連結空間

$f$ の像が二点を含めば、$f^{-1}(\{0\})$ と $f^{-1}(\{1\})$ は互いに交わらない非空の開集合で、その和は $X$ になる。したがって $X$ が連結なら像は高々一点である。
逆に、$X=A\cup B$ が定義の三条件を満たす分割なら、$A$ 上で $0$、$B$ 上で $1$ を取る写像 $f$ を作る。$\{0,1\}$ の部分集合の $f$ による逆像は $\emptyset,A,B,X$ のいずれかで、どれも開集合だから $f$ は連続であり、像は二点になる。これが対偶である。$X=\emptyset$ のときは写像は一つだけで像は空、すなわち高々一点なので、判定は空空間を連結とする流儀と整合する。

まず連結なら順序凸であることを示す。$a,b\in A$、$a< t< b$、$t\notin A$ とすると、$A\cap(-\infty,t)$ と $A\cap(t,\infty)$ はともに相対開で、交わらず、和が $A$ であり、前者は $a$、後者は $b$ を含むので非空である。これは $A$ が非連結であることを意味する。
逆に $A$ が順序凸であるとし、$A=U\cup V$ が定義の三条件を満たす相対開集合への分割だとする。$u\in U$、$v\in V$ を取り、必要なら $U$ と $V$ を入れ替えて $u< v$ とする。順序凸性から $[u,v]\subset A$ である。$c=\sup(U\cap[u,v])$ と置く。$c$ は $U\cap[u,v]$ の $\mathbb{R}$ における閉包に属し、$u\le c\le v$ より $c\in[u,v]\subset A$ であり、$U$ は $A$ で閉（$V$ が相対開だから）なので $c\in U$ である。$v\in V$ より $c< v$ となる。ところが $U$ は $A$ で相対開だから、$c$ より大きく $v$ 以下の点で $U$ に属するものが存在し、$c$ が上限であることに反する。よって $A$ は連結である。空集合と一点集合は三条件を満たす分割を持たないので連結である。

$f(X)$ が定義の三条件を満たす相対開集合 $U,V$ へ分かれると仮定する。$U=f(X)\cap U'$、$V=f(X)\cap V'$ を満たす $Y$ の開集合 $U',V'$ を取ると、連続性から $f^{-1}(U'),f^{-1}(V')$ は $X$ の開集合であり、$X$ 全体を覆い、交わらない。$U,V$ が $f(X)$ の部分集合として非空だから両逆像も非空である。これは $X$ の非連結性を与えて矛盾する。$X=\emptyset$ の場合は像も空集合で、本記事の流儀では連結である。

$x\in\bigcap_\lambda A_\lambda$ を取る。$A=\bigcup_\lambda A_\lambda$ が相対開集合 $U,V$ へ定義の三条件のとおり分かれたとし、$x\in U$ としてよい。各 $A_\lambda$ について、$A_\lambda\cap U$ と $A_\lambda\cap V$ は $A_\lambda$ の相対開集合で交わらず和が $A_\lambda$ であり、$x\in A_\lambda\cap U$ だから前者は非空である。$A_\lambda$ が連結なので後者は空であり、$A_\lambda\subset U$ となる。これがすべての $\lambda$ で成り立つので $A\subset U$、すなわち $V=\emptyset$ となって矛盾する。族が空のときは和も空で、本記事の流儀により連結である。

$A\subset B\subset\overline{A}$ とし、$B$ が相対開集合 $U,V$ へ定義の三条件のとおり分かれたとする。$A$ は連結だから、prf-connected-space-union と同じ議論で $A\subset U$ または $A\subset V$ である。$A\subset U$ としてよい。$V$ は $B$ の非空相対開集合なので、$V=B\cap V'$ を満たす $X$ の開集合 $V'$ が取れ、$V$ の点 $y$ は $\overline{A}$ に属する。閉包の定義から $y$ の任意の開近傍は $A$ と交わるので、$V'\cap A\ne\emptyset$ となる。ところが $A\subset U$ かつ $U\cap V=\emptyset$ だから $V'\cap A\subset U\cap V=\emptyset$ となり矛盾する。$A=\emptyset$ なら $\overline{A}=\emptyset$ で結論は成り立つ。

まず二つの連結空間 $X,Y$ の積を考える。どちらかが空なら積は空で、本記事の流儀により連結である。ともに非空として $(x_0,y_0)$ を取る。各 $x\in X$ について、$\{x\}\times Y$ は $Y$ と同相なので連結、$X\times\{y_0\}$ は $X$ と同相なので連結であり、両者は点 $(x,y_0)$ を共有するから、和 $T_x=(\{x\}\times Y)\cup(X\times\{y_0\})$ は prop-connected-space-union により連結である。すべての $T_x$ は $X\times\{y_0\}$ を含むので共通点をもち、その和 $X\times Y$ も連結である。因子の個数についての帰納法で有限積に拡張できる。ここまでで選択公理は使っていない。
一般の族を考える。ある因子が空なら積は空で連結である。すべての因子が非空とし、点 $b\in P=\prod_\lambda X_\lambda$ を一つ取る。$\Lambda$ が無限のとき、この選択に選択公理を使う。有限部分集合 $F\subset\Lambda$ に対し
$$P_F=\{x\in P: \lambda\notin F\ \text{ならば}\ x_\lambda=b_\lambda\}$$
と置くと、$P_F$ は $\prod_{\lambda\in F}X_\lambda$ と同相なので有限積の場合から連結である。どの $P_F$ も $b$ を含むので、$D=\bigcup_F P_F$ は上の命題により連結である。
$D$ が $P$ で稠密であることを見る。直積位相の非空な基本開集合（開基の元）$W$ は、有限個の座標 $F$ だけを各因子の開集合へ制限する集合である。$y\in W$ を取り、$F$ 上は $y$ に、それ以外の座標では $b$ に一致する点を作ると、それは $D\cap W$ に属する。したがって $\overline{D}=P$ であり、prop-connected-space-closure から $P$ は連結である。

$X=\emptyset$ なら本記事の流儀で連結である。以下 $X$ を非空とする。基点 $x\in X$ を固定する。$\gamma(0)=x$ を満たす連続写像 $\gamma\colon[0,1]\to X$ の全体を考え、その像すべての和を $A$ と置く。$[0,1]$ は thm-connected-space-interval により連結なので各像は連続像として連結であり、どれも $x$ を含むので、和 $A$ は共通点をもつ族の和として連結である。弧状連結性から $X$ の各点は $x$ からの道の終点になるので $A=X$ であり、$X$ は連結である。ここでは道の集合全体の和を取っており、各点に対して道を一つずつ選んではいないので、選択公理は要らない。
逆が成り立たないことは、連結だが弧状連結でない空間の存在による。その例については、記事 位相幾何学者の正弦曲線 を参照できる。

$C_x\cap C_y\ne\emptyset$ とすると、$C_x\cup C_y$ は共通点をもつ二つの連結集合の和なので連結であり、$x$ と $y$ をともに含む。最大性から $C_x\cup C_y\subset C_x$ かつ $C_x\cup C_y\subset C_y$ となり $C_x=C_y$ である。各点 $x$ は $C_x$ に属するので、連結成分の族は $X$ を覆い、分割を与える。
閉であることは閉包の命題による。$\overline{C_x}$ は連結で $x$ を含むから、最大性より $\overline{C_x}\subset C_x$ であり、$C_x$ は閉である。