Néron–Ogg–Shafarevichの判定法
概要
Néron–Ogg–Shafarevichの判定法（Néron–Ogg–Shafarevich criterion）とは、剰余体が完全体の標数 $0$ の完備離散付値体 $K$ 上の楕円曲線 $E$ について、良い還元をもつことと、剰余標数 $p$ と異なるある素数 $\ell$ について惰性群が $\ell$ 進 Tate 加群 $T_\ell E$ に自明に作用することが同値である、という定理である。$p$ と素な無限個の $m$ で $E[m]$ が不分岐であることとも同値で、一般のアーベル多様体でも同じ判定法が成り立つ（Serre–Tate）。1 つの $m$ だけでは足りず、$\ell=p$ では判定できず、作用が有限群を通すことは潜在的良還元にあたる。
Néron–Ogg–Shafarevichの判定法（Néron–Ogg–Shafarevich criterion）とは、完備離散付値体 $K$ 上の楕円曲線（一般にアーベル多様体）$E$ が良い還元をもつかどうかを、$K$ の絶対 Galois 群の惰性群が $E$ の等分点にどう作用するかだけで判定する定理である。剰余体の標数を $p$ とすると、次の 2 つが同値になる。
- $E$ は良い還元をもつ。
- $p$ と異なるある素数 $\ell$ について、惰性群が $\ell$ 進 Tate加群 $T_\ell E$ に自明に作用する（このとき、$p$ と異なるすべての素数 $\ell$ について自明に作用する）。
1 から 2 は、良い還元をもつ曲線では等分点を剰余体へ還元しても潰れないことから従う、比較的やさしい向きである。判定法の中身は 2 から 1 の向きで、Galois 群の作用という代数的な情報が、曲線の還元という幾何的な性質を決めてしまう。名前は、部分的な逆を示した Néron・Ogg・Shafarevich にちなみ、一般のアーベル多様体の場合は Serre と Tate による（Sil09 §VII.7 冒頭、p. 201）。
この記事では次のことを示す。問い 答え 楕円曲線で何が同値か 良い還元、$p$ と素なすべての $m$ で $E[m]$ が不分岐、ある（すべての）$\ell\ne p$ で $T_\ell E$ が不分岐、$p$ と素な無限個の $m$ で $E[m]$ が不分岐（thm-nos-elliptic。証明つき） 同種な曲線では 良い還元をもつかどうかは一致する（cor-nos-isogeny） 潜在的良還元は 惰性群が $T_\ell E$ に有限群を通して作用することと同値（cor-nos-potential） 条件は外せるか 1 つの $m$ だけでは足りない、$\ell=p$ は使えない、有限群を通す作用では足りない（反例の表） アーベル多様体では 同じ判定法が成り立つ（thm-nos-abelian。証明は引用）
設定と記号
以下、$K$ を標数 $0$ の体で、離散付値 $v$（正規化して $v(K^\times)=\mathbb{Z}$）について完備なものとする。$R=\{x\in K\mid v(x)\ge0\}$ をその整数環、$\pi$ を一意化元、$k=R/\pi R$ を剰余体とし、$k$ は完全体と仮定する。$p\ge0$ を $k$ の標数とする（$p=0$ もありうる）。代表例は $\mathbb{Q}_p$ の有限次拡大である（p進体）。これは Sil09 第 VII 章冒頭（p. 185）の設定と同じである。
$K$ の代数閉包 $\bar K$ をとる。$K$ は完備なので $v$ は $\bar K$ へ一意に延び（値は $\mathbb{Q}$ に入る）、$\bar K$ の剰余体は $k$ の代数閉包 $\bar k$ である。$G_K:=\operatorname{Gal}(\bar K/K)$ の元は延長の一意性により付値を保つので、$\bar k$ に作用する。
$G_K$ の元のうち $\bar k$ に自明に作用するもの全体を $I_K$ と書き、$K$ の惰性群（inertia group）という。$G_K$ が作用する集合 $\Sigma$ が不分岐（unramified）であるとは、$I_K$ が $\Sigma$ に自明に作用することをいう。
$I_K$ の固定体を $K^{\mathrm{nr}}$ と書く。これは $K$ の有限次不分岐拡大すべての合併で、$K$ の最大不分岐拡大であり、剰余体は $\bar k$ である（Sil09 §VII.4、pp. 194–195）。とくに $\bar K$ の点の集合で $I_K$ の作用で固定されるものは $K^{\mathrm{nr}}$ に属する。$K$ の有限次拡大 $K'$ も同じ仮定（標数 $0$、完備、剰余体が完全体）を満たし、定義から
$$
I_{K'}=I_K\cap G_{K'}
$$
である。
$K$ 上の楕円曲線 $E$ の極小 Weierstrass方程式、その判別式 $\Delta$ と $c_4$、良い還元・乗法的還元・加法的還元は 半安定還元 の定義「極小Weierstrass方程式と還元の型」のとおりとする。極小方程式を $\pi$ を法として還元した $k$ 上の 3 次曲線を $\tilde E$、その非特異点のなす群を $\tilde E_{\mathrm{ns}}$ とする。$E(K)$ の点で $\tilde E_{\mathrm{ns}}$ の点に還元するもの全体を $E_0(K)$、$\tilde E$ の原点 $\tilde O$ に還元するもの全体を $E_1(K)$ と書く。$m\ge1$ について $E[m]$ は $E(\bar K)$ の $m$ 等分点の群、$T_\ell E=\varprojlim_nE[\ell^n]$ は $\ell$ 進 Tate 加群である（Tate加群）。$G_K$ はこれらに群の自己同型として作用する。
使う事実
証明では次の事実を引用する（どれもこの記事では証明しない）。$K'$ は上の仮定を満たす体、$E$ は $K'$ 上の楕円曲線で、$E_0(K')$、$E_1(K')$ は $K'$ 上の極小方程式で定める。
- (F1) 完全列 $0\to E_1(K')\to E_0(K')\to\tilde E_{\mathrm{ns}}(k')\to0$ がある。右の写像は還元写像で、群の準同型である（Sil09 Proposition VII.2.1、p. 188）。
- (F2) $m$ が $k'$ の標数と素なら、$E_1(K')$ は位数 $m$ の $O$ 以外の点をもたない（Sil09 Proposition VII.3.1(a)、p. 192。$E_1(K')$ を形式群の点と同一視して示される）。
- (F3) $\tilde E_{\mathrm{ns}}(\bar k)$ は、良い還元なら楕円曲線 $\tilde E(\bar k)$、乗法的還元なら乗法群 $\bar k^\times$、加法的還元なら加法群 $\bar k^+$ に同型である（Sil09 Proposition VII.5.1、p. 196）。
- (F4) $E(K')/E_0(K')$ は有限群で、$E$ が分裂乗法的還元をもつときは位数 $v'(\Delta')$（$\Delta'$ は極小方程式の判別式）の巡回群、それ以外のときは位数 $4$ 以下である（Sil09 Theorem VII.6.1、p. 200。Kodaira と Néron による）。
- (F5) $K''/K'$ が有限次不分岐拡大なら、$E$ の $K'$ 上の還元の型と $K''$ 上の還元の型は同じである（Sil09 Proposition VII.5.4(a)、p. 197。同書は剰余体の標数が $5$ 以上の場合を証明し、一般の場合は Tateのアルゴリズム によるとしている）。
- (F6) $m\ge1$ について $E[m]\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2$ である（Sil09 Corollary III.6.4(b)、p. 86。$K'$ の標数は $0$）。
楕円曲線の判定法
主定理の 4 ⇒ 1 の証明では、次の有限群の補題を使う。
$m\ge2$ とし、$H\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2$、$H_0$ を $H$ の部分群で $[H:H_0]< m$ を満たすものとする。このとき $m$ のある素因数 $\ell$ について、$H$ の $\ell$ 倍で消える元全体 $H[\ell]$ は $H_0$ に含まれる。
$m=\prod_\ell\ell^{a_\ell}$ と素因数分解する。有限アーベル群はその $\ell$ 準素成分の直和で、部分群も同じく分解するので、$H=\bigoplus_\ell H_\ell$（$H_\ell\cong(\mathbb{Z}/\ell^{a_\ell}\mathbb{Z})^2$）、$H_0=\bigoplus_\ell(H_0\cap H_\ell)$ であり、$[H:H_0]=\prod_\ell[H_\ell:H_0\cap H_\ell]$、$H[\ell]=H_\ell[\ell]\cong(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^2$ である。
結論が成り立たないとすると、すべての $\ell$ で $(H_0\cap H_\ell)[\ell]$ は $H[\ell]$ の真部分群で、位数は $\ell$ 以下である。有限アーベル $\ell$ 群 $G$ は巡回群の直和 $\bigoplus_{i=1}^r\mathbb{Z}/\ell^{b_i}\mathbb{Z}$（$b_i\ge1$）で、$G[\ell]$ の位数は $\ell^r$ なので、$H_0\cap H_\ell$ は巡回群（$r\le1$）である。$H_\ell$ の元の位数は $\ell^{a_\ell}$ 以下だから $\lvert H_0\cap H_\ell\rvert\le\ell^{a_\ell}$、したがって $[H_\ell:H_0\cap H_\ell]\ge\ell^{2a_\ell}/\ell^{a_\ell}=\ell^{a_\ell}$ である。すべての $\ell$ について掛けると $[H:H_0]\ge m$ となり、仮定に反する。$\square$
$E$ を $K$ 上の楕円曲線とする。次は同値である。
- $E$ は良い還元をもつ。
- $p$ と素なすべての整数 $m\ge1$ について、$E[m]$ は不分岐である。
- $p$ と異なるある素数 $\ell$ について、$T_\ell E$ は不分岐である。
- $p$ と素な無限個の整数 $m\ge1$ について、$E[m]$ は不分岐である。
とくに 3 の「ある $\ell$」は「すべての $\ell\ne p$」に置き換えてよい。
1 ⇒ 2。 $E$ が良い還元をもち、$m$ が $p$ と素だとする。$E[m]$ の点の座標をすべて含む $K$ の有限次 Galois 拡大 $K''$ をとり、その付値を $v''$、剰余体を $k''$ とする。$K$ 上の極小方程式は $v(\Delta)=0$ を満たし、$v''(\Delta)=0$ なので $K''$ 上でも整で極小（半安定還元 の補題「極小性と型の判定」）であり、$E$ は $K''$ 上でも良い還元をもつ。良い還元では $\tilde E_{\mathrm{ns}}=\tilde E$、$E_0(K'')=E(K'')$ なので、(F1) と (F2) により、還元写像 $E(K'')\to\tilde E(k'')$ は準同型で、$E[m]$ 上で単射である。
$\sigma\in I_K$、$P\in E[m]$ とする。$\sigma$ は付値を保つので $K''$ の整数環を保ち、$P^\sigma$ の還元は $P$ の還元に $\sigma$ が $k''$ に引き起こす自己同型を施したものである。$\sigma\in I_K$ はこの自己同型を恒等写像にするので、$P^\sigma$ と $P$ の還元は等しい。$P^\sigma-P\in E[m]$ の還元は $\tilde O$ になり、単射性から $P^\sigma=P$ である。
2 ⇒ 3。 $\ell\ne p$ なら $\ell^n$ は $p$ と素なので、$I_K$ はすべての $E[\ell^n]$ に、したがって $T_\ell E$ に自明に作用する。これはすべての $\ell\ne p$ で成り立つ。
3 ⇒ 4。 $\ell$ 倍写像 $[\ell]\colon E\to E$ は定数でない射なので全射であり（Sil09 Theorem II.2.3、p. 20）、$E[\ell^{n+1}]\to E[\ell^n]$ は全射であり、射影 $T_\ell E\to E[\ell^n]$ も全射である（各段で持ち上げを順に選ぶ）。射影は $G_K$ の作用と両立するので、$T_\ell E$ が不分岐ならすべての $E[\ell^n]$ が不分岐である。
4 ⇒ 1。 $N:=\max\{4,\,v(\Delta)\}$ とおく（$\Delta$ は $K$ 上の極小方程式の判別式）。4 により、$p$ と素で $m>N$ かつ $E[m]$ が不分岐な $m$ がとれる。
段 1（不分岐な拡大へ）。$E[m]$ の点は $I_K$ で固定されるので座標は $K^{\mathrm{nr}}$ に属し、有限個なので、ある有限次不分岐拡大 $K'/K$ について $E[m]\subset E(K')$ である。$K'$ の付値 $v'$ は $K$ の上で $v$ に一致する（分岐指数 $1$）。
段 2（指数の評価）。$K$ 上の極小方程式は $K'$ 上でも整なので、$K'$ 上の極小方程式の判別式 $\Delta'$ は $v'(\Delta')\le v'(\Delta)=v(\Delta)$ を満たす。(F4) により $\lvert E(K')/E_0(K')\rvert\le N< m$ である。$H:=E[m]\cong(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^2$（(F6)）、$H_0:=H\cap E_0(K')$ とおくと、$H/H_0$ は $E(K')/E_0(K')$ に埋め込まれるので $[H:H_0]< m$ である。
段 3（$\ell$ 等分点）。lem-nos-index により、$m$ のある素因数 $\ell$ について $E[\ell]\subset E_0(K')$ である。$\ell\mid m$ なので $\ell\ne p$ である。(F1) と (F2) により還元写像 $E_0(K')\to\tilde E'_{\mathrm{ns}}(k')$（$\tilde E'$ は $K'$ 上の極小方程式の還元）は $E[\ell]$ 上で単射なので、$\tilde E'_{\mathrm{ns}}(\bar k)$ は $(\mathbb{Z}/\ell\mathbb{Z})^2$ に同型な部分群を含む。
段 4（型の判定）。$E$ が $K'$ 上で乗法的還元をもつなら、(F3) により $\tilde E'_{\mathrm{ns}}(\bar k)\cong\bar k^\times$ で、その $\ell$ 倍で消える元は $x^\ell=1$ の根なので高々 $\ell$ 個しかなく、$\ell^2$ 個の元をもつ部分群を含まない。加法的還元なら $\tilde E'_{\mathrm{ns}}(\bar k)\cong\bar k^+$ で、$\ell\ne p$ は $\bar k$ で可逆なので $\ell x=0$ から $x=0$ となり、$\ell$ 倍で消える元は $0$ だけである。どちらも段 3 に反するので、$E$ は $K'$ 上で良い還元をもつ。(F5) により $E$ は $K$ 上でも良い還元をもつ。$\square$
主定理は Sil09 Theorem VII.7.1（p. 201）で、証明はその筋（pp. 201–202）に従った。ただし $K^{\mathrm{nr}}$ は完備でないので、$E[m]$ を含む有限次不分岐拡大 $K'$ に移して議論した。$E[m]$ が不分岐であることは、等分点の座標で生成される体 $K(E[m])$ が $K$ の不分岐拡大であることと同じである。
系
$E_1$、$E_2$ を $K$ 上の楕円曲線で、$K$ 上定義された 0 でない同種写像 $\varphi\colon E_1\to E_2$ があるものとする。$E_1$ が良い還元をもつことと、$E_2$ が良い還元をもつことは同値である。
$d:=\deg\varphi$ とする。$\ker\varphi$ は位数 $d$ の有限群なので、$d$ とも $p$ とも素な $m$ について $\ker\varphi\cap E_1[m]=\{O\}$ であり、$\varphi\colon E_1[m]\to E_2[m]$ は単射で、両辺の位数は $m^2$ なので（(F6)）全単射である。$\varphi$ は $K$ 上定義されているので $\varphi(P^\sigma)=\varphi(P)^\sigma$（$\sigma\in G_K$）であり、この全単射は $G_K$ の作用と両立する。よって $E_1[m]$ が不分岐であることと $E_2[m]$ が不分岐であることは同値である。$d$ とも $p$ とも素な $m$ は無限個あるので、thm-nos-elliptic の 1 と 4 の同値から結論が従う。$\square$
これは Sil09 Corollary VII.7.2（p. 202）である。同種写像で移した先の方程式は一般にまったく違う形になるので、この系は方程式だけからは見えにくい。
$E$ が潜在的良還元をもつとは、$K$ のある有限次拡大 $K'$ の上で良い還元をもつことをいう（半安定還元 の系「潜在的良還元の判定」）。
$E$ を $K$ 上の楕円曲線、$\ell\ne p$ を素数とし、$\rho\colon G_K\to\operatorname{Aut}(T_\ell E)$ を作用とする。$E$ が潜在的良還元をもつことと、$\rho(I_K)$ が有限群であることは同値である。とくに後者は $\ell\ne p$ の取り方によらない。
$E$ が有限次拡大 $K'$ の上で良い還元をもつとする。thm-nos-elliptic を $K'$ 上の $E$ に当てると $I_{K'}=I_K\cap G_{K'}$ は $T_\ell E$ に自明に作用する。$[G_K:G_{K'}]=[K':K]$ は有限なので $I_K\cap G_{K'}$ は $I_K$ の中で指数 $[K':K]$ 以下であり、$\rho(I_K)$ の元は剰余類の個数以下しかない。よって $\rho(I_K)$ は有限である。
逆に $\rho(I_K)$ が有限だとする。$J:=I_K\cap\ker\rho$ は $I_K$ の指数有限の閉部分群である（$\rho$ は各 $E[\ell^n]$ への作用が有限 Galois 群を通るので連続）。Galois 理論により、$J$ の固定体 $F$ は $K^{\mathrm{nr}}$ の有限次拡大で、標数 $0$ なので $F=K^{\mathrm{nr}}(\alpha)$ と書ける。$\alpha$ の $K^{\mathrm{nr}}$ 上の最小多項式の係数は $K$ のある有限次不分岐拡大 $K_1$ に属するので、$K':=K_1(\alpha)$ は $K$ の有限次拡大で、合成体 $K'K^{\mathrm{nr}}$ は $F$ を含む。すると
$$
I_{K'}=I_K\cap G_{K'}=\operatorname{Gal}(\bar K/K^{\mathrm{nr}})\cap\operatorname{Gal}(\bar K/K')=\operatorname{Gal}(\bar K/K'K^{\mathrm{nr}})\subset\operatorname{Gal}(\bar K/F)=J
$$
であり、$I_{K'}$ は $T_\ell E$ に自明に作用する。thm-nos-elliptic の 3 ⇒ 1 を $K'$ 上の $E$ に当てて、$E$ は $K'$ 上で良い還元をもつ。
前半の論法はすべての $\ell\ne p$ で $\rho(I_K)$ が有限であることを示しており、後半は 1 つの $\ell$ しか使わないので、最後の主張が従う。$\square$
これは Sil09 Corollary VII.7.3（p. 202）である。剰余体の標数が $2$ でなければ、潜在的良還元は $v(j)\ge0$ と同値である（半安定還元 の系「潜在的良還元の判定」）。したがってそのとき、$\rho(I_K)$ が有限かどうかは $j$ 不変量の付値だけで決まる。
例と反例
以下では $K=\mathbb{Q}_p$（$p$ は奇素数）とする。$K$ の有限次不分岐拡大 $K'$ では付値の値は $\mathbb{Z}$ に入るので、$K^{\mathrm{nr}}$ の $0$ でない元の付値はすべて整数である。したがって、付値が整数でない元は $K^{\mathrm{nr}}$ に属さない。次の 3 つの例ではこれを使う。
$p\ge5$ とし、$E\colon y^2=x^3+p$ を考える。$\Delta=-16\cdot27p^2$、$c_4=0$ なので $v(\Delta)=2< 12$ で方程式は極小であり、$v(c_4)>0$ だから $E$ は加法的還元をもつ。
2 等分点は $O$ と $(\alpha,0)$（$\alpha^3=-p$）である。$v(\alpha)=\tfrac13$ は整数でないので $\alpha\notin K^{\mathrm{nr}}$ であり、$I_K$ のある元が $(\alpha,0)$ を動かす。よって $E[2]$ は分岐しており、thm-nos-elliptic の 1 ⇒ 2 の対偶とも合う。
一方、$K'=\mathbb{Q}_p(p^{1/6})$ の上で $x=p^{1/3}x'$、$y=p^{1/2}y'$ と置くと $py'^2=px'^3+p$、すなわち $y'^2=x'^3+1$ となる。この方程式の判別式 $-16\cdot27$ は $p\ge5$ で単元なので、$E$ は $K'$ 上で良い還元をもつ。$E$ は潜在的良還元をもち、cor-nos-potential により $\rho(I_K)$ は有限群だが、自明ではない（$E$ は $K$ 上で良い還元をもたないので、thm-nos-elliptic の 3 ⇒ 1 の対偶による。$\ell=2$ のときは、上で見た $E[2]$ の分岐からも分かる）。
$E\colon y^2=x(x-1)(x-p)$ を考える。半安定還元 の主定理の証明の段 2 の公式で $\mu=p$ とすると
$$
\Delta=16p^2(p-1)^2,\qquad c_4=16(p^2-p+1)
$$
である。$v(\Delta)=2< 12$ で方程式は極小、$v(\Delta)>0$ かつ $c_4\equiv16\not\equiv0\pmod p$ なので、$E$ は乗法的還元をもち、良い還元をもたない。
それでも $E[2]=\{O,(0,0),(1,0),(p,0)\}$ の点はすべて $\mathbb{Q}_p$ 上にあり、$G_K$ のどの元にも固定されるので、$E[2]$ は不分岐である。この反例は「$p$ と素な $m$ について $E[m]$ が不分岐」という条件を 1 つの $m=2$ だけで満たすが、良い還元をもつという結論を破る。thm-nos-elliptic の 4 が「無限個の $m$」を要求するのはこのためである。さらに $v(j)=3v(c_4)-v(\Delta)=-2< 0$ なので、$E$ は潜在的良還元ももたず（半安定還元 の系「潜在的良還元の判定」）、cor-nos-potential により $\rho(I_K)$ はどの $\ell\ne p$ でも無限群である。
$E$ を $\mathbb{Q}_p$ 上の任意の楕円曲線とする。$E[p]$ は分岐している。とくに $E$ が良い還元をもつ場合（たとえば $y^2=x^3-x$。判別式 $64$ は $p$ が奇素数なら単元）でも、$T_pE$ は不分岐でない。
実際、$E[p]$ が不分岐だとする。Weil 対 $e_p\colon E[p]\times E[p]\to\mu_p$ は $G_K$ の作用と両立し（Sil09 Proposition III.8.1(d)、p. 94）、ある $S,T\in E[p]$ で $\zeta:=e_p(S,T)$ は 1 の原始 $p$ 乗根になる（同 Corollary III.8.1.1、p. 96。Weil対）。$\sigma\in I_K$ は $S,T$ を固定するので $\sigma(\zeta)=e_p(S^\sigma,T^\sigma)=\zeta$ となり、$\zeta\in K^{\mathrm{nr}}$ である。ところが $\zeta-1$ は $\Phi_p(X+1)=\bigl((X+1)^p-1\bigr)/X$ の根で、この多項式は次数 $p-1$ の Eisenstein多項式 である（係数のうち最高次以外は $p$ で割れ、定数項は $p$）。Eisenstein多項式 の定理「Eisenstein多項式が定める拡大」により $\zeta-1$ は $\mathbb{Q}_p(\zeta)$ の一意化元で、$\mathbb{Q}_p(\zeta)/\mathbb{Q}_p$ は次数 $p-1$ の完全分岐拡大だから、$v(\zeta-1)=\tfrac{1}{p-1}$ である。$p\ge3$ ではこれは整数でなく、$\zeta\notin K^{\mathrm{nr}}$ となって矛盾する。
この反例は良い還元をもつという条件を満たすが、thm-nos-elliptic の 3 で $\ell=p$ をとると成り立たない。$p=2$ でも、$e_4$ と $\mathbb{Q}_2(\sqrt{-1})$（$v(\sqrt{-1}-1)=\tfrac12$）を使えば同じく $E[4]$ が分岐する。
| 外す条件 | 反例 | 成り立たなくなること |
|---|---|---|
| 4 の「無限個の $m$」（1 つの $m$ だけにする） | $y^2=x(x-1)(x-p)$、$m=2$（ex-nos-one-m） | 4 ⇒ 1（不分岐な $E[2]$ をもつが乗法的還元） |
| 3 の $\ell\ne p$（$\ell=p$ にする） | 任意の $E/\mathbb{Q}_p$（ex-nos-ell-p） | 1 ⇒ 3（良い還元でも $T_pE$ は分岐） |
| 3 の「自明に作用する」（「有限群を通して作用する」に弱める） | $y^2=x^3+p$、$p\ge5$（ex-nos-additive） | 3 ⇒ 1（$\rho(I_K)$ は有限だが加法的還元） |
アーベル多様体の判定法
$K$ 上のアーベル多様体 $A$ が良い還元をもつとは、$R$ 上のアーベルスキームで生成ファイバーが $A$ と同型なものがあることをいう（Néronモデル の節「良い還元との関係」）。
$A$ を $K$ 上のアーベル多様体とする。次は同値である。
- $A$ は良い還元をもつ。
- $p$ と異なるある素数 $\ell$ について、$T_\ell A$ は不分岐である。
このとき $p$ と異なるすべての素数 $\ell$ について $T_\ell A$ は不分岐である。
Serre と Tate による（Sil09 §VII.7 冒頭、p. 201）。この記事では証明しない。 一般の離散付値環の上での言明と出典は Néronモデル の定理「良い還元のGalois的判定法」とその注意にある。証明の形は楕円曲線の場合と同じで、Weierstrass 方程式の代わりに Néronモデル $\mathcal{A}$ を使う。
詳細（証明の筋）
写像性質により $A(K^{\mathrm{nr}})=\mathcal{A}(R^{\mathrm{nr}})$ であり（$R^{\mathrm{nr}}$ は $K^{\mathrm{nr}}$ の整数環で、剰余体 $\bar k$ の Hensel 局所環。Néronモデル の命題「滑らかな底の上の点」）、$\ell$ 倍写像が $\mathcal{A}$ 上エタールなので、還元写像は $\ell$ 冪等分点の上で単射になる。これが (F1)・(F2) の役をする。特殊ファイバーの単位成分 $\mathcal{A}_k^0$ は、$k$ が完全体なので、アーベル多様体 $B$ による線型群 $T\times U$（$T$ は代数的トーラス、$U$ は単冪群）の拡大である（Chevalleyの構造定理）。$\bar k$ 上の $\ell^n$ 等分点の個数は、$\dim B=b$、$\dim T=t$ について $\ell^{n(2b+t)}$ で、$U$ は寄与しない。これが (F3) の役をする。成分群 $\Phi$ は有限で、(F4) の役をする。$T_\ell A$ が不分岐なら、$A[\ell^n]\cong(\mathbb{Z}/\ell^n\mathbb{Z})^{2g}$（$g=\dim A=b+t+\dim U$）は $\mathcal{A}_k(\bar k)$ に単射に入り、像と $\mathcal{A}_k^0(\bar k)$ の交わりの指数は $\lvert\Phi(\bar k)\rvert$ 以下なので、$\ell^{2gn}\le\lvert\Phi(\bar k)\rvert\,\ell^{n(2b+t)}$ がすべての $n$ で成り立つ。よって $2g\le2b+t$ となり、$t=\dim U=0$、すなわち $\mathcal{A}_k^0$ はアーベル多様体である。Néronモデル の定理「良い還元とNéronモデルの固有性」の 3 ⇒ 1 から良い還元が従う。
この判定法から、cor-nos-isogeny と同じ議論で、同種なアーベル多様体は同時に良い還元をもつ。$\mathcal{A}_k^0$ の構造で $U=0$ を残しトーラスを許すのが 半安定還元 で、その Galois 的な判定法（半安定還元 の定理「半安定還元のGalois的判定法」）は、この判定法の「自明に作用する」を「2 段の単冪で作用する」に替えたものである。
大域体での読み
$F$ を代数体、$E$ を $F$ 上の楕円曲線とする。$F$ の有限素点 $v$ ごとに、完備化 $F_v$ は上の設定を満たし、$G_{F_v}$ は $G_F$ の分解群として埋め込まれる（分解群と惰性群）。$E$ が $v$ で良い還元をもつとは $E\otimes_FF_v$ が良い還元をもつことなので、thm-nos-elliptic は次のように読める：$v$ の剰余標数と異なる素数 $\ell$ について、$E$ が $v$ で良い還元をもつことと、Galois表現 $\rho_\ell\colon G_F\to\operatorname{Aut}(T_\ell E)$ が $v$ で不分岐（$v$ の惰性群が自明に作用する）であることは同値である。
$E$ を係数が $F$ の整数環に属する Weierstrass 方程式で表すと、その判別式 $\Delta$ を割らない素点 $v$ では方程式は $F_v$ 上で整かつ $v(\Delta)=0$ なので極小で、$E$ は $v$ で良い還元をもつ。よって悪い還元の素点は有限個である。したがって $\rho_\ell$ は、悪い還元の素点と $\ell$ の上の素点を除くすべての素点で不分岐である。悪い還元の度合いを惰性群の作用で測り直したものが 楕円曲線の導手 で、導手の指数が $0$ であることは良い還元と同値である。
関連項目
- 前提: Néronモデル, Tate加群, 楕円曲線, 半安定還元, 惰性群
- 道具: 形式群, Weil対, Eisenstein多項式, 不分岐拡大
- 比較: 楕円曲線の導手, Galois表現, 同種写像
- 発展: アーベル多様体, Faltingsの定理, Tateのアルゴリズム
参考文献
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