楕円曲線のL関数

$p\mid N$ のとき $\tilde E_p$ は特異点をちょうど 1 つもち、それは $\mathbb{F}_p$ 有理点である（Tateのアルゴリズム の命題「特異点を原点に移す」）。よって $N_p=\#\tilde E_{p,\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_p)+1$ で、$a_p=p-\#\tilde E_{p,\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_p)$ である。特異点を原点に移すと、$\tilde E_p$ のアフィン部分は $y^2+a_1xy-a_2x^2=x^3$（係数は $\mathbb{F}_p$ の元）になる。原点を通る直線 $y=\lambda x$（$\lambda\in\mathbb{F}_p$）はこの曲線と原点のほかに $x=\lambda^2+a_1\lambda-a_2$、$y=\lambda x$ で交わり、この $x$ が $0$ でないことと、$\lambda$ が原点での接線の傾き（Tateのアルゴリズム の命題「乗法的還元の判定」の 2 次式 $\lambda^2+a_1\lambda-a_2$ の根）でないことは同値である。逆に原点以外のアフィンの点では $x\ne0$（$x=0$ なら $y=0$）で、$\lambda=y/x$ が決まる。よって $\#\tilde E_{p,\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_p)=1+p-r$（$1$ は無限遠点、$r$ は 2 次式の $\mathbb{F}_p$ での根の個数）である。$r$ は分裂乗法的なら $2$、非分裂乗法的なら $0$、加法的（接線が 1 本の尖点）なら $1$ なので、$a_p=r-1=1,-1,0$ である。
$L_p(1/p)$：$p\mid N$ なら $1-a_p/p=(p-a_p)/p=\#\tilde E_{p,\mathrm{ns}}(\mathbb{F}_p)/p$ である。$p\nmid N$ なら $\tilde E_p$ は非特異で、$1-a_p/p+1/p=N_p/p$ である。$\square$

1：楕円曲線 の定理「Hasse の定理」により $\lvert a_p\rvert\le2\sqrt p$ である。よって $T^2-a_pT+p$ の判別式 $a_p^2-4p$ は $0$ 以下で、根 $\alpha_p,\beta_p$ は互いに複素共役（または重根の実数）であり、$\lvert\alpha_p\rvert^2=\alpha_p\beta_p=p$ である。
2：$p\nmid N$ では、$\lvert x\rvert$ が小さいとき $L_p(x)^{-1}=\sum_{k\ge0}c_kx^k$ と展開すると、$(1-a_px+px^2)\sum c_kx^k=1$ の係数を比べて $c_0=1$、$c_1=a_p$、$c_{k+1}=a_pc_k-pc_{k-1}$ を得る。$p\mid N$ では $(1-a_px)^{-1}=\sum a_p^kx^k$ である。$a_{p^k}:=c_k$ とし、$n=\prod p^{k_p}$ について $a_n:=\prod a_{p^{k_p}}$ と定めれば、Euler 積を形式的に展開した係数は $a_n$ であり、乗法性は定義から従う。展開が正しいことは 3 の絶対収束による。
3：$p\nmid N$ では $L_p(x)^{-1}=(1-\alpha_px)^{-1}(1-\beta_px)^{-1}$ から $a_{p^k}=\sum_{i=0}^k\alpha_p^i\beta_p^{k-i}$ で、1 により $\lvert a_{p^k}\rvert\le(k+1)p^{k/2}$ である。$p\mid N$ では $\lvert a_{p^k}\rvert\le1$ である。$\sigma:=\operatorname{Re}s>3/2$ とし $x_p:=p^{1/2-\sigma}<1$ とおくと、
$$ \sum_{n\ge1}\lvert a_n\rvert n^{-\sigma}\le\prod_p\sum_{k\ge0}(k+1)x_p^k=\prod_p(1-x_p)^{-2} $$
であり、$\sum_px_p<\infty$ なので右辺の積は収束する。よって Dirichlet 級数は絶対収束し、Euler 積に等しい。各因子 $(1-\alpha_pp^{-s})(1-\beta_pp^{-s})$ は $0$ でなく、$\sum_p\lvert\alpha_pp^{-s}\rvert<\infty$ なので積 $L(E,s)$ も $0$ でない。$\square$

$y_0>0$ を固定すると、$y\ge y_0$ で
$$ \lvert f(iy)\rvert\le\sum_nCn^Ae^{-2\pi ny}\le e^{-2\pi y}\sum_nCn^Ae^{-2\pi(n-1)y_0}=:C'e^{-2\pi y} $$
である。$\sigma=\operatorname{Re}s>A+1$ では $\int_0^\infty e^{-2\pi ny}y^{s-1}dy=(2\pi n)^{-s}\Gamma(s)$ で、$\sum_n\lvert c_n\rvert(2\pi n)^{-\sigma}\Gamma(\sigma)<\infty$ なので和と積分を交換でき、
$$ \Lambda(f,s)=N^{s/2}\int_0^\infty f(iy)y^{s-1}dy $$
である。$W_Nf=\varepsilon f$ を $\tau=iy$ で書くと $f(i/(Ny))=-\varepsilon Ny^2f(iy)$ である。積分を $y=1/\sqrt N$ で分け、下の部分で $y=1/(Nt)$ と置換すると
$$ \int_0^{1/\sqrt N}f(iy)y^{s-1}dy=\int_{1/\sqrt N}^\infty f\Bigl(\frac{i}{Nt}\Bigr)N^{-s}t^{-1-s}dt=-\varepsilon N^{1-s}\int_{1/\sqrt N}^\infty f(it)t^{1-s}dt $$
となる。したがって
$$ \Lambda(f,s)=N^{s/2}\int_{1/\sqrt N}^\infty f(iy)y^{s-1}dy-\varepsilon N^{1-s/2}\int_{1/\sqrt N}^\infty f(iy)y^{1-s}dy $$
である。右辺の 2 つの積分は、$y\ge1/\sqrt N$ で被積分関数の絶対値が $C'e^{-2\pi y}y^{\pm(\sigma-1)}$ 以下なので、すべての $s$ で収束し、$s$ が有界な範囲では一様に収束するので $s$ について正則である。これで解析接続が得られる。右辺で $s$ を $2-s$ に替えて $-\varepsilon$ を掛けると、$\varepsilon^2=1$ により 2 つの項が入れ替わって右辺そのものに戻るので、$\Lambda(f,2-s)\cdot(-\varepsilon)=\Lambda(f,s)$ である。$\square$

モジュラー性定理により、レベル $N$、重さ $2$ の正規化された新形式 $f_E=\sum c_nq^n$ で $L(f_E,s)=L(E,s)$、すなわち $c_n=a_n$ となるものがある（Mil21 Definition V.5.3・Conjecture V.5.4 とその後の段落、pp. 208–210、Sil09 Theorem C.16.4 (a)、p. 451）。新形式は $W_N$ の固有ベクトルで、固有値は $\pm1$ である（Mil21 Theorem V.4.20 とその後の段落、pp. 206–207）。この 2 点はこの記事では証明しない。thm-l-function-elliptic-curve-convergence の 3 から $\lvert a_n\rvert\le\prod_p(k_p+1)p^{k_p/2}\le n\sqrt n$ なので、thm-l-function-elliptic-curve-hecke を $A=3/2$ で当てられ、$w_E:=-\varepsilon$ とすればよい。$\square$

$N^{s/2}(2\pi)^{-s}\Gamma(s)$ は $s=1$ の近くで正則で $0$ にならないので、$L(E,s)$ と $\Lambda(E,s)$ の $s=1$ での位数は等しい。$g(t):=\Lambda(E,1+t)$ とおくと関数等式は $g(t)=w_Eg(-t)$ である。$g$ の $t=0$ での Taylor 展開の最低次の項を $bt^m$（$b\ne0$）とすると、$bt^m=w_Eb(-t)^m$ から $(-1)^m=w_E$ である。$\square$