Wiener–池原の定理

$n\le x$ なら $(x/n)^\sigma\ge1$ なので $S(x)\le\sum_{n\le x}a_n(x/n)^\sigma\le x^\sigma F(\sigma)$ である。$\lvert a_nn^{-s}\rvert=a_nn^{-\operatorname{Re}s}$ なので $\operatorname{Re}s>1$ で絶対収束する。整数 $N\ge1$ について $n^{-s}=N^{-s}+s\int_n^Nx^{-s-1}\,dx$（$n\le N$）を $a_n$ 倍して足すと
$$ \sum_{n\le N}a_nn^{-s}=S(N)N^{-s}+s\int_1^NS(x)\,x^{-s-1}\,dx $$
である。$1<\sigma'<\operatorname{Re}s$ をとると $\lvert S(N)N^{-s}\rvert\le F(\sigma')N^{\sigma'-\operatorname{Re}s}\to0$ であり、$\lvert S(x)x^{-s-1}\rvert\le F(\sigma')x^{\sigma'-\operatorname{Re}s-1}$ は $[1,\infty)$ で可積分である。$N\to\infty$ として等式を得る。$\square$

$K_\lambda\ge0$ と $K_\lambda(v)=\lambda K_1(\lambda v)$ は定義から分かる。$0\le K_1(v)\le\min\{\frac1\pi,\frac1{\pi v^2}\}$ なので $\kappa$ は有限であり、$K_1$ は連続で $K_1(0)=\frac1\pi>0$ なので $\kappa>0$ である。$T:=2\lambda$ とおく。右辺の被積分関数の虚部は $t$ について奇関数なので、$v\ne0$ なら部分積分により
$$ \int_{-T}^{T}\Bigl(1-\frac{\lvert t\rvert}{T}\Bigr)e^{ivt}\,dt=2\int_0^T\Bigl(1-\frac tT\Bigr)\cos(vt)\,dt=\frac2T\int_0^T\frac{\sin(vt)}{v}\,dt=\frac{2(1-\cos Tv)}{Tv^2} $$
である。$1-\cos2\lambda v=2\sin^2\lambda v$ なので、これを $2\pi$ で割ると $K_\lambda(v)$ になる。$v=0$ では両辺とも $\frac\lambda\pi$ である。$\square$

段 1（境界での関数）． $\operatorname{Re}z>0$ について
$$ g(z):=\int_0^\infty\bigl(\varphi(u)-A\bigr)e^{-zu}\,du=\frac{F(1+z)}{1+z}-\frac Az $$
とおく（$\int_0^\infty Ae^{-zu}\,du=\frac Az$ を使った）。$\frac{F(1+z)}{1+z}-\frac Az=\frac{1}{1+z}\Bigl(F(1+z)-\frac Az\Bigr)-\frac{A}{1+z}$ であり、仮定から右辺は $\operatorname{Re}z\ge0$ 上の連続関数に延びる。延びた関数も $g$ と書く。実数 $\sigma\to1+0$ のとき $(\sigma-1)F(\sigma)\to A$ で、左辺は $0$ 以上の実数なので、$A$ は $0$ 以上の実数である。
段 2（Fejér 核を掛けた等式）． $\varepsilon>0$、$\lambda>0$、実数 $y$ を固定する。lem-wi-fejer の積分表示を $v=y-u$ で使い、積分の順序を入れ替えると
$$ \int_0^\infty\bigl(\varphi(u)-A\bigr)e^{-\varepsilon u}K_\lambda(y-u)\,du=\frac1{2\pi}\int_{-2\lambda}^{2\lambda}\Bigl(1-\frac{\lvert t\rvert}{2\lambda}\Bigr)e^{ity}\,g(\varepsilon+it)\,dt $$
が成り立つ。
段 3（$\varepsilon\to+0$）． 右辺は $\frac1{2\pi}\int_{-2\lambda}^{2\lambda}(1-\frac{\lvert t\rvert}{2\lambda})e^{ity}g(it)\,dt$ に近づく。左辺のうち $\varphi$ の項は単調収束定理により $\int_0^\infty\varphi(u)K_\lambda(y-u)\,du$ に、$A$ の項は $A\int_0^\infty K_\lambda(y-u)\,du=A\int_{-\infty}^{y}K_\lambda(v)\,dv$ に近づく。よって
$$ \int_0^\infty\varphi(u)K_\lambda(y-u)\,du=A\int_{-\infty}^{y}K_\lambda(v)\,dv+\frac1{2\pi}\int_{-2\lambda}^{2\lambda}\Bigl(1-\frac{\lvert t\rvert}{2\lambda}\Bigr)e^{ity}g(it)\,dt $$
であり、とくに左辺は有限である。
段 4（$y\to\infty$）． 右辺の第 2 項は、$[-2\lambda,2\lambda]$ の外で $0$ とした可積分関数 $(1-\frac{\lvert t\rvert}{2\lambda})g(it)$ の Fourier 変換の値なので、Fourier変換 の命題「有界性・連続性・無限遠での減衰」により $y\to\infty$ で $0$ に近づく。第 1 項は $A\int_{-\infty}^\infty K_\lambda=A\kappa$ に近づく。左辺で $u=y-v/\lambda$ と置換して $K_\lambda(v/\lambda)\cdot\frac1\lambda=K_1(v)$ を使うと、すべての $\lambda>0$ について次の式 (W) を得る。
$$ \lim_{y\to\infty}\int_{-\infty}^{\lambda y}\varphi\Bigl(y-\frac v\lambda\Bigr)K_1(v)\,dv=A\kappa $$
段 5（上からの評価）． $a>0$ を固定する。$e^u\varphi(u)$ は増加関数なので、$\lvert v\rvert\le a$ なら $u=y-\frac v\lambda$ について $\varphi(u)\ge e^{(y-a/\lambda)-u}\varphi(y-\frac a\lambda)\ge e^{-2a/\lambda}\varphi(y-\frac a\lambda)$ である。$\varphi\ge0$、$K_1\ge0$ なので、$\lambda y\ge a$ なら (W) の左辺の積分は $e^{-2a/\lambda}\varphi(y-\frac a\lambda)\int_{-a}^{a}K_1$ 以上である。よって
$$ \limsup_{u\to\infty}\varphi(u)\le\frac{A\kappa\,e^{2a/\lambda}}{\int_{-a}^{a}K_1} $$
である。$\lambda\to\infty$、続けて $a\to\infty$ とすると $\limsup_{u\to\infty}\varphi(u)\le A$ を得る。とくに $\varphi$ は十分大きい $u$ で有界であり、$[0,u_0]$ では $\varphi(u)\le S(e^{u_0})$ なので、$[0,\infty)$ 上で $\varphi\le M$ となる定数 $M$ がある。
段 6（下からの評価）． 同じく $\lvert v\rvert\le a$ なら $\varphi(y-\frac v\lambda)\le e^{2a/\lambda}\varphi(y+\frac a\lambda)$ であり、$\lvert v\rvert>a$ の部分は $\varphi\le M$ で抑えられるので、(W) の左辺の積分は $e^{2a/\lambda}\varphi(y+\frac a\lambda)\int_{-a}^aK_1+M\int_{\lvert v\rvert>a}K_1$ 以下である。$y\to\infty$ での下極限をとり、$\int_{-a}^aK_1\le\kappa$ を使うと
$$ A\kappa\le e^{2a/\lambda}\kappa\liminf_{u\to\infty}\varphi(u)+M\int_{\lvert v\rvert>a}K_1 $$
である。$\lambda\to\infty$、続けて $a\to\infty$ とすると $\liminf_{u\to\infty}\varphi(u)\ge A$ を得る。
段 5・6 から $\varphi(u)=S(e^u)e^{-u}\to A$、すなわち $S(x)/x\to A$ である。

von Mangoldt関数 の定理「$\Lambda$ の Dirichlet 級数」により、$\operatorname{Re}s>1$ で $F(s):=\sum_{n\ge1}\Lambda(n)n^{-s}$ は絶対収束して $-\zeta'(s)/\zeta(s)$ に等しく、係数 $\Lambda(n)$ は $0$ 以上である。
Riemannゼータ関数 の定理「$\operatorname{Re}s>0$ への解析接続」により、$\zeta(s)=\frac1{s-1}+Z(s)$ となる $\operatorname{Re}s>0$ 上の正則関数 $Z$ がある。$h(s):=(s-1)\zeta(s)=1+(s-1)Z(s)$ は $\operatorname{Re}s>0$ 上で正則で、$h(1)=1$ である。$\operatorname{Re}s>1$ では Riemannゼータ関数 の定理「Euler 積」により $\zeta(s)\ne0$、$t\ne0$ では Dirichlet L関数 の定理「直線 $\operatorname{Re}s=1$ 上の零点」により $\zeta(1+it)\ne0$ なので、$h$ は閉半平面 $\operatorname{Re}s\ge1$ 上で $0$ にならない。$h$ の零点の集合は $\{\operatorname{Re}s>0\}$ の閉集合なので、$U:=\{\operatorname{Re}s>0\}\setminus h^{-1}(0)$ は $\operatorname{Re}s\ge1$ を含む開集合で、$-h'/h$ は $U$ 上で正則である。$\operatorname{Re}s>1$ では
$$ -\frac{h'(s)}{h(s)}=-\frac1{s-1}-\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}=F(s)-\frac1{s-1} $$
なので、$F(s)-\frac1{s-1}$ は $\operatorname{Re}s\ge1$ 上の連続関数 $-h'/h$ に延びる。thm-wi-main を $A=1$ で使うと $\psi(x)/x\to1$ である。von Mangoldt関数 の命題「$\psi$ と $\theta$ の差」の 2 により、これは $\pi(x)\sim x/\log x$ と同値である。$\square$