Artin導手

前提知識: Herbrand関数と上付き番号, Hasse–Arfの定理, 群の表現, 差積と分岐

Artin導手（Artin conductor）とは、局所体の有限次 Galois 拡大 $L/K$ の Galois 群 $G$ の複素表現 $V$（指標 $\chi$）について、分岐群 $G_i$ の不変部分空間の余次元を重み付きで足した数
$$ f(\chi)=\sum_{i\ge0}\frac{\lvert G_i\rvert}{\lvert G_0\rvert}\bigl(\dim V-\dim V^{G_i}\bigr) $$
のことである。イデアル $\mathfrak{p}_K^{f(\chi)}$ を $\chi$ の導手という。$f(\chi)$ は表現 $V$ がどれだけ分岐しているかを測る量で、$V$ に惰性群 $G_0$ が自明に作用する（不分岐な）ときに $0$、$G_0$ は非自明だが $G_1$ が自明に作用する（順分岐な）ときに $\dim V-\dim V^{G_0}$ となり、野性分岐があるとそれより大きくなる。
定義の式からは $f(\chi)$ は有理数にしか見えないが、実際には常に $0$ 以上の整数である（Artin の定理）。1 次元の指標ではこれが Hasse–Arfの定理 の言い換えになり、導手の指数は局所類体論の導手と一致する。さらに、$L/K$ の判別式の指数は、既約指標の Artin 導手を次数を重みにして足したものに等しい（導手判別式公式）。
この記事では、(1) Artin 指標 $a_G$ との内積による表示 $f(\chi)=(\chi,a_G)$、(2) 差積の指数を分岐群で表す Hilbert の公式、(3) 導手判別式公式、(4) 商の Galois 群の指標で導手が変わらないこと、(5) 1 次元の指標について $f(\chi)=\varphi_{L/K}(c_\chi)+1$ とその整数性、を完全に証明する。一般の指標の整数性は Brauer の誘導定理と誘導の公式を引用して導く（Brauer の誘導定理はこの記事では証明しない）。

定義

この記事では $K$ を 局所体、$L/K$ を有限次 Galois 拡大、$G:=\operatorname{Gal}(L/K)$ とし、$f_{L/K}$ を剰余次数、$e_{L/K}$ を分岐指数とする。$G_u$ は下付き番号の分岐群、$i_G$ は $i$ 関数、$\varphi_{L/K}$ は Herbrand 関数で、いずれも Herbrand関数と上付き番号 の定義による。$g_i:=\lvert G_i\rvert$ とおく（$g_0=e_{L/K}$）。$s\ne1$ について $s\in G_i\iff i_G(s)\ge i+1$ なので、$i_G(s)$ は $s\in G_i$ となる整数 $i\ge0$ の個数に等しい。
$G$ 上の類関数 $\alpha,\beta$（共役で値が変わらない複素数値関数）の内積を
$$ (\alpha,\beta):=\frac{1}{\lvert G\rvert}\sum_{s\in G}\alpha(s)\overline{\beta(s)} $$
とし、部分群 $H$ について $\alpha(H):=\frac{1}{\lvert H\rvert}\sum_{s\in H}\alpha(s)$ とおく。

$i_G$ は共役で変わらず、$i_G(s^{-1})=i_G(s)$ なので、$a_G$ は実数値の類関数で $a_G(s^{-1})=a_G(s)$ を満たす。定義から $\sum_{s\in G}a_G(s)=0$ である。$s\notin G_0$ なら $i_G(s)=0$ なので $a_G(s)=0$ である。

したがって $f(\chi)=\sum_{i\ge0}\frac{g_i}{g_0}\operatorname{codim}V^{G_i}$ であり、各項は $0$ 以上なので $f(\chi)\ge0$、$f(\chi)\in\frac{1}{g_0}\mathbb{Z}$ である。$f(\chi)=0$ であることは $G_0$ が $V$ に自明に作用することと同値である（$i=0$ の項が $\operatorname{codim}V^{G_0}$ で、$G_i\subset G_0$ なので $V^{G_0}=V$ なら全部の項が $0$）。

Artin指標による表示

この式により $f$ は類関数全体に線形に延び、$f(\chi+\chi')=f(\chi)+f(\chi')$ である。Ser79 Chapter VI, §2 は逆に $f(\chi):=(\chi,a_G)$ を定義とし、Corollary 1 と Corollary 1′（pp. 100–101）で def-art-conductor の式を導いている。CF67 Chapter VI（Serre）, §4.3（p. 158）は def-art-conductor を定義とし、Proposition 3 で内積の式を述べている。

差積と導手判別式公式

$\mathfrak{D}_{L/K}$ を差積、$\mathfrak{d}_{L/K}$ を判別式（$\mathcal{O}_L$ の $\mathcal{O}_K$ 上の基底の判別式が生成する $\mathcal{O}_K$ のイデアル）とする。$\mathfrak{d}_{L/K}=N_{L/K}(\mathfrak{D}_{L/K})$ であり（Ser79 Chapter III, §3, Proposition 6, p. 50）、$N_{L/K}(\mathfrak{p}_L)=\mathfrak{p}_K^{f_{L/K}}$ なので $v_K(\mathfrak{d}_{L/K})=f_{L/K}\,v_L(\mathfrak{D}_{L/K})$ である。

$G_1=1$（順分岐）なら $v_L(\mathfrak{D}_{L/K})=e_{L/K}-1$ で、$G_1\ne1$ なら $e_{L/K}$ 以上になる。これは 差積と分岐 の記事の定理「局所体の差積の指数」と合う。公式は Ser79 Chapter IV, §1, Proposition 4（p. 64）と CF67 Chapter I（Fröhlich）, §9, Proposition 4（p. 36）にある。

この公式は Ser79 Chapter VI, §3, Corollary 2（p. 104、数体の大域的な形）と CF67 Chapter VI（Serre）, §4.4（pp. 159–160）にあり、Artin と Hasse の「Führerdiskriminantenproduktformel」と呼ばれる。局所体の形は、各素点での等式を掛け合わせる前の段階にあたる。

商と1次元の指標

$H$ を $G$ の正規部分群、$K':=L^H$ とする。$G/H=\operatorname{Gal}(K'/K)$ の指標 $\chi$ は、射影 $G\to G/H$ と合成して $G$ の指標 $\chi'$ とみなせる。

1 次元の指標 $\chi$ について、$\chi$ が $G_{c}$ 上で自明でない最大の整数 $c$ を $c_\chi$ とおく（$\chi$ が $G_0$ 上で自明なら $c_\chi:=-1$）。

Herbrand関数と上付き番号 の定理「Herbrandの定理」を使うと、$c'=\varphi_{L/K'}(c_\chi)$ であり、推移律から前段の 2 つの式が一致することも確かめられる（Ser79 Chapter VI, §2, Proposition 5 と Corollary, p. 102）。上付き番号で言えば、$f(\chi)$ は $\chi$ が $G^v$ 上で自明でない最大の $v$ に $1$ を足したものである。局所類体論では、1 次元の指標 $\chi$ の核の固定体 $L_\chi$ について、$f(\chi)$ は $U_K^{(n)}\subset N_{L_\chi/K}(L_\chi^\times)$ となる最小の $n$（$L_\chi/K$ の導手の指数）に等しい（CF67 Chapter VI（Serre）, §4.2, Propositions 1–2, pp. 157–158）。大域体ではこれが 射類体と導手 の導手の局所成分にあたる。

Brauer の誘導定理を使わずに言えるのは、1 次元の指標の整数性（thm-art-one-dim）と、lem-art-invariants の後の注意による $g_0f(\chi)\in\mathbb{Z}_{\ge0}$ までである。この定理は Artin による（Ser79 Chapter VI, §2, Theorem 1 と Theorem 1′（p. 99）、証明は p. 102、Neu99 Chapter VII, Theorem (11.4)（p. 531、同じ筋道）、CF67 Chapter VI（Serre）, §4.3, Theorem 2, p. 159）。$a_G$ を指標にもつ表現を Artin 表現という。

例

反例

補足

• Swan 導手． $f(\chi)$ から順分岐の部分 $\chi(1)-\chi(G_0)$ を引いた $\operatorname{sw}(\chi):=\sum_{i\ge1}\frac{g_i}{g_0}\operatorname{codim}V^{G_i}$ を Swan導手 という。$G_1$ は $p$ 群なので野性分岐の部分だけを測る量で、$L/K$ が順分岐であることとすべての $\chi$ で $\operatorname{sw}(\chi)=0$ であることは同値である。
• 大域的な導手． 数体の Galois 拡大 $L/K$ の指標 $\chi$ について、各素イデアル $\mathfrak{p}$ で分解群に制限した局所的な導手の指数 $f(\chi,\mathfrak{p})$ を使い $\mathfrak{f}(\chi):=\prod_{\mathfrak{p}}\mathfrak{p}^{f(\chi,\mathfrak{p})}$ とおく。不分岐な $\mathfrak{p}$ では $f(\chi,\mathfrak{p})=0$ なので有限積である。このとき $\mathfrak{d}_{L/K}=\prod_\chi\mathfrak{f}(\chi)^{\chi(1)}$ が成り立つ（Ser79 Chapter VI, §3, Proposition 6 と Corollaries 1–2, p. 104）。$\mathfrak{f}(\chi)$ のノルムと判別式から作る数は、Artin L 関数の関数等式に現れる（同 p. 105）。
• Artin 表現の実現． $a_G$ は複素表現の指標だが、有理数体や $\mathbb{Q}_p$（$p$ は剰余体の標数）の上で実現できない例がある（CF67 Chapter VI（Serre）, §4.5, p. 160）。

関連項目

• 前提: Herbrand関数と上付き番号, Hasse–Arfの定理, 群の表現, 差積と分岐
• 比較: Dirichlet指標, 射類体と導手, 分解群と惰性群
• 発展: Swan導手, 局所類体論