幾何学的測度論

同義語：geometric measure theory

概要

幾何学的測度論（geometric measure theory）とは、曲線・曲面の面積や接平面、境界といった幾何の概念を、Hausdorff 測度を中心とする測度論の言葉で一般化して研究する解析学の分野である。整流可能集合・有限周長集合・カレント・バリフォールドを一般化された曲面として扱い、その構造（整流可能性と射影）、粗い曲面の上の面積公式や Gauss–Green の公式、面積を最小にする曲面の存在（コンパクト性定理と直接法）と正則性を主な問いとする。平らな円板が同じ境界円をもつ連続な円板の像のなかで面積最小であることは、射影が Hausdorff 測度を増やさないことから従う。

$$\newcommand{C}[0]{\mathbb{C}} \newcommand{div}[0]{\mathbin{÷}} \newcommand{N}[0]{\mathbb{N}} \newcommand{Q}[0]{\mathbb{Q}} \newcommand{R}[0]{\mathbb{R}} \newcommand{Z}[0]{\mathbb{Z}} $$

前提知識: 測度論, Hausdorff測度と面積・余面積公式, 多様体

幾何学的測度論（geometric measure theory）は、曲線・曲面の長さ・面積や向き、接平面のような幾何の概念を、測度論の言葉で一般化して研究する解析学の分野である。石けん膜のように面積を最小にする曲面を探す問題（Plateau 問題）では、なめらかな曲面の中だけで最小化列をとっても、その極限がなめらかな曲面になる保証はない（交わる 2 直線のように、特異点をもつ図形も停留しうる。下の例「一般化された曲面の例」の 2）。そこで「面積が測れて、境界があり、極限をとっても閉じている曲面の一般化」を用意し、その中で最小元を見つけてから、最小元がどれだけなめらかかを調べる。この二段の方針と、そのための対象（整流可能集合、有限周長集合、カレント、バリフォールド）と道具（Hausdorff 測度、面積公式、被覆定理、コンパクト性定理）の全体が幾何学的測度論である。
この記事では、分野の基本の対象を定義し、主な問いと代表的な定理を記事とともに一覧にする。代表例として、平らな円板がそれと同じ境界をもつ連続な円板の像のなかで面積最小であることと、連結集合の 1 次元 Hausdorff 測度が直径以上であることを完全に証明する。最後に、学ぶ順に記事を並べた道筋を示す。

定義

以下 $1\le m\le n$ を整数とし、$\mathcal H^m$ は Hausdorff測度と面積・余面積公式 の定義「Hausdorff測度」の $m$ 次元 Hausdorff 測度とする。$\mathbb{R}^m$ の上では $\mathcal H^m$ は Lebesgue 測度に一致する。

幾何学的測度論

幾何学的測度論とは、Euclid 空間（より一般に距離空間）の部分集合・測度・汎関数のうち $m$ 次元の曲面を一般化するものについて、その大きさ（Hausdorff 測度・質量・周長）、構造（整流可能性・接平面の存在）、面積を含む変分問題の解の存在と正則性を、測度論を用いて研究する分野である。

分野が扱う主な対象は次のとおりである。整流可能集合・カレント・バリフォールドは $C^1$ 級の $m$ 次元部分多様体を、有限周長集合はなめらかな境界をもつ領域を、特別な場合として含む。

  1. Hausdorff 測度（Hausdorff測度と面積・余面積公式、Hausdorff次元）。集合を直径の小さい集合で覆い、直径の $m$ 乗を足して $m$ 次元の大きさを測る。どんな集合にも値が定まり、定数 $L$ の Lipschitz 写像で写しても $L^m$ 倍より大きくならない。
  2. 整流可能集合（整流可能集合）。$\mathcal H^m$-零集合を除いて $\mathbb{R}^m$ からの可算個の Lipschitz 写像の像で覆える集合を可算 $m$-整流可能といい、そのうち $\mathcal H^m$-可測で測度が有限のものを $m$-整流可能集合という。角や稠密な集積があってもよいが、ほとんど至る所に測度の意味の接平面（近似接空間）をもつ。
  3. 有限周長集合（有限周長集合）。Lebesgue 可測集合 $E\subset\mathbb{R}^n$ の周長を
    $$ P(E):=\sup\Bigl\{\int_E\operatorname{div}\varphi\,dx\ \Big|\ \varphi\in C_c^1(\mathbb{R}^n;\mathbb{R}^n),\ |\varphi|\le1\Bigr\} $$
    で定め、これが有限な集合をいう。境界が粗い $n$ 次元の領域に、表面積と外向きの法線を与える。
  4. カレント（カレント）。開集合 $U\subset\mathbb{R}^n$ 上の台がコンパクトな $C^\infty$ 級 $m$ 次微分形式の空間 $\mathcal D^m(U)$ の上の連続な線形汎関数を $m$ 次元カレントといい、境界を $\partial T(\omega):=T(d\omega)$ で定める。とくに、可算 $m$-整流可能な $\mathcal H^m$-可測集合 $M$、局所可積分な正の整数値の関数 $\theta$（重複度）、$M$ の近似接空間の向き $\xi$ によって
    $$ T(\omega)=\int_M\langle\omega(x),\xi(x)\rangle\,\theta(x)\,d\mathcal H^m(x) $$
    と書けるものを整数重複度の整流可能カレントという（Sim83 Definition 27.1、p. 146）。向き付けられた曲面の上の積分の一般化で、境界をもつ曲面を扱える。
  5. バリフォールド。可算 $m$-整流可能集合 $M$ と正の局所可積分関数 $\theta$ の組を、零集合の違いを除いて同一視したものを整流可能 $m$-バリフォールドといい、測度 $\mu_V:=\theta\,\mathcal H^m$（$M$ 上）を重みという（Sim83 第 4 章冒頭と 15.1、p. 77）。向きを忘れた曲面の一般化で、台がコンパクトな $C^1$ 級ベクトル場 $X$ について面積の 1 次変分 $\int\operatorname{div}_MX\,d\mu_V$ が常に $0$ のとき停留（stationary）という（同 16.3、p. 80。$\operatorname{div}_M$ は近似接空間の上での発散）。極小曲面の一般化である。
一般化された曲面の例
  1. 線分のカレントと境界。 $a,b\in\mathbb{R}^n$、$a\ne b$、$e:=(b-a)/|b-a|$ とし、線分 $[a,b]$ の上で 1 次形式 $\omega=\sum_i\omega_i\,dx^i$ を積分するカレント $T(\omega):=\int_{[a,b]}\langle\omega(x),e\rangle\,d\mathcal H^1(x)$ を考える。これは $M=[a,b]$、$\theta=1$、$\xi=e$ の整数重複度の整流可能カレントである。台がコンパクトな関数 $h$ について、線分を $\gamma(t)=a+te$（$0\le t\le|b-a|$）と表すと $\langle dh(\gamma(t)),e\rangle=(h\circ\gamma)'(t)$ なので、微分積分学の基本定理から $\partial T(h)=T(dh)=h(b)-h(a)$ である。境界は「終点に $+1$、始点に $-1$ の重みをもつ点」である。
  2. 交わる 2 直線。 原点で交わる相異なる 2 直線の和集合 $M\subset\mathbb{R}^2$ は、原点で $C^1$ 級部分多様体ではないが、可算 $1$-整流可能であり、$\theta=1$ の整流可能 $1$-バリフォールドを定める。各直線の上では $\operatorname{div}_MX$ は直線方向の微分 $\langle\partial_eX,e\rangle$ で、その直線上の積分は台がコンパクトなので $0$ になる。したがってこのバリフォールドは停留であり、特異点をもつ停留バリフォールドの例である。
  3. 純粋に非整流な集合。 四隅の Cantor 集合 $C\times C$（$C$ は $4$ 進展開の各桁が $0$ か $3$ の数の集合）は $\mathcal H^1$ が正で有限だが、どの $C^1$ 曲線とも $\mathcal H^1$-零集合でしか交わらない（整流可能集合 の定理「四隅の Cantor 集合は純粋に非整流」）。Hausdorff 測度で大きさは測れても、曲線として扱えない集合がある。
  4. 境界の太い有限周長集合。 単位立方体の中の有理点を中心とし半径が急速に小さくなる開球の和集合は、周長が有限なのに位相的な境界の体積が正になる（有限周長集合 の例「稠密な球の和集合」）。周長は位相的な境界ではなく、被約境界の面積を測る。

幾何学的測度論の主な問い

  1. 構造の問い。 $m$ 次元の大きさをもつ集合は、どれだけ曲面に近いか。整流可能な部分と、どの $C^1$ 曲面とも測度 $0$ でしか交わらない純粋に非整流な部分に分かれ、後者はほとんどすべての方向への射影が零集合になる（Besicovitch–Federer の定理）。
  2. 粗い曲面の上の微分積分。 面積公式・余面積公式による積分の変換、有限周長集合の Gauss–Green の公式、整流可能集合の上の接空間と Jacobian など、なめらかでない曲面の上で微分積分学を行う。
  3. 存在の問い。 与えられた境界をもつ曲面のうち面積を最小にするものはあるか。カレントや有限周長集合のような、極限をとっても閉じている一般化された曲面の空間で、コンパクト性と下半連続性を使って最小元を作る（変分法の直接法）。
  4. 正則性の問い。 得られた最小元や停留バリフォールドは、どこでなめらかで、特異点の集合はどれだけ小さいか。単調性公式で密度を制御し、接平面に近い部分がなめらかなグラフになることを示す。

代表的な定理

定理主張の要点記事・所在
面積公式・余面積公式Euclid 空間の間の Lipschitz 写像について、Jacobian の積分が、像の重複度またはファイバーの Hausdorff 測度の積分に等しいHausdorff測度と面積・余面積公式
Besicovitch の被覆定理Euclid 空間で、中心をもつ閉球の族から、重なりの個数が次元だけで抑えられる部分族を選べるBesicovitchの被覆定理
$C^1$ 級部分多様体による被覆可算 $m$-整流可能集合は、零集合を除いて可算個の $m$ 次元 $C^1$ 級部分多様体に含まれる整流可能集合（Sim83 Lemma 11.1）
近似接空間による特徴づけ局所有限な $\mathcal H^m$-可測集合が可算 $m$-整流可能であることと、ほとんど至る所で近似接空間が存在することは同値整流可能集合（Sim83 Theorem 11.6）
Besicovitch–Federer の射影定理$\sigma$-有限で純粋に $m$-非整流な集合は、ほとんどすべての $m$ 次元平面への射影が零集合整流可能集合（Sim83 Theorem 13.2）
De Giorgi の構造定理局所有限周長の集合の被約境界は可算 $(n-1)$-整流可能で、周長はその $\mathcal H^{n-1}$ に等しい有限周長集合（Sim83 Theorem 14.3）
周長のコンパクト性と最小元の存在周長が局所的に有界な集合の列は $L^1_{\mathrm{loc}}$ で収束する部分列をもち、球に入る集合のうち体積を決めて周長を最小にするものがある有限周長集合（Sim83 Theorem 6.3）
Federer–Fleming のコンパクト性定理開集合 $U$ 上の整数重複度のカレントの列で、$U$ にコンパクトに含まれる各開集合の上の質量と境界の質量が有界なものは、整数重複度のカレントに弱収束する部分列をもつSim83 Theorem 27.3（p. 148）
カレントの等周不等式台がコンパクトで境界が $0$ の整数重複度の $(m-1)$ 次元カレント $T$（$m\ge2$）は、整数重複度の $R$ で $\partial R=T$、$\mathbf M(R)^{(m-1)/m}\le c\,\mathbf M(T)$ となるものの境界になる（$c$ は次元だけによる）Sim83 Theorem 30.1（p. 177）
質量最小のカレントの存在台がコンパクトで境界が $0$ の整数重複度のカレント $S$ について、台がコンパクトで $\partial T=S$ となる整数重複度のカレントのうち質量を最小にするものがあるSim83 Lemma 34.1（p. 196）
単調性公式開集合 $U$ で停留な整流可能 $m$-バリフォールドについて、$\xi\in U$、$B_R(\xi)\subset U$ なら $\rho^{-m}\mu_V(B_\rho(\xi))$ は $0< \rho< R$ で単調非減少Sim83 Theorem 17.6（p. 84、平均曲率の項が $0$ の場合）
Allard の正則性定理重複度 $\theta$ がほとんど至る所 $1\le\theta\le1+\varepsilon$ を満たし、台の点を中心とする球での密度比 $\mu_V(B_\rho)/(\alpha_m\rho^m)$ が $2(1-\alpha)$ 以下（$0< \alpha< 1$）で、同じ球の上で、平面からの傾きのずれ（$\rho^{-m}$ で正規化したもの）と、一般化平均曲率の $L^p$ ノルム（$p>m$）に $\rho^{1-m/p}$ を掛けたものがどちらも $\varepsilon$ 以下の整流可能バリフォールドは（$\varepsilon$ は次元と $\alpha,p$ だけによる）、小さい球の中で $C^{1,1-m/p}$ 級のグラフになるSim83 Theorem 23.1（p. 120、仮定は 22.4）

表の $\mathbf M$ はカレントの質量で、各点で長さ $1$ 以下の形式 $\omega$ についての $T(\omega)$ の上限であり、曲面の面積を重複度つきで一般化した量である。ほかの記事にない定理は、この記事では証明しない（所在は表のとおり）。

代表例 1：平らな円板は面積最小

Plateau 問題のもっとも簡単な場合として、平面の円周を境界にもつ曲面のうち、平らな円板が面積最小であることを示す。曲面は連続写像の像でよく、なめらかさも単射性も要らない。証明に使うのは、射影が Hausdorff 測度を増やさないことと、球面が円板のレトラクトでないことだけである。
$\mathbb{R}^m$ を $\mathbb{R}^n$ の最初の $m$ 個の座標の部分空間 $\mathbb{R}^m\times\{0\}$ と同一視し、$D^m:=\{x\in\mathbb{R}^m\mid|x|\le1\}$、$S^{m-1}:=\partial D^m$ とする。$\alpha_m:=\mathcal L^m(D^m)$ である。

平らな円板の面積最小性

$f\colon D^m\to\mathbb{R}^n$ を連続写像とし、$S^{m-1}$ の上で $f(x)=x$ とする。このとき
$$ \mathcal H^m(f(D^m))\ge\alpha_m $$
であり、$f$ が包含写像 $x\mapsto x$ のとき等号が成り立つ。

$p\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m$ を最初の $m$ 個の座標への射影とすると、$p$ は $1$-Lipschitz である。$g:=p\circ f\colon D^m\to\mathbb{R}^m$ は連続で、$S^{m-1}$ の上で $g(x)=x$ である。
$g(D^m)\supset D^m$ であること。 $g(D^m)$ はコンパクトなので閉集合であり、開球 $\{|y|<1\}$ が $g(D^m)$ に含まれることを示せばよい。$|y|<1$ かつ $y\notin g(D^m)$ となる $y$ があったとする。$z\ne y$ について、$y$ から $z$ へ向かう半直線が $S^{m-1}$ と交わる点を
$$ r(z):=y+s(z)(z-y),\qquad s(z):=\frac{-b+\sqrt{b^2+a(1-|y|^2)}}{a},\quad a:=|z-y|^2,\ b:=\langle y,z-y\rangle $$
とおく。$s(z)$ は $s$ の 2 次方程式 $|y+s(z-y)|^2=1$、すなわち $as^2+2bs+(|y|^2-1)=0$ のただ 1 つの正の解である（定数項が負なので、正の解と負の解が 1 つずつある）。$s$ は $z\ne y$ で連続なので、$r$ は $\mathbb{R}^m\setminus\{y\}$ から $S^{m-1}$ への連続写像である。$|z|=1$ なら $s=1$ が正の解なので $r(z)=z$ である。すると $r\circ g\colon D^m\to S^{m-1}$ は連続で、$S^{m-1}$ の上で恒等写像になり、$S^{m-1}$ が $D^m$ のレトラクトになる。これは レトラクト の命題「球面は円板のレトラクトでない」に反する。
面積の評価。 Hausdorff測度と面積・余面積公式 の命題「Lipschitz写像による測度の評価」と定理「測度としての基本性質とEuclid空間での正規化」により
$$ \mathcal H^m(f(D^m))\ge\mathcal H^m\bigl(p(f(D^m))\bigr)=\mathcal H^m(g(D^m))\ge\mathcal H^m(D^m)=\mathcal L^m(D^m)=\alpha_m $$
である。包含写像なら $f(D^m)=D^m$ なので等号が成り立つ。$\square$

この証明は、平面への射影が面積を減らすことで、平面に含まれる曲面がほかの曲面に勝つことを示している。境界の円周を曲がった閉曲線に替えると射影の議論は使えず、最小元の存在には上の表のコンパクト性定理が、その形の決定には正則性理論が必要になる。

代表例 2：連結集合の長さは直径以上

連結集合の 1 次元 Hausdorff 測度

$E\subset\mathbb{R}^n$ が連結なら $\mathcal H^1(E)\ge\operatorname{diam}E$ である。

$a,b\in E$、$a\ne b$ とし、$e:=(b-a)/|b-a|$、$\pi(x):=\langle x-a,e\rangle$ とおく。$\pi\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ は $1$-Lipschitz である。$\pi(E)$ は連結集合の連続像なので $\mathbb{R}$ の連結集合、すなわち区間であり、$\pi(a)=0$ と $\pi(b)=|b-a|$ を含むから線分 $[0,|b-a|]$ を含む。したがって
$$ \mathcal H^1(E)\ge\mathcal H^1(\pi(E))\ge\mathcal H^1([0,|b-a|])=|b-a| $$
である（Hausdorff測度と面積・余面積公式 の命題「Lipschitz写像による測度の評価」と「線分のHausdorff測度」）。$a,b$ について上限をとればよい。$E$ が 1 点以下なら両辺は $0$ である。$\square$

たとえば $\mathbb{R}^2$ の 2 点を結ぶ連結な集合は、どんなに入り組んでいても長さが 2 点の距離以上であり、線分のときに等号が成り立つ。

反例：仮定を外すと
  1. thm-gmt-flat-disk で $f$ の連続性を外す。 $f$ を $S^{m-1}$ の上で恒等写像、開球の点をすべて $S^{m-1}$ の 1 点に送る写像とすると、境界の条件は満たすが $f(D^m)=S^{m-1}$ は $\mathcal H^m(S^{m-1})=0$ である（$m\ge2$ なら $S^{m-1}$ は $\mathcal H^{m-1}$ が有限なので、Hausdorff測度と面積・余面積公式 の命題「次元指数を上げたときの消滅」による。$m=1$ なら $S^0$ は 2 点なので $\mathcal H^1(S^0)=0$ である）。面積の下からの評価が成り立たなくなる。
  2. thm-gmt-connected で連結性を外す。 2 点集合 $E=\{a,b\}$（$a\ne b$）は $\mathcal H^1(E)=0<|b-a|=\operatorname{diam}E$ である。

学ぶ順の道筋

  1. 測度の基礎：測度論 → Lebesgue測度 → Radon測度。
  2. 大きさと被覆：Hausdorff測度と面積・余面積公式 → Hausdorff次元 → Vitaliの被覆定理 → Besicovitchの被覆定理。
  3. 曲面の一般化：Lipschitz写像（Rademacher の定理、延長定理）→ 整流可能集合。
  4. 余次元 1 の理論：有界変動関数 → 有限周長集合。発散定理の一般化として 発散定理 と比べて読む。
  5. 向きと境界：微分形式 → カレント。
  6. 変分問題：変分法、等周不等式。

歴史

平面の 1 次元集合の構造定理は Besicovitch の 1927〜1939 年の論文「On the fundamental geometric properties of linearly measurable plane sets」による（Sim83 p. 70 と文献表 p. 269）。整数重複度のカレントのコンパクト性定理は、Federer と Fleming が 1960 年の論文「Normal and integral currents」で最初に証明した（同 p. 148 と文献表 p. 270）。この定理から、上の表の質量最小のカレントの存在が従う。Allard は 1972 年の論文「First variation of a varifold」でバリフォールドの 1 次変分を調べ、上の表の正則性定理は Allard の名で呼ばれる（同第 5 章と文献表 p. 269）。余次元 1 の最小化問題の正則性の理論は De Giorgi、Fleming、Almgren、J. Simons、Federer による（同 p. 193）。

関連項目

参考文献

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