Fourier変換

同義語：フーリエ変換Fourier transform

概要

前提知識: Lebesgue積分, Lp空間, 畳み込み

Fourier 変換は、実数空間上の関数を位置から周波数による記述へ移す積分変換である。平行移動は位相を掛ける操作に、微分は周波数を掛ける操作に変わる。周期関数を整数周波数で表す Fourier級数、有限列を扱う離散Fourier変換と反転公式とは異なり、周波数が連続的に動く。
この記事では $L^1$ 関数の積分による定義から始め、反転公式と $L^2$ への拡張を調べる。$L^1$ 関数の変換が必ず $L^1$ になるわけではないため、反転の条件には注意が必要である。

定義と規格化

$\mathbb R^n$ 上の Lebesgue 測度を $dx$ と書く。指数関数に $2\pi$ を入れる規格化を使う。$e^{i u\cdot x}$ を使う規格化（Bass24 Chapter 16）など別の規格化では、反転や微分の公式の定数が変わる。

Fourier変換

$f\in L^1(\mathbb R^n)$ に対し、その Fourier 変換 を
$$ \widehat f(\xi)=\mathcal Ff(\xi) :=\int_{\mathbb R^n}f(x)e^{-2\pi i x\cdot\xi}\,dx \qquad(\xi\in\mathbb R^n) $$
で定める。右辺は各 $\xi$ で絶対収束する。逆向きの符号をもつ積分を
$$ \mathcal F^{-1}g(x) :=\int_{\mathbb R^n}g(\xi)e^{2\pi i x\cdot\xi}\,d\xi $$
と書く。ただしこの積分表示を使うときは $g\in L^1$ を仮定する。

$\widehat f(0)=\int f$ は関数全体の積分である。周波数が大きいほど指数因子は速く振動し、寄与が打ち消し合う。

有界性・連続性・無限遠での減衰

$f\in L^1(\mathbb R^n)$ ならば $\widehat f$ は連続で
$$ \|\widehat f\|_\infty\leq\|f\|_1,\qquad \lim_{|\xi|\to\infty}\widehat f(\xi)=0 $$
を満たす。すなわち $\mathcal F\colon L^1(\mathbb R^n)\to C_0(\mathbb R^n)$ は有界線形写像である。

絶対値を積分の内側へ入れると $|\widehat f(\xi)|\leq\int|f|$ である。$\xi_k\to\xi$ なら指数因子は各 $x$ で収束し、被積分関数は $|f(x)|$ で抑えられる。優収束定理から連続性が従う。
無限遠での減衰について、まず $g\in C_c^1(\mathbb R^n)$ とする。$|\xi|\to\infty$ のとき、少なくとも一つの成分は $|\xi_j|\geq|\xi|/\sqrt n$ を満たす。$\xi_j\ne0$ なら部分積分によって
$$ \widehat g(\xi) =\frac{1}{2\pi i\xi_j} \int_{\mathbb R^n}(\partial_jg)(x)e^{-2\pi i x\cdot\xi}\,dx, \qquad |\widehat g(\xi)| \leq\frac{\sqrt n\,\max_j\|\partial_jg\|_1}{2\pi|\xi|}. $$
よって $\widehat g(\xi)\to0$ である。$C_c^1$ は $L^1$ で稠密なので、任意の $f\in L^1$ を $\|f-g\|_1<\varepsilon$ となる $g$ で近似する。$\|\widehat f-\widehat g\|_\infty\leq\varepsilon$ から結論が従う。

この減衰は Riemann–Lebesgue の補題である。ただし「減衰する」は $\widehat f\in L^1$ を意味しない。たとえば $f=1_{[-a,a]}$（$a>0$）では
$$ \widehat f(\xi) =\begin{cases} 2a,&\xi=0,\\[2mm] \dfrac{\sin(2\pi a\xi)}{\pi\xi},&\xi\ne0. \end{cases} $$
これは無限遠で $0$ に近づくが、絶対値の積分は発散する。各周期で $|\sin(2\pi a\xi)|$ が一定以上となる区間を取ると、積分には調和級数の定数倍が下から現れる。

基本操作

$T_yf(x):=f(x-y)$、$M_\eta f(x):=e^{2\pi i x\cdot\eta}f(x)$ とする。変数変換だけで
$$ \widehat{T_yf}(\xi)=e^{-2\pi i y\cdot\xi}\widehat f(\xi), \qquad \widehat{M_\eta f}(\xi)=\widehat f(\xi-\eta) $$
が分かる。位置での移動は周波数側の位相、位置での振動は周波数側の移動になる。また $f_a(x):=f(ax)$（$a\in\mathbb R\setminus\{0\}$）では
$$ \widehat{f_a}(\xi)=|a|^{-n}\widehat f(\xi/a). $$
入力を狭くすると周波数側は広がる。
この記事では畳み込みに定数を付けず $(f*g)(x)=\int f(y)g(x-y)\,dy$ とする。畳み込みの記事は Fourier 変換の対称正規化に合わせて $(2\pi)^{-n/2}$ を付けて定めるので、公式の定数を混ぜない。

畳み込み定理

$f,g\in L^1(\mathbb R^n)$ の畳み込み $(f*g)(x):=\int_{\mathbb R^n}f(y)g(x-y)\,dy$ は $L^1$ に属し、
$$ \widehat{f*g}(\xi)=\widehat f(\xi)\widehat g(\xi) $$
がすべての $\xi$ で成り立つ。

Tonelli の定理により $\int\!\int|f(y)g(x-y)|\,dy\,dx=\|f\|_1\|g\|_1<\infty$ である。したがって積分順序の交換と $z=x-y$ という変数変換ができ、
$$ \begin{aligned} \widehat{f*g}(\xi) &=\int\!\int f(y)g(x-y)e^{-2\pi i x\cdot\xi}\,dy\,dx\\ &=\left(\int f(y)e^{-2\pi i y\cdot\xi}\,dy\right) \left(\int g(z)e^{-2\pi i z\cdot\xi}\,dz\right). \end{aligned} $$
右辺が求める積である。

$f$ が十分滑らかで、$f$ と $\partial_jf$ が積分可能、かつ部分積分の境界項が消えるなら
$$ \widehat{\partial_jf}(\xi)=2\pi i\xi_j\widehat f(\xi). $$
たとえばコンパクト台をもつ滑らかな関数にはこの条件が成り立つ。また $x_jf\in L^1$ なら積分の微分によって
$$ \partial_{\xi_j}\widehat f(\xi)=-2\pi i\,\widehat{x_jf}(\xi). $$
微分と位置を掛ける操作が入れ替わる。$\partial_jf$ が存在しない関数へ最初の式をそのまま適用してはいけない。超関数への拡張は緩増加超関数とFourier変換で扱う。

Gauss関数と反転公式

Gauss 関数は Fourier 変換で形を保つ。一次元で
$$ \int_{\mathbb R}e^{-\pi x^2}e^{-2\pi i x\xi}\,dx=e^{-\pi\xi^2}. $$
左辺を $G(\xi)$ とすると、積分の微分と部分積分により $G'(\xi)=-2\pi\xi G(\xi)$ となる。Gauss 積分から $G(0)=1$ であるため上式が従う。各座標で積分を分ければ $n$ 次元でも $\mathcal F(e^{-\pi|x|^2})(\xi)=e^{-\pi|\xi|^2}$ となる。
反転公式の証明には、Gauss 関数を細くしたものとの畳み込みが元の関数に近づくことを使う。

Gauss核による近似

$\varepsilon>0$ に対し $K_\varepsilon(x):=\varepsilon^{-n}e^{-\pi|x|^2/\varepsilon^2}$ とおく。$f\in L^1(\mathbb R^n)$ なら $\|f*K_\varepsilon-f\|_1\to0$（$\varepsilon\downarrow0$）である。

$\int K_\varepsilon=\int e^{-\pi|y|^2}\,dy=1$（変数変換 $x=\varepsilon y$）なので
$$ (f*K_\varepsilon)(x)-f(x)=\int_{\mathbb R^n}\bigl(f(x-\varepsilon y)-f(x)\bigr)e^{-\pi|y|^2}\,dy $$
である。$x$ について積分し、Tonelli の定理で順序を入れ替えると
$$ \|f*K_\varepsilon-f\|_1\leq\int_{\mathbb R^n}\omega(\varepsilon y)\,e^{-\pi|y|^2}\,dy,\qquad \omega(h):=\|f(\cdot-h)-f\|_1 $$
を得る。平行移動の $L^1$ 連続性により $\omega(h)\to0$（$h\to0$）であり、$\omega\leq2\|f\|_1$ なので、優収束定理から右辺は $0$ に収束する。
平行移動の $L^1$ 連続性は次のように分かる。$\eta>0$ に対し、コンパクト台の連続関数 $g$ で $\|f-g\|_1<\eta$ となるものをとる。$\|f(\cdot-h)-f\|_1\leq 2\|f-g\|_1+\|g(\cdot-h)-g\|_1$ であり、$g$ は一様連続で、$\lvert h\rvert\leq1$ なら $g(\cdot-h)-g$ の台は $g$ の台の $1$ 近傍に含まれるので、最後の項は $h\to0$ で $0$ に近づく。よって $\limsup_{h\to0}\omega(h)\leq2\eta$ で、$\eta$ は任意である。$\blacksquare$

Fourier反転公式

$f\in L^1(\mathbb R^n)$ かつ $\widehat f\in L^1(\mathbb R^n)$ なら
$$ f(x)=\int_{\mathbb R^n}\widehat f(\xi)e^{2\pi i x\cdot\xi}\,d\xi $$
がほとんどすべての $x$ で成り立つ。特に $f$ が連続ならすべての $x$ で成り立つ。$L^1$ 関数をほとんど至るところ等しいものとして考えると、Fourier 変換は単射である（Bass24 Theorem 16.7、pp. 167–168。規格化は $e^{iu\cdot x}$）。

lem-fourier-gauss-approx の $K_\varepsilon$ を使う。Gauss 関数の変換と拡大公式から、$e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2}$ の逆向きの積分は $K_\varepsilon$ である：
$$ \int_{\mathbb R^n}e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2}e^{2\pi i z\cdot\xi}\,d\xi=K_\varepsilon(z)\qquad(z\in\mathbb R^n). $$
（$K_\varepsilon$ は偶関数なので符号 $e^{\pm2\pi i z\cdot\xi}$ によらない。）これを $z=x-y$ で使い、$\widehat f$ の定義を代入すると
$$ \int_{\mathbb R^n}\widehat f(\xi)e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2}e^{2\pi i x\cdot\xi}\,d\xi =\int_{\mathbb R^n}f(y)\left(\int_{\mathbb R^n}e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2}e^{2\pi i (x-y)\cdot\xi}\,d\xi\right)dy =(f*K_\varepsilon)(x) $$
である。積分の順序の交換は、被積分関数の絶対値 $\lvert f(y)\rvert e^{-\pi\varepsilon^2|\xi|^2}$ が $(y,\xi)$ について積分可能なので Fubini の定理で許される。
$\varepsilon\downarrow0$ とする。左辺は、被積分関数が $\lvert\widehat f\rvert\in L^1$ で抑えられるので、優収束定理により各 $x$ で $g(x):=\int\widehat f(\xi)e^{2\pi i x\cdot\xi}\,d\xi$ に収束する。右辺は lem-fourier-gauss-approx により $L^1$ で $f$ に収束するので、ある列 $\varepsilon_k\downarrow0$ に沿ってほとんどすべての $x$ で $f(x)$ に収束する。したがって $f=g$ がほとんど至るところ成り立つ。
$g$ は優収束定理により連続である。$f$ も連続なら、連続関数 $f,g$ がほとんど至るところ等しいので、すべての点で等しい（差が $0$ でない点があれば、その近傍全体で $0$ でなく、近傍の測度は正）。最後に $\widehat f=0$ なら $g=0$ なので $f=0$ がほとんど至るところ成り立ち、単射性が従う。$\blacksquare$

反転公式の仮定 $\widehat f\in L^1$ は省けない。上の区間の指示関数のように、元の関数は $L^1$ でも変換が $L^1$ でないことがある。その場合にも別の収束法で反転を表せることはあるが、右辺を絶対収束する Lebesgue 積分として読めない。

急減少関数での反転

すべての導関数がどの多項式よりも速く減衰する滑らかな関数を Schwartz 関数といい、$\mathcal S(\mathbb R^n)$ と書く。$f\in\mathcal S$ なら上の微分・位置の公式を繰り返して使えて、多重指数 $\alpha,\beta$ について
$$ \xi^\alpha\partial^\beta\widehat f(\xi)=\frac{(-2\pi i)^{\lvert\beta\rvert}}{(2\pi i)^{\lvert\alpha\rvert}}\,\mathcal F\bigl(\partial^\alpha(x^\beta f)\bigr)(\xi) $$
となる。右辺の $\partial^\alpha(x^\beta f)$ は $\mathcal S$ に属し、とくに積分可能なので、右辺は有界である。よって $\widehat f$ とそのすべての導関数も急減少し、$\widehat f\in\mathcal S$ である（1 次元の場合は Bass24 Exercise 16.5、p. 170）。$\mathcal F^{-1}g(x)=\mathcal Fg(-x)$ なので $\mathcal F^{-1}$ も $\mathcal S$ を $\mathcal S$ に移し、$\mathcal S\subset L^1$ と反転公式から $\mathcal F\colon\mathcal S\to\mathcal S$ は全単射で、反転積分は各点で成り立つ。Schwartz 空間の位相と、その双対への拡張は緩増加超関数とFourier変換の主題である。

$L^2$ への拡張

$L^1\cap L^2$ は $L^2$ に稠密だが、任意の $L^2$ 関数について定義の積分が絶対収束するとは限らない。そこで Schwartz 関数上のノルム等式から変換を延長する。

Plancherelの等式

$f,g\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ なら
$$ \int_{\mathbb R^n}\widehat f(\xi)\overline{\widehat g(\xi)}\,d\xi =\int_{\mathbb R^n}f(x)\overline{g(x)}\,dx. $$
特に $\|\widehat f\|_2=\|f\|_2$ である。$\mathcal S$ の $L^2$ での稠密性により $\mathcal F$ は $L^2(\mathbb R^n)$ 上のユニタリ作用素に一意に延長される。その逆作用素は、Schwartz 関数上で定義した $\mathcal F^{-1}$ の連続延長である（コンパクト台の連続関数から延長する形は Bass24 Theorem 16.8・Remark 16.9、pp. 168–169）。

$g$ の反転公式と Fubini の定理を使う。$f,\widehat g$ はともに積分可能なので、
$$ \begin{aligned} \int\widehat f(\xi)\overline{\widehat g(\xi)}\,d\xi &=\int f(x) \overline{\left(\int\widehat g(\xi)e^{2\pi i x\cdot\xi}\,d\xi\right)}\,dx\\ &=\int f(x)\overline{g(x)}\,dx. \end{aligned} $$
$g=f$ として等長性を得る。$\mathcal S$ は $L^2$ で稠密だから、等長写像は $L^2$ 全体へ一意に延長する。Schwartz 関数上で $\mathcal F^{-1}\mathcal F=\mathcal F\mathcal F^{-1}=I$ なので、延長後も逆作用素が存在し、ユニタリである。

一般の $f\in L^2$ の Fourier 変換は、$f_k\in\mathcal S$ を $\|f_k-f\|_2\to0$ となるように選び、$\widehat{f_k}$ の $L^2$ 極限として定義する。$f\notin L^1$ の場合、この極限を各 $\xi$ での絶対収束積分と解釈してはいけない。詳しい $L^2$ 理論は Hilbert空間の等長写像の考え方ともつながる。

具体例と使いどころ

区間の指示関数

先に計算した $1_{[-a,a]}$ の変換は、区間を広げると中心付近の周波数分布が狭くなることを示す。$\xi=0$ で値 $2a$ を取り、$|\xi|$ に反比例する包絡線の中で振動する。$L^1$ での減衰と $L^1$ 可積分性が別の性質であることも、この例で分かる。

両側指数関数

$a>0$、$f(x)=e^{-a|x|}$ とする。$x=0$ で積分を二つに分けると
$$ \begin{aligned} \widehat f(\xi) &=\int_0^\infty e^{-(a+2\pi i\xi)x}\,dx +\int_0^\infty e^{-(a-2\pi i\xi)x}\,dx\\ &=\frac{1}{a+2\pi i\xi} +\frac{1}{a-2\pi i\xi} =\frac{2a}{a^2+4\pi^2\xi^2}. \end{aligned} $$
区間の指示関数とは違い、$\widehat f$ も $L^1(\mathbb R)$ に属する。よって反転公式を各 $x$ で適用できる。特に $x=0$ では
$$ 1=f(0)=\int_{\mathbb R}\frac{2a}{a^2+4\pi^2\xi^2}\,d\xi $$
となる。計算した有理関数は連続かつ非負で、$\widehat f(0)=2/a$ は元の $f$ の積分に等しい。$a$ を大きくすると $f$ は位置側で原点近くへ集中する一方、変換の分布は周波数側で広がる。

熱方程式

初期値 $u_0\in\mathcal S(\mathbb R^n)$ に対する $\partial_tu=\Delta u$ を考える。解 $u$ は各 $t\geq0$ で空間変数について Schwartz 関数で、$t$ についての微分と空間変数の Fourier 変換が交換できるものとする（増大度の制限を付けないと解は一意でない）。空間変数だけ Fourier 変換すると、各 $\xi$ ごとの常微分方程式
$$ \partial_t\widehat u(t,\xi) =-4\pi^2|\xi|^2\widehat u(t,\xi) $$
になる。したがって
$$ \widehat u(t,\xi) =e^{-4\pi^2t|\xi|^2}\widehat {u_0}(\xi). $$
高い周波数ほど速く減衰する。$t>0$ では Gauss 核
$$ H_t(x)=(4\pi t)^{-n/2}e^{-|x|^2/(4t)} $$
が $\widehat H_t(\xi)=e^{-4\pi^2t|\xi|^2}$ を満たすので、畳み込み定理から $u(t,\cdot)=H_t*u_0$ である。ここでは滑らかな初期値と、上の条件を満たす解を仮定した。一般の初期値へは関数空間に応じた極限で拡張する。

条件を外したときの反例

この記事の公式は、それぞれ積分可能性や微分可能性の仮定の下で成り立つ。仮定を 1 つ外すと、次のように結論が崩れる。

外す条件	反例	成り立たなくなること
反転公式の $\widehat f\in L^1$	$f=1_{[-a,a]}$	反転積分が絶対収束する Lebesgue 積分として定まること
定義の $f\in L^1$	$f(x)=(1+\lvert x\rvert)^{-1}$（$\mathbb R$ 上、$L^2$ だが $L^1$ でない）	定義の積分が $\xi=0$ で絶対収束すること
微分公式の $f$ の微分可能性・$\partial_jf\in L^1$	$f=1_{[-a,a]}$ とそのほとんど至るところの導関数 $0$	$\widehat{f'}(\xi)=2\pi i\xi\widehat f(\xi)$
$\widehat f$ の微分の $x_jf\in L^1$	$f(x)=(1+x^2)^{-1}$	$\widehat f$ の微分可能性（$\widehat f(\xi)=\pi e^{-2\pi\lvert\xi\rvert}$ は $\xi=0$ で微分できない）
$L^1$ の変換の減衰から $L^1$ 性へ	$f=1_{[-a,a]}$	$\widehat f\in L^1$（$\widehat f\in C_0$ だが積分可能でない）

表の反例の確かめ

2 行目：$\int_{\mathbb R}(1+\lvert x\rvert)^{-1}dx=\infty$ だが $\int(1+\lvert x\rvert)^{-2}dx=2<\infty$ なので $f\in L^2\setminus L^1$ である。$\xi=0$ での定義の積分は $\int f=\infty$ となり定まらない。このような関数の変換は thm-fourier-plancherel の $L^2$ 極限として定める。
3 行目：$f=1_{[-a,a]}$ は $\pm a$ 以外で微分可能で導関数は $0$ なので、ほとんど至るところの導関数の変換は $0$ である。一方 $2\pi i\xi\widehat f(\xi)=2i\sin(2\pi a\xi)$ は $0$ でない。$f$ は $\pm a$ で連続でさえなく、部分積分の仮定を満たさない。超関数の意味の導関数 $\delta_{-a}-\delta_a$ をとれば公式は回復するが、それは緩増加超関数とFourier変換の枠組みである。
4 行目：上の両側指数関数の例で $a=2\pi$ とすると、$e^{-2\pi\lvert x\rvert}$ の変換は $\dfrac{4\pi}{4\pi^2+4\pi^2\xi^2}=\dfrac{1}{\pi(1+\xi^2)}$ である。これは積分可能なので反転公式が使え、
$$ e^{-2\pi\lvert x\rvert}=\int_{\mathbb R}\frac{e^{2\pi i x\xi}}{\pi(1+\xi^2)}\,d\xi $$
がすべての $x$ で成り立つ。変数の名前を入れ替えて $x\mapsto-\xi$ とし、両辺に $\pi$ を掛けると $\mathcal F\bigl((1+x^2)^{-1}\bigr)(\xi)=\pi e^{-2\pi\lvert\xi\rvert}$ を得る。$xf(x)=x/(1+x^2)$ は積分可能でなく、変換は $\xi=0$ で右微分係数 $-2\pi^2$ と左微分係数 $2\pi^2$ が一致しない。