Jordan–Chevalley分解

同義語：Jordan-Chevalley分解Jordan–Chevalley decomposition加法的Jordan分解additive Jordan decomposition

概要

前提知識: 最小多項式(線形代数), 冪零行列, 対角化, 完全体

行列
$$ x=\begin{pmatrix}\lambda&1\\0&\lambda\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\lambda&0\\0&\lambda\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} $$
は対角化できないが、スカラー行列と冪零行列の和に書け、2 つの項は可換である。一般に、線形変換は「対角化できる部分」と「冪零な部分」の和に、2 つが可換になるようにただ一通りに書ける。これが Jordan–Chevalley 分解（Jordan–Chevalley decomposition）であり、加法的 Jordan 分解ともいう。対角化できる部分は、Jordan標準形の対角成分だけを残した行列にあたる。
この分解は基底のとり方によらず、しかも 2 つの部分はもとの変換の多項式として書ける。そのため、もとの変換と可換なもの・もとの変換が保つ部分空間は、2 つの部分とも可換で、2 つの部分でも保たれる。行列の指数関数の計算（$e^{tx}=e^{tx_s}e^{tx_n}$）、Lie 環の構造論（随伴写像の分解）、代数群の元の分解（半単純な部分と冪単な部分）など、線形代数を越えて使われる基本の道具である。
この記事では次を示す。

完全体の上の有限次元ベクトル空間の線形変換に対する分解の存在と一意性（thm-jc-main）。存在は Newton 法による構成で示すので、固有値が係数体に入らなくてもよい。
固有値がすべて係数体に入るときの具体形：半単純な部分は各広義固有空間の上で固有値倍として働く（prop-jc-eigen）。
随伴写像との両立（prop-jc-ad）と、可逆な変換の乗法的な分解（prop-jc-mult）。
完全体でない体の上では存在が崩れること（ex-jc-counterexamples）。

定義

この記事を通して、$K$ を体、$\overline{K}$ をその代数閉包、$V$ を $K$ 上の有限次元ベクトル空間、$\operatorname{End}(V)$ を $V$ の線形変換の全体とする。$x\in\operatorname{End}(V)$ の最小多項式を $\mu_x$ と書く（最小多項式(線形代数)）。$x$ を $\overline{K}\otimes_KV$ の線形変換とみても（基底をとって同じ行列とみても）最小多項式は変わらない。$I,x,x^2,\dots$ の間の 1 次関係の有無は連立 1 次方程式の解の有無で決まり、それは係数体を広げても変わらないからである。

半単純・冪零・冪単な線形変換

$x\in\operatorname{End}(V)$ について次のように定める。

$\mu_x$ が $\overline{K}$ の中に重根をもたないとき、$x$ は半単純（semisimple）であるという。
ある $m\ge1$ で $x^m=0$ となるとき、$x$ は冪零（nilpotent）であるという（冪零行列）。
$x-1$ が冪零のとき、$x$ は冪単（unipotent）であるという。ここで $1$ は恒等変換である。

最小多項式(線形代数) の定理「対角化の判定」により、$x$ が半単純であることは、$x$ が $\overline{K}$ の上で対角化可能であることと同値である。$K$ が代数閉体なら、半単純とは対角化可能のことである。$K=\mathbb{R}$ では、回転行列 $R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$ は $\mu_R=T^2+1$ が重根をもたないので半単純であるが、実固有値がないので $\mathbb{R}$ の上で対角化できない（対角化の反例「実数の上では対角化できない回転」）。

半単純と冪零の基本性質

$x,y\in\operatorname{End}(V)$ とする。

$x,y$ が半単純で $xy=yx$ なら、$x+y$ は半単純である。
$x,y$ が冪零で $xy=yx$ なら、$x+y$ は冪零である。
$x$ が半単純かつ冪零なら、$x=0$ である。
$x$ が半単純で、部分空間 $W$ が $xW\subset W$ を満たすなら、$x|_W$ は半単純である。

1．$\overline{K}$ の上で $x,y$ は対角化可能で可換なので、対角化の定理「可換な対角化可能行列の同時対角化」により 1 つの基底で同時に対角行列になる。その基底で $x+y$ は対角行列なので、$\overline{K}$ の上で対角化可能、すなわち半単純である。
2．$x^a=y^b=0$ とすると、可換なので二項定理が使え、$(x+y)^{a+b}=\sum_k\binom{a+b}{k}x^ky^{a+b-k}$ の各項は $k\ge a$ か $a+b-k\ge b$ のどちらかを満たして $0$ である。
3．$x^m=0$ なら $\mu_x$ は $T^m$ を割るので $\mu_x=T^j$（$j\ge1$）の形であり、重根をもたないので $\mu_x=T$、すなわち $x=0$ である。
4．$\mu_x(x|_W)=\mu_x(x)|_W=0$ なので $\mu_{x|_W}$ は $\mu_x$ を割り（最小多項式(線形代数) の命題「零化多項式は最小多項式の倍数」）、重根をもたない。$\square$

主定理

Jordan–Chevalley の分解定理

$K$ を完全体とし、$x\in\operatorname{End}(V)$ とする。
(R1) $x=x_s+x_n$、$x_sx_n=x_nx_s$、$x_s$ は半単純、$x_n$ は冪零、を満たす $x_s,x_n\in\operatorname{End}(V)$ がただ 1 組ある。
(R2) $x_s$ と $x_n$ は $x$ の $K$ 係数の多項式である。すなわち $x_s=p(x)$、$x_n=q(x)$ となる $p,q\in K[T]$ がある。
(R3) とくに、$x$ と可換な線形変換は $x_s$・$x_n$ と可換であり、$x$ で保たれる部分空間は $x_s$・$x_n$ でも保たれる。
$x_s$ を $x$ の半単純な部分、$x_n$ を冪零な部分という。一意性は $K$ が完全体でなくても成り立つ。

存在の証明では、$\mu_x$ から重根を取り除いた多項式 $f$ の根に $x$ を「寄せる」。$f(s)=0$ となる $s$ は半単純であり、$x$ を出発点とする Newton 法 $s\mapsto s-f(s)f'(s)^{-1}$ が有限回で止まって、そのような $s$ を $x$ の多項式として与える。

重根を除いた最小多項式に Newton 法を当てる

準備． $\mu_x=\prod_{i=1}^r g_i^{e_i}$ を $K[T]$ での相異なるモニック既約多項式 $g_i$ への分解とし、$f:=g_1\cdots g_r$、$N:=\max_ie_i$ とおく。$K$ は完全体なので各 $g_i$ は $\overline{K}$ の中に重根をもたず（完全体の定理「完全体の特徴づけ」）、相異なるモニック既約多項式は共通の根をもたない（共通の根の最小多項式が両方に等しくなる）。よって $f$ は $\overline{K}$ の中に重根をもたず、$f$ と導関数 $f'$ は共通の根をもたないので、$K[T]$ で互いに素であり、$a,b\in K[T]$ で $af+bf'=1$ となるものがある。また $\mu_x$ は $f^N$ を割るので $f(x)^N=0$ である。
$A:=K[x]=\{h(x)\mid h\in K[T]\}$ は $\operatorname{End}(V)$ の可換な部分環であり、$\mathfrak{I}:=f(x)A$ はそのイデアルで $\mathfrak{I}^N=f(x)^NA=0$ である。次の 3 つを使う。

(a) $y,y'\in A$ で $y-y'\in\mathfrak{I}$ なら、任意の $h\in K[T]$ について $h(y)-h(y')\in\mathfrak{I}$ である（$y^k-y'^k=(y-y')(y^{k-1}+\dots+y'^{k-1})$）。
(b) $u\in A$ と $i\in\mathfrak{I}$ で $u\cdot w=1+i$ となる $w\in A$ があれば、$u$ は $A$ の中で可逆である。$i^N=0$ なので $(1+i)^{-1}=\sum_{k=0}^{N-1}(-i)^k\in A$ であり、$w(1+i)^{-1}$ が $u$ の逆元である。
(c) $f(y+h)=f(y)+f'(y)h+h^2c$ となる $c\in A$ がある（$y,h\in A$）。$f(T+H)-f(T)-f'(T)H$ は $K[T,H]$ の中で $H^2$ で割り切れるからである。

Newton 法． $s_0:=x$ とし、$s_k$ が次の 2 条件を満たすとする：$s_k-x\in\mathfrak{I}$、$f(s_k)\in\mathfrak{I}^{2^k}$。$k=0$ では成り立つ。(a) から $f'(s_k)-f'(x)\in\mathfrak{I}$ であり、$f'(x)b(x)=1-a(x)f(x)\in1+\mathfrak{I}$ なので、$f'(s_k)b(x)\in1+\mathfrak{I}$ となり、(b) から $f'(s_k)$ は $A$ で可逆である。
$$ h_k:=-f(s_k)f'(s_k)^{-1}\in\mathfrak{I}^{2^k},\qquad s_{k+1}:=s_k+h_k $$
とおくと $s_{k+1}-x\in\mathfrak{I}$ であり、(c) から
$$ f(s_{k+1})=f(s_k)+f'(s_k)h_k+h_k^2c=h_k^2c\in\mathfrak{I}^{2^{k+1}} $$
である。$2^k\ge N$ となる $k$ で $f(s_k)\in\mathfrak{I}^N=0$ となる。
存在． その $s_k$ を $x_s$ とし、$x_n:=x-x_s$ とおく。$f(x_s)=0$ なので $\mu_{x_s}$ は $f$ を割り、重根をもたないので $x_s$ は半単純である。$x_n\in\mathfrak{I}$ なので $x_n^N=0$ である。$x_s,x_n\in A$ なので可換であり、$A$ の元はすべて $x$ の多項式だから (R2) も成り立つ。
一意性． $x=s+n$ を (R1) の条件を満たす別の組とする（ここでは $K$ の完全性を使わない）。$sx=s(s+n)=(s+n)s=xs$ なので $s$ は $x$ と可換であり、したがって $x$ の多項式である $x_s,x_n$ とも可換である。同様に $n$ も $x_s,x_n$ と可換である。$x_s-s=n-x_n$ の左辺は可換な半単純変換の差なので lem-jc-basic の 1 により半単純であり（$-s$ も半単純）、右辺は可換な冪零変換の差なので 2 により冪零である。3 から両辺は $0$ で、$s=x_s$、$n=x_n$ である。
(R3)． $x$ と可換な変換は $x$ の多項式と可換であり、$x$ で保たれる部分空間は $x$ の多項式で保たれる。$\square$

Newton 法が使えたのは、$f$ と $f'$ が互いに素だったからである。完全体でない体では、既約な $\mu_x$ について $f=\mu_x$ の導関数が $0$ になることがあり、そのとき分解は存在しない（ex-jc-counterexamples の 2 行目）。

Newton 法の計算

$K=\mathbb{R}$、$V=\mathbb{R}^4$ とし、$R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}$、$I_2$ を $2$ 次の単位行列として、ブロック行列
$$ x=\begin{pmatrix}R&I_2\\O&R\end{pmatrix}=D+M,\qquad D:=\begin{pmatrix}R&O\\O&R\end{pmatrix},\quad M:=\begin{pmatrix}O&I_2\\O&O\end{pmatrix} $$
を考える。$DM=MD$、$M^2=O$、$D^2=-1$ である。$x^2=D^2+2DM=-1+2DM$ であり、$(x^2+1)^2=4D^2M^2=O$ なので $\mu_x$ は $(T^2+1)^2$ を割る。$x^2+1=2DM\neq O$ だから $\mu_x=(T^2+1)^2$ で、$f=T^2+1$、$f'=2T$ である。$f'(x)=2(D+M)$ の逆は、$D^{-1}=-D$ と $M^2=O$ から $\frac12D^{-1}(1-D^{-1}M)$ である。よって
$$ f(x)f'(x)^{-1}=2DM\cdot\tfrac12D^{-1}(1-D^{-1}M)=M,\qquad s_1=x-M=D $$
であり、$f(D)=D^2+1=O$ なので 1 回で止まる。$x_s=D$、$x_n=M$ である。$x_s$ は半単純だが、$\mathbb{R}$ の上では対角化できない。

固有値が係数体に入る場合の具体形

固有多項式が $K[T]$ で 1 次式の積に分解するとき（$K$ が代数閉体ならいつでも）、分解は広義固有空間を使って直接書ける。この場合は $K$ が完全体でなくてもよい。

広義固有空間による記述

$x\in\operatorname{End}(V)$ の固有多項式が $\prod_{i=1}^r(T-\lambda_i)^{m_i}$（$\lambda_i\in K$ は相異なる）と分解するとし、$V_i:=\ker(x-\lambda_i)^{m_i}$ を広義固有空間とする。$V=V_1\oplus\cdots\oplus V_r$ の各 $V_i$ の上で $\lambda_i$ 倍として働く線形変換を $s$ とすると、$x_s=s$、$x_n=x-s$ であり、(R1) の分解がただ 1 組ある。とくに、$x$ の Jordan 標準形の基底では、$x_s$ は Jordan 標準形の対角部分、$x_n$ は対角線の 1 つ上の $1$ の部分である。

$V=\bigoplus_iV_i$ で各 $V_i$ が $x$ で保たれることは Jordan標準形の補題「広義固有空間への分解」による。$s$ は $V_i$ の基底をつないだ基底で対角行列なので半単純である。$x$ は各 $V_i$ を保ち、$s$ は各 $V_i$ の上でスカラー倍なので、$xs=sx$ であり、$n:=x-s$ も $x$・$s$ と可換である。$V_i$ の上で $n=x-\lambda_i$ は $n^{m_i}=0$ を満たすので、$m:=\max_im_i$ とおくと $n^m=0$ である。よって $x=s+n$ は (R1) の条件を満たし、thm-jc-main の一意性（完全性を使わない部分）により $x_s=s$、$x_n=n$ である。Jordan 標準形の基底は各 $V_i$ の基底をつないだものなので（Jordan標準形の定理「Jordan標準形の存在」の証明）、最後の主張も従う。$\square$

この場合、$x_s$ を $x$ の多項式として書く $p$ は、中国剰余定理で $p\equiv\lambda_i\pmod{(T-\lambda_i)^{m_i}}$（$i=1,\dots,r$）となるように選べばよい。実際 $p(x)$ は $V_i$ の上で $\lambda_i+(x-\lambda_i)^{m_i}(\cdots)=\lambda_i$ として働く。この構成は Mil15 Theorem 11.11 の証明（p. 167）にある。

多項式で半単純な部分を書く

$$ x=\begin{pmatrix}2&1&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix},\qquad x_s=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix},\qquad x_n=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix} $$
である（prop-jc-eigen）。$p\equiv2\pmod{(T-2)^2}$、$p\equiv3\pmod{T-3}$ を満たす多項式として $p(T)=2+(T-2)^2$ がとれる（$p(3)=3$）。実際 $x-2=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ の 2 乗は $\operatorname{diag}(0,0,1)$ なので、$p(x)=\operatorname{diag}(2,2,3)=x_s$ である。$p(T)=T^2-4T+6$ なので、$x_n=x-p(x)=q(x)$、$q(T)=-T^2+5T-6=-(T-2)(T-3)$ である。実際 $(x-2)(x-3)=-E_{12}$（$E_{12}$ は $(1,2)$ 成分だけが $1$ の行列）から $q(x)=E_{12}=x_n$ となる。

随伴写像と乗法的な分解

$\operatorname{End}(V)$ は交換子 $[a,b]=ab-ba$ で Lie 環 $\mathfrak{gl}(V)$ になり、$x\in\mathfrak{gl}(V)$ の随伴写像 $\operatorname{ad}x\colon\mathfrak{gl}(V)\to\mathfrak{gl}(V)$、$y\mapsto[x,y]$ はまた線形変換である（Lie環の定義「随伴写像と導分」）。

随伴写像の分解

$K$ を完全体、$x\in\operatorname{End}(V)$ とする。$\operatorname{ad}x$ の半単純な部分と冪零な部分は
$$ (\operatorname{ad}x)_s=\operatorname{ad}(x_s),\qquad(\operatorname{ad}x)_n=\operatorname{ad}(x_n) $$
である。

$\operatorname{ad}$ は線形なので $\operatorname{ad}x=\operatorname{ad}x_s+\operatorname{ad}x_n$ である。$\operatorname{ad}$ は Lie 環の準同型なので（Jacobi 恒等式）、$[\operatorname{ad}x_s,\operatorname{ad}x_n]=\operatorname{ad}[x_s,x_n]=0$ である。
$\operatorname{ad}x_n=L-R$、$L(y):=x_ny$、$R(y):=yx_n$ と書くと、$L$ と $R$ は可換で、$L^m(y)=x_n^my$、$R^m(y)=yx_n^m$ なのでともに冪零である。lem-jc-basic の 2 により $\operatorname{ad}x_n$ は冪零である。
$\operatorname{ad}x_s$ が半単純であることは $\overline{K}$ の上で確かめればよい。$x_s$ の固有ベクトルからなる基底 $v_1,\dots,v_d$（固有値 $a_1,\dots,a_d$）をとり、$E_{ij}$ を $v_j\mapsto v_i$、$v_k\mapsto0$（$k\neq j$）で定めると、$x_sE_{ij}=a_iE_{ij}$、$E_{ij}x_s=a_jE_{ij}$ なので $[x_s,E_{ij}]=(a_i-a_j)E_{ij}$ である。$E_{ij}$ は $\mathfrak{gl}(V)$ の基底なので、$\operatorname{ad}x_s$ は対角化可能である。分解の一意性から主張が従う。$\square$

この命題は FH91 Exercise C.1（p. 478）の主張であり、半単純 Lie 環の構造論の出発点の 1 つである（半単純Lie環の補題「Cartan の判定法」）。

乗法的な分解

$K$ を完全体、$x\in\operatorname{End}(V)$ を可逆とする。$x=su=us$、$s$ は半単純、$u$ は冪単、を満たす $s,u$ がただ 1 組あり、$s=x_s$、$u=1+x_s^{-1}x_n$ である。

$\overline{K}$ の上では prop-jc-eigen により $x_s$ の固有値は $x$ の固有値で、$x$ は可逆なのでどれも $0$ でない。よって $x_s$ は可逆である。$u:=1+x_s^{-1}x_n$ とおくと、$x_s^{-1}$ は $x_n$ と可換なので（$x_s$ と $x_n$ が可換）、$(x_s^{-1}x_n)^m=x_s^{-m}x_n^m$ から $u-1$ は冪零であり、$x_su=x_s+x_n=x$、$ux_s=x$ である。
一意性．$x=su=us$ を条件を満たす組とし、$n:=s(u-1)$ とおく。$s$ と $u-1$ は可換で $u-1$ は冪零なので $n$ は冪零であり、$n$ は $s$ と可換で、$x=s+n$ である。thm-jc-main の一意性から $s=x_s$、$n=x_n$ で、$u=1+s^{-1}n=1+x_s^{-1}x_n$ である。$\square$

Mil15 Theorem 11.11（pp. 167–168）は乗法的な分解を Galois 群の作用で係数体を下ろして示している。代数群の元についての分解（$g=g_sg_u$ がどの表現でも像の分解になる）は同じ本の Theorem 11.17（p. 169）である（この記事では証明しない）。

半単純 Lie 環の中の分解

半単純Lie環 $\mathfrak{g}\subset\mathfrak{gl}(V)$（$K=\mathbb{C}$）の元 $x$ について、$x_s$ と $x_n$ はふたたび $\mathfrak{g}$ に属する（FH91 Proposition C.17、p. 482）。さらに、半単純 Lie 環 $\mathfrak{g}$ の各元 $x$ には $x=x_s+x_n$ となる $x_s,x_n\in\mathfrak{g}$ があって、$\mathfrak{g}$ のどの有限次元表現 $\rho$ でも $\rho(x)_s=\rho(x_s)$、$\rho(x)_n=\rho(x_n)$ となる（FH91 Theorem 9.20、p. 129。この記事では証明しない）。この $\mathfrak{g}$ の中の分解は抽象的な Jordan 分解と呼ばれ、ルート分解で使う「半単純な元」の概念の基礎になる。半単純でない Lie 環では一般には成り立たない。1 次元の Lie 環 $\mathbb{C}$ の表現 $t\mapsto\begin{pmatrix}t&t\\0&t\end{pmatrix}$ では、像の元の半単純な部分 $tI$ が像に入らない（同じ種類の例が FH91 p. 129 にある）。

反例：条件を外すと崩れること

外す条件	反例	成り立たなくなること
$x_s$ と $x_n$ の可換性	$\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}=\operatorname{diag}(1,0)+E_{12}$	分解の一意性
$K$ が完全体	$K=\mathbb{F}_p(t)$、$x$ は $T^p-t$ の同伴行列	分解の存在
「半単純」の代わりに「$K$ の上で対角化可能」	$K=\mathbb{R}$、回転行列 $R$	分解の存在
乗法的な分解で $x$ が可逆	$x=E_{12}$（$2$ 次）	乗法的な分解の存在

反例の確かめ

1 行目：$x=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ は相異なる固有値 $1,0$ をもつので対角化可能で、$x_s=x$、$x_n=0$ である。一方 $\operatorname{diag}(1,0)$ は半単純、$E_{12}$ は冪零で和は $x$ だが、$\operatorname{diag}(1,0)E_{12}-E_{12}\operatorname{diag}(1,0)=E_{12}\neq0$ である。可換性を課さないと書き方は一意でない。
2 行目：$\mu_x=T^p-t$ は $t$ についての Eisenstein の判定法により $\mathbb{F}_p(t)$ 上既約である（完全体の反例「有理関数体と $x^p-t$」）。$\overline{K}$ の中で $\tau^p=t$ となる $\tau$ をとると $T^p-t=(T-\tau)^p$ なので、$x$ の固有値は $\tau$ だけで、prop-jc-eigen により $\overline{K}$ の上の分解は $x_s=\tau\cdot1$、$x_n=x-\tau\cdot1$ である。$K$ の上に (R1) の分解 $x=s+n$ があれば、それは $\overline{K}$ の上の分解でもあるので、一意性から $s=\tau\cdot1$ となるが、$\tau\notin K$ なので $\tau\cdot1$ は $K$ の上の行列でない。よって $K$ の上の分解はない。$f=T^p-t$ の導関数は $pT^{p-1}=0$ で、Newton 法が使えない。
3 行目：$R$ は $\mathbb{C}$ の上で対角化可能なので、$\mathbb{C}$ の上の分解は $R_s=R$、$R_n=0$ である。$\mathbb{R}$ の上で $R=s+n$（$s$ は $\mathbb{R}$ の上で対角化可能、$n$ は冪零、可換）と書けたとすると、これは $\mathbb{C}$ の上の分解でもあるので $s=R$ となるが、$R$ は実固有値をもたず $\mathbb{R}$ の上で対角化できない。
4 行目：prop-jc-mult は $x$ の可逆性を使う。$x=E_{12}$ が $x=su=us$（$s$ 半単純、$u$ 冪単）と書けたとする。$u$ は $u-1$ が冪零なので可逆であり、$u$ は $x=us=su$ と可換だから $u^{-1}$ も $x$ と可換である。$x$ は冪零なので、可換な積 $s=xu^{-1}$ も冪零である（$(xu^{-1})^2=x^2u^{-2}=0$）。lem-jc-basic の 3 から $s=0$ となり、$x=su=0$ に反する。

補足

行列の指数関数． $K=\mathbb{C}$ で $A=A_s+A_n$ とすると、可換性から $e^{tA}=e^{tA_s}e^{tA_n}$ であり、$e^{tA_n}$ は有限和になる（行列の指数関数の命題「Jordan 分解による計算」）。$e^{tA}$ の分解 $e^{tA_s}\cdot e^{tA_n}$ は prop-jc-mult の乗法的な分解である（$e^{tA_s}$ は半単純、$e^{tA_n}$ は冪単で、2 つは可換）。
名前． 線形変換の場合は Jordan 標準形から読み取れ、加法的 Jordan 分解とも呼ばれる。代数群の元への一般化を含めて Jordan–Chevalley 分解の名でも呼ばれる（Mil15 p. 170）。測度論の「Jordan 分解」（符号付き測度を 2 つの測度の差に書く分解、Hahn分解定理）や有界変動関数の「Jordan 分解」（単調関数）とは別のものである。
無限次元． $K$ が完全体なら、無限次元のベクトル空間の局所有限な線形変換 $x$（すべてのベクトルが有限次元の不変部分空間に入る）にも分解が定まる。$x$ の有限次元不変部分空間 $W$ への制限を $x_W$ と書き、$v\in W$ について $x_s(v):=(x_W)_s(v)$ とおく。$W\subset W'$ なら (R3) と lem-jc-basic の 4 と一意性から $(x_{W'})_s$ の $W$ への制限は $(x_W)_s$ であり、2 つの $W$ は和を経由して比べられるので、$x_s(v)$ は $W$ のとり方によらない。ただし $x_n$ は各 $W$ の上で冪零（局所冪零）であるだけで、冪零とは限らない。乗法的な分解についての同じ構成が Mil15 Theorem 11.16（p. 169）にある。