周期(代数多様体)

$X$ は affine（アフィンスキーム）なので $H^1_{dR}(X/k)$ は大域切断の複体 $k[t,t^{-1}]\xrightarrow{d}k[t,t^{-1}]\,dt$ の $1$ 次コホモロジーである（de Rhamコホモロジー の記事の affine の場合の命題）。$d(t^{m})=mt^{m-1}dt$ なので、$m\ne0$ のとき $t^{m-1}dt$ は完全形式であり、$k$ は標数 $0$ だから $\Omega^1(X)/dk[t,t^{-1}]$ は $[t^{-1}dt]$ で張られる $1$ 次元空間である（$t^{-1}dt=df$ となる $f$ は、$f$ の各単項式の微分に $t^{-1}dt$ が現れないので存在しない）。位相側では $\mathbb{C}^\times$ は単位円にホモトピー同値なので $H_1(\mathbb{C}^\times,\mathbb{Z})=\mathbb{Z}c$ である。$\int_c dt/t=\int_0^{2\pi}\frac{ie^{i\theta}}{e^{i\theta}}d\theta=2\pi i$ だから $P=(2\pi i)$。基底の取り替えで $P$ は $a\cdot2\pi i\cdot b$（$a\in k^\times$、$b\in\mathbb{Q}^\times$）に変わるので不変量は述べた類である。$k\subset\overline{\mathbb{Q}}$ のとき類が自明なら $2\pi i\in\overline{\mathbb{Q}}$ となり、$\pi$ の超越性（Lindemannの定理、HW08 第 XI 章）に反する。

Weierstrass の関数について次を用いる（Sil09 第 VI 章）。$\wp$ は $\Lambda$ 周期の偶関数で、$\Lambda$ の点だけを極にもち、$z=0$ での Laurent展開は $z^{-2}+a_2z^2+a_4z^4+\cdots$ である。Weierstrass の $\zeta$ 関数（Weierstrassのゼータ関数）は $\zeta'=-\wp$ をみたし、$\Lambda$ の各点で留数 $1$ の $1$ 位の極をもち、$\zeta(z+\omega_i)-\zeta(z)=:\eta_i^{W}$ は $z$ によらない定数（擬周期）である。
段 1（(i)）．$\omega=dz$ なので $\int_{\gamma_i}dz=\omega_i$ である。$\eta=\wp(z)\,dz$ は $\mathbb{C}\smallsetminus\Lambda$ 上の正則 $1$ 形式で、各 $\lambda\in\Lambda$ における留数は $\wp$ の展開に $z^{-1}$ の項がないので $0$ である。$z_0$ から $z_0+\omega_i$ への二つの道の差は $\mathbb{C}\smallsetminus\Lambda$ の閉路であり、留数定理によりその上の $\eta$ の積分は $2\pi i$ と留数の整数結合の積、すなわち $0$ である。よって $\eta_i$ は道によらない。また $\zeta'=-\wp$ から
$$ \eta_i=\int_{z_0}^{z_0+\omega_i}\wp(z)\,dz=-\bigl(\zeta(z_0+\omega_i)-\zeta(z_0)\bigr)=-\eta_i^{W} $$
であり、右辺は $z_0$ によらない。
段 2（(ii)）．頂点 $z_0,\ z_0+\omega_1,\ z_0+\omega_1+\omega_2,\ z_0+\omega_2$ をこの順にもつ平行四辺形 $\Pi$ を、境界が $\Lambda$ に交わらず内部に $\Lambda$ の点をちょうど $1$ つ含むようにとる（$z_0$ を少し動かせばよい）。$\operatorname{Im}(\omega_2/\omega_1)>0$ によりこの順の境界は反時計回りなので、留数定理により $\oint_{\partial\Pi}\zeta(z)\,dz=2\pi i$ である。他方、向かい合う辺をまとめると、$\zeta(z+\omega_2)-\zeta(z)=\eta_2^W$、$\zeta(z+\omega_1)-\zeta(z)=\eta_1^W$ により
$$ \oint_{\partial\Pi}\zeta\,dz =\int_{z_0}^{z_0+\omega_1}\bigl(\zeta(z)-\zeta(z+\omega_2)\bigr)dz+\int_{z_0}^{z_0+\omega_2}\bigl(\zeta(z+\omega_1)-\zeta(z)\bigr)dz =-\eta_2^W\omega_1+\eta_1^W\omega_2 $$
となる。よって $\eta_1^W\omega_2-\eta_2^W\omega_1=2\pi i$ で、段 1 の $\eta_i^W=-\eta_i$ を代入すると $\omega_1\eta_2-\omega_2\eta_1=2\pi i$ を得る。
段 3（(iii)）．$E(\mathbb{C})=\mathbb{C}/\Lambda$ はトーラスで、$H_1(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z})=\mathbb{Z}\gamma_1\oplus\mathbb{Z}\gamma_2$ である。段 1 により $\gamma\mapsto\int_\gamma\eta$ は $O$ を避ける閉路の $E(\mathbb{C})\smallsetminus\{O\}$ におけるホモロジー類だけで決まる。穴あきトーラスは 2 つの円周のウェッジ和にホモトピー同値なので $H_1(E(\mathbb{C})\smallsetminus\{O\},\mathbb{Z})\to H_1(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z})$ は同型であり、したがって $\int\eta$ は $H_1(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z})$ 上の線型汎関数を定める。$\int\omega$ も同様である。$H^1(E(\mathbb{C}),\mathbb{C})=\operatorname{Hom}(H_1(E(\mathbb{C}),\mathbb{Z}),\mathbb{C})$ は $2$ 次元で、二つの汎関数の $\gamma_1,\gamma_2$ での値を並べた行列の行列式は段 2 により $2\pi i\ne0$ だから、これらは基底である。

$\mathbb{Q}$ 半代数的集合 $A\subset\mathbb{R}^m$ でLebesgue測度 $\operatorname{vol}(A)=\int_A1$ が有限なものの体積の全体を $V\subset\mathbb{R}_{\ge0}$ とおく。
段 1（$\mathcal{P}_{\mathbb{R}}=V-V$）．まず $V-V\subset\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$ を示す。$A\subset\mathbb{R}^m$、$B\subset\mathbb{R}^{m'}$、$m\le m'$ とする。$A\times[0,1]^{m'-m}$ は $\mathbb{Q}$ 半代数的で体積は $A$ と同じだから、$m=m'$ としてよい。$\mathbb{R}^{m+1}$ の中で $\Delta=A\times[0,1]\cup B\times[2,3]$ は $\mathbb{Q}$ 半代数的で、二つの部分は交わらない。$f(x,y)=\tfrac32-y$ は $\int_0^1f\,dy=1$、$\int_2^3f\,dy=-1$ をみたすので、Fubiniの定理により $\int_\Delta f=\operatorname{vol}(A)-\operatorname{vol}(B)$ である。積分は $\Delta$ 上で $f$ が有界かつ $\Delta$ の体積が有限だから絶対収束する。
次に $\mathcal{P}_{\mathbb{R}}\subset V-V$ を示す。$p=\int_\Delta f$、$f=P/Q$（$P,Q\in\mathbb{Q}[x]$、$P\ne0$。$f=0$ なら $p=0=\operatorname{vol}(\emptyset)-\operatorname{vol}(\emptyset)$）とする。$\Delta_+=\Delta\cap\{PQ\ge0\}$、$\Delta_-=\Delta\cap\{PQ\le0\}$ とおくと両者は $\mathbb{Q}$ 半代数的で、交わり $\Delta\cap\{PQ=0\}$ は $0$ でない多項式の零点集合に含まれるので測度 $0$、$\Delta_+$ 上では $f\ge0$、$\Delta_-$ 上では $f\le0$（$Q\ne0$ なる点で）である。集合
$$ S_+=\{(x,z)\in\Delta_+\times\mathbb{R}\mid z\ge0,\ Q(x)\ge0,\ zQ(x)\le P(x)\}\cup\{(x,z)\in\Delta_+\times\mathbb{R}\mid z\ge0,\ Q(x)\le0,\ zQ(x)\ge P(x)\} $$
は $\mathbb{Q}$ 半代数的で、$Q(x)\ne0$ なる $x\in\Delta_+$ 上の切り口は区間 $[0,f(x)]$ だから（$Q(x)=0$ なる $x$ の集合は測度 $0$ で寄与しない）、Fubini の定理（非負関数に対する形）により $\operatorname{vol}(S_+)=\int_{\Delta_+}f$ である。これは絶対収束の仮定により有限である。同様に $-f=(-P)/Q$ と $\Delta_-$ から $S_-$ を作れば $\operatorname{vol}(S_-)=-\int_{\Delta_-}f$ で、$p=\operatorname{vol}(S_+)-\operatorname{vol}(S_-)\in V-V$ である。
段 2（環であること）．$V$ は加法と乗法で閉じている。実際、次元を揃えたのち $\operatorname{vol}(A)+\operatorname{vol}(B)=\operatorname{vol}(A\times[0,1]\cup B\times[2,3])$ であり、$\operatorname{vol}(A)\operatorname{vol}(B)=\operatorname{vol}(A\times B)$（Fubini の定理）である。$0=\operatorname{vol}(\{x\in\mathbb{R}\mid -x^2\ge1\})$、$1=\operatorname{vol}([0,1])$ も $V$ に入る。よって $V-V$ は、$(a-b)+(c-d)=(a+c)-(b+d)$、$(a-b)(c-d)=(ac+bd)-(ad+bc)$、$-(a-b)=b-a$ により $\mathbb{R}$ の部分環であり、段 1 により $\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$ は部分環である。
段 3（代数的数）．$\alpha>0$ を実代数的数、$M\in\mathbb{Q}[x]$ をその最小多項式とする。$M$ の根は単根なので、$M$ は $\alpha$ の近くで符号を変える。有理数 $a,b$ を $0\le a<\alpha< b$ かつ $[a,b]$ が $M$ の他の根を含まないようにとると、$M(a)\ne0$ で $\{x\in[a,b]\mid M(a)M(x)\ge0\}=[a,\alpha]$ である。よって $[0,\alpha]=[0,a]\cup\{x\in[a,b]\mid M(a)M(x)\ge0\}$ は $\mathbb{Q}$ 半代数的で、$\alpha=\operatorname{vol}([0,\alpha])\in V$ である。負の実代数的数は符号を変えればよく、$0$ も周期だから、実代数的数はすべて $\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$ に入る。複素代数的数の実部と虚部は実代数的数なので $\overline{\mathbb{Q}}\subset\mathcal{P}$ である。
段 4（$\mathcal{P}$ が環であること）．$p=a+ib$、$q=c+id$（$a,b,c,d\in\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$）に対し $p+q=(a+c)+i(b+d)$、$pq=(ac-bd)+i(ad+bc)$ であり、段 2 によりこれらの実部と虚部は $\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$ に入る。$\mathbb{Q}\subset\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$ により $\mathcal{P}$ は $\mathbb{Q}$ 代数である。
段 5（可算性）．実周期は組 $(m,f,\Delta)$ で決まり、$m$ は自然数、$f$ は有理数係数の多項式の比、$\Delta$ は有理数係数の多項式の有限族で与えられる。有理数係数の多項式の全体は可算だから、そのような組の全体は可算で、$\mathcal{P}_{\mathbb{R}}$ は可算、したがって $\mathcal{P}$ も可算である。$\mathbb{C}$ は非可算なので、周期でない複素数が非可算個ある。