負のSobolev空間

逆の主張から示す。Hölderの不等式 により
$$ \Bigl|\int f_0v+\sum_i\int f_i\,\partial_iv\Bigr|\le\|f_0\|_{p'}\|v\|_p+\sum_i\|f_i\|_{p'}\|\partial_iv\|_p\le\max_i\|f_i\|_{p'}\cdot\|v\|_{1,p} $$
である。
本題を示す。$E:=L^p(\Omega)^{n+1}$ にノルム $\|(h_0,\dots,h_n)\|_E:=\sum_{i=0}^n\|h_i\|_p$ を入れ、
$$ T\colon W^{1,p}_0(\Omega)\to E,\qquad Tv:=(v,\partial_1v,\dots,\partial_nv) $$
とおく。$\|Tv\|_E=\|v\|_{1,p}$ なので $T$ は等長な線形写像であり、像 $G:=T(W^{1,p}_0(\Omega))$ の上で $\lambda(Tv):=\langle F,v\rangle$ と定めた線形汎関数 $\lambda$ は $\|\lambda\|_{G^*}=\|F\|$ をみたす。Hahn–Banachの定理 の系「ノルムを保つ延長」により、$\Lambda\in E^*$ で $G$ 上で $\Lambda=\lambda$、$\|\Lambda\|_{E^*}=\|F\|$ となるものがある。
$i=0,\dots,n$ について、$h\in L^p(\Omega)$ を $i$ 番目の成分に置き他を $0$ とした元に $\Lambda$ を当てたものを $\Lambda_i(h)$ とおくと、$\Lambda_i\in L^p(\Omega)^*$ であり $\Lambda(h_0,\dots,h_n)=\sum_i\Lambda_i(h_i)$ である。Lebesgue 測度は $\Omega$ の上で σ-有限なので、$L^p$ の双対の表現（Lp空間 の注意「双対空間」。$p=1$ を含む）により、$f_i\in L^{p'}(\Omega)$ で $\Lambda_i(h)=\int f_ih$、$\|\Lambda_i\|=\|f_i\|_{p'}$ となるものがある。$v\in W^{1,p}_0(\Omega)$ について
$$ \langle F,v\rangle=\Lambda(Tv)=\int f_0v+\sum_{i=1}^n\int f_i\,\partial_iv $$
である。
ノルムについて、$\|\Lambda\|_{E^*}=\max_i\|f_i\|_{p'}$ を示せば $\|F\|=\max_i\|f_i\|_{p'}$ となる。上界は最初の評価と同じ計算による。下界は、$i$ 番目の成分だけをもつ元に制限すると $\|\Lambda\|_{E^*}\ge\|\Lambda_i\|=\|f_i\|_{p'}$ となることから分かる。$\square$

Poincaréの不等式 の定理「幅が有限な領域でのPoincaréの不等式」により $\|v\|_p\le(b-a)\|\partial_1v\|_p$ なので、$|||v|||:=\sum_{i=1}^n\|\partial_iv\|_p$ は $\|\cdot\|_{1,p}$ と同値なノルムである。$F$ はこのノルムについても連続である。prf-ns-representation で $E$ を $L^p(\Omega)^n$、$T$ を $v\mapsto(\partial_1v,\dots,\partial_nv)$ に替えると、$T$ は $|||\cdot|||$ について等長であり、同じ議論で $f_1,\dots,f_n$ が得られる。$\square$

1．$\varphi\in C_c^\infty(\Omega)$ について $T_F(\varphi)=\int f_0\varphi+\sum_i\int f_i\partial_i\varphi$ であり、超関数の微分の定義 $(\partial_if_i)(\varphi)=-\int f_i\partial_i\varphi$ からこれは $f_0-\sum_i\partial_if_i$ である。$\varphi_k\to\varphi$ が 超関数 の意味で収束すれば台は 1 つのコンパクト集合に入り、$\varphi_k$ と $\partial_i\varphi_k$ は一様に収束するので $\|\varphi_k-\varphi\|_{1,p}\to0$ となり、$T_F$ は超関数である。$T_F=0$ なら $F$ は稠密な部分空間 $C_c^\infty(\Omega)$ の上で $0$ なので、連続性から $F=0$ である。
2．必要性は $F$ の連続性から明らかである。十分なら、$T$ は $W^{1,p}_0(\Omega)$ の稠密な部分空間 $C_c^\infty(\Omega)$ の上で有界なので、一様連続性から $W^{1,p}_0(\Omega)$ 上の連続な線形汎関数へ一意に延びる。$\square$

連続性は $|\int fv|\le\|f\|_2\|v\|_2\le C\|f\|_2\|v\|_{1,p}$ から、単射性は上と同じである。
稠密性を示す。$1< p< \infty$ では $W^{1,p}(\Omega)$ は反射的で（Bre11 Proposition 9.1、p. 264）、その閉部分空間 $W^{1,p}_0(\Omega)$ も反射的である。Hahn–Banachの定理 の系「稠密性の判定」により、$W^{-1,p'}(\Omega)$ 上の連続な線形汎関数 $\Phi$ が $j(L^2)$ の上で $0$ なら $\Phi=0$ であることを示せばよい。反射性から、ある $u\in W^{1,p}_0(\Omega)$ があってすべての $F$ について $\Phi(F)=\langle F,u\rangle$ である。$\Phi$ が $j(L^2)$ の上で $0$ なので、すべての $f\in L^2(\Omega)$ について $\int fu=0$ である。仮定より $u\in L^2(\Omega)$ なので $f=u$ とおけば $\|u\|_2=0$、すなわち $u=0$ であり、$\Phi=0$ である。
$H^1_0(\Omega)$ が $L^2(\Omega)$ で稠密であることは、$C_c^\infty(\Omega)$ が $L^2(\Omega)$ で稠密であること（軟化子 の系「滑らかな関数の稠密性」）による。$\square$

Poincaréの不等式 の系「勾配のノルムと Dirichlet 内積」により、$\langle u,v\rangle_\nabla:=\int\nabla u\cdot\nabla v$ は $H^1_0(\Omega)$ の内積で、その誘導するノルム $\|\nabla u\|_2$ は $\|u\|_{1,2}$ と同値である。とくに $H^1_0(\Omega)$ はこの内積について Hilbert 空間であり、$F$ はこのノルムについても連続である。Rieszの表現定理 により、$u\in H^1_0(\Omega)$ で $\langle u,v\rangle_\nabla=\langle F,v\rangle$（すべての $v$）となるものがただ 1 つあり、$\|\nabla u\|_2$ は $\langle\cdot,\cdot\rangle_\nabla$ に関する $F$ のノルムに等しい。ノルムの同値性から $\|u\|_{1,2}\le C\|F\|$ を得る。この $u$ は $-\Delta u=F$ をみたし、$-\Delta$ が全単射であることも示された。$\square$

要点：$\|\varphi\|_1\le\frac12\|\varphi'\|_1$ から $\|F\|\le\frac13$ が、台形の関数から逆向きが従う。表示 $\int f_1v'$ は $f_1$ の弱微分が $-1$ であることを意味し、$f_1=c-x$ となる。

$\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ を $\psi(0)=1$ となるようにとる。零境界Sobolev空間 の例「反例：1 点を除いた空間」の証明（$p=2\le n$）で作った $\eta_k\in C^\infty(\mathbb R^n)$ は原点の近くで $0$ であり、$\eta_k\psi\to\psi$ が $H^1$ で成り立つ。$w_k:=(1-\eta_k)\psi\in C_c^\infty(\Omega)$ は $w_k(0)=1$ かつ $\|w_k\|_{1,2}\to0$ をみたす。よって $|\delta_0(\varphi)|\le C\|\varphi\|_{1,2}$ となる定数 $C$ はなく、prop-ns-distribution の 2 から結論を得る。$\square$

要点：$x_1=0$ を横切る幅 $\varepsilon$ の三角形の山 $u_\varepsilon$ は、$\|u_\varepsilon\|_{1,1}\to2$、$\langle F,u_\varepsilon\rangle=-2$ をみたすが、$L^2$ 関数との積分は $0$ に近づく。