ は、$0\to R\langle0\rangle$ が余核の射影的な単射なのでコファイブラントである。$G(r_{FR\langle0\rangle})\circ\eta_{R\langle0\rangle}=\eta_{R\langle0\rangle}$ は、同型 $S\otimes_RR\cong S$ を通すと次数 $0$ の $\varphi\colon R\to S$ であり、次数 $0$ だけの複体の間の擬同型は次数 $0$ の同型にほかならないので、弱同値でない。thm-qe-derived により $F\dashv G$ は Quillen 同値でない。
$\varphi$ が同型とする。$G$ は鎖写像の下のアーベル群の写像を変えないので、擬同型を反映する。各 $M$ について $S\otimes_RM\cong R\otimes_RM\cong M$ により $\eta_M$ は同型射であり、とくにコファイブラントな $X$ について $G(r_{FX})\circ\eta_X=\eta_X$ は弱同値である。thm-qe-one-sided の 3 により $F\dashv G$ は Quillen 同値である。$\square$

1：$(X,a)$ の押し出しの包含を $j_X\colon X\to Z'\amalg_ZX$ と書く。押し出しの普遍性により、$Z'$ の下の射 $u\colon Z'\amalg_ZX\to Y$ と、$v\circ a=b\circ g$ を満たす射 $v\colon X\to Y$（すなわち $\mathcal M_{Z/}$ の射 $(X,a)\to g^*(Y,b)$）は、$v=u\circ j_X$ によって 1 対 1 に対応する。この対応は $(X,a)$ と $(Y,b)$ について自然なので、$g_!\dashv g^*$ は随伴で、$\Phi(u)=u\circ j_X$ である（Hir03 Lemma 7.6.6 の (1)）。$g^*$ は下の射を変えないので、ファイブレーションと自明ファイブレーションを保つ。Quillen随伴 の定理「Quillen 随伴の判定」により $g_!\dashv g^*$ は Quillen 随伴である。
2：$(X,a)$ をコファイブラント、すなわち $a$ をコファイブレーションとする。$j_X$ は弱同値 $g$ のコファイブレーション $a$ に沿った押し出しなので、左固有性により弱同値である。任意の対象 $(Y,b)$ と射 $u\colon g_!(X,a)\to(Y,b)$ について $\Phi(u)=u\circ j_X$ なので、2 out of 3 により「$u$ が弱同値 $\iff$ $\Phi(u)$ が弱同値」である。ファイブラントな $(Y,b)$ についてもとくに成り立つので、Quillen 同値である。$\square$