単位元
概要
単位元（identity element）とは、マグマ（集合と二項演算の組）$M$ の元 $e$ であって、任意の元 $a$ に対して $e\cdot a=a\cdot e=a$ を満たすもの、すなわちどの元と演算しても相手を変えない元のことである。中立元とも呼ばれ、片側の式だけを満たすものを左単位元・右単位元という。整数の加法における $0$、実数の乗法における $1$、写像の合成における恒等写像が典型例である。左単位元と右単位元がともに存在すれば一致し、単位元は存在すれば一意である。一方、片側の単位元だけなら複数存在しうるし、単位元を持たないマグマもある。単位元はモノイド・群・環など、より豊かな代数系の定義に現れる最も基本的な部品の一つである。
定義
集合 $M$ と二項演算 $\cdot\colon M\times M\to M$ の組 $\langle M,\cdot\rangle$ をマグマ（magma）という。結合律も可換律も仮定しない。本記事では、マグマの中で「どの元と演算しても相手を変えない」元を扱う。
マグマ $\langle M,\cdot\rangle$ の元 $e_L$ が、任意の $a\in M$ に対して
$$
e_L\cdot a=a
$$
を満たすとき、$e_L$ を $M$ の左単位元（left identity）という。
同様に、元 $e_R$ が任意の $a\in M$ に対して
$$
a\cdot e_R=a
$$
を満たすとき、$e_R$ を $M$ の右単位元（right identity）という。
マグマ $\langle M,\cdot\rangle$ の元 $e$ が左単位元かつ右単位元であるとき、すなわち任意の $a\in M$ に対して
$$
e\cdot a=a\cdot e=a
$$
が成り立つとき、$e$ を $M$ の単位元（identity element）または中立元（neutral element）という。単位元を持つマグマを単位的マグマ（unital magma）という。半群の単位元については Howie95 §1.1 が同じ定義式を用いている。
直感
単位元は「何もしない操作」に対応する基準点である。整数の加法における $0$、実数の乗法における $1$ がその典型で、相手にぶつけても相手はそのまま返ってくる。左右を分けて定義するのは、一般のマグマでは演算が可換でも結合的でもないため、「左からぶつけて変えない」と「右からぶつけて変えない」が独立な条件になりうるからである。両方を満たす元は、存在すればただ一つに定まる。
例と反例
$\langle\mathbb{Z},+\rangle$ において $0$ は単位元である。実際、任意の $a\in\mathbb{Z}$ に対して $0+a=a+0=a$ が成り立つ。$\langle\mathbb{R},\times\rangle$ において $1$ は単位元である（$1\times a=a\times1=a$）。同じ集合 $\mathbb{R}$ でも、加法の単位元は $0$、乗法の単位元は $1$ であり、単位元は集合だけでなく演算によって決まる。
集合 $X$ から $X$ 自身への写像全体 $X^X$ に合成 $\circ$ を演算として入れたマグマ $\langle X^X,\circ\rangle$ において、恒等写像 $\mathrm{id}_X$（$x\mapsto x$）は単位元である。実際、任意の $f\colon X\to X$ と $x\in X$ に対して $(\mathrm{id}_X\circ f)(x)=f(x)=(f\circ\mathrm{id}_X)(x)$ である。
$2$ 次正方行列全体 $M_2(\mathbb{R})$ は行列の積について単位行列 $I$ を単位元に持つ。部分集合 $S:=\{\operatorname{diag}(a,0)\mid a\in\mathbb{R}\}$（対角成分が $(a,0)$ の対角行列全体）は積で閉じており、$\operatorname{diag}(1,0)$ は $S$ の単位元である。実際 $\operatorname{diag}(1,0)\operatorname{diag}(a,0)=\operatorname{diag}(a,0)=\operatorname{diag}(a,0)\operatorname{diag}(1,0)$ である。しかし $\operatorname{diag}(1,0)\neq I$ であり、$I\notin S$ である。部分マグマの単位元は全体の単位元と一致するとは限らない。
次の例は、それぞれ「左単位元 ⇒ 単位元」「任意のマグマは単位元を持つ」が成り立たないことを示す。
- 二元以上の集合 $M$ に演算 $x\cdot y:=y$（常に右側の元を返す）を入れる。任意の $e\in M$ について $e\cdot a=a$ が成り立つので、$M$ のすべての元が左単位元である。一方、右単位元 $e_R$ が存在すると仮定すると、$a\neq e_R$ なる $a$ に対して $a\cdot e_R=e_R\neq a$ となり矛盾する。したがって左単位元は存在するが単位元は存在せず、また左単位元は一意ではない（cor-identity-element-unique の一意性は両側の単位元についてのみ成り立つ）。演算 $x\cdot y:=x$ を入れれば、すべての元が右単位元で左単位元は存在しない。
- $\langle\mathbb{Z}_{>0},+\rangle$（正の整数と加法）は単位元を持たない。実際、任意の $e\in\mathbb{Z}_{>0}$ に対して $e+1=1+e\neq1$ である。
性質
マグマ $\langle M,\cdot\rangle$ が左単位元 $e_L$ と右単位元 $e_R$ をともに持つならば、$e_L=e_R$ である。
$e_L$ が左単位元であることを $a=e_R$ に適用すると $e_L\cdot e_R=e_R$ を得る。$e_R$ が右単位元であることを $a=e_L$ に適用すると $e_L\cdot e_R=e_L$ を得る。左辺が同じ元であるから $e_L=e_R$ である。$\square$
マグマは高々一つの単位元しか持たない。
$e_1,e_2$ を単位元とする。$e_1$ は特に左単位元、$e_2$ は特に右単位元であるから、prop-identity-element-left-right により $e_1=e_2$ である。$\square$
マグマ $\langle M,\cdot\rangle$ において、左単位元が存在しかつ右単位元が存在するならば、左単位元も右単位元もそれぞれただ一つであり、両者は一致する。
右単位元 $e_R$ を一つ固定する。任意の左単位元 $e_L$ に対して prop-identity-element-left-right により $e_L=e_R$ であるから、左単位元は $e_R$ のみである。同様に左単位元 $e_L$ を固定すれば任意の右単位元は $e_L$ に等しい。よって左単位元も右単位元もただ一つで、ともに同じ元である。$\square$
補足：片側単位元の存在パターン
左単位元・右単位元の存在の仕方は、次の四通りがすべて実現する。
| マグマ | 左単位元 | 右単位元 | 単位元 |
|---|---|---|---|
| $\langle\mathbb{Z},+\rangle$ | $0$ のみ | $0$ のみ | $0$ |
| $x\cdot y:=y$（二元以上） | すべての元 | 存在しない | 存在しない |
| $x\cdot y:=x$（二元以上） | 存在しない | すべての元 | 存在しない |
| $\langle\mathbb{Z}_{>0},+\rangle$ | 存在しない | 存在しない | 存在しない |
prop-identity-element-sets により「左が二つ以上あり、かつ右もある」という組合せは起こらない。左単位元が複数あるマグマでは右単位元は必ず存在しない。
単位元と対になる概念として、どの元と演算しても自分自身に戻る元（吸収元、例えば乗法の $0$）がある。二元以上のマグマでは単位元 $e$ と吸収元 $0$ は常に異なる元である。実際、$e=0$ とすると任意の $a\in M$ について $a=e\cdot a=0\cdot a=0$ となり、$M=\{0\}$ になってしまう。吸収元の性質と例は関連項目の記事で扱う。
関連項目
参考文献
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