多項式写像
概要
多項式写像（polynomial map）とは、体 $k$ 上のアフィン空間やアフィン代数的集合の間の写像で、各座標が多項式で与えられるもの $a\mapsto(\varphi_1(a),\dots,\varphi_m(a))$ のことである。代数幾何学でアフィン代数的集合の間の射として使われ、座標環の間の $k$ 準同型と一対一に対応し、Zariski 位相について連続である。一方、全単射でも逆写像が多項式とは限らず（$\mathbb{R}$ 上の $a\mapsto a^3$）、像は閉集合とは限らない（代数閉体上では Chevalley の定理により構成可能集合）。無限体上では直線の自己同型は 1 次式に限られ、自己同型の Jacobi 行列式は 0 でない定数である。
前提知識: 多項式環, アフィン代数的集合, 座標環, Zariski位相
定義
$k$ を体とし、$A_n:=k[x_1,\dots,x_n]$ を $n$ 変数の多項式環とする。多項式 $f\in A_n$ に点 $a=(a_1,\dots,a_n)\in k^n$ を代入した値を $f(a)$ と書き、$a\mapsto f(a)$ を $f$ の定める多項式関数という（多項式環 の記事の定義「代入と多項式関数」）。部分集合 $S\subset A_n$ の共通零点の集合を $V(S)\subset k^n$ と書き、この形の集合をアフィン代数的集合、$X\subset k^n$ 上で消える多項式全体のイデアルを $I(X)$ と書く（座標環 の記事と同じ記法）。
写像 $\varphi\colon k^n\to k^m$ が 多項式写像（polynomial map）であるとは、多項式 $\varphi_1,\dots,\varphi_m\in A_n$ があって、すべての $a\in k^n$ について
$$
\varphi(a)=(\varphi_1(a),\dots,\varphi_m(a))
$$
となることをいう。$\varphi_1,\dots,\varphi_m$ を $\varphi$ の成分多項式という。
$X\subset k^n$、$Y\subset k^m$ をアフィン代数的集合とする。
- 写像 $\varphi\colon X\to Y$ が 多項式写像 であるとは、多項式 $\varphi_1,\dots,\varphi_m\in A_n$ があって、すべての $a\in X$ について $\varphi(a)=(\varphi_1(a),\dots,\varphi_m(a))$ となることをいう。
- 多項式写像 $\varphi\colon X\to Y$ が 同型（同型）であるとは、多項式写像 $\psi\colon Y\to X$ で $\psi\circ\varphi=\mathrm{id}_X$、$\varphi\circ\psi=\mathrm{id}_Y$ となるものがあることをいう。$X$ から $X$ 自身への同型を $X$ の多項式自己同型という。
これは 座標環 の記事の定義「アフィン代数的集合の間の多項式写像」と同じものであり、$X=k^n$、$Y=k^m$ のときは前の定義に一致する（$k^n=V(\{0\})$ はアフィン代数的集合である）。多項式写像は代数幾何学では射とも呼ばれる。$k$ が代数閉体で $X,Y$ が既約（アフィン多様体）のときは、多項式写像は Har77 Chapter I §3 の多様体の射（準射影多様体の間の正則写像）と一致する。ただし Har77 のこの枠組みは代数閉体と既約性を仮定しており、一般の体や可約な集合には直接は当てはまらない。また「正則写像」「射」はより広い対象にも使う語なので、本記事では多項式写像と呼ぶ。
多項式写像 $\varphi\colon X\to Y$ は、$Y$ 上の多項式関数を $X$ 上の多項式関数に引き戻す。$g\in k[y_1,\dots,y_m]$ に対し $g\circ\varphi$ は $X$ 上で多項式 $g(\varphi_1,\dots,\varphi_m)$ の定める関数であり、これが座標環の間の $k$ 上の環準同型 $\varphi^*\colon k[Y]\to k[X]$ を定める。$\varphi\mapsto\varphi^*$ が多項式写像と $k$ 準同型の一対一対応を与えることは 座標環 の記事の定理「多項式写像と座標環の準同型の対応」で証明されている。本記事ではこの対応を証明せずに使い、多項式写像そのものの性質（成分の一意性、連続性、像、自己同型）を扱う。
直感
多項式写像は「座標を多項式の式で書ける写像」である。平面から平面への $(x,y)\mapsto(x^2-y,\,xy)$ のように、各座標が加減乗と定数だけで計算される。代数幾何学では図形をアフィン代数的集合として扱い、その間の写像としてはこの種の写像だけを考える。連続写像や滑らかな写像と比べると非常に制約の強いクラスであり、そのため、多項式写像による同型は図形のきわめて精密な同一視になる。
一方で、逆写像が多項式で書けるとは限らない。$\mathbb{R}$ 上の $x\mapsto x^3$ は全単射だが、逆写像 $y\mapsto y^{1/3}$ は多項式でない。全単射であることと同型であることの差は、多項式写像の理論でくり返し現れる。
例と反例
以下、無限集合である体 $k$ 上の多項式が $k^n$ のすべての点で $0$ になれば零多項式であること（多項式環 の記事の定理「無限体上の多項式の非零点」）を使う。
$m\times n$ 行列 $M$ と $b\in k^m$ について、$\varphi(a):=Ma+b$ は成分多項式が $1$ 次以下の多項式写像 $k^n\to k^m$ である。$m=n$ で $M$ が正則行列なら、$\psi(c):=M^{-1}(c-b)$ も多項式写像で $\varphi$ の逆写像なので、$\varphi$ は $k^n$ の多項式自己同型である。
多項式写像 $\varphi\colon k^n\to k^m$ のグラフ $\Gamma_\varphi:=\{(a,\varphi(a))\mid a\in k^n\}\subset k^{n+m}$ は、$k[x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_m]$ の多項式 $y_i-\varphi_i$（$i=1,\dots,m$）の共通零点の集合なので、アフィン代数的集合である。射影 $\mathrm{pr}\colon\Gamma_\varphi\to k^n$、$(a,c)\mapsto a$ と $a\mapsto(a,\varphi(a))$ は互いに逆な多項式写像なので、$\Gamma_\varphi$ は $k^n$ と同型である。たとえば放物線 $V(\{y-x^2\})$ は $x\mapsto x^2$ のグラフであり、直線 $k$ と同型である（座標環 の記事の例「放物線」）。
任意の多項式 $f\in k[x]$ について、$\tau_f(a,b):=(a,\,b+f(a))$ は $k^2$ の多項式写像であり、$\tau_{-f}$ が逆写像なので多項式自己同型である。$k$ が無限体なら成分多項式は一意に定まり（後の prop-polynomial-map-components の 1）、$f$ の次数はいくらでも大きくとれるので、$k^2$ の多項式自己同型には成分の次数がいくらでも大きいものがある。アフィン変換と三角型の自己同型を合成すれば、さらに多くの自己同型が得られる。これは、後の prop-polynomial-map-line-automorphisms で見る直線 $k$ の場合（自己同型は $1$ 次式に限る）と対照的である。
$k=\mathbb{F}_q$ を $q$ 元の有限体とすると、任意の写像 $h\colon\mathbb{F}_q^n\to\mathbb{F}_q$ は多項式関数である。$a\in\mathbb{F}_q^n$ に対し $\delta_a:=\prod_{i=1}^n\bigl(1-(x_i-a_i)^{q-1}\bigr)$ は $a$ で $1$、他の点で $0$ をとる（$c\in\mathbb{F}_q^\times$ なら $c^{q-1}=1$）ので、$h=\sum_ah(a)\delta_a$ となるからである（座標環 の記事の例「アフィン空間と点」）。したがって写像 $\mathbb{F}_q^n\to\mathbb{F}_q^m$ はすべて多項式写像である。一方、成分多項式は一意でない。$x^q$ と $x$ は相異なる多項式だが、$\mathbb{F}_q$ 上で同じ関数を定める（多項式環 の記事の例「多項式と多項式関数の違い」）。
- $k=\mathbb{R}$ とし $\varphi(a):=a^3$ とする。$\varphi$ は狭義単調増加かつ全射なので全単射である。多項式 $\psi$ で $\psi(a^3)=a$ がすべての $a\in\mathbb{R}$ で成り立つものがあったとすると、多項式 $\psi(x^3)-x$ は無限集合 $\mathbb{R}$ の全点で $0$ なので零多項式であり、$\psi(x^3)=x$ となる。しかし $\psi$ が定数なら左辺は定数、そうでなければ左辺の次数は $3\deg\psi\ge3$ であり、どちらも $x$ に等しくない。よって逆写像は多項式写像でなく、$\varphi$ は同型でない。
- $k$ を標数 $p>0$ の代数閉体（たとえば $\mathbb{F}_p$ の代数閉包）とし、$F(a):=a^p$ とする。$a^p=b^p$ なら $(a-b)^p=a^p-b^p=0$ なので $a=b$ であり、$F$ は単射である。$x^p-c$ は根をもつので $F$ は全射である。1 と同じ理由（$\psi(x^p)=x$ は次数の比較で不可能）で、$F$ は同型でない。
- $k$ を無限体とするとき、尖点をもつ曲線 $V(\{y^2-x^3\})$ への $t\mapsto(t^2,t^3)$ も、全単射だが同型でない多項式写像である（座標環 の記事の例「反例：全単射だが同型でない多項式写像」）。無限体の仮定は省けない。本記事の多項式写像は $k$ の点の集合の間の写像として定義しているので、$k=\mathbb{F}_q$ なら曲線は有限集合であり、ex-polynomial-map-finite-field により有限集合上の関数はすべて多項式で書けるから、逆写像も多項式写像になり、この写像は同型である。
これらは「全単射な多項式写像」を満たすが「同型」を満たさず、含意「全単射な多項式写像は同型である」を破る。
$k$ を無限体とする。
- 双曲線 $H:=V(\{xy-1\})\subset k^2$ から直線への射影 $(a,b)\mapsto a$ の像は $k\setminus\{0\}$ である。$k$ のアフィン代数的集合は $k$ 自身か有限集合（零でない多項式の根は有限個）であり、$k\setminus\{0\}$ はそのどちらでもない。
- $\varphi\colon k^2\to k^2$、$\varphi(a,b):=(a,ab)$ の像は $W:=\{(c,d)\mid c\neq0\}\cup\{(0,0)\}$ である。実際 $c\neq0$ なら $(c,d)=\varphi(c,d/c)$ であり、$\varphi(0,b)=(0,0)$ である。$f\in k[x,y]$ が $W$ 上で消えるとすると、各 $d\in k$ について一変数多項式 $f(x,d)$ は無限集合 $k\setminus\{0\}$ の全点で $0$ なので零多項式であり、とくに $f(0,d)=0$ である。よって $f$ は $k^2$ 全体で消え、$W$ を含むアフィン代数的集合は $k^2$ だけである。$(0,1)\notin W$ なので $W$ はアフィン代数的集合でない。
これらは「多項式写像の像」を満たすが「アフィン代数的集合である」を満たさず、含意「多項式写像の像は Zariski 位相の閉集合である」を破る。2 の像 $W$ は開集合 $\{c\neq0\}$ と閉集合 $\{(0,0)\}$ の和集合であり、後の thm-polynomial-map-chevalley の形をしている。
性質
成分の一意性と合成
$X\subset k^n$、$Y\subset k^m$、$Z\subset k^l$ をアフィン代数的集合とする。
- 多項式の組 $(\varphi_1,\dots,\varphi_m)$ と $(\varphi'_1,\dots,\varphi'_m)$ が $X$ 上で同じ多項式写像を与えることと、各 $i$ で $\varphi_i-\varphi'_i\in I(X)$ であることは同値である。とくに $k$ が無限体なら、多項式写像 $k^n\to k^m$ の成分多項式は一意に定まる。
- 多項式写像 $\varphi\colon X\to Y$、$\psi\colon Y\to Z$ の合成 $\psi\circ\varphi$ は多項式写像であり、恒等写像 $\mathrm{id}_X$ も多項式写像である。
- $k$ が無限体なら、多項式写像 $k^n\to k^m$ と、$k$ 上の環準同型 $k[y_1,\dots,y_m]\to k[x_1,\dots,x_n]$ は、$\varphi\mapsto(y_i\mapsto\varphi_i)$ によって一対一に対応する。
1：2 つの組が $X$ 上で同じ写像を与えることは、各 $i$ と各 $a\in X$ で $\varphi_i(a)=\varphi'_i(a)$、すなわち $\varphi_i-\varphi'_i$ が $X$ 上で消えることと同値であり、これは $\varphi_i-\varphi'_i\in I(X)$ の定義である。$k$ が無限体で $X=k^n$ なら、$k^n$ 全体で消える多項式は零多項式なので $I(k^n)=\{0\}$ であり、成分多項式は一意である。
2：$\psi$ の成分を $\psi_1,\dots,\psi_l\in k[y_1,\dots,y_m]$ とすると、$a\in X$ について $\psi(\varphi(a))$ の第 $j$ 成分は $\psi_j(\varphi_1(a),\dots,\varphi_m(a))$ であり、これは多項式 $\psi_j(\varphi_1,\dots,\varphi_m)\in A_n$ の $a$ での値である（代入は和と積を保つ）。恒等写像は成分 $x_1,\dots,x_n$ で与えられる。
3：多項式環 の記事の定理「多項式環の普遍性」により、$k$ 上の環準同型 $\theta\colon k[y_1,\dots,y_m]\to A_n$ は $y_i$ の行き先 $\theta(y_i)\in A_n$ の組と一対一に対応し、その組は任意に選べる。一方 1 により、多項式写像 $k^n\to k^m$ は成分多項式の組と一対一に対応し、その組も任意に選べる。この 2 つの対応を合わせればよい。$\square$
2 により、アフィン代数的集合と多項式写像は圏をなす。3 は、座標環 の記事の定理「多項式写像と座標環の準同型の対応」の $X=k^n$、$Y=k^m$ の場合を、普遍性だけから直接得たものである。有限体上では 3 は成り立たない。ex-polynomial-map-finite-field の $x^q$ と $x$ は異なる準同型 $y\mapsto x^q$、$y\mapsto x$ を与えるが、多項式写像としては同じだからである。
Zariski 位相についての連続性
$k^n$ のアフィン代数的集合を閉集合とする位相を $k^n$ の（古典的な）Zariski位相といい、アフィン代数的集合 $X$ にはその相対位相を入れる。$X$ の閉集合は $X\cap V(S)$（$S\subset A_n$）の形の集合である。
多項式写像 $\varphi\colon X\to Y$（$X\subset k^n$、$Y\subset k^m$）と部分集合 $S\subset k[y_1,\dots,y_m]$ について
$$
\varphi^{-1}\bigl(Y\cap V(S)\bigr)=X\cap V\bigl(\{g(\varphi_1,\dots,\varphi_m)\mid g\in S\}\bigr)
$$
が成り立つ。したがって多項式写像は Zariski 位相について連続写像である。さらに、$\varphi\colon k^n\to k^m$ のグラフ $\Gamma_\varphi$ は $k^{n+m}$ の Zariski 閉集合である。
$a\in X$ について、$\varphi(a)\in V(S)$ であることは、すべての $g\in S$ で $g(\varphi(a))=0$、すなわち $g(\varphi_1,\dots,\varphi_m)(a)=0$ であることと同値である（prop-polynomial-map-components の 2 の証明と同じく、代入は和と積を保つ）。$\varphi(a)\in Y$ はつねに成り立つので、等式が従う。右辺は $X$ の閉集合なので、閉集合の逆像は閉集合であり、$\varphi$ は連続である。グラフが閉集合であることは ex-polynomial-map-graph で見た。$\square$
$k=\mathbb{R}$ または $\mathbb{C}$ なら、多項式関数は通常の位相でも連続なので、多項式写像は通常の位相についても連続である。一変数の場合、無限体 $k$ 上の定数でない多項式が定める写像 $k\to k$ は、各点の逆像が有限集合である。直線 $k$ の Zariski 位相は余有限位相であり、この場合の連続性は 余有限位相 の記事の命題「余有限空間に入る写像と余有限空間の間の写像」からも従う。
グラフが閉集合であることは、Hausdorff 空間の間の連続写像のグラフが閉であることの類似である。ただし Zariski 位相は Hausdorff でなく、$k^{n+m}$ の Zariski 位相は $k^n$ と $k^m$ の Zariski 位相の直積位相とも異なる（Zariski位相 の記事の例「反例：平面の Zariski 位相は直積位相でない」）ので、この事実は一般位相の議論からは従わず、グラフが方程式で書けることによる。
像
ex-polynomial-map-image のように、多項式写像の像は閉集合とは限らない。代数閉体の上では、像は次の形に限られる。
$k$ を代数閉体とし、$\varphi\colon X\to Y$ をアフィン代数的集合の間の多項式写像とする。このとき像 $\varphi(X)$ は $Y$ の構成可能集合、すなわち $U_i\cap F_i$（$U_i$ は $Y$ の開集合、$F_i$ は $Y$ の閉集合）の形の集合の有限個の和集合である。
証明は Har77 に譲る。Har77 Chapter II, Exercise 3.19 はネーター・スキームの有限型の射についての一般形であり、代数閉体上の多様体をスキームとみなす対応（Har77 Chapter II, Proposition 2.6 の多様体からスキームへの関手）を通して、$X$ が既約な場合の本定理はその特別な場合として従う。一般の $X$ は有限個の既約成分の和集合であり、像はそれぞれの成分の像の和集合なので、この場合も構成可能集合である。
代数閉性は省けない。$k=\mathbb{R}$ で $\varphi(a):=a^2$ とすると、像は $[0,\infty)$ である。$\mathbb{R}$ の Zariski 位相は余有限位相なので、開集合と閉集合の共通部分は有限集合か補集合が有限な集合であり、その有限個の和集合も有限集合か補集合が有限な集合である。$[0,\infty)$ はそのどちらでもないので構成可能集合でない。この例は「多項式写像の像」を満たすが「構成可能」を満たさず、代数閉体の仮定を外すと定理の結論が破れることを示す。
構成可能集合の一般論は 構成可能集合(位相) の記事が扱う。
自己同型と Jacobi 行列
$k$ を無限体とする。直線 $k$ の多項式自己同型は、$a\mapsto ca+b$（$c\in k^\times$、$b\in k$）の形の写像に限る。
$c\neq0$ なら $a\mapsto ca+b$ は逆写像 $a\mapsto c^{-1}(a-b)$ をもつので自己同型である（ex-polynomial-map-affine）。逆に $\varphi$ を多項式自己同型とし、$\varphi$ と逆写像をそれぞれ多項式 $f,g\in k[x]$ で与える。すべての $a\in k$ で $g(f(a))=a$ なので、多項式 $g(f(x))-x$ は無限集合 $k$ の全点で $0$ であり、零多項式である。すなわち $g(f(x))=x$ である。$f$ または $g$ が定数なら $g(f(x))$ は定数なので、どちらも定数でない。体の上では最高次係数の積が $0$ でないので $\deg g(f(x))=\deg g\cdot\deg f$ であり（多項式環 の記事の命題「次数の公式と整域性」）、これが $1$ なので $\deg f=1$ である。$\square$
無限体の仮定は省けない。$k=\mathbb{F}_5$ で $0$ と $1$ を入れ替え他の点を動かさない写像 $\sigma$ は全単射であり、ex-polynomial-map-finite-field により $\sigma$ も $\sigma^{-1}=\sigma$ も多項式写像なので多項式自己同型である。一方 $ca+b$ の形の写像で $2,3$ を動かさないものは $2c+b=2$、$3c+b=3$ から $c=1$、$b=0$ の恒等写像だけなので、$\sigma$ はこの形でない。一方 $k$ が無限体でも $n\ge2$ では、ex-polynomial-map-triangular のように次数の高い自己同型がある（成分多項式が一意なので次数は写像で決まる）。
多項式 $f\in A_n$ の $x_j$ についての偏微分 $\partial f/\partial x_j$ を、$A_n$ を $x_j$ 以外の変数の多項式環 $B$ 上の一変数多項式環 $B[x_j]$ とみたときの形式微分（多項式環 の記事の定義「形式微分」）で定める。多項式写像 $\varphi\colon k^n\to k^m$ の成分多項式から作る $m\times n$ 行列 $J_\varphi:=(\partial\varphi_i/\partial x_j)_{i,j}$ を $\varphi$ の Jacobi行列 という。$k$ が無限体なら成分多項式は一意なので（prop-polynomial-map-components の 1）、$J_\varphi$ は $\varphi$ で決まる。
$k$ を無限体とし、$\varphi\colon k^n\to k^n$ を多項式自己同型とする。このとき $\det J_\varphi$ は $0$ でない定数、すなわち $k^\times$ の元である。
まず連鎖律を示す。$\varphi_1,\dots,\varphi_m\in A_n$ を固定し、$g\in k[y_1,\dots,y_m]$ について
$$
D(g):=\frac{\partial}{\partial x_j}\bigl(g(\varphi_1,\dots,\varphi_m)\bigr)-\sum_{i=1}^m\frac{\partial g}{\partial y_i}(\varphi_1,\dots,\varphi_m)\,\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}
$$
とおく。形式微分は $k$ 線形で積の規則を満たす（多項式環 の記事の命題「微分の規則」を係数環 $B$ 上で使う）ので、$D$ は $k$ 線形であり、定数 $g$ と $g=y_i$ で $D(g)=0$ である。$D(g)=D(h)=0$ なら、$g(\varphi)$ を $g_\varphi$ などと略して積の規則を両辺に使うと
$$
\frac{\partial(g_\varphi h_\varphi)}{\partial x_j}=\frac{\partial g_\varphi}{\partial x_j}h_\varphi+g_\varphi\frac{\partial h_\varphi}{\partial x_j}=\sum_i\Bigl(\frac{\partial g}{\partial y_i}h+g\frac{\partial h}{\partial y_i}\Bigr)_{\!\varphi}\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}=\sum_i\Bigl(\frac{\partial(gh)}{\partial y_i}\Bigr)_{\!\varphi}\frac{\partial\varphi_i}{\partial x_j}
$$
となり、$D(gh)=0$ である。単項式は定数と $y_i$ の積なので、すべての単項式で $D=0$ であり、線形性からすべての $g$ で $D(g)=0$ である。
次に、$\varphi$ の逆写像 $\psi$ の成分を $\psi_1,\dots,\psi_n\in k[y_1,\dots,y_n]$ とする。$\psi\circ\varphi=\mathrm{id}$ であり、合成の成分は $\psi_i(\varphi_1,\dots,\varphi_n)$、恒等写像の成分は $x_i$ なので、prop-polynomial-map-components の 1 により多項式として $\psi_i(\varphi_1,\dots,\varphi_n)=x_i$ である。両辺を $x_j$ で偏微分し連鎖律を使うと
$$
\sum_{l=1}^n\frac{\partial\psi_i}{\partial y_l}(\varphi_1,\dots,\varphi_n)\,\frac{\partial\varphi_l}{\partial x_j}=\delta_{ij}
$$
である（$\delta_{ij}$ は $i=j$ のとき $1$、それ以外 $0$）。すなわち $A_n$ 成分の行列として $J_\psi(\varphi)\,J_\varphi=I_n$ であり、行列式をとると $\det J_\psi(\varphi)\cdot\det J_\varphi=1$ となる。よって $\det J_\varphi$ は $A_n$ の単元である。体上の多項式環では、積の次数は次数の和なので（全次数について、最高次の斉次部分の積が $0$ でない）、単元は次数 $0$、すなわち $0$ でない定数である。$\square$
prop-polynomial-map-jacobian の逆、すなわち「標数 $0$ の体 $k$ 上で $\det J_\varphi\in k^\times$ なら $\varphi\colon k^n\to k^n$ は多項式自己同型である」という主張は Jacobi 予想（Keller の問題）と呼ばれ、$n\ge2$ では未解決である（BCW82）。$n=1$ では正しい。$\det J_\varphi=f'$ が $0$ でない定数なら、標数 $0$ では $\deg f=1$ なので、prop-polynomial-map-line-automorphisms により自己同型である。
標数 $p>0$ では逆は成り立たない。$f(x):=x-x^p$ は $f'=1-px^{p-1}=1$ を満たすが、$f(0)=f(1)=0$ なので単射でなく、自己同型でない。この例は「Jacobi 行列式が $0$ でない定数」を満たすが「自己同型」を満たさず、標数 $0$ の仮定なしでは予想の含意が破れることを示す。
関連する定理として、$k$ が代数閉体なら、単射な多項式写像 $k^n\to k^n$ は全射である（Ax–Grothendieck の定理、Ax69）。代数閉性は省けない。$k=\mathbb{Q}$ で $\varphi(a):=a^3$ は単射（$\mathbb{R}$ 上で狭義単調増加）だが、$2$ は有理数の $3$ 乗でない（無理数 の記事の定理「冪根の無理性」）ので全射でない。
関連項目
参考文献
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