ネフ因子

1：中井–Moishezonの判定法 の補題「豊富な可逆層の交叉数は正」を曲線 $C$ に当てはめればよい。
2：曲線 $C$ と $C$ の点 $x$ をとる。$\mathcal{L}$ は大域切断で生成されるので、$x$ で消えない大域切断があり、その $C$ への制限 $t\in\Gamma(C,\mathcal{L}|_C)$ は $0$ でない。$C$ は整なので $t$ は生成点で消えず、$t$ 倍写像 $\mathcal{O}_C\to\mathcal{L}|_C$ は単射である。その余核 $\mathcal{T}$ の台は $t$ の零点の集合で、$C$ の真の閉集合だから有限集合である。よって $H^1(C,\mathcal{T})=0$ であり、
$$ (\mathcal{L}\cdot C)=\chi(\mathcal{L}|_C)-\chi(\mathcal{O}_C)=\chi(\mathcal{T})=\dim_kH^0(C,\mathcal{T})\ge0 $$
である。
3：$(\,\cdot\,C)$ が準同型であることから $(\mathcal{L}\otimes\mathcal{M}\cdot C)=(\mathcal{L}\cdot C)+(\mathcal{M}\cdot C)$、$(\mathcal{L}^{\otimes m}\cdot C)=m(\mathcal{L}\cdot C)$ である。
4：$X$ が $1$ 次元の整なスキームなら、$X$ の曲線は $X$ 自身だけである。$\square$

数値的同値 の命題「数値的に自明な可逆層の引き戻し」により、$Y$ の曲線 $C'$ について、像 $\pi(C')$ が曲線 $C$ なら $(\pi^*\mathcal{L}\cdot C')=[K(C'):K(C)]\,(\mathcal{L}\cdot C)$ であり、像が $1$ 点なら $(\pi^*\mathcal{L}\cdot C')=0$ である。
1：どちらの場合も $(\pi^*\mathcal{L}\cdot C')\ge0$ である。
2：$X$ の任意の曲線 $C$ について、$\pi(C')=C$ となる $Y$ の曲線 $C'$ があることを示せば、$(\mathcal{L}\cdot C)=(\pi^*\mathcal{L}\cdot C')/[K(C'):K(C)]\ge0$ となる。$\eta$ を $C$ の生成点とする。$\pi$ は全射なので、ファイバー $Y_\eta:=\pi^{-1}(\eta)$（剰余体 $K(C)$ 上の有限型スキーム）は空でなく、その閉点 $y$ をとる。Hilbert の零点定理により $\kappa(y)$ は $K(C)$ の有限次拡大である。$y$ の $Y$ での閉包に被約な構造を入れたものを $C'$ とすると、$C'$ は整で、その関数体 $\kappa(y)$ の $k$ 上の超越次数は $K(C)$ と同じ $1$ なので、$C'$ は曲線である。$\pi(C')$ は $\eta$ を含む既約な閉集合で（射影スキームの間の射は閉写像）、$C$ に含まれるので $C$ に等しい。$\square$

2：豊富な可逆層は曲線と正の交点数をもつので（prop-nef-basic の 1）、曲線 $C$ について $m(\mathcal{L}\cdot C)+(\mathcal{H}\cdot C)>0$ である。$m\to\infty$ とすると $(\mathcal{L}\cdot C)\ge-\lim_m(\mathcal{H}\cdot C)/m=0$ である。
1：豊富な可逆層の正の冪は非常に豊富なので（豊富な可逆層 の定理「豊富な可逆層の冪は非常に豊富である」）、$r\ge1$ と閉埋め込み $X\subset\mathbb{P}^N_k$ で $\mathcal{O}_X(1)\cong\mathcal{H}^{\otimes r}$ となるものがある。Kleimanの判定法(豊富性) の定理「nef な可逆層の交叉数（Kleiman の定理）」の 2 をこの埋め込みについて使うと、整な閉部分スキーム $V$（$d=\dim V$）と $0\le j\le d$ について $(\mathcal{L}^{j}\cdot(\mathcal{H}^{\otimes r})^{d-j}\cdot V)\ge0$、多重線型性で割って $(\mathcal{L}^{j}\cdot\mathcal{H}^{d-j}\cdot V)\ge0$ である。$\mathcal{M}:=\mathcal{L}^{\otimes b}\otimes\mathcal{H}^{\otimes a}$ とおくと、$d\ge1$ の $V$ について
$$ (\mathcal{M}^{d}\cdot V)=\sum_{j=0}^{d}\binom{d}{j}b^{j}a^{d-j}(\mathcal{L}^{j}\cdot\mathcal{H}^{d-j}\cdot V) $$
の各項は $0$ 以上で、$j=0$ の項 $a^{d}(\mathcal{H}^{d}\cdot V)$ は正である（中井–Moishezonの判定法 の補題「豊富な可逆層の交叉数は正」）。中井–Moishezonの判定法 により $\mathcal{M}$ は豊富である。
最後の主張：ここで豊富な類とは、豊富な可逆層の類の正の実数係数の有限和のことである。Kleimanの判定法(豊富性) の系「豊富錐と nef 錐」の 1 により、$E\in N^1(X)_{\mathbb{R}}$ が豊富な類であることは、曲線の類が張る錐の閉包 $\overline{NE}(X)$ の $0$ でないすべての元 $z$ で $E\cdot z>0$ となることと同値である。$D$ がネフなら、$D\cdot z\ge0$ は曲線の類の非負結合で成り立ち、連続性で $\overline{NE}(X)$ の上でも成り立つ。$\mathcal{H}\cdot z>0$（$z\ne0$。同記事の定理「Kleiman の判定法」）と合わせて $(D+\varepsilon\mathcal{H})\cdot z>0$ であり、$D+\varepsilon\mathcal{H}$ は豊富な類である。逆に、すべての $\varepsilon>0$ で $D+\varepsilon\mathcal{H}$ が豊富な類なら、豊富な可逆層は曲線と正の交点数をもつので $(D+\varepsilon\mathcal{H})\cdot C>0$ であり、$\varepsilon\to0$ として $D\cdot C\ge0$ である。$\square$

後半から示す。$H$ の正の倍 $rH$ は非常に豊富なので、超平面切断として有効因子 $\sum_jc_j\Gamma_j$（$c_j\ge0$、$\Gamma_j$ は曲線）と線形同値であり、$D\cdot H=\frac1r\sum_jc_j\,D\cdot\Gamma_j\ge0$ である。
前半を示す。$H$ を豊富な因子とする。$H^2>0$ であり、すべての曲線 $C$ で $H\cdot C>0$ である（中井–Moishezonの判定法 の補題「豊富な可逆層の交叉数は正」）。$D^2< 0$ と仮定して矛盾を導く。
$$ P(t):=(D+tH)^2=D^2+2t\,(D\cdot H)+t^2H^2 $$
とおくと、$P(0)=D^2< 0$ であり、$t>0$ で $P'(t)=2(D\cdot H)+2tH^2>0$ である。よって $P(t_0)=0$ となる $t_0>0$ がただ 1 つあり、$t>t_0$ で $P(t)>0$ である。
有理数 $t=a/b>t_0$（$a,b$ は正の整数）をとり、$M:=bD+aH$ とおく。$M^2=b^2P(t)>0$ であり、すべての曲線 $C$ について $M\cdot C=b\,D\cdot C+a\,H\cdot C>0$ である。中井–Moishezonの判定法 の系「曲線と曲面の場合」の 2 により $M$ は豊富である。前半と同じく $M$ の正の倍は有効因子と線形同値なので、$D\cdot M\ge0$、すなわち
$$ Q(t):=D\cdot(D+tH)=D^2+t\,(D\cdot H)\ge0 $$
である。$Q$ は $t$ の 1 次式で連続であり、$t_0$ より大きい有理数で $0$ 以上だから $Q(t_0)\ge0$ である。すると
$$ 0=P(t_0)=Q(t_0)+t_0\,H\cdot(D+t_0H)=Q(t_0)+t_0\,(D\cdot H)+t_0^2H^2\ge t_0^2H^2>0 $$
となって矛盾する。よって $D^2\ge0$ である。$\square$

ネフなら $D\cdot C_i\ge0$ なのは定義どおりである。逆を示す。$X$ の曲線 $C$ をとる。$C$ がある $C_i$ に等しければ仮定から $D\cdot C\ge0$ である。そうでなければ、$C$ と各 $C_i$ は共通の既約成分をもたないので $C_i\cdot C\ge0$ であり、$D\cdot C=\sum_ia_i\,C_i\cdot C\ge0$ である。最後の主張は $n=1$、$D=C$ の場合である。$\square$