三角比と鈍角への拡張

辺の長さが $3,4,5$ の三角形は、$3^2+4^2=9+16=25=5^2$ なので、三平方の定理 の逆により直角三角形である。長さ $3$ の辺の向かいの角を $\theta$ とすると、対辺 $a=3$、隣辺 $b=4$、斜辺 $c=5$ なので
$$ \sin\theta=\frac35,\qquad \cos\theta=\frac45,\qquad \tan\theta=\frac34 $$
である。
辺をすべて $2$ 倍した $6,8,10$ の直角三角形で同じ角を見ると、$\sin\theta=\dfrac6{10}=\dfrac35$、$\cos\theta=\dfrac8{10}=\dfrac45$、$\tan\theta=\dfrac68=\dfrac34$ で、値は変わらない。

1. $45^\circ$。直角をはさむ 2 辺がどちらも $1$ の直角二等辺三角形を考える。残りの 2 つの角は等しく、和が $90^\circ$ なので、どちらも $45^\circ$ である。斜辺は三平方の定理により $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ である。よって
   $$ \sin45^\circ=\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}2,\qquad \cos45^\circ=\frac{\sqrt2}2,\qquad \tan45^\circ=\frac11=1 $$
   である。
2. $30^\circ$ と $60^\circ$。1 辺が $2$ の正三角形を、1 つの頂点から向かいの辺に下ろした垂線で半分に切る。できる 2 つの直角三角形は、斜辺がどちらも正三角形の辺で長さ $2$ に等しく、垂線を共通の辺としてもつので、直角三角形の合同条件（斜辺と他の 1 辺がそれぞれ等しい）により合同である。したがって、垂線は向かいの辺を 2 等分し、頂点の角も 2 等分する。できる直角三角形は、斜辺が $2$、短い辺が $1$（向かいの辺の半分）で、残りの辺は $\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt3$ である。角は $60^\circ$（正三角形の角）と $30^\circ$（頂点の角 $60^\circ$ の半分）である。長さ $1$ の辺の向かいが $30^\circ$、長さ $\sqrt3$ の辺の向かいが $60^\circ$ なので
   $$ \sin30^\circ=\frac12,\quad \cos30^\circ=\frac{\sqrt3}2,\quad \tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}3,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}2,\quad \cos60^\circ=\frac12,\quad \tan60^\circ=\sqrt3 $$
   である。

$120^\circ$ の点を求める。$\angle\mathrm{AOP}=120^\circ$ のとき、$x$ 軸の負の部分と $\mathrm{OP}$ のなす角は $180^\circ-120^\circ=60^\circ$ である。$\mathrm P$ から $x$ 軸に垂線 $\mathrm{PH}$ を下ろすと、三角形 $\mathrm{OHP}$ は $\mathrm O$ での角が $60^\circ$、斜辺が $1$ の直角三角形なので、ex-tro-special により $\mathrm{OH}=\cos60^\circ=\dfrac12$、$\mathrm{HP}=\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ である。$\mathrm H$ は原点の左にあるので、$\mathrm P=\left(-\dfrac12,\ \dfrac{\sqrt3}2\right)$ である。よって
$$ \cos120^\circ=-\frac12,\qquad \sin120^\circ=\frac{\sqrt3}2,\qquad \tan120^\circ=\frac{\sqrt3/2}{-1/2}=-\sqrt3 $$
である。$135^\circ$、$150^\circ$ も同じように、$x$ 軸の負の部分とのなす角 $45^\circ$、$30^\circ$ の直角三角形から求まる。$0^\circ$、$90^\circ$、$180^\circ$ の点は $(1,0)$、$(0,1)$、$(-1,0)$ である。まとめると次の表になる。

鈍角（$90^\circ<\theta<180^\circ$）では、$\sin\theta>0$、$\cos\theta<0$、$\tan\theta<0$ である。点 $\mathrm P$ が第 2 象限にあるからである。

1. $\sin\theta=\dfrac13$（$0^\circ\le\theta\le180^\circ$）のとき。thm-tro-relations の 1 により $\cos^2\theta=1-\dfrac19=\dfrac89$ なので、$\cos\theta=\pm\sqrt{\dfrac89}=\pm\dfrac{2\sqrt2}3$ である。符号は $\theta$ が鋭角か鈍角かで決まる。
   $$ \theta\ \text{が鋭角なら}\ \cos\theta=\frac{2\sqrt2}3,\ \tan\theta=\frac{1/3}{2\sqrt2/3}=\frac1{2\sqrt2}=\frac{\sqrt2}4,\qquad \theta\ \text{が鈍角なら}\ \cos\theta=-\frac{2\sqrt2}3,\ \tan\theta=-\frac{\sqrt2}4 $$
   である。$\sin\theta$ だけでは、どちらかは決まらない（prop-tro-inverse で理由を見る）。
2. $\tan\theta=-2$（$0^\circ\le\theta\le180^\circ$）のとき。$\tan\theta<0$ なので $\theta$ は鈍角で、$\cos\theta<0$ である。thm-tro-relations の 2 により $\dfrac1{\cos^2\theta}=1+(-2)^2=5$ なので $\cos^2\theta=\dfrac15$、$\cos\theta=-\dfrac1{\sqrt5}=-\dfrac{\sqrt5}5$ である。$\sin\theta=\tan\theta\cos\theta=(-2)\cdot\left(-\dfrac{\sqrt5}5\right)=\dfrac{2\sqrt5}5$ である。検算：$\sin^2\theta+\cos^2\theta=\dfrac{20}{25}+\dfrac5{25}=1$ である。

1. $\sin150^\circ=\sin(180^\circ-30^\circ)=\sin30^\circ=\dfrac12$、$\cos150^\circ=-\cos30^\circ=-\dfrac{\sqrt3}2$。ex-tro-table の表と一致する。
2. $\cos100^\circ+\cos80^\circ=\cos(180^\circ-80^\circ)+\cos80^\circ=-\cos80^\circ+\cos80^\circ=0$。$\cos80^\circ$ の値を知らなくても計算できる。
3. $\sin^2 20^\circ+\sin^2 70^\circ=\sin^2 20^\circ+\cos^2 20^\circ=1$。$\sin70^\circ=\sin(90^\circ-20^\circ)=\cos20^\circ$ を使った。

1. $\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}2$。ex-tro-table により $\sin60^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$ なので、prop-tro-inverse の 2 により $\theta=60^\circ,\ 120^\circ$ の 2 つである。
2. $\cos\theta=-\dfrac{\sqrt2}2$。$\cos135^\circ=-\dfrac{\sqrt2}2$ なので、prop-tro-inverse の 1 により $\theta=135^\circ$ だけである。
3. $\tan\theta=-1$。$\tan\theta=\dfrac yx=-1$ から $y=-x$ で、$x^2+y^2=1$ と合わせると $2x^2=1$、$y\ge0$ から $x=-\dfrac{\sqrt2}2$、$y=\dfrac{\sqrt2}2$ である。点は 1 つで、$\theta=135^\circ$ である。

$0^\circ\le\theta\le180^\circ$ で $\sin\theta>\dfrac12$ となる $\theta$ の範囲を求める。$\sin\theta$ は点 $\mathrm P$ の $y$ 座標なので、半円のうち直線 $y=\dfrac12$ より上の部分にある点を探せばよい。図 3 の左で、直線 $y=\dfrac12$ と半円の交点は $30^\circ$ と $150^\circ$ の点であり、その間の弧が直線より上にある。よって $30^\circ<\theta<150^\circ$ である。
同じように $\cos\theta<-\dfrac12$ は、半円のうち直線 $x=-\dfrac12$ より左の部分で、図 3 の右から $120^\circ<\theta\le180^\circ$ である。

$\mathrm O(0,0)$、$\mathrm A(3,0)$、$\mathrm B(1,\sqrt3)$ を頂点とする三角形を考える。$\mathrm{OB}=\sqrt{1+3}=2$ で、$\mathrm B$ は半径 $2$ の円の上の $\left(2\cdot\dfrac12,\ 2\cdot\dfrac{\sqrt3}2\right)$ なので、rem-tro-radius により $\angle\mathrm{AOB}=60^\circ$ である。$\angle\mathrm O$ の向かいの辺は $\mathrm{AB}=\sqrt{(3-1)^2+(0-\sqrt3)^2}=\sqrt7$、最も長い辺は $\mathrm{OA}=3$ である。
$$ \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{OA}}=\frac{\sqrt7}3=0.8819\ldots,\qquad \sin60^\circ=\frac{\sqrt3}2=0.8660\ldots $$
で、等しくない。この三角形には直角がないので（$\mathrm{OB}^2+\mathrm{AB}^2=4+7=11\ne9$ など、どの 2 辺でも三平方の定理の等式が成り立たない）、def-tro-acute は使えない。直角でない三角形の辺と角の関係は、正弦定理（高校数学） と 余弦定理（高校数学） が与える。

$\sin30^\circ=\sin150^\circ=\dfrac12$ だが、$30^\circ\ne150^\circ$ である。したがって「$\sin A=\sin B$ ならば $A=B$」は $0^\circ\le A,B\le180^\circ$ の範囲では成り立たない。正しくは、prop-tro-inverse の 2 により「$A=B$ または $A+B=180^\circ$」である。一方、$\cos$ については「$\cos A=\cos B$ ならば $A=B$」が成り立つ（prop-tro-inverse の 1）。$\cos30^\circ=\dfrac{\sqrt3}2$、$\cos150^\circ=-\dfrac{\sqrt3}2$ で、確かに異なる。

$90^\circ$ の点は $(0,1)$ で、$x=0$ なので $\dfrac yx$ は定まらない。$\theta$ を $90^\circ$ に下から近づけると、$\tan\theta$ は $\tan60^\circ=\sqrt3=1.73\ldots$、$\tan80^\circ=5.67\ldots$、$\tan89^\circ=57.2\ldots$ といくらでも大きくなり、上から近づけると $\tan100^\circ=-5.67\ldots$、$\tan91^\circ=-57.2\ldots$ と負の側でいくらでも小さくなる。どの実数を $\tan90^\circ$ と決めても、前後の値とつながらない。thm-tro-relations の 2 の $1+\tan^2\theta=\dfrac1{\cos^2\theta}$ も、$\theta\ne90^\circ$ の仮定なしには意味をもたない。

点 $\mathrm P'(-1,\sqrt3)$ は $\mathrm{OP}'=\sqrt{1+3}=2$ なので、半径 $2$ の円の上半分にある。$\angle\mathrm{AOP}'$ を $\theta$ とすると、rem-tro-radius により $\cos\theta=\dfrac{-1}2$、$\sin\theta=\dfrac{\sqrt3}2$ で、$\theta=120^\circ$ である。座標をそのまま使って「$\cos\theta=-1$」とすると $\theta=180^\circ$ になってしまい、誤りである。$\tan\theta=\dfrac{\sqrt3}{-1}=-\sqrt3$ は、比なので半径で割らなくても正しい。